2020八年级数学下册 专题突破讲练 二次根式的化简及运算试题 （新版）青岛版 6页

二次根式的化简及运算 ‎ ‎ 一、二次根式基本运算 二次根式的乘除法 ‎1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。‎ ‎＝·（a≥0，b≥0）‎ ‎2. 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。‎ ‎·＝．（a≥0，b≥0）‎ ‎3. 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。‎ ‎＝（a≥0，b＞0）‎ ‎4. 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。‎ ‎＝（a≥0，b＞0）‎ 二次根式的加减法 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。类似于合并同类项。‎ 化简步骤：‎ ‎（1）“一分”，即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或因式）的幂的积的形式；‎ ‎（2）“二移”，即把能开得尽的因数（或因式），用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上；‎ ‎（3）“三化”，即化去被开方数中的分母。‎ 二、二次根式的乘方 ‎1. 将单独根式中的整式（数）部分，根式部分分别乘方，如计算（2）2时，先将2乘方，再将乘方，结果再相乘；‎ ‎2. 多项式的乘方注意使用乘方公式，同时也可以将其因式分解。‎ 总结：‎ ‎1. 乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑被开方数的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式；‎ ‎2. 对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母。‎ 例题1 已知a，b，c，d，e五个实数的平均值为k，各数与k的差如下表： ‎ a b c d e 6‎ x ‎－‎ ‎－‎ ‎（1）除实数a外，与k的差的绝对值最大的实数是 ；‎ ‎（2）求x的值。‎ 解析：（1）直接求b、c、d、e与k的差的绝对值，比较大小即可；（2）根据题意，a－k＝x，b－k＝－，c－k＝－3，d－k＝2，e－k＝，又有a＋b＋c＋d＋e＝5k，可求k的值。‎ 答案：解：（1）∵|b－k|＝|－|＝，|c－k|＝|－|＝3，|d－k|＝＝2，|e－k|＝＝，‎ ‎∴与k的差的绝对值最大的实数是c；‎ ‎（2）依题意，得a－k＝x，b－k＝－，c－k＝－3，d－k＝2，e－k＝，‎ 五式相加，得a＋b＋c＋d＋e－5k＝x－，又有a＋b＋c＋d＋e＝5k，所以x－＝0，即x＝。‎ 例题2 设＝a，＝b，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（　　）‎ A. 0.3‎ab B. 3ab C. 0.1ab2 D. ‎0.1a2b 解析：先把化为、的形式，再把a、b代入计算即可。‎ 答案：解：∵＝＝0.3•，＝a，＝b，∴＝0.3ab。故选A。‎ 点拨：此题主要考查二次根式的化简，应化简到被开方数开不尽为止。‎ 有条件的根式求值 利用已知条件进行二次根式的运算，关键是对所给条件进行适当的变形，条件的变形没有规律可循，要根据题目需要，运用所学知识适当变形。‎ 例题 已知x、y为正数，且（＋）＝3（＋5），求的值。‎ 解析：要求代数式的值，首先将分子分母的字母统一成一种，因此要整理已知条件，设法将其中一种字母用另一种表示，然后代入代数式中，约分即可。‎ 答案：由已知条件得x－2－15y＝0。∴（＋3）（－5）＝0，‎ ‎∵＋3＞0，∴－5＝0，‎ ‎∴＝5，x＝25y，‎ 6‎ ‎∴＝＝＝2。‎ 赋予新定义 解决赋予一个新的运算定义的一类题，关键是理解新定义运算的含义，继而进行综合运算。‎ 例题 若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数。‎ ‎（1）3与 是关于1的平衡数，5－与 是关于1的平衡数；‎ ‎（2）若（m＋）×（1－）＝－5＋3，判断m＋与5－是否是关于1的平衡数，并说明理由。‎ 解析：（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案；（2）根据所给的等式，解出m的值，进而再代入判断即可。‎ 答案：（1）由题意得，3＋（－1）＝2，5－＋（－3＋）＝2，‎ ‎∴3与－1是关于1的平衡数，5－与－3＋是关于1的平衡数。 ‎ ‎（2）不是。理由如下：∵（m＋）×（1－）＝m－m＋－3，‎ 又∵（m＋）×（1－）＝－5＋3，∴m－m＋－3＝－5＋3，‎ ‎∴m－m＝－2＋2。‎ 即m（1－）＝－2（1－），‎ ‎∴m＝－2。‎ ‎∴（m＋）＋（5－）‎ ‎＝（－2＋）＋（5－）‎ ‎＝3‎ ‎∴（m＋）与（5－）不是关于1的平衡数。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 化简a的结果是（　　）‎ A. B. C. − D. ‎ ‎2. 下列运算错误的是（　　）‎ A. －＝π B.（−）2＝0.2 ‎ C. ＝10－1＝0.1 D.（3）2＝32×（）2＝18‎ ‎*3. 估算的值（　　）‎ A. 在0与1之间 B. 在0与2之间 C. 在2与3之间 D. 在3与4之间 ‎**4. 已知y1＝x，y2＝，y3＝，y4＝…，y2014＝，则y1•y2014等于（　　）‎ 6‎ A. 2x2 B. ‎1 ‎ C. 2 D. ‎ ‎**5. 若，则k＝（　　）‎ A. 3－ B. 3＋＋‎ C. 3－ D. 3＋－‎ 二、填空题 ‎*6. 若a－b＝2＋，b－c＝2－，则代数式a2－‎2ac＋c2的值为 。‎ ‎*7. 的整数部分为a，小数部分为b，则＋ ＝ 。‎ ‎**8. 非零实数x、y满足（－x）（－y）＝2013，则＝ 。‎ ‎**9. 若[x]表示不超过x的最大整数（如[3]＝3，[－π]＝－4等），根据定义计算下面算式：[]＋[ ]＋…＋[ ]＝ 。‎ 三、解答题 ‎*10. 给出三个整式a2，b2和2ab。‎ ‎（1）当a＝－1，b＝＋1时，求a2＋b2＋2ab的值；‎ ‎（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解。请写出你所选的式子及因式分解的过程。‎ ‎**11. 已知：y＝＋＋，求代数式−的值。‎ ‎**12. 解阅读此题的解答过程，回答问题：‎ 化简：（0＜a＜2b）。‎ 解：原式＝＝ （1）‎ ‎＝ （2）‎ ‎＝ （3）‎ ‎＝ （4）‎ ‎＝‎ ‎（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ；‎ ‎（2）请写出错误的原因： ；‎ ‎（3）写出本题的正确解答过程。‎ 6‎ ‎1. C 解析：由a可知，a＜0，原式＝－＝－，故选C。‎ ‎2. A 解析：A. －＝－π，本选项错误；B.（−）2＝0.2，本选项正确；C. ＝10－1＝0.1＝10－1＝0.1，本选项正确；D.（3）2＝32×（）2＝18，本选项正确，故选A。‎ ‎3. C 解析：＝＝5－，∵2＜＜3，∴－2＞－＞－3，∴5－2＞5－＞5－3，即2＜5－＜3，∴2＜＜3，故选C。‎ ‎4. C 解析：∵y1＝x，∴y2＝＝＝；∴y3＝＝＝x；y4＝＝；∴y2014＝，∴y1·y2014＝x·＝2。故选C。‎ ‎5. D 解析：原式可化为，即 ‎＝3＋，∴k＝3＋－3，‎ 即k＝3＋－。故选D。‎ ‎6. 16 解析：由已知两式相加，得：a－c＝4，∴a2－‎2ac＋c2＝（a－c）2＝42＝16。‎ ‎7. 解析：由＝−2，又3＜＜4，∴0＜−3＜1，∵的整数部分为a，小数部分为b，则a＝1，b＝−3，‎ 从而＋＝＝＝。故答案为：。‎ ‎8. －1 解析：根据题意可知，当x＋y＝0，即x＝－y时，（－x）（－y）＝2013恒成立，‎ 则＝＝＝－1。故答案为：－1。‎ ‎9. 2011 解析：＝＝，而1＜1＋＜2。‎ 所以[]＝1，设第n＋1个式子是：‎ ‎＝＝＝1＋，则[]＝[1＋‎ 6‎ ‎]＝1，故可求得每个式子均为1，所以所求式子的和为2011。‎ ‎10. 解：（1）当时，；‎ ‎（2）若选，则 ‎11. 解：根据二次根式有意义，得1−8x≥0，8x−1≥0，解得x＝，∴y＝，− ＝− ＝－＝－＝1。‎ ‎12. 解：（1）（4） （2）∵0＜a＜2b，∴2b－a＞0，∴a－2b＜0，∴|a－2b|＝2b－a，负数的绝对值等于它的相反数，不等于它本身 ‎（3）解：原式＝＝＝‎ ‎＝＝＝－‎ 6‎