初中数学8年级教案：第16讲 一次函数与四边形综合 9页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目：‎ 授课日期 ‎××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 一次函数与四边形综合 教学内容 ‎1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题；‎ ‎2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．‎ ‎（此环节设计时间在10-15分钟）‎ 教法说明：回顾上次课的预习思考内容，要求学生在函数图像中找出符合要求的点。‎ 1． 已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________；‎ ‎ ‎ 参考答案：（4，3）或（—4，3）或（2，—3）；‎ ‎2．已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，如果点C在y轴上，存在点D使以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则D的坐标为 ．‎ 参考答案：；‎ ‎（此环节设计时间在50-60分钟）‎ E A O x y B C D 例题1：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，点A的坐标为（0，1），点D在轴上，经过点B的直线与AC相交于横坐标为2的点E．‎ ‎（1）求直线AC的表达式；‎ ‎（2）求点B、C、D的坐标．‎ 参考答案：（1）∵点直线经过横坐标为2的点E，∴E（2，2）．‎ 由点A（0，1）,设直线AC的表达式为， ‎ ‎∴；∴直线AC的表达式为．‎ ‎（2）设点C的坐标为（），‎ ‎∵在菱形ABCD中，BC//AD，∴点B的坐标为（）．‎ ‎∵BA＝BC，∴； ∴．‎ ‎∴． ∴点B、C的坐标分别为（）、（）． ‎ ‎∵AD＝BC＝15，∴OD＝16，∴D（0，16）．‎ 例题2：已知：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B。点C的坐标为（0，—2），线段AB上有一动点P，过点C、P作直线l。‎ ‎（1）如图，当PB＝PC时，求点P的坐标；‎ ‎（2）在（1）的条件下，平面直角坐标系内是否存在这样的点Q，使以P、B、C、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 参考答案：‎ ‎（1）作PH⊥y轴，∵PB＝PC ∴H为BC中点；‎ ‎∴H（0，2） ∴点P的坐标 ‎（2），，‎ 例题3：已知一次函数的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B．梯形AOBC的边AC = 5．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）如果点A、C在一次函数（k、b为常数，且k<0）的图像上，求这个一次函数的解析式．‎ 参考答案：‎ ‎（1）A（8，0），B（0，4）．‎ 在梯形AOBC中，OA=8，OC=4，AC=5．‎ 当AC//OB时，点C的坐标为（8，5）．‎ 当BC//OA时，设点C（x,4）． ‎ ‎∴ 这时点C的坐标为（5，4）或（11，4）．‎ ‎∴点C的坐标为（8，5）或（5，4）或（11，4）．‎ ‎（2）∵点A、C在一次函数（k<0）的图象上，‎ ‎ ∴点（8，5）与（11，4）都不符合题意，只有当C为（5，4）时，k<0．‎ ‎ ∴ ∴ ∴这个一次函数的解析式为．‎ ‎※例题4：在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝OC＝6，分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，D、F分别为线段OC，x轴上的点，OD＝5，OF＝10，直线DF交OB于点E．‎ ‎（1）求直线DE的解析式并求出E点坐标；‎ ‎（2）点M是（1）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N使以O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案：（1）直线DE的解析式为，点E的坐标为（2，4）‎ ‎（2）存在 ‎①如图1，当OD＝DM＝MN＝NO＝5时 设M点坐标为，‎ ‎∴∴（正舍）‎ ‎∴点M的坐标为 又∵MN∥x轴； ∴点N的坐标为 ‎②如图2，当OD＝DN＝NM＝MO＝5时，‎ 延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴.‎ ‎∵点M在直线上，∴设M点坐标为 在Rt△OPM中，‎ ‎∴，解得（舍去），‎ ‎∴点M的坐标为（4，3） ∴点N的坐标为（4，8）‎ ‎③如图3，当OM＝MD＝DN＝NO时，四边形OMDN为菱形.‎ 联结NM交OD于点P则NM与OD互相垂直平分，‎ ‎∴∴‎ ‎∴∴‎ ‎∴点N的坐标为 综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为 此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。‎ ‎1．如图，一次函数的图像与x、y轴分别相交于点A、B，以AB为边作正方形ABCD．‎ ‎（1）求点A、B、D的坐标；‎ ‎（2）设点M在x轴上，如果△ABM为等腰三角形，求点M的坐标．‎ 参考答案：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为点E．‎ ‎ 由函数，当y = 0时，得x = -2， 即得点A的坐标为A（-2，0）．‎ ‎ 当x = 0时，得y = 4，即得点B的坐标为B（0，4）．‎ ‎ 由正方形ABCD，可证得△ADE≌△BAO．‎ ‎∴DE = OA = 2，AD = BO = 4，即得OE = 2．‎ ‎∴点D的坐标为D（2，-2）．‎ ‎ （2）由A（-2，0），B（0，4），得．‎ ‎ 当△ABM为等腰三角形时，得AB = AM或AB = BM或AM = BM．‎ 当AB = AM时，得，‎ 所以点M的坐标为M1（，0）、M2（，0）．‎ 当AB = BM时，由OB⊥AM，得OM = OA = 2．‎ 所以点M的坐标为M3（2，0）．‎ 当AM = BM时，即得 AM2 = BM2．‎ 设点M的坐标为（x，0）．‎ 利用两点间的距离公式，得 ．‎ 解得 x = 3．得点M的坐标为M4（3，0）．‎ 所以，所求点M的坐标为M1（，0）、M2（，0）、‎ M3（2，0）、M4（3，0）．‎ ‎2．如图，一次函数的图像与轴相交于点A（5，0）、与轴相交于点B．‎ ‎（1）求点B的坐标及∠ABO的度数；‎ ‎（2）如果点C的坐标为（0，3），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标． ‎ 参考答案：（1）∵点A（5，0）在一次函数的图像上，‎ ‎∴； ∴点B的坐标为．‎ ‎∵∠AOB=90º，OB=5，OA=， ∴AB=，‎ ‎∴∠OAB=30º，∠ABO=60º．‎ ‎（2）当AD//BC时，∠BCD=∠ADC=90º，点D（）．‎ 当CD//AB时，∠BAD=∠ADC=90º，‎ 过点D作DH⊥OA，DH与OA、AB分别交于点HE，∴DE//BC，∴DE=BC=8．‎ ‎∴∠AED=∠ABC=60º，∠ADE=30º，∴AE=4，AD=，‎ ‎∴AH=，OH=，DH=6，∴点D（）．‎ ‎∴点D的坐标为（）或（）．‎ ‎（此环节设计时间在5-10分钟内）‎ 让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾 ‎【巩固练习】‎ ‎1．如图，一次函数的图像与轴相交于点A（6，0）、与轴相交于点B，点C在轴的正半轴上，BC=5．‎ ‎（1）求一次函数的解析式和点B、C的坐标；‎ ‎（2）如果四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标． ‎ 参考答案：（1）解：∵一次函数的图像与轴相交于点A（6，0），‎ ‎∴；∴一次函数解析式为，点B（0，–2）．‎ ‎∵BC=5，OB=2，∴OC=3，∴点C为（0，3）．‎ ‎（2）解：当AD//BC时，CD=AB，过点D作DE⊥轴，垂足为E，‎ ‎∵DE=AO=6，∴Rt△DCE≌Rt△ABO ；‎ ‎∴CE=OB=2,∴OE=1 ∴点D（6，1）．‎ 当CD//AB时，直线CD的表达式为，设点D（，）．‎ ‎∵AD=BC=5，∴，∴．‎ 解得（不符合题意），∴点D的坐标为（3，4）‎ ‎2．如图所示，直线的截距为6，该直线分别交x轴、y轴于E、F，点E的坐标为（－4，0）．‎ ‎　（1）求直线的表达式；‎ ‎　（2）若点是该直线第二象限上的一个动点，轴，轴，垂足分别为点A、B，试求四边形OAPB的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ 参考答案：（1）； （2）‎ ‎【预习思考】‎ ‎1．（1）既有 、又有 的量，叫做向量．‎ ‎（2）向量的 也叫向量的模（或向量的长度）——它是一个 ．‎ ‎（3）零向量：大小为 ，方向 的向量；记作________．‎ ‎2．（1）方向 且大小 的两个向量叫做相等向量．‎ ‎（2）方向 且大小 的两个向量叫做相反向量．‎ ‎（3）方向 的两个向量叫做平行向量．‎ ‎3．向量的运算：‎ ‎（1）向量加法、减法的三角形法则：‎ ‎_____________；___ ____．‎ ‎（2）向量加法、减法的平行四边形法则：‎ ‎_____________；___ ____．‎ ‎（3）向量的加法运算律： ‎ 向量加法满足交换律，即：                                       ；‎ 向量加法满足结合律，即：                                     ．‎