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  • 2021-10-26 发布

2020-2021学年初二数学上册单元测试卷:勾股定理

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2020-2021 学年初二数学上册单元测试卷:勾股定理 本试卷三个大题共 22 个小题,全卷满分 120 分,考试时间 120 分钟。 题号 一 二 三 全卷总分 总分人 17 18 19 20 21 22 得分 注意事项: 1、答题前,请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上; 2、选择题选出答案后,用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分.以下每小题都给出了 A、B、C、D 四个选项,其中只有一个是符合题目要求的。) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A C B A B B A C B C C 1、用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,第一步应先假设命题不成立, 则下列各备选项中,第一步假设正确的是( A ) A、假设四边形中没有一个角是钝角或直角 B、假设四边形中有一个角是钝角或直角 C、假设四边形中每一个角均为钝角 D、假设四边形中每一个角均为直角 2、如图,以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形 M 和 N,它们的面积分别为 29 cm 和 225 cm ,则直角三角形的面积为( A ) A、 26 cm B、 212 cm C、 224 cm D、 23cm 3、如图,在 ABCRt  中, = 90ACB , 4=AC , 3=BC , ABCD ⊥ 于 D,则 CD 的长是( C ) A、5 B、7 C、 5 12 D、 5 24 4、在直角三角形中,若两条直角边的长分别是 1cm、2cm,则斜边的长为( B )cm A、3 B、 5 C、2 或 5 D、 3 或 5、已知 中, = 90C ,若 cmba 10=+ , cmc 8= ,则 的面积为( A ) A、 29cm B、 218cm C、 224cm D、 236cm 6、若直角三角形的一条直角边和斜边的比为 1:2,另一条直角边长为 33 ,则直角三角形 的斜边长为( B ) A、3 B、6 C、 36 D、 26 M N 第 2 题图 D C A B 第 3 题图 3 1 E B C D A 第 7 题图 7、如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上,若 1=EB , 3=EC ,那么正方形 ABCD 的面积 ( B ) A、 22 B、8 C、 10 D、10 8、如图,每个小正方形的边长为 1,四边形的顶点 A,B,C,D 都在格点上,则下面 4 条线 段长度为 10 的是( A ) A、AB B、BC C、CD D、AD 9、已知 ABC 的三边分别为 a、b、c,下列条件中,不能判定 为直角三角形的是( C ) A、 CBA += B、 2:1:1:: =cba C、 5:4:3:: = CBA D、 222 cab += 10、如图,D 为 的边 BC 上一点,已知 13=AB , 12=AD , 15=AC , 5=BD ,则 BC 的长为( B ) A、13 B、14 C、15 D、16 11、如图,正方体的棱长为 4cm,A 是正方体的一个顶点,B 是侧面正方形对角线的交点。 一只蚂蚁在正方体的表面上爬行,从点 A 爬到点 B 的最短路径是( C ) A、9 B、 623 + C、 102 D、12 12、《九章算术》是我国古代第一部数学专著,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体 系、“折竹抵地”问题源自《九章算术》中:“今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几 何?”意思是:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部 4 尺远(如图),则折断后的竹子高度为多少尺?(1 丈=10 尺)( C ) A、3 B、5 C、4.2 D、4 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、如图,已知 = 90C , 12=AB , 3=BC , 4=CD , 13=AD ,则 ________=ABD ; 第 12 题图 D B C A 第 13 题图 第 14 题图 D 第 8 题图 B C A D 第 10 题图 B C A 第 11 题图 B A 【答案】90° 14、如图,一根长 20cm 的吸管置于底面直径为 9cm,高为 12cm 的圆柱形水杯中,吸管露在 杯子外面的长度最短是 cm; 【答案】5 15、若三角形的三边长满足关系式 ( ) 0618|8| 2 =−+−++− cbaa ,则这个三角形是 三角形;(填“锐角”或“直角”或“钝角”) 【答案】直角 16、已知 CD 是 ABC 的边 AB 上的高,若 5=CD , 2=AD , ACAB = ,则 BC 的长为 . 【答案】 6 或 30 三、解答题(本大题 6 个小题,共 56 分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。) 17、(本小题满分 8 分)如图,在 ABC 中, ABCD ⊥ 于点 D, 6=BC , 8=AC , 10=AB , 求 CD 的长。 【分析】根据勾股定理的逆定理求出 = 90ACB ,根据三角形的面积公式求出即可。 【解答】解:∵在 中, , , ∴ 222 ABACBC =+ ∴ = 90ACB ∵由三角形的面积公式得: CDABBCAC = ∴ CD= 1086 解得: 8.4=CD 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积,能熟记勾股定理的逆定理的内容是 解此题的关键,注意:如果一个三角形的三边 a、b、c 满足 222 cba =+ ,那么这个三角形是直角 三角形。 18、(本小题满分 8 分)如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C,河边原有两个取水点 A,B,其中 ACAB = ,由于某种原因,由 C 到 A 的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定 在河边新建一个取水点 H(A、H、B 在同一条直线上),并新修一条路 CH,测得 5.1=CB 千米, 2.1=CH 千米, 9.0=HB 千米。 (1)问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路?请通过计算加以说明; (2)求新路 CH 比原路 CA 少多少千米? 【分析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可;(2)根据勾股定理解答即可。 【解答】解:(1)是 理由是:在 CHB 中, ∵ 25.29.02.1 2222 =+=+ BHCH , 25.22 =BC ∴ 222 BCBHCH =+ ∴ ABCH ⊥ 所以 CH 是从村庄 C 到河边的最近路; (2)设 xAC = 千米 在 ACHRt 中,由已知得 xAC = , 9.0−= xAH , 2.1=CH 由勾股定理得: 222 CHAHAC += D B C A B H C A ∴ ( ) 222 2.19.0 +−= xx 解这个方程,得 25.1=x 05.02.125.1 =− (千米) 答:新路 CH 比原路 CA 少 0.05 千米。 【点评】此题考查勾股定理的应用,关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答。 19、(本小题满分 10 分)已知 a,b,c 满足 ( ) 01858 2 =−+−+− cba . (1)求 a,b,c 的值;并求出以 a,b,c 为三边的三角形周长; (2)试问以 a,b,c 为边能否构成直角三角形?请说明理由。 【分析】(1)由非数的性质可分别求得 a、b、c 的值,进而解答即可; (2)利用勾股定理的逆定理可进行判断即可、 【解答】解:(1)∵ ∴ 08 =−a , 05 =−b , 018 =−c ∴ 22=a , 5=b , 23=c ∴以 a,b,c 为三边的三角形周长 25552322 +=++= (2)不能构成直角三角形, ∵ 2618822 =+=+ ca , 252 =b ∴ 222 bca + ∴不能构成直角三角形 【点评】本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理,利用非负数的性质求得 a、b、c 的值是解题的关键。 20、(本小题满分 8 分)法国数学家费尔马早在 17 世纪就研究过形如 222 zyx =+ 的关系式, 显然,满足这个关系式的 x,y,x 有无数组、当 x,y,x 都为正整数时,我们把这样的三个数 x, y,z 叫做勾股数。如,3,4,5 就是一组勾股数。 (1)请你再写出两组勾股数: , ; (2)古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果 n 表示大于 1 的整数, nx 2= , 12 −= ny , 12 += nz , 那么,x,y,z 为勾股数,请你加以证明。 【分析】(1)利用勾股数定义解答即可;(2)利用勾股定理逆定理进行证明即可。 【解答】解:(1)两组勾股数:6,8,10;9,12,15; 故答案为:6,8,10;9,12,15; (2)证明: ( ) ( )22222 12 −+=+ nnyx ( )2224242 112124 +=++=+−+= nnnnnn ∴x,y,z 为勾股数、 【点评】此题主要考查了勾股数,关键是掌握满足 222 cba =+ 的三个正整数,称为勾股数。 21、(本小题满分 10 分)阅读下列内容:设 a,b,c 是一个三角形的三条边的长,且 a 是最 长边,我们可以利用 a,b,c 三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状:①若 222 cba += , 则该三角形是直角三角形;②若 222 cba + ,则该三角形是钝角三角形;③若 222 cba + ,则 该三角形是锐角三角形、例如:若一个三角形的三边长分别是 4,5,6,则最长边是 6, 222 54366 += ,故由③可知该三角形是锐角三角形,请解答以下问题: (1)若一个三角形的三边长分别是 7,8,9,则该三角形是 三角形; (2)若一个三角形的三边长分别是 5,12,x,且这个三角形是直角三角形,求 x 的值。 【分析】(1)先求出两小边的平方和,再求出最大边的平方,再得出答案即可;(2)分为两 种情况,12 为最长边或 x 为最长边,根据勾股定理求出即可。 【解答】解:(1)∵ 11387 22 =+ , 819 2 = ∴ 222 879 + ∴该三角形是锐角三角形 故答案为:锐角; (2)当最长边是 12 时, 119512 22 =−=x 当最长边是 x 时, 13512 22 =+=x 即 13=x 或 119 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理,能灵活运用定理进行计算是解此题的关 键。 22、(本小题满分 12 分)(1)教材在探索平方差公式时利用了面积法,面积法可以帮助我们 直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”,例如,著名的赵爽弦图(如图①,其中四个直角三角 形较大的直角边长都为 a,较小的直角边长都为 b,斜边长都为 c),大正方形的面积可以表示为 2c , 也可以表示为 ( )2 2 14 baab −+ ,所以 ( ) 22 2 14 cbaab =−+ ,即 222 cba =+ .由此推导出重要的 勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为 a,b,斜边长为 c,则 222 cba =+ .图②为美国第二 十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图②推导勾股定理。 (2)试用勾股定理解决以下问题:如果直角三角形 ABC 的两直角边长为 3 和 4,则斜边上的 高为 ; (3)试构造一个图形,使它的面积能够解释( ) 222 442 bababa +−=− ,画在上面的网格中, 并标出字母 a,b 所表示的线段。 【分析】(1)梯形的面积可以由梯形的面积公式求出,也利用三个直角三角形面积求出,两 次求出的面积相等列出关系式,化简即可得证; (2)由两直角边,利用勾股定理求出斜边长,再利用面积法即可求出斜边上的高; (3)已知图形面积的表达式,即可根据表达式得出图形的边长的表达式,即可画出图形。 图 ② b D B a c C A b a c 图 ① 【解答】解:(1)梯形 ABCD 的面积为 ( )( ) 22 2 1 2 1 2 1 babababa ++=++ 也利用表示为 abcab 2 1 2 1 2 1 2 ++ ∴ abcabbaba 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 ++=++ 即 222 cba =+ (2)∵直角三角形的两直角边分别为 3,4, ∴斜边为 5 ∵设斜边上的高为 h,直角三角形的面积为 h= 52 1432 1 ∴ 5 12=h 故答案为 5 12 (3)∵图形面积为: ( ) 222 442 bababa +−=− ∴边长为 ba 2− 由此可画出的图形为: 【点评】此题考查了勾股定理的证明,勾股定理,多项式的乘法的运用以及由多项式画图形 的创新题型,此类证明要转化成同一个物体的两种表示方法,从而转化成方程达到证明的结果。 a a b b b b