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- 2021-10-26 发布
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2019-2020学年四川省成都市彭州市八年级第二学期期末数学试卷
一、选择题
1.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知x>y,则下列不等式成立的是( )
A.2x<2y B.x﹣6<y﹣6 C.x+5>y+5 D.﹣3x>﹣3y
3.分式的值为0,则x的值为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.2
4.若正多边形的内角和是1080°,则该正多边形的一个外角为( )
A.45° B.60° C.72° D.90°
5.下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.x(x+1)=x2+x B.x2+xy﹣3=x(x+y)﹣3
C.x2+6x+4=(x+3)2﹣5 D.x2+2x+1=(x+1)2
6.关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示,则a的取值是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.0
7.如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=7,∠ABC的平分线交AD于点E,则ED等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠DBC的度数是( )
A.36° B.45° C.54° D.72°
9.点P到△ABC的三个顶点的距离相等,则点P是△ABC( )的交点.
A.三条高 B.三条角平分线
C.三边的垂直平分线 D.三条中线
10.已知关于x的分式方程=1的解是负数,则m的取值范围是( )
A.m≤3 B.m≤3且m≠2 C.m<3 D.m<3且m≠2
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.分解因式:4﹣m2= .
12.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边的中点,若DE=2,则BC边的长为 .
13.如图,在长20米,宽10米的长方形草地内修建了宽2米的道路,则草地的面积为 .
14.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点A作AE⊥BD于点E,已知∠EAD=3∠BAE,则∠EOA= °.
三、解答题(本大题共6小题,共54分,答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.计算
(1)分解因式:x2y﹣2xy2+y3;
(2)解不等式组.
16.化简:.
17.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)将△ABC向左平移4个单位长度后得到△A1B1C1,点A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点,请画出△A1B1C1,并写出C1的坐标;
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°,得到△A2B2C2,点A2、B2、C2分别是A、B、C的对应点,请画出△A1B1C1,并写出C2的坐标.
18.列方程解应用题
今年1月下旬以来,新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延,而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌.企业复工复产急需口罩,某大型国有企业向生产口罩的A、B两厂订购口罩,向A厂支付了1.32万元,向B厂支付了2.4万元,且在B厂订购的口罩数量是A厂的2倍,B厂的口罩每只比A厂低0.2元.求A、B两厂生产的口罩单价分别是多少元?
19.在学习一元一次不等式与一次函数中,小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象,分别与x轴交于点A、B,两直线交于点C.已知点A(﹣1,0),B(2,0),观察图象并回答下列问题:
(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是 ;关于x的不等式kx+b<0的解集是 ;
(2)直接写出关于x的不等式组的解集;
(3)若点C(1,3),求关于x的不等式k1x+b1>kx+b的解集和△ABC的面积.
20.如图,AD是△ABC的角平分线,线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F,连接DE,DF.
(1)试判断四边形AEDF的形状,并证明你的结论;
(2)若∠BAC=60°,AE=6,求四边形AEDF的面积;
(3)△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形?请说明理由.
四、填空题(每小题4分,共20分)
21.232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除,则这两个数是 .
22.两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上,其中直角三角尺的短直角边分别与∠AOB的两边上,两个直角三角尺的长直角边交于点P,连接OP,且OM=ON,若∠AOB=60°,OM=6cm,则线段OP= cm.
23.若关于x的分式方程+=﹣1无解,则常数n的值是 .
24.如图,Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上,A(﹣2,0),B(0,4),将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD,直线AC、BD交于点E.点M为直线
BD上的动点,点N为x轴上的点,若以A,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形,则符合条件的点M的坐标为 .
25.如图,已知边长为6的菱形ABCD中,∠ABC=60°,点E,F分别为AB,AD边上的动点,满足BE=AF,连接EF交AC于点G,CE、CF分别交BD于点M,N,给出下列结论:
①△CEF是等边三角形;
②∠DFC=∠EGC;
③若BE=3,则BM=MN=DN;
④EF2=BE2+DF2;⑤△ECF面积的最小值为.其中所有正确结论的序号是 .
五、解答题(本大题共3小题,共30分.其中26题8分,27题10分,28题12分)
26.2020年初,“新型冠状病毒”肆虐全国,武汉“封城”.大疫无情人有情,四川在做好疫情防控的同时,向湖北特别是武汉人们伸出了援手,医疗队伍千里驰援、社会各界捐款捐物.某运输公司现有甲、乙两种货车,要将234吨生活物资从成都运往武汉,已知2辆甲车和3辆乙车可运送114吨物资;3辆甲车和2辆乙车可运送106吨物资.
(1)求每辆甲车和每辆乙车一次分别能装运多少吨生活物资?
(2)从成都到武汉,已知甲车每辆燃油费2000元,乙车每辆燃油费2600元.在不超载的情况下公司安排甲、乙两种车共10辆将所有生活物资运到武汉,问公司有几种派车方案?哪种方案所用的燃油费最少?最低燃油费是多少?
27.先阅读下面的内容,再解决问题:
问题:对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式.但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2,使它与x2+2ax成为一个完全平方式,再减去a2,整个式子的值不变,于是有:
x2+2ax﹣3a2
=(x2+2ax+a2)﹣a2﹣3a2
=(x+a)2﹣4a2
=(x+a)2﹣(2a)2
=(x+3a)(x﹣a)
像这样,先添一适当项,使式中出现完全平方式,再减去这项,使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”,解决下列问题:
(1)分解因式:a2﹣8a+15= ;
(2)若△ABC的三边长是a,b,c,且满足a2+b2﹣14a﹣8b+65=0,c边的长为奇数,求△ABC的周长的最小值;
(3)当x为何值时,多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值?并求出这个最大值.
28.如图1,▱ABCD在平面直角坐标系xOy中,已知点A(﹣1,0)、B(0,4)、C(3,2),点G是对角线AC的中点,过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F,点P是直线EF上的动点.
(1)求点D的坐标和S四边形BEFC的值;
(2)如图2,当直线EF交x轴于点H(5,0),且S△PAC=S四边形BEFC时,求点P的坐标;
(3)如图3,当直线EF交x轴于点K(3,0)时,在坐标平面内是否存在一点Q,使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分.下列各小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求)
1.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可.
解:A、既是轴对称图形,又是中心对称图形.故正确;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;
D、不是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误.
故选:A.
2.已知x>y,则下列不等式成立的是( )
A.2x<2y B.x﹣6<y﹣6 C.x+5>y+5 D.﹣3x>﹣3y
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可.
解:A、∵x>y,
∴2x>2y,故本选项不符合题意;
B、∵x>y,
∴x﹣6>y﹣6,故本选项不符合题意;
C、∵x>y,
∴x+5>y+5,故本选项符合题意;
D、∵x>y,
∴﹣3x<﹣3y,故本选项不符合题意;
故选:C.
3.分式的值为0,则x的值为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.2
【分析】直接利用分式的值为零,则分子为零,且分母不为零,进而得出答案.
解:由题意,得
x2﹣1=0且x﹣1≠0,
解得x=﹣1,
故选:C.
4.若正多边形的内角和是1080°,则该正多边形的一个外角为( )
A.45° B.60° C.72° D.90°
【分析】首先设这个正多边形的边数为n,根据多边形的内角和公式可得180(n﹣2)=1080,继而可求得答案.
解:设这个正多边形的边数为n,
∵一个正多边形的内角和为1080°,
∴180(n﹣2)=1080,
解得:n=8,
∴这个正多边形的每一个外角是:360°÷8=45°.
故选:A.
5.下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.x(x+1)=x2+x B.x2+xy﹣3=x(x+y)﹣3
C.x2+6x+4=(x+3)2﹣5 D.x2+2x+1=(x+1)2
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.
解:A、不是因式分解,故本选项不符合题意;
B、不是因式分解,故本选项不符合题意;
C、不是因式分解,故本选项不符合题意;
D、是因式分解,故本选项符合题意;
故选:D.
6.关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示,则a的取值是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.0
【分析】解关于x的不等式得出x≤,由数轴知不等式的解集即可得出关于a的方程,解之即可.
解:移项,得:2x≤a﹣1,
系数化为1,得:x≤,
由数轴可知=﹣1,
解得:a=﹣1,
故选:A.
7.如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=7,∠ABC的平分线交AD于点E,则ED等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】由四边形ABCD为平行四边形,得到AD与BC平行,AD=BC,利用两直线平行得到一对内错角相等,由BE为角平分线得到一对角相等,等量代换得到∠ABE=∠AEB,利用等角对等边得到AB=AE=4,由AD﹣AE求出ED的长即可.
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC=7,
∴∠AEB=∠EBC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
∴∠AEB=∠ABE,
∴AB=AE=4,
∴ED=AD﹣AE=BC﹣AE=7﹣4=3.
故选:B.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠DBC的度数是( )
A.36° B.45° C.54° D.72°
【分析】由已知条件开始,通过线段相等,得到角相等,再由三角形内角和求出各个角的大小.
解:设∠A=x°.
∵BD=AD,
∴∠A=∠ABD=x°,
∠BDC=∠A+∠ABD=2x°,
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=2x°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠BCD=2x°,
在△ABC中x+2x+2x=180,
解得:x=36,
∴∠C=∠BDC=72°,
∴∠DBC=36°,
故选:A.
9.点P到△ABC的三个顶点的距离相等,则点P是△ABC( )的交点.
A.三条高 B.三条角平分线
C.三边的垂直平分线 D.三条中线
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答.
解:∵点P到A、B两点的距离相等,
∴点P在线段AB的垂直平分线上,
同理,点P在线段AC、BC的垂直平分线上,
则点P是△ABC三边的垂直平分线的交点,
故选:C.
10.已知关于x的分式方程=1的解是负数,则m的取值范围是( )
A.m≤3 B.m≤3且m≠2 C.m<3 D.m<3且m≠2
【分析】直接解方程得出分式的分母为零,再利用x≠﹣1求出答案.
解:=1
解得:x=m﹣3,
∵关于x的分式方程=1的解是负数,
∴m﹣3<0,
解得:m<3,
当x=m﹣3=﹣1时,方程无解,
则m≠2,
故m的取值范围是:m<3且m≠2.
故选:D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.分解因式:4﹣m2= (2+m)(2﹣m) .
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
解:原式=(2+m)(2﹣m),
故答案为:(2+m)(2﹣m).
12.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边的中点,若DE=2,则BC边的长为 4 .
【分析】根据三角形中位线定理解答即可.
解:∵D、E分别为AB、AC边的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴BC=2DE=4,
故答案为:4.
13.如图,在长20米,宽10米的长方形草地内修建了宽2米的道路,则草地的面积为 144米2 .
【分析】将道路分别向左、向上平移,得到草地为一个长方形,分别求出长方形的长和宽,再用长和宽相乘即可.
解:将道路分别向左、向上平移,得到草地为一个长方形,
长方形的长为20﹣2=18(米),宽为10﹣2=8(米),
则草地面积为18×8=144米2.
故答案为:144米2.
14.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点A作AE⊥BD于点E,已知∠EAD=3∠BAE,则∠EOA= 45 °.
【分析】根据矩形的性质得出∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,求出OA=OB,求出∠OAB=∠ABO,求出∠ABO即可.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∵∠EAD=3∠BAE,
∴∠BAE=×90°=22.5°,
∵AE⊥BD,
∴∠AEB=90°,
∴∠ABO=180°﹣∠AEB﹣∠BAE=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,
∴OA=OB,
∴∠OAB=∠ABO=67.5°,
∴∠EOA=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,
故答案为:45.
三、解答题(本大题共6小题,共54分,答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.计算
(1)分解因式:x2y﹣2xy2+y3;
(2)解不等式组.
【分析】(1)直接提取公因式y,再利用公式法分解因式得出答案;
(2)分别解不等式进而得出不等式组的解集.
解:(1)x2y﹣2xy2+y3
=y(x2﹣2xy+y2)
=y(x﹣y)2;
(2),
解①得:x<2,
解②得:x≥﹣3,
故不等式组的解集为:﹣3≤x<2.
16.化简:.
【分析】直接将括号里面通分运算,再将原式的分子与分母分解因式,进而化简得出答案.
解:原式=•
=•
=.
17.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)将△ABC向左平移4个单位长度后得到△A1B1C1,点A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点,请画出△A1B1C1,并写出C1的坐标;
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°,得到△A2B2C2,点A2、B2、C2分别是A、B、C的对应点,请画出△A1B1C1,并写出C2的坐标.
【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可.
(2)分别作出A,B,C的对应点A2,B2,C2即可.
解:(1)如图△A1B1C1即为所求.并写出C1的坐标(﹣1,4).
(2)如图△A2B2C2,即为所求并写出C2的坐标(4,﹣3).
18.列方程解应用题
今年1月下旬以来,新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延,而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌.企业复工复产急需口罩,某大型国有企业向生产口罩的A、B两厂订购口罩,向A厂支付了1.32万元,向B厂支付了2.4万元,且在B厂订购的口罩数量是A厂的2倍,B厂的口罩每只比A厂低0.2元.求A、B两厂生产的口罩单价分别是多少元?
【分析】设B厂生产的口罩单价为x元,则A厂生产的口罩单价为(x+0.2)元,根据数量=总价÷单价结合在B厂订购的口罩数量是A厂的2倍,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
解:设B厂生产的口罩单价为x元,则A厂生产的口罩单价为(x+0.2)元,
依题意,得:=2×,
解得:x=2,
经检验,x=2是原方程的解,且符合题意,
∴x+0.2=2.2.
答:A厂生产的口罩单价为2.2元,B厂生产的口罩单价为2元.
19.在学习一元一次不等式与一次函数中,小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象,分别与x轴交于点A、B,两直线交于点C.已知点A(﹣1,0),B(2,0),观察图象并回答下列问题:
(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是 x=﹣1 ;关于x的不等式kx+b<0的解集是 x>2 ;
(2)直接写出关于x的不等式组的解集;
(3)若点C(1,3),求关于x的不等式k1x+b1>kx+b的解集和△ABC的面积.
【分析】(1)利用直线与x轴交点即为y=0时,对应x的值,进而得出答案;
(2)利用两直线与x轴交点坐标,结合图象得出答案;
(3)利用三角形面积公式求得即可.
解:(1)∵一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象,分别与x轴交于点A(﹣1,0)、B(2,0),
∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=﹣1,关于x的不等式kx+b<0的解集,为x>2,
故答案为x=﹣1,x>2;
(2)根据图象可以得到关于x的不等式组的解集﹣1<x<2;
(3)∵AB=3,
∴S△ABC=•yC==.
20.如图,AD是△ABC的角平分线,线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F
,连接DE,DF.
(1)试判断四边形AEDF的形状,并证明你的结论;
(2)若∠BAC=60°,AE=6,求四边形AEDF的面积;
(3)△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形?请说明理由.
【分析】(1)由∠BAD=∠CAD,AO=AO,∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO,推出EO=FO,得出平行四边形AEDF,根据EF⊥AD得出菱形AEDF;
(2)根据菱形的性质和菱形的面积公式即可得到结论;
(3)根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形.
解:(1)四边形AEDF是菱形,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
又∵EF⊥AD,
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
∵,
∴△AEO≌△AFO(ASA),
∴EO=FO,
∵EF垂直平分AD,
∴EF、AD相互平分,
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD,
∴平行四边形AEDF为菱形;
(2)∵四边形AEDF为菱形,
∴AE=AF,
∵∠BAC=60°,
∴△AEF是等边三角形,∠1=30°,
∴AO=3,EF=AE=6,
∴AD=6,
∴四边形AEDF的面积=AD•EF=6×6=18;
(3)在△ABC中,当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;
∵∠BAC=90°,
∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
四、填空题(每小题4分,共20分)
21.232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除,则这两个数是 15和17 .
【分析】先对原式进行因式分解,然后即可求出这两个整数.
解:原式=(216+1)(216﹣1)
=(216+1)(28+1)(24+1)(24﹣1)
=(216+1)(28+1)×17×15.
则这两个数是 15和17.
故答案是:15和17.
22.两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上,其中直角三角尺的短直角边分别与∠AOB的两边上,两个直角三角尺的长直角边交于点P,连接OP,且OM=ON,若∠AOB=60°,OM=6cm,则线段OP= 4 cm.
【分析】由“HL”可证Rt△OMP≌Rt△ONP,可得∠MOP=∠NOP=30°,由直角三角形的性质可求解.
解:在Rt△OMP和Rt△ONP中,OM=ON,OP=OP,
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL),
∴∠MOP=∠NOP,
∵∠AOB=60°,
∴∠MOP=∠NOP=30°,
∵∠OMP=90°,
∴OP=2MP,OM=MP=6cm,
∴MP=2cm,
∴OP=4cm,
故答案为:4.
23.若关于x的分式方程+=﹣1无解,则常数n的值是 1或. .
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程无解得到x﹣3=0,确定出x的值,代入整式方程计算即可求出n的值.
解:两边都乘(x﹣3),得
3﹣2x+nx﹣2=﹣x+3,
解得x=,
n=1时,整式方程无解,分式方程无解,
∴当x=3时分母为0,方程无解,
即,
∴时方程无解.
故答案为:1或.
24.如图,Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上,A(﹣2,0),B(0,4),将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD,直线AC、BD交于点E.点M为直线BD上的动点,点N为x轴上的点,若以A,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形,则符合条件的点M的坐标为 (2,2)或(6,﹣2) .
【分析】由A、B的坐标可求得AO和OB的长,由旋转的性质可求得OC、OD的长,从而可求得∠AEB=90°,再由勾股定理可求得CD和AB的长,可求得AB=CD,可证得△ABE≌△DCE,得到OD=OB,由B、D坐标可求得直线BD解析式,当M点在x轴上方时,则有CM∥AN,则可求得M点纵坐标,代入直线BD解析式可求得M点坐标,当M点在x轴下方时,同理可求得M点纵坐标,则可求得M点坐标.
解:∵A(﹣2,0),B(0,4),
∴OA=2,OB=4,
∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD,
∴OC=OA=2,OD=OB=4,AB=CD,
∴∠ACO=∠ECB=∠CBE=45°,
∴∠CEB=90°,
∴∠AEB=∠CED,且CE=BE,
在Rt△ABE和Rt△DCE中,
∴Rt△ABE≌Rt△DCE(HL),
∴OD=OB=4,
∴D(4,0),且B(0,4),
∴直线BD解析式为y=﹣x+4,
当M点在x轴上方时,则有CM∥AN,即CM∥x轴,
∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离,
∴M点的纵坐标为2,
在y=﹣x+4中,令y=2可得x=2,
∴M(2,2);
当M点在x轴下方时,同理可得M点的纵坐标为﹣2,
在y=﹣x+4中,令y=﹣2可求得x=6,
∴M点的坐标为(6,﹣2);
综上可知M点的坐标为(2,2)或(6,﹣2),
故答案为:(2,2)或(6,﹣2).
25.如图,已知边长为6的菱形ABCD中,∠ABC=60°,点E,F分别为AB,AD边上的动点,满足BE=AF,连接EF交AC于点G,CE、CF分别交BD于点M,N,给出下列结论:
①△CEF是等边三角形;
②∠DFC=∠EGC;
③若BE=3,则BM=MN=DN;
④EF2=BE2+DF2;⑤△ECF面积的最小值为.其中所有正确结论的序号是 ①②③⑤ .
【分析】由“SAS”可证△BEC≌△AFC,可得CF=CE,∠BCE=∠ACF,可证△EFC是等边三角形,由三角形内角和定理可证∠DFC=∠EGC;由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN=DN=BM=2;由勾股定理即可求解EF2=BE2+DF2不成立;由等边三角形的性质可得△ECF面积的EC2,则当EC⊥AB时,△ECF的最小值为.
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD=6,
∵AC=BC,
∴AB=BC=CD=AD=AC,
∴△ABC,△ACD是等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=∠DAC=60°,
∵AC=BC,∠ABC=∠DAC,AF=BE,
∴△BEC≌△AFC(SAS)
∴CF=CE,∠BCE=∠ACF,
∴∠ECF=∠BCA=60°,
∴△EFC是等边三角形,
故①正确;
∵∠ECF=∠ACD=60°,
∴∠ECG=∠FCD,
∵∠FEC=∠ADC=60°,
∴∠DFC=∠EGC,
故②正确;
若BE=3,菱形ABCD的边长为6,
∴点E为AB中点,点F为AD中点,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,∠ABO=∠ABC=30°,
∴AO=AB=3,BO=AO=3,
∴BD=6,
∵△ABC是等边三角形,BE=AE=3,
∴CE⊥AB,且∠ABO=30°,
∴BE=EM=3,BM=2EM,
∴BM=2,
同理可得DN=2,
∴MN=BD﹣BM﹣DN=2,
∴BM=MN=DN,
故③正确;
∵△BEC≌△AFC,
∴AF=BE,
同理△ACE≌△DCF,
∴AE=DF,
∵∠BAD≠90°,
∴EF2=AE2+AF2不成立,
∴EF2=BE2+DF2不成立,
故④错误,
∵△ECF是等边三角形,
∴△ECF面积的EC2,
∴当EC⊥AB时,△ECF面积有最小值,
此时,EC=3,△ECF面积的最小值为,
故⑤正确;
故答案为:①②③⑤.
五、解答题(本大题共3小题,共30分.其中26题8分,27题10分,28题12分)
26.2020年初,“新型冠状病毒”肆虐全国,武汉“封城”.大疫无情人有情,四川在做好疫情防控的同时,向湖北特别是武汉人们伸出了援手,医疗队伍千里驰援、社会各界捐款捐物.某运输公司现有甲、乙两种货车,要将234吨生活物资从成都运往武汉,已知2辆甲车和3辆乙车可运送114吨物资;3辆甲车和2辆乙车可运送106吨物资.
(1)求每辆甲车和每辆乙车一次分别能装运多少吨生活物资?
(2)从成都到武汉,已知甲车每辆燃油费2000元,乙车每辆燃油费2600元.在不超载的情况下公司安排甲、乙两种车共10辆将所有生活物资运到武汉,问公司有几种派车方案?哪种方案所用的燃油费最少?最低燃油费是多少?
【分析】(1)设每辆甲车一次能装运x吨生活物资,每辆乙车一次能装运y吨生活物资,根据“2辆甲车和3辆乙车可运送114吨物资;3辆甲车和2辆乙车可运送106吨物资
”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设该公司安排m辆甲车,则安排(10﹣m)辆乙车,根据10辆车的总运载量不少于234吨,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,结合m为正整数即可得出各派车方案,设总燃油费为w元,根据总燃油费=每辆车的燃油费×派车辆数,即可得出w关于m的函数关系式,再利用一次函数的性质,即可解决最值问题.
解:(1)设每辆甲车一次能装运x吨生活物资,每辆乙车一次能装运y吨生活物资,
依题意,得:,
解得:.
答:每辆甲车一次能装运18吨生活物资,每辆乙车一次能装运26吨生活物资.
(2)设该公司安排m辆甲车,则安排(10﹣m)辆乙车,
依题意,得:18m+26(10﹣m)≥234,
解得:m≤.
又∵m为正整数,
∴m可以为1,2,3,
∴公司有3种派车方案,方案1:安排1辆甲车,9辆乙车;方案2:安排2辆甲车,8辆乙车;方案3:安排3辆甲车,7辆乙车.
设总燃油费为w元,则w=2000m+2600(10﹣m)=﹣600m+26000,
∵k=﹣600,
∴w随m的增大而减小,
∴当m=3时,w取得最小值,最小值=﹣600×3+26000=24200.
答:公司有3种派车方案,安排3辆甲车,7辆乙车时,所用的燃油费最少,最低燃油费是24200.
27.先阅读下面的内容,再解决问题:
问题:对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式.但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2,使它与x2+2ax成为一个完全平方式,再减去a2,整个式子的值不变,于是有:
x2+2ax﹣3a2
=(x2+2ax+a2)﹣a2﹣3a2
=(x+a)2﹣4a2
=(x+a)2﹣(2a)2
=(x+3a)(x﹣a)
像这样,先添一适当项,使式中出现完全平方式,再减去这项,使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”,解决下列问题:
(1)分解因式:a2﹣8a+15= (a﹣3)(a﹣5) ;
(2)若△ABC的三边长是a,b,c,且满足a2+b2﹣14a﹣8b+65=0,c边的长为奇数,求△ABC的周长的最小值;
(3)当x为何值时,多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值?并求出这个最大值.
【分析】(1)根据题目中的例子,可以对题目中的式子配方后分解因式;
(2)根据题目中的式子,利用配方法可以求得a、b的值,根据三角形三边关系确定c的值,由三角形周长可得结论;
(3)根据配方法即可求出答案.
解:(1)a2﹣8a+15=(a2﹣8a+16)﹣1=(a﹣4)2﹣12=(a﹣3)(a﹣5);
故答案为:(a﹣3)(a﹣5);
(2)∵a2+b2﹣14a﹣8b+65=0,
∴(a2﹣14a+49)+(b2﹣8b+16)=0,
∴(a﹣7)2+(b﹣4)2=0,
∴a﹣7=0,b﹣4=0,
解得,a=7,b=4,
∵△ABC的三边长是a,b,c,
∴3<c<11,
又∵c边的长为奇数,
∴c=5,7,9,
当a=7,b=4,c=5时,△ABC的周长最小,最小值是:7+4+5=16;
(3)﹣2x2﹣4x+3,
=﹣2(x2+2x+1﹣1)+3,
=﹣2(x+1)2+5,
∴当x=﹣1时,多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值,最大值是5.
28.如图1,▱ABCD在平面直角坐标系xOy中,已知点A(﹣1,0)、B(0,4)、C(3,2),点G是对角线AC的中点,过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F,点P是直线EF上的动点.
(1)求点D的坐标和S四边形BEFC的值;
(2)如图2,当直线EF交x轴于点H(5,0),且S△PAC=S四边形BEFC时,求点P的坐标;
(3)如图3,当直线EF交x轴于点K(3,0)时,在坐标平面内是否存在一点Q,使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)根据平行线的性质可求点D的坐标,根据重心的定义可得S四边形BEFC=S▱ABCD,从而求解;
(2)分两种情况:①点P在AC左边,②点P在AC右边,进行讨论即可求解;
(3)先作出图形,再根据矩形的性质即可求解.
解:(1)∵▱ABCD在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣1,0)、B(0,4)、C(3,2),
∴点D的坐标为(2,﹣2),
∴S▱ABCD=6×4﹣×1×4﹣×3×2﹣×1×4﹣×3×2=14,
∵点G是对角线AC的中点,
∴S四边形BEFC=S▱ABCD=7;
(2)∵点G是对角线AC的中点,
∴G(1,1),
设直线GH的解析式为y=kx+b,则
,
解得,
∴直线GH的解析式为y=﹣x+;
①点P在AC右边,
S△ACH=×6×2=6,
∵S△PAC=S四边形BEFC,
1+4×=,
当x=时,y=﹣×+=﹣;
∴P(,﹣);
②点P在AC左边,
由中点坐标公式可得P(﹣,).
综上所述,点P的坐标为(,﹣)或(﹣,);
(3)如图,设直线GK的解析式为y=kx+b,则
,
解得.
则直线GK的解析式为y=﹣x+;
CP⊥AP时,点P的坐标为(3,0)或(﹣1,2);
CP⊥AC时,
直线AC的解析式为y=x+
直线CP的解析式为y=﹣2x+8
故点P的坐标为(,﹣);
AP⊥AC时,
同理可得点P的坐标为(﹣,).
综上所述,点P的坐标为(3,0)或(﹣1,2)或(,﹣)或(﹣,).