2020八年级数学上册 专题突破讲练 解惑轴对称及作轴对称图形试题 （新版）青岛版 12页

解惑轴对称及作轴对称图形 一、轴对称的重要内容梳理 ‎1. 轴对称与轴对称图形 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。‎ 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。‎ ‎2. 二者的区别与联系 区别：（1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；‎ ‎（2）轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的。‎ 联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；‎ ‎（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。‎ 二、坐标平面内的轴对称 ‎1. 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（）；‎ ‎2. 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（）；‎ ‎3. 点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（－x，－y）。‎ 总结：关于哪个轴对称，哪个坐标值不变；关于原点对称，则坐标互为相反数。‎ ‎【拓展】‎ 关于坐标轴夹角平分线对称 点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线对称的点的坐标是（y，x）‎ 点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线对称的点的坐标是（－y，－x）‎ 关于平行于坐标轴的直线对称 点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（‎2m－x，y）‎ 点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）‎ 12‎ 例题1 如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点。在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（　　）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解析：先把田字格图标上字母，如下图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数。‎ 答案：△HEC关于CD对称；△FDB关于BE对称；△GED关于HF对称；关于AG对称的是它本身。所以共3个。故选C。‎ 点拨：利用轴对称的性质，确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键。‎ 例题2 已知平面直角坐标系中一点P（2x－y，3x＋2y），先将它关于x轴作一次轴对称变换，再关于y轴作一次轴对称变换，最终得到的点为（－3，－8），求点Q（x，y）的坐标。‎ 解析：关于x轴作一次轴对称变换，纵坐标变成相反数；关于y轴作一次轴对称变换，横坐标变成相反数。因此，经过两次变换后，横坐标与纵坐标均变为相反数，即2x－y＝3且3x＋2y＝8，解得x、y的值即得Q点坐标。‎ 答案：由题意，得2x－y＝3且3x＋2y＝8，解得x＝2，y＝1，所以点Q的坐标为（2，1）。‎ 点拨：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标。解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律。‎ ‎1. 平面直角坐标系中图形的对称变化 平面直角坐标系中图形的对称变化是中考的重点内容，主要考查基本作图、对称的理解、相关图形面积的计算。解题的关键是找出图形运动变化的关键点，根据不同的对称要求作出关于网格中的对称图形。‎ 例题 如图，在正方形网格上有一个△DEF。‎ 12‎ ‎（1）作△DEF关于直线HG的轴对称图形；‎ ‎（2）作△DEF的EF边上的高；‎ ‎（3）若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积。‎ 解析：（1）根据网格结构找出点D、E、F关于直线HG的对称点D′、E′、F′的位置，然后顺次连接即可；‎ ‎（2）根据网格结构以及EF的位置，过点D作小正方形的对角线，与FE的延长线相交于H，DH即为所求作的高线；‎ ‎（3）DE为底边，点F到DE的距离为高，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解。‎ 答案：（1）如图所示，△D′E′F′即为所求作的△DEF关于直线HG的轴对称图形；‎ ‎（2）如图所示，DH为EF边上的高线；（3）如图所示，DE=3，△DEF的高=2，∴△DEF的面积＝×3×2＝3。‎ ‎2. 轴对称的对称规律总结 利用轴对称的规律，作循环往复的变化，寻找变化中的固定规律，关键是理解关于点的坐标的对称性质。‎ 例题 如图所示，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次从点P跳到关于点A的对称点M处，第二次从点M跳到关于点B的对称点N处，第三次从点N跳到关于点C的对称点处，……如此下去。‎ 12‎ ‎（1）在图中标出点M，N的位置，并分别写出点M，N的坐标： 、________。‎ ‎（2）请你依次连接M、N和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；‎ ‎（3）猜想一下，经过第2013次跳动之后，棋子将落到什么位置。‎ 解析：（1）点P关于点A的对称点M，即是连接PA延长到M使PA＝AM，利用全等性质可知M的坐标是M（－2，0），点M关于点B的对称点N处，即是连接MB延长到N使MB＝BN，同理N的坐标是N（4，4）；（2）根据题意画出这个封闭图形，然后利用各点的坐标和全等可判断出所得的三角形各点坐标，从而可求出面积；（3）棋子跳动3次后又回点P处，所以经过第2013次跳动后，棋子落在点P处，然后可得出第2013次跳动之后，棋子的位置。‎ 答案：（1）M（－2，0），N（4，4）；‎ ‎（2）所得的三角形为△PMN，过点M、N、P作垂线，构成四边形：‎ ‎∴S△PMN＝6×6－2×2×－4×6×－4×6×＝10；‎ ‎（3）棋子跳动3次后又回点P处，所以经过第2013次跳动后，棋子落在点P处，∴经过第2013次跳动之后，棋子将落P的位置。‎ 12‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　）‎ A. 60° B. 30° C. 45° D. 50°‎ ‎2. 平面直角坐标系中的点P（2－m，m）关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围在数轴上可表示为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎*3. 甲乙两位同学用围棋子做游戏。如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形。则下列下子方法不正确的是（　　）[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]‎ A. 黑（3，7）；白（5，3） B. 黑（4，7）；白（6，2）‎ C. 黑（2，7）；白（5，3） D. 黑（3，7）；白（2，6）‎ ‎**4. 如图，8×8方格纸的两条对称轴EF，MN相交于点O，图a到图b的变换是（　　）‎ 12‎ A. 绕点O旋转180° ‎ B. 先向上平移3格，再向右平移4格 C. 先以直线MN为对称轴作轴对称，再向上平移4格 D. 先向右平移4格，再以直线EF为对称轴作轴对称 ‎**5.（滨湖区一模）如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（阴影部分），则网格中所有与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为（　　）‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎**6. 如图，点A和点B相距‎60cm，且关于直线对称，一只电动青蛙在距直线‎20cm，距点A为‎50cm的点P1处，按如下顺序循环跳跃，最后青蛙与直线相距‎20cm，则青蛙可能跳跃了（　　）次。‎ A. 2011 B. ‎2010 ‎ C. 2009 D. 2006‎ 二、填空题 ‎*7. 医生检查视力时，经常让被查人通过对面的镜子观察自己上方的一张视力表（人从镜子看到的是视力表的虚像），若需测被查人在‎5米距离的视力时，视力表和镜子的距离是______米。 ‎ ‎**8. ‎ 12‎ 在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种。‎ ‎**9. 四个单位正方形以边对边方式相连接而成，可以拼成如图的五种不同形状。用一个“L”形（图中第一个）分别与其余四个中的一个拼成轴对称图形，所有的可能共有 种。‎ ‎**10. 如图所示，在△ABC中，BC＝‎8cm，△ACE是轴对称图形，直线ED是它的对称轴。若△BCE的周长为‎18cm，那么AB＝ cm。‎ ‎**11. 试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？‎ 正多边形边数 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 对称轴条数 根据上表，可以猜想得到：一个正n边形有对称轴 条。‎ 三、解答题 ‎*12. 如图所示，△COB是由△AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系，解答下列问题：‎ 12‎ ‎（1）若点M的坐标为（x、y），则它的对应点N的坐标为 。‎ ‎（2）若点P（a，2）与点Q（－3，b）关于x轴对称，求代数式 的值。‎ ‎**13. 如图，平面直角坐标系中，A（0，x）、B（y，0）、C（z，0），在B、C两点各有一个平面镜，其中在B点的平面镜沿x轴方向，从P点发射两条光线PA、PB，反射光线BD经A点和反射光线CD相交。（1）若x、y、z满足（2x＋y－1）2＋|y＋z－1|＝－（z－2）2，求△ABC的面积；（2）若两条入射光线PA、PB的夹角（∠BPC）为28°，要想让两条反射光线BD、CD的夹角（∠BDC）为36°，问平面镜MN与x轴夹角的度数是多少。‎ ‎**14. 如图，已知∠AOB＝25°，把∠AOB绕顶点O按逆时针旋转55°到∠MON，点C、D分别是OB、OM上的点，分别作C点关于OA、ON的对称点E、F，连接DE、DF。‎ ‎（1）求∠ECF的度数；（2）说明DE＝DF的理由。‎ 12‎ 12‎ ‎1. A 解析：∵台球桌四角都是直角，∠3＝30°，∴∠2＝60°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝60°，故选A。‎ ‎2. B 解析：根据题意得：2−m＞‎0 ‎‎ ‎m＞0，解得：0＜m＜2。故选B。‎ ‎3. C 解析：A. 若放入黑（3，7）；白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意；B. 若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意；C. 若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形，故本选项正确；D. 若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选C。‎ ‎4. D 解析：A. 绕点O旋转180°，两条对称轴EF，MN不可能相交于点O，与已知矛盾，故此选项错误；B. 平移后的图形与b形状不同，故此选项错误；C. 先以直线MN为对称轴作轴对称，其中平移后与b形状不同，故此选项错误；D. 先向右平移4格，再以直线EF为对称轴作轴对称，故此选项正确。故选D。‎ ‎5. D 解析：如图，与△ABC成轴对称的格点三角形有△ACD、△AEF、△BEH，△GHC，△CDB共5个，故选D。‎ ‎6. A 解析：根据题意可知，P1，P2，P3，P4是一个循环，又因为最后青蛙与直线相距‎20cm，可知青蛙应在P1或P4点，故其跳跃次数除以4的余数为0或3，2011÷4＝502余3。故选A。‎ ‎7. 2.5‎‎ 解析：∵被查人与虚像的距离为‎5米，∴人与镜子的距离＝视力表与镜子的距离＝5÷2＝‎2.5米，故答案为2.5。‎ ‎8. 13 解析：如图所示：‎ ‎ ‎ 12‎ ‎ ‎ 故一共有13种移法。‎ ‎9. 4 解析：将“L”形分别与各图形组合，能满足组合后是轴对称图形的有：‎ ‎，共4种。‎ ‎10. 10 解析：∵△ACE是轴对称图形，直线ED是它的对称轴，∴AE＝CE，∴AE＋BE＝CE＋BE，∵△BCE的周长等于‎18cm，BC＝‎8cm，∴AE＋BE＝CE＋BE＝10（cm），∴AB＝‎10cm。‎ ‎11. 解析：如图所示：‎ 正多边形边数 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 对称轴条数 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 根据上表，可以猜想得到：一个正n边形有对称轴n条。‎ ‎12. 解：（1）由图象知点M和点N关于x轴对称，∵点M的坐标为（x、y），∴点N的坐标为（x，－y）；‎ ‎（2）∵点P（a，2）与点Q（－3，b）关于x轴对称，∴a＝－3，b＝－2，‎ ‎∴＝‎ ‎＝＝＝。‎ ‎13. 解：（1）因为等式（2x＋y－1）2＋|y＋z－1|＝－（z－2）2成立，所以有下列三元一次方程组：解得：‎ 即：A、B、C三点的坐标为A（0，1）；B（－1，0）；C（2，0）。所以S△ABC＝BC×AO＝（|－1|＋2）×1＝1.5；（2）在△ABC中，因为AO⊥BC，AO＝BO，所以∠BAO＝∠OBA＝45°，∠AOC＝90°，∠PBA＝180°－2×45°＝90°，∠PAB＝90°－28°＝62°，所以∠‎ 12‎ OAC＝180°－45°－62°＝73°，∠ACD＝180°－36°－62°＝82°，由∠ABD＝82°可知：∠ACM＝（180°－82°）＝49°，据三角形内角和定理和∠OAC＝73°可知：∠ACO＝180°－90°－73°＝17°，所以∠BCM＝∠ACM－∠ACO＝49°－17°＝32°，即：平面镜MN与x轴夹角的度数为32°。‎ ‎14. 解：（1）∵C点关于OA、ON的对称点分别为E、F，∴OA、ON分别是EC、CF的垂直平分线，∵∠CON＝55°＋25°＝80°，∴∠OCE＝90°－∠COA＝65°，∠OCF＝90°－∠CON＝10°，∴∠ECF＝∠OCE＋∠OCF＝100°。（2）连接OE、OF，由（1）知，OA、ON分别是EC、CF的垂直平分线，∴OE＝OC＝OF，由对称性知：∠EOA＝∠AOB＝25°，∠NOF＝∠NOB＝55°，∴∠EOD＝∠FOD＝80°，在△OED与△OFD中，OE＝OF，∠EOD＝∠FOD，OD＝OD，∴△OED≌△OFD（SAS），∴DE＝DF。‎ 12‎