人教版八年级上册数学同步练习课件-第13章-13等边三角形 17页

第十三章　轴对称 13.3　等腰三角形 第四课时　含30°角的直角三角形的性质 13.3.2　等边三角形 2 § 【典例】如图，在△ABC中，AB＝AC， ∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交 BC于点F，交AB于点E.求证：FC＝2BF. § 分析：根据EF是AB的垂直平分线，联想垂 直平分线的性质，连接AF，得到△AFB为等 腰三角形．又易得∠B＝∠C＝∠BAF＝30°， 从而可利用含30°角的直角三角形的性质进 行证明． 3 § 证明：如题图，连接AF. § ∵EF是AB的垂直平分线， § ∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠B. § ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， § ∴∠BAF＝∠B＝∠C＝30°， § ∴∠FAC＝∠BAC－∠BAF＝90°. § 在Rt△AFC中，∵∠FAC＝90°，∠C＝ 30°，∴FC＝2AF. § 又∵BF＝AF，∴FC＝2BF. § 点评：含30°角的直角三角形的性质是求线 段长和证明线段间的倍分关系的重要工具． 4 § 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A ＝30°，AB＋BC＝12 cm，则AB等于(　　) § A．6 cm　　B．7 cm　　 § C．8 cm　　D．9 cm 5 A 　 C 　 6 30°或150°或90°　 2　 § 5．如图是某超市入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，双翼边 缘的端点A与B之间的距离为10 cm，双翼的边缘AC＝BD＝54 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，当双翼收起 时，可以通过闸机的物体的最大宽度是__________cm. 7 64　 § 6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C ＝90°，BC＝10，点D是AB的中点， DE⊥AC，垂足为E，求DE的长． 8 § 7．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于点Q，BE交AD于点P. § (1)求∠PBQ的度数； § (2)判断PQ与BP的数量关系． § 解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC, ∠ACD＝∠BAE.又 ∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD，∴∠CAD＝∠ABE.∵∠CAD＋ ∠BAD＝60°，∴∠BAD＋∠ABE＝60°，∴∠BPQ＝60°， ∴∠PBQ＝90°－60°＝30°. § (2)在Rt△PBQ中，∵∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ. 9 § 8．已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6， 底角为30°，动点P从点B向点C运动，当 △PAB是直角三角形时，BP长为(　　) § A．4　　 B．2或3　　 § C．3或4　　D．3 § 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则BD的长度是(　　) § A．3 cm　　B．6 cm　　 § C．9 cm　　D．12 cm 10 C 　 C 　 11 C 　 C 　 12 B 　 B 　 § 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠A＝30°，AB边的垂直平分线分别交AB和 AC于点D、E.若CE＝1，则AE的长为 _________. 13 2　　 § 15．如图，已知等边△ABC的边 长为3，过AB边上一点P作 PE⊥AC于点E，Q为BC延长线 上一点，取CQ＝PA，连接PQ， 交AC于点M，求EM的长． 14 15 § 16．如图，在等边△ABC中， AD⊥BC于点D，点P是AB边上的 任意一点(点P可以与点A重合，但 不与点B重合)，过点P作PE⊥BC， 垂足为点E，过E作EF⊥AC，垂 足为点F. § (1)求证：2BD＝2CF＋BE； § (2)若AB＝4，过点F作FQ⊥AB， 垂足为点Q，PQ＝1，求BP的 长． 16 (1)证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠C＝ 60°.∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°，∴∠FEC＝30°，∴EC＝2FC.∵BC＝BE＋ EC，∴2BD＝2CF＋BE. 17 图1 图2