2019学年八年级数学上册 应知应会的知识点 13页

应知应会的知识点 因式分解 ‎1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.‎ ‎2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.‎ ‎3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.‎ 注意公式：a+b=b+a； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3.‎ ‎4．因式分解的公式：‎ ‎(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b）；‎ ‎(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.‎ ‎5．因式分解的注意事项：‎ ‎（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；‎ ‎（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；‎ ‎（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；‎ ‎（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；‎ ‎（5）因式分解的最后结果要求加以整理；‎ ‎（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.‎ ‎6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.‎ ‎7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q， 有“ x2+px+q是完全平方式 Û ”.‎ 分式 ‎1．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为的形式，如果B中含有字母，式子 13‎ ‎ 叫做分式.‎ ‎2．有理式：整式与分式统称有理式；即 .‎ ‎3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.‎ ‎4．分式的基本性质与应用：‎ ‎（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；‎ ‎（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；‎ 即 ‎ ‎（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.‎ ‎5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.‎ ‎6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.‎ ‎7．分式的乘除法法则： .‎ ‎8．分式的乘方：.‎ ‎9．负整指数计算法则：‎ ‎（1）公式： a0=1(a≠0), a-n= (a≠0)；‎ ‎（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；‎ ‎（3）公式：，；‎ ‎（4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1.‎ ‎10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.‎ 13‎ ‎11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.‎ ‎12．同分母与异分母的分式加减法法则： .‎ ‎13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.‎ ‎14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.‎ ‎15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.‎ ‎16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.‎ ‎17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.‎ ‎18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.‎ 数的开方 ‎1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.‎ ‎2．平方根的性质：‎ ‎（1）正数的平方根是一对相反数；‎ ‎（2）0的平方根还是0；‎ ‎（3）负数没有平方根.‎ 13‎ ‎3．平方根的表示方法：a的平方根表示为和.注意：可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.‎ ‎4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为.注意：0的算术平方根还是0.‎ ‎5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ，≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0.‎ ‎6．两个重要公式： ‎ ‎（1） ; (a≥0)‎ ‎（2） .‎ ‎7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a叫x的立方数；（2）a的立方根表示为；即把a开三次方.‎ ‎8．立方根的性质：‎ ‎（1）正数的立方根是一个正数；‎ ‎（2）0的立方根还是0；‎ ‎（3）负数的立方根是一个负数.‎ ‎9．立方根的特性：.‎ ‎10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：p和开方开不尽的数是无理数.‎ ‎11．实数：有理数和无理数统称实数.‎ ‎12．实数的分类：（1）（2） .‎ ‎13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.‎ ‎14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆： .‎ 13‎ 三角形 几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）‎ ‎1．三角形的角平分线定义：‎ 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵AD平分∠BAC ‎∴∠BAD=∠CAD ‎(2) ∵∠BAD=∠CAD ‎∴AD是角平分线 ‎2．三角形的中线定义：‎ 在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵AD是三角形的中线 ‎∴ BD = CD ‎ ‎(2) ∵ BD = CD ‎∴AD是三角形的中线 ‎3．三角形的高线定义：‎ 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.‎ ‎（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵AD是ΔABC的高 ‎∴∠ADB=90°‎ ‎(2) ∵∠ADB=90°‎ ‎∴AD是ΔABC的高 ‎※4．三角形的三边关系定理：‎ 三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵AB+BC＞AC ‎∴……………‎ ‎(2) ∵ AB-BC＜AC ‎∴……………‎ 13‎ ‎5．等腰三角形的定义：‎ 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵ΔABC是等腰三角形 ‎∴ AB = AC ‎ ‎(2) ∵AB = AC ‎ ‎∴ΔABC是等腰三角形 ‎6．等边三角形的定义：‎ 有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1)∵ΔABC是等边三角形 ‎∴AB=BC=AC ‎(2) ∵AB=BC=AC ‎∴ΔABC是等边三角形 ‎7．三角形的内角和定理及推论：‎ ‎（1）三角形的内角和180°；（如图）‎ ‎（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）‎ ‎（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）‎ ‎※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.‎ ‎（1） （2） （3）（4）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵∠A+∠B+∠C=180°‎ ‎∴…………………‎ ‎(2) ∵∠C=90°‎ ‎∴∠A+∠B=90°‎ ‎(3) ∵∠ACD=∠A+∠B ‎∴…………………‎ ‎(4) ∵∠ACD ＞∠A ‎∴…………………‎ ‎8．直角三角形的定义：‎ 有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵∠C=90°‎ ‎∴ΔABC是直角三角形 ‎(2) ∵ΔABC是直角三角形 ‎∴∠C=90°‎ 13‎ ‎9．等腰直角三角形的定义：‎ 两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵∠C=90° CA=CB ‎∴ΔABC是等腰直角三角形 ‎(2) ∵ΔABC是等腰直角三角形 ‎∴∠C=90° CA=CB ‎10．全等三角形的性质：‎ ‎（1）全等三角形的对应边相等；（如图）‎ ‎（2）全等三角形的对应角相等.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵ΔABC≌ΔEFG ‎∴ AB = EF ………‎ ‎(2) ∵ΔABC≌ΔEFG ‎∴∠A=∠E ………‎ ‎11．全等三角形的判定：‎ ‎“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. （如图）‎ ‎ ‎ ‎ （1）（2）‎ ‎ （3）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵ AB = EF ‎ ‎∵ ∠B=∠F 又∵ BC = FG ‎∴ΔABC≌ΔEFG ‎(2) ………………‎ ‎(3)在RtΔABC和RtΔEFG中 ‎∵ AB=EF 又∵ AC = EG ‎∴RtΔABC≌RtΔEFG 13‎ ‎12．角平分线的性质定理及逆定理：‎ ‎（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）‎ ‎（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1)∵OC平分∠AOB 又∵CD⊥OA CE⊥OB ‎∴ CD = CE ‎ ‎(2) ∵CD⊥OA CE⊥OB 又∵CD = CE ‎∴OC是角平分线 ‎13．线段垂直平分线的定义：‎ 垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵EF垂直平分AB ‎∴EF⊥AB OA=OB ‎(2) ∵EF⊥AB OA=OB ‎∴EF是AB的垂直平分线 ‎14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：‎ ‎（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）‎ ‎（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵MN是线段AB的垂直平分线 ‎∴ PA = PB ‎ ‎(2) ∵PA = PB ‎∴点P在线段AB的垂直平分线上 13‎ ‎15．等腰三角形的性质定理及推论：‎ ‎（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）‎ ‎（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）‎ ‎（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）‎ ‎ （1） （2） （3）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵AB = AC ‎∴∠B=∠C ‎ ‎(2) ∵AB = AC 又∵∠BAD=∠CAD ‎∴BD = CD AD⊥BC ‎………………‎ ‎(3) ∵ΔABC是等边三角形 ‎ ‎∴∠A=∠B=∠C =60°‎ ‎16．等腰三角形的判定定理及推论：‎ ‎（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）‎ ‎（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）‎ ‎（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）‎ ‎（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）‎ ‎（1）（2）（3）（4）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵∠B=∠C ‎∴ AB = AC ‎ ‎(2) ∵∠A=∠B=∠C ‎∴ΔABC是等边三角形 ‎(3) ∵∠A=60°‎ 又∵AB = AC ‎∴ΔABC是等边三角形 ‎(4) ∵∠C=90°∠B=30° ‎ ‎∴AC =AB ‎17．关于轴对称的定理 ‎（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称 13‎ ‎（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）‎ ‎∴ΔABC≌ΔEGF ‎(2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称 ‎∴OA=OE MN⊥AE ‎18．勾股定理及逆定理：‎ ‎（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图）‎ ‎（2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵ΔABC是直角三角形 ‎∴a2+b2=c2‎ ‎(2) ∵a2+b2=c2‎ ‎∴ΔABC是直角三角形 ‎19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：‎ ‎（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）‎ ‎（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ (1) ‎∵ΔABC是直角三角形 ‎∵D是AB的中点 ‎∴CD = AB ‎(2) ∵CD=AD=BD ‎∴ΔABC是直角三角形 几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）‎ 一 基本概念：‎ 三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.‎ 二 常识：‎ ‎1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.‎ 13‎ ‎2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.‎ ‎3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.‎ ‎4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.‎ ‎5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. ‎ ‎6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.‎ ‎7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：‎ ‎（1） AC·CB=CD·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .‎ ‎8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.‎ ‎9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.‎ ‎10．等边三角形是特殊的等腰三角形.‎ ‎11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.‎ ‎12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.‎ ‎13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.‎ ‎14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.‎ ‎15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.‎ ‎16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.‎ ‎17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.‎ ‎※18．几何重要图形和辅助线：‎ ‎（1）选取和作辅助线的原则：‎ 13‎ ‎① 构造特殊图形，使可用的定理增加；‎ ‎② 一举多得；‎ ‎③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；‎ ‎④ 作辅助线必须符合几何基本作图.‎ ‎（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）‎ ‎① 在BA上截取BE=BC构造全等，转移线段和角；‎ ‎ ‎ ‎② 过D点作DE∥BC交AB于E，构造等腰三角形 .‎ ‎（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）‎ ‎① 过D点作DE∥AC交AB于E，构造中位线 ；‎ ‎ ‎ ‎② 延长AD到E，使DE=AD ‎ 连结CE构造全等，转移线段和角； ‎ ‎ ‎ ‎③ ∵AD是中线 ‎ ‎∴SΔABD= SΔADC ‎（等底等高的三角形等面积）‎ ‎ ‎ ‎(4) 已知等腰三角形ABC中，AB=AC ‎① 作等腰三角形ABC底边的中线AD ‎（顶角的平分线或底边的高）构造全 ‎ ‎ ‎② 作等腰三角形ABC一边的平行线DE，构造 新的等腰三角形.‎ 13‎ 等三角形；‎ ‎（5）其它 ① 作等边三角形ABC 一边 的平行线DE，构造新的等边三角形；‎ ‎ ‎ ‎② 作CE∥AB，转移角； ‎ ‎ ‎ ‎③ 延长BD与AC交于E，不规则图形转化为规则图形；‎ ‎④ 多边形转化为三角形； ‎ ‎ ‎ ‎⑤ 延长BC到D，使CD=BC，连结AD，直角三角形转化为等腰三角形；‎ ‎ ‎ ‎⑥ 若a∥b,AC,BC是角平 分线,则∠C=90°.‎ 13‎