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  • 2021-10-26 发布

北师大版八年级数学下册单元检测题全套及答案(含期中期末检测题)

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1 第一章检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.如图,直线 l1∥l2,以直线 l1 上的点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交直线 l1, l2 于点 B,C,连接 AC,BC.若∠ABC=67°,则∠1 的度数为(B) A.23° B.46° C.67° D.78° ,第 1 题图) ,第 2 题图) , 第 3 题图) 2.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.则下列 结论错误的是(D) A.AD⊥BC B.∠BAD=∠CAD C.DE=DF D.BE=DE 3.(福建中考)如图,等边三角形 ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,点 E 在线段 AD 上,∠EBC =45°,则∠ACE 等于(A) A.15° B.30° C.45° D.60° 4.(达州二模)如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,DE 垂直平 分 AB,垂足为 E,若 BC=3,则 AD 的长为(C) A. 3 B.2 C.2 3 D.4 ,第 4 题图) ,第 5 题图) , 第 10 题图) 5.(雅安中考)如图,四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,∠B=60°,AD=1,BC=2, 则四边形 ABCD 的面积是(A) A.3 3 2 B.3 C.2 3 D.4 6.已知三角形三内角之间有∠A=1 2 ∠B=1 3 ∠C,它的最长边为 10,则此三角形的面积 为(D) A.20 B.10 3 C.5 3 D.25 3 2 7.已知△ABC 的三边长分别为 4、4、6,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分 割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画(B) A.3 条 B.4 条 C.5 条 D.6 条 8.已知等边△ABC 的边长为 12,D 是 AB 上的动点,过 D 作 DE⊥AC 于点 E,过 E 作 EF ⊥BC 于点 F,过 F 作 FG⊥AB 于点 G.当 G 与 D 重合时,AD 的长是(C) 2 A.3 B.4 C.8 D.9 9.下列说法:①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等;②两个锐角分别 相等的两个直角三角形全等;③有一个角和底边分别相等的两个等腰三角形全等;④一条直 角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.其中正确的有(B) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点 C,D,E 在同一条直线上,连接 BD,BE.下列四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°; ④BE2=2(AD2+AB2).其中结论正确的个数是(C) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11.(南通中考)一个等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 9 cm,则它的周长为 22cm. 12.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,CD=4,则点 D 到 AB 的距离为 4. ,第 12 题图) ,第 13 题图) ,第 14 题图) 13.如图,已知点 B,C,F,E 在同一条直线上,∠1=∠2,BC=EF,要使△ABC≌△DEF, 还需添加一个条件,这个条件可以是 AC=DF(答案不唯一).(只需写出一个) 14.如图,△ABC 的周长为 22 cm,AB 的垂直平分线交 AC 于点 E,垂足为 D,若△BCE 的周长为 14 cm,则 AB=8 cm. 15.如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是 BC 边上的中点,E 是 AB 边上 一动点,则 EC+ED 的最小值是 5. ,第 15 题图) ,第 16 题图) 16.(葫芦岛中考)如图,∠MON=30°,点 B1 在边 OM 上,且 OB1=2,过点 B1 作 B1A1⊥OM 交 ON 于点 A1,以 A1B1 为边在 A1B1 右侧作等边三角形 A1B1C1;过点 C1 作 OM 的垂线分别交 OM, ON 于点 B2,A2,以 A2B2 为边在 A2B2 的右侧作等边三角形 A2B2C2;过点 C2 作 OM 的垂线分别交 OM,ON 于点 B3,A3,以 A3B3 为边在 A3B3 的右侧作等边三角形 A3B3C3,…;按此规律进行下去, 则△AnAn+1Cn 的面积为(3 2 )2n-2× 3 3 .(用含正整数 n 的代数式表示) 点拨:由题意△A1A2C1 是等边三角形,边长为2 3 3 ,△A2A3C2 是等边三角形,边长为3 2 ×2 3 3 , △A3A4C3 是等边三角形,边长为3 2 ×3 2 ×2 3 3 =(3 2 )2×2 3 3 ,△A4A5C4 是等边三角形,边长为3 2 ×3 2 ×3 2 ×2 3 3 =(3 2 )3×2 3 3 ,…,△AnAn+1Cn 的边长为(3 2 )n-1×2 3 3 ,∴△AnAn+1Cn 的面积为 3 4 ×[(3 2 )n 3 -1×2 3 3 ]2=(3 2 )2n-2× 3 3 三、解答题(共 72 分) 17.(6 分)如图,点 D,E 在△ABC 的 BC 边上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE. 证明:过点 A 作 AP⊥BC 于 P.∵AB=AC,∴BP=PC,∴AD=AE,∴DP=PE,∴BP-DP= PC-PE,∴BD=CE 18.(7 分)(成都期末)如图,在△ABC 中,∠B=30°,边 AB 的垂直平分线分别交 AB 和 BC 于点 D,E,且 AE 平分∠BAC. (1)求∠C 的度数;(3 分) (2)若 CE=1,求 AB 的长.(4 分) 解:(1)∵DE 是线段 AB 的垂直平分线,∠B=30°,∴∠BAE=∠B=30°,∵AE 平分∠ BAC,∴∠EAC=∠BAE=30°,即∠BAC=60°,∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60° -30°=90° (2)∵∠C=90°,∠B=30°,AE 平分∠BAC,CE=1,∴AC= 3,∴AB=2 3 19.(7 分)(达州期末)如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE∥AC,EF⊥AD 交 BC 延长线 于 F.求证:∠FAC=∠B. 证明:∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵DE∥AC,∴∠EDA=∠CAD,∴∠EDA=∠ EAD,∴AE=ED,又∵EF⊥AD,∴EF 是 AD 的垂直平分线,∴AF=DF,∴∠FAD=∠FDA.又∵ ∠FAD=∠CAD+∠FAC,∠FDA=∠B+∠BAD,∴∠FAC=∠B 20.(7 分)如图,已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,且 AD =AE,连接 BE,CD,交于点 F. (1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系,并说明理由;(3 分) (2)求证:过点 A,F 的直线垂直平分线段 BC.(4 分) 4 解:(1)∠ABE=∠ACD.理由:在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, ∠A=∠A, AE=AD, ∴△ABE≌△ACD,∴∠ ABE=∠ACD (2)连接 AF.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由(1)可知∠ABE=∠ACD,∴∠FBC=∠FCB, ∴FB=FC,∵AB=AC,∴点 A,F 均在线段 BC 的垂直平分线上,即直线 AF 垂直平分线段 BC 21.(7 分)如图,在△ABC 中,∠A=60°,点 D 是 BC 边的中点,DE⊥BC,∠ABC 的平 分线 BF 交 DE 于△ABC 内一点 P,连接 PC. (1)若∠ACP=24°,求∠ABP 的度数;(4 分) (2)若∠ACP=m°,∠ABP=n°,请直接写出 m,n 满足的关系式:________________.(3 分) 解:(1)∵点 D 是 BC 边的中点,DE⊥BC,∴PB=PC,∴∠PBC=∠PCB.∵BP 平分∠ABC, ∴∠PBC=∠ABP,∴∠PBC=∠PCB=∠ABP,∵∠A=60°,∠ACP=24°,∴∠PBC+∠PCB +∠ABP=180°-60°-24°, ∴3∠ABP=120°-24°,∴∠ABP=32° (2)m+3n=120 22.(8 分)如图,为了测出某塔 CD 的高度,在塔前的平地上选择一点 A,用测角仪测得 塔顶 D 的仰角为 30°,在 A,C 之间选择一点 B(A,B,C 三点在同一直线上).用测角仪测 得塔顶 D 的仰角为 75°,且 AB 间的距离为 40 m. (1)求点 B 到 AD 的距离; (2)求塔高 CD.(结果用根号表示) 解:(1)过点 B 作 BE⊥AD,垂足为 E,∴∠AEB=90°,又∵∠A=30°,∴BE=1 2 AB=1 2 ×40 =20(m) (2)AE= AB2-BE2=20 3,∵∠A+∠ADB=∠DBC=75°,∴∠ADB=75°-∠A=45°, ∵BE⊥AD,∴∠BED=90°,∴∠DBE=∠ADB=45°,∴DE=BE=20,∴AD=AE+DE=20 3 5 +20,∵CD⊥AC,∴∠C=90°,又∵∠A=30°,∴CD=1 2 AD=1 2 (20 3+20)=(10 3+10) m 23.(8 分)在△ABC 中,∠B=22.5°,边 AB 的垂直平分线 DP 交 AB 于点 P,交 BC 于点 D,且 AE⊥BC 于点 E,DF⊥AC 于点 F,DF 与 AE 交于点 G,求证:EG=EC. 解:如图所示: 连接 AD,∵∠B=22.5°,且 DP 为 AB 的垂直平分线,∴DB=DA,∴∠B=∠BAD,∴∠ ADE=2∠B=45°,在 Rt△ADE 中,∠ADE=45°,∴∠DAE=45°,∴AE=DE,∵AE⊥DE, ∴∠1+∠2=90°,∵DF⊥AC,∴∠2+∠C=90°,∴∠1=∠C.在△DEG 和△AEC 中, ∠1=∠C, ∠DEG=∠AEC=90°, DE=AE, ∴△DEG≌△AEC(AAS),∴EG=EC 24.(10 分)如图,已知△ABC 是边长为 6 cm 的等边三角形,动点 P,Q 同时从 A,B 两 点出发,分别沿 AB,BC 方向匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1 cm/s,点 Q 运动的速度是 2 cm/s,当点 Q 到达点 C 时,P,Q 两点都停止运动,设运动时间为 t s,解答下列问题: (1)当点 Q 到达点 C 时,PQ 与 AB 的位置关系如何?请说明理由; (2)在点 P 与点 Q 的运动过程中,△BPQ 是否能成为等边三角形?若能,请求出 t 的值; 若不能,请说明理由. 解:(1)当点 Q 到达点 C 时,PQ 与 AB 垂直,即△BPQ 为直角三角形.理由:∵AB=AC =BC=6 cm,∴当点 Q 到达点 C 时,AP=3 cm,∴点 P 为 AB 的中点.∴QP⊥BA(等腰三角形 三线合一的性质) (2)假设在点 P 与点 Q 的运动过程中,△BPQ 能成为等边三角形,则有 BP =BQ,∴6-t=2t,解得 t=2,又∠B=60°,∴当 t=2 时,△BPQ 是等边三角形 6 25. (12 分)如图 1,已知点 B(0,6),点 C 为 x 轴上一动点,连接 BC,△ODC 和△EBC 都是等边三角形. (1)求证:DE=BO;(3 分) (2)如图 2,当点 D 恰好落在 BC 上时. ①求 OC 的长及点 E 的坐标;(3 分) ②在 x 轴上是否存在点 P,使△PEC 为等腰三角形?若存在,写出点 P 的坐标;若不存 在,说明理由;(3 分) ③如图 3,点 M 是线段 BC 上的动点(点 B,C 除外),过点 M 作 MG⊥BE 于点 G,MH⊥CE 于点 H,当点 M 运动时,MH+MG 的值是否发生变化?若不会变化,直接写出 MH+MG 的值; 若会变化,简要说明理由.(3 分) (1)证明:∵△ODC 和△EBC 都是等边三角形,∴OC=DC,BC=CE,∠OCD=∠BCE=60°, ∴∠BCE+∠BCD=∠OCD+∠BCD,即∠ECD=∠BCO,∴△DEC≌△OBC(SAS),∴DE=BO (2)①∵△ODC 是等边三角形,∴∠OCB=60°.∵∠BOC=90°,∴∠OBC=30°.设 OC =x,则 BC=2x,∴x2+62=(2x)2,解得 x=2 3,∴OC=2 3,BC=4 3.∵△EBC 是等边三 角形,∴BE=BC=4 3.又∵∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°,∴E(4 3,6) ②若点 P 在 C 点左侧,则 CP=CE=4 3,OP=4 3-2 3=2 3,点 P 的坐标为(-2 3, 0);若点 P 在 C 点右侧,CP=CE=4 3,则 OP=2 3+4 3=6 3,点 P 的坐标为(6 3,0), 若 CP=EP,∵∠DCO=60°,∠BCE=60°,∴∠ECP=60°,∴△ECP 为等边三角形,∴CP =EP=CE=4 3,则 OP=2 3+4 3=6 3,点 P 的坐标为(6 3,0),综上,点 P 坐标为(- 2 3,0)或(6 3,0) ③不会变化,MH+MG=6 第二章检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.已知实数 a,b 满足 a+1>b+1,则下列选项错误的为(D) A.a>b B.a+2>b+2 C.-a<-b D.2a>3b 2.(海南中考)下列四个不等式组中,解集在数轴上表示如图所示的是(D) A. x≥2 x>-3 B. x≤2 x<-3 C. x≥2 x<-3 D. x≤2 x>-3 7 3.(株洲中考)下列哪个选项中的不等式与不等式 5x>8+2x 组成的不等式组的解集为8 3 <x<5(C) A.x+5<0 B.2x>10 C.3x-15<0 D.-x-5>0 4.不等式 6-4x≥3x-8 的非负整数解为(B) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 5.如果点 P(3-m,1)在第二象限,那么关于 x 的不等式(2-m)x+2>m 的解集是(B) A.x>-1 B.x<-1 C.x>1 D.x<1 6.(徐州中考)若函数 y=kx+b 的图象如图所示,则关于 x 的不等式 kx+2b<0 的解集 为(D) A.x<3 B.x>3 C.x<6 D.x>6 7.(聊城中考)已知不等式2-x 2 ≤2x-4 3 <x-1 2 ,其解集在数轴上表示正确的是(A) 8.已知关于 x 的不等式组 x-a≥b, 2x-a<2b+1 的解集为 3≤x<5,则 a,b 的值为(A) A.a=-3,b=6 B.a=6,b=-3 C.a=1,b=2 D.a=0,b=3 9.已知在某超市内购物总金额超过 190 元时,购物总金额有打八折的优惠,安妮带 200 元到此超市买棒棒糖.若棒棒糖每根 9 元,则她最多可买多少根棒棒糖(C) A.22 B.23 C.27 D.28 10.某镇有甲,乙两家液化气站,它们每罐液化气的价格,质地和重量都相同.为了促 销,甲站的液化气每罐降价 25%销售;每个用户购买乙站的液化气,第 1 罐按照原价销售, 若用户继续购买,则从第 2 罐开始以 7 折优惠,促销活动都是一年.若小明家每年需购买 8 罐液化气,则购买液化气最省钱的方法是(B) A.买甲站的 B.买乙站的 C.买两站的都一样 D.先买甲站的 1 罐,以后买乙站的 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 8 11.已知“x 的 3 倍大于 5,且 x 的一半与 1 的差不大于 2”,则 x 的取值范围是5 3 <x≤ 6. 12.(贵阳中考)已知关于 x 的不等式组 5-3x≥-1, a-x<0 无解,则 a 的取值范围是 a≥2. 13.要使关于 x 的方程 5x-2m=3x-6m+1 的解在-3 与 4 之间,m 的取值范围是-7 4 < m<7 4 . 14.(白银中考)如图,一次函数 y=-x-2 与 y=2x+m 的图象相交于点 P(n,-4), 则关于 x 的不等式组 2x+m<-x-2, -x-2<0 的解集为-2<x<2. 15.若关于 x,y 的二元一次方程组 2x+y=3k-1, x+2y=-2 的解满足 x+y>1,则 k 的取值范 围是 k>2. 16.商店购进一批文具盒,进价每个 4 元,零售价每个 6 元,为促进销售,决定打折销 售,但利润率仍不低于 20%,那么该文具盒实际价格最多可打 8 折销售. 三、解答题(共 72 分) 17.(10 分)解下列不等式组,并把解集在数轴上表示出来: (1) 2(x+1)≤x+3, x-4<3x; (2) 2x>3x-2, 2x-1 3 ≥1 2 x-2 3 . 解:-2<x≤1 解:-2≤x<2 数轴表示略 数轴表示略 18.(6 分)已知关于 x,y 的方程组 5x+2y=11a+18, 2x-3y=12a-8 的解满足 x>0,y>0,求实数 a 的取值范围. 解:解方程组得 x=3a+2, y=4-2a, ∵x>0,y>0,∴ 3a+2>0, 4-2a>0, 解得-2 3 <a<2 19.(6 分)小明解不等式1+x 2 -2x+1 3 ≤1 的过程如图.请指出他解答过程中错误步骤的 9 序号,并写出正确的解答过程. 解:错误的是①②⑤,正确解答过程如下:去分母,得 3(1+x)-2(2x+1)≤6,去括 号,得 3+3x-4x-2≤6,移项,得 3x-4x≤6-3+2,合并同类项,得-x≤5,两边都除 以-1,得 x≥-5 20.(6 分)x 取哪些整数值时,不等式 5x+2>3(x-1)与 1 2 x≤2-3 2 x 都成立? 解:根据题意解不等式组 5x+2>3(x-1),① 1 2 x≤2-3 2 x,② 解不等式①,得 x>-5 2 ,解不等式②, 得 x≤1,∴-5 2 <x≤1,故满足条件的整数有-2,-1,0,1 21.(7 分)某校九年级有三个班,其中九(一)班和九(二)班共有 105 名学生,在期末体 育测试中,这两个班级共有 79 名学生满分,其中九(一)班的满分率为 70%,九(二)班的满 分率为 80%. (1)求九(一)班和九(二)班各有多少名学生;(3 分) (2)该校九(三)班有 45 名学生,若九年级体育成绩的总满分率超过 75%,求九(三)班至 少有多少名学生体育成绩是满分.(4 分) 解:(1)设九(一)班有 x 名学生,九(二)班有 y 名学生,根据题意得 x+y=105, 70%x+80%y=79, 解得 x=50, y=55. 答:九(一)班有 50 名学生,九(二)班有 55 名学生 (2)设九(三)班有 m 名学生体育成绩满分,根据题意得 79+m>(105+45)×75%,解得 m >33.5,∵m 为整数,∴m 的最小值为 34.答:九(三)班至少有 34 名学生体育成绩是满分 22.(7 分)若关于 x 的不等式组 x 2 +x+1 3 >0, 3x+5a+4>4(x+1)+3a 恰有三个整数解,求实数 a 的取值范围. 10 解:解不等式x 2 +x+1 3 >0 得 x>-2 5 ,解不等式 3x+5a+4>4(x+1)+3a 得 x<2a,∵ 不等式组恰有三个整数解,∴2<2a≤3,∴1<a≤3 2 23.(8 分)(达州期末)如图,在平面直角坐标系中,直线 L1:y=-1 2 x+6 分别与 x 轴, y 轴交于点 B,C,且与直线 L2:y=1 2 x 交于点 A. (1)分别求出点 A,B,C 的坐标;(3 分) 解:(1)直线 L1:y=-1 2 x+6,当 x=0 时,y=6,当 y=0 时,x=12,则 B(12,0), C(0,6),解方程组 y=-1 2 x+6, y=1 2 x 得 x=6, y=3, 则 A(6,3),故 A(6,3),B(12,0),C(0,6) (2)直接写出关于 x 的不等式-1 2 x+6>1 2 x 的解集;(2 分) (3)若 D 是线段 OA 上的点,且△COD 的面积为 12,求直线 CD 的函数表达式.(3 分) 解:(2)关于 x 的不等式-1 2 x+6>1 2 x 的解集为 x<6 (3)设 D(x,1 2 x),∵△COD 的面积为 12,∴1 2 ×6×x=12,解得 x=4,∴D(4,2),设直 线 CD 的函数表达式是 y=kx+b,把 C(0,6),D(4,2)代入得 6=b, 2=4k+b, 解得 k=-1, b=6, ∴ 直线 CD 的函数表达式为 y=-x+6 24.(10 分)甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方 案:在甲商场累计购物超过 100 元后,超出 100 元的部分按 90%收费;在乙商场累计购物超 过 50 元后,超出 50 元的部分按 95%收费,设小红在同一商场累计购物 x 元,其中 x>100. (1)根据题意,填写下表(单位:元):(3 分) 累计购物 实际花费 130 290 … x 在甲商场 127 271 … 11 在乙商场 126 … (2)当 x 取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?(3 分) (3)当小红在同一商场累计购物超过 100 元时,在哪家商场的实际花费少?(4 分) 解:(1)100+(x-100)×90% 278 50+(x-50)×95% (2)根据题意得 100+(x-100) ×90%=50+(x-50)×95%,解得 x=150.即当 x=150 时,小红在甲、乙两商场的实际花费 相同 (3)由 100+(x-100)×90%<50+(x-50)×95%,解得 x>150;由 100+(x-100)× 90%>50+(x-50)×95%,解得 x<150.∴当小红累计购物超过 150 元时,选择甲商场实际 花费少,当小红累计购物超过 100 元而不到 150 元时,选择乙商场实际花费少 25. (12 分)去冬今春,我市部分地区遭受了罕见的旱灾,“旱灾无情人有情”.某单位 给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共 320 件,其中饮用水比蔬菜多 80 件. (1)求饮用水和蔬菜各有多少件? (2)现计划租用甲,乙两种货车共 8 辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小 学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水 40 件和蔬菜 10 件,每辆乙种货车最多可装饮用水和 蔬菜各 20 件,则运输部门安排甲,乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来; (3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费 400 元,乙种货车每辆需付运费 360 元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元? 解:(1)设饮用水有 x 件,则蔬菜有(x-80)件,由题意得 x+(x-80)=320,解得 x= 200,∴x-80=120.则饮用水和蔬菜分别为 200 件和 120 件 (2)设租用甲种货车 m 辆,则 租用乙种货车(8-m)辆,由题意得 40m+20(8-m)≥200, 10m+20(8-m)≥120, 解得 2≤m≤4.∵m 为正整数, ∴m=2 或 3 或 4.故安排甲、乙两种货车时有 3 种方案,设计方案分别为①甲车 2 辆,乙车 6 辆;②甲车 3 辆,乙车 5 辆;③甲车 4 辆,乙车 4 辆 (3)3 种方案的运费分别为①2×400 +6×360=2960(元);②3×400+5×360=3000(元);③4×400+4×360=3040(元);∴方 案①运费最少,最少运费是 2960 元.则运输部门应安排甲车 2 辆,乙车 6 辆,可使运费最 少,最少运费是 2960 元 第三章检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.在 A,B,C、D 四幅图案中,能通过图平移得到的是(B) 12 2.如图,下列四个图形中,△ABC 经过旋转之后不能得到△A′B′C′的是(D) 3.(天津中考)下列图形中,可以看作是中心对称图形的是(A) 4.(吉林中考)如图,将木条 a,b 与 c 钉在一起,∠1=70°,∠2=50°,要使木条 a 与 b 平行,木条 a 旋转的度数至少是(B) A.10° B.20° C.50° D.70° 5.一个图形无论经过平移还是旋转,下列说法:①对应线段相等;②对应线段平行; ③对应角相等;④图形的形状和大小都没有发生变化.其中正确的有(C) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 6.如图,在平面直角坐标系中,若△ABC 与△A1B1C1 关于 E 点成中心对称,则对称中心 E 点的坐标是(A) A.(3,-1) B.(0,0) C.(2,-1) D.(-1,3) ,第 6 题图) ,第 7 题图) ,第 8 题图) 7.如图,将△ABC 沿射线 BC 向右平移到△DCE 的位置,连接 AD,则下列结论:①AB∥ CD;②AC=DE;③AD=BC;④∠B=∠ADC;⑤△ACD≌△EDC.其中正确的结论有(A) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 8.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2.△A′B′C 可以由△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到,其中点 A′与点 A 是对应点,点 B′与点 B 是对应点,连接 AB′, 且 A,B′,A′在同一条直线上,则 AA′的长为(A) A.6 B.4 3 C.3 3 D.3 9.如图,如果把△ABC 的顶点 A 先向下平移 3 格,再向左平移 1 格到达 A′点,连接 A′ B,那么线段 A′B 与线段 AC 的关系是(D) A.垂直 B .相等 C.平分 D.平分且垂直 13 ,第 9 题图) ,第 10 题图) 10.如图,△DEC 是由△ABC 经过了如下的几何变换而得到的:①以 AC 所在直线为对称 轴作轴对称,再以 C 为旋转中心,顺时针旋转 90°;②以 C 为旋转中心,顺时针旋转 90° 得△A′B′C′,再以 A′C′所在直线为对称轴作轴对称;③将△ABC 向下向左各平移 1 个 单位长度,再以 AC 的中点为中心作中心对称,其中正确的变换有(A) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11.(长沙中考)在平面直角坐标系中,将点 A(-2,3)向右平移 3 个单位长度,再向下 平移 2 个单位长度,那么平移后对应的点 A′的坐标是(1,1). 12.如图,已知面积为 1 的正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,过点 O 任作一条直线分 别交 AD,BC 于 E,F,则阴影部分的面积是1 4 . ,第 12 题图) ,第 13 题图) ,第 14 题图) 13.如图,△A′B′C′是由△ABC 沿 BC 方向平移得到的,若 BC=5 cm,AC=4.5 cm, B′C=2 cm,那么 A′C′=4.5cm,A,A′两点之间的距离为 3cm. 14.如图,在△ABC 中,∠BAC=115°,∠ACB=25°,把△ABC 以 AC 为对称轴作对称 变换得△ADC,又把△ABC 绕点 B 逆时针旋转 55°得△FBE,则∠α的度数为 145°. 15.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋 转α(0°<α<90°)后得到△DEC,设 CD 交 AB 于点 F,连接 AD,当旋转角α的度数为 40° 或 20°时,△ADF 是等腰三角形. ,第 15 题图) ,第 16 题图) 16.在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1 是边长为 2 的等边三角形,作△B2A2B1 与 △OA1B1 关于点 B1 成中心对称,再作△B2A3B3 与△B2A2B1 关于点 B2 成中心对称,如此作下去, 则△B2nA2n+1B2n+1(n 是正整数)的顶点 A2n+1 的坐标是 (4n+1, 3) . 三、解答题(共 72 分) 17.(6 分)如图,将△ABC 沿直线 AB 向右平移后到达△BDE 的位置. (1)若 AC=6 cm,则 BE=________cm; (2)若∠CAB=50°,∠BDE=100°,求∠CBE 的度数. 14 解:(1)6 (2)根据平移的性质得 AC∥BE,∠ABC=∠BDE=100°,∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC =180°-50°-100°=30°,由 AC∥BE 得∠CBE=∠C=30° 18.(6 分)如图,已知 AD=AE,AB=AC. (1)求证:∠B=∠C; (2)若∠A=50°,问△ADC 经过怎样的变换能与△AEB 重合? (1)证明:在△AEB 与△ADC 中,AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,∴△AEB≌△ADC,∴∠B =∠C (2)解:先将△ADC 绕点 A 逆时针旋转 50°,再将△ADC 沿直线 AE 对折,即可得△ADC 与△AEB 重合.或先将△ADC 绕点 A 顺时针旋转 50°,再将△ADC 沿直线 AB 对折,即可得△ ADC 与△AEB 重合 19.(7 分)如图,边长为 4 的正方形 ABCD 绕点 D 旋转 30°后能与四边形 A′B′C′D 重合. (1)旋转中心是哪一点?(1 分) (2)四边形 A′B′C′D 是什么图形?面积是多少?(2 分) (3)求∠C′DC 和∠CDA′的度数;(2 分) (4)连接 AA′,求∠DAA′的度数.(2 分) 解:(1)点 D (2)四边形 A′B′C′D 是正方形,面积为 4×4=16 (3)由题意得∠C′DC=30°,∠CDA′=90°-∠C′DC=60° (4)∵AD=A′D,∠ADA′=30°,∴∠DAA′=(180°-30°)×1 2 =75° 20.(7 分)(1)在平面直角坐标系中找出点 A(-3,4),B(-4,1),C(-1,1),D(-2, 3)并将它们依次连接;(2 分) (2)将(1)中所画图形先向右平移 4 个单位,再向下平移 3 个单位,画出第二次平移后的 图形;(2 分) (3)如何将(1)中所画图形经过一次平移得到(2)中所画图形?平移前后对应点的横坐标 有什么关系?纵坐标呢?(3 分) 15 解:(1)画图略 (2)画图略 (3)将 A 点与它的对应点 A′连接起来,则 AA′= 32+42 =5,∴将(1)中所画图形沿 A 到 A′的方向平移 5 个单位长度得到(2)中所画图形.四边形 A′ B′C′D′与四边形 ABCD 相比,对应点的横坐标分别增加了 4,纵坐标分别减少了 3 21.(7 分)(枣庄中考)如图,在 4×4 的方格纸中,△ABC 的三个顶点都在格点上. (1)在图 1 中,画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形;(2 分) (2)在图 2 中,画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形;(2 分) (3)在图 3 中,画出△ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90°后的三角形.(3 分) 解:(1)如图①所示,△DCE 为所求作 (2)如图②所示,△ACD 为所求作 (3)如图③所示,△ECD 为所求作 22.(8 分)如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,以 BC 为边向图形外作等边△BCD,把△ ABD 绕点 D 按顺时针方向旋转 60°到△ECD 的位置,若 AB=3,AC=2. (1)求∠BAD 的度数; (2)求 AD 的长. 解:(1)因为△DCE 是由△DBA 旋转后得到的,∴DE=DA,∵∠BDC=60°,∴∠ADE=60°, ∴△ADE 是等边三角形,∴∠DAE=60°,∠BAD=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60° (2)AD=AE=AC+CE=AC+AB=2+3=5 23.(9 分)如图 1,在△ABC 中,AC=BC,∠A=30°,点 D 在 AB 边上,且∠ADC=45°. (1)求∠BCD 的度数;(3 分) (2)将图 1 中的△BCD 绕点 B 顺时针旋转得到△BC′D′,当点 D′恰好落在 BC 边上时, 如图 2 所示,连接 C′C 并延长交 AB 于点 E. ①求∠C′CB 的度数;(3 分) 16 ②求证:△C′BD′≌△CAE.(3 分) 解:(1)∵AC=BC,∠A=30°,∴∠B=∠A=30°.∵∠ADC=45°,∴∠BCD=∠ADC -∠B=15° (2)①由旋转,得 BC=BC′=AC,∠C′BD′=∠CBD=∠A=30°.∴∠CC′B=∠C′CB =75° ②证明:∵∠CEB=∠C′CB-∠CBA=45°,∴∠ACE=∠CEB-∠A=15°.∴∠BC′D′ =∠BCD=∠ACE.在△C′BD′和△CAE 中, ∠BC′D′=∠ACE, BC′=AC, ∠C′BD′=∠A, ∴△C′BD′≌△CAE(ASA) 24.(10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 Rt△DOE,∠DOE=90°,OD=3,点 D 在 y 轴上,点 E 在 x 轴上,在△ABC 中,点 A,C 在 x 轴上,AC=5,∠ACB+∠ODE=180°, ∠ABC=∠OED,BC=DE.按下列要求画图(保留作图痕迹): (1)将△ODE 绕 O 点按逆时针方向旋转 90°得到△OMN(其中点 D 的对应点为点 M,点 E 的对应点为点 N),画出△OMN;(3 分) (2)将△ABC 沿 x 轴向右平移得到△A′B′C′(其中 A,B,C 的对应点分别为点 A′,B′, C′),使得 B′C′与(1)中△OMN 的边 NM 重合;(3 分) (3)求 OE 的长.(4 分) 解: (1)△OMN 如图所示 (2)△A′B′C′如图所示 (3)设 OE=x,则 ON=x,作 MF⊥A′B′于点 F,由作图可知 B′C′平分∠A′B′O,且 C′O⊥OB′,∴B′F=B′O=OE=x,FC′=OC′=OD=3.∵A′C′=AC=5,∴A′F= 52-32=4,∴A′B′=x+4,A′O=5+3=8.在 Rt△A′B′O 中,x2+82=(4+x)2,解得 x=6,即 OE=6 25. (12 分)如图,小明将一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图②), 量得它们的斜边长为 10 cm,较小的锐角为 30°,再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状, 且点 B,C,F,D 在同一条直线上,且点 C 与点 F 重合(在图③至图⑥中统一用 F 表示). 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮忙解决: 17 (1)将图③中的△ABF 沿 BD 向右平移到图④的位置,使点 B 与点 F 重合,请你求出平移 的距离; (2)将图③中的△ABF 绕点 F 顺时针方向旋转 30°到图⑤的位置,A1F 交 DE 于点 G,请 你求出线段 FG 的长度; (3)将图③中的△ABF 沿直线 AF 翻折到图⑥的位置,AB1 交 DE 于点 H,请证明:AH=DH. 解:(1)图形平移的距离就是线段 BC 的长,∵在 Rt△ABC 中,斜边长为 10 cm,∠BAC =30°,∴BC=5 cm.∴平移的距离为 5 cm (2)∵∠A1FA=30°,∴∠GFD=60°,又∵∠D=30°,∴∠FGD=90°.在 Rt△DFG 中, 由勾股定理得 FD=5 3 cm,∴FG=1 2 FD=5 3 2 cm (3)在△AHE 与△DHB1 中,∵∠FAB1=∠EDF=30°,FD=FA,EF=FB=FB1,∴FD-FB1 =FA-FE,即 AE=DB1.又∵∠AHE=∠DHB1.∴△AHE≌△DHB1(AAS).∴AH=DH 期中检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(达州中考)下列图形中是中心对称图形的是(B) 2.(达州月考)已知 x>y,下列不等式一定成立的是(C) A.ax>ay B.3x<3y C.-2x<-2y D.a2x>a2y 3.(益阳中考)不等式组 2x+1<3, 3x+1≥-2 的解集在数轴上表示正确的是(A) 18 4.在平面直角坐标系中,线段 AB 的两个端点坐标分别为 A(-1,-1),B(1,2),平 移线段 AB,得到线段 A′B′,已知 A′的坐标为(3,-1),则点 B′的坐标为(B) A.(4,2) B.(5,2) C.(6,2) D.(5,3) 5.如图,在△ABC 中,∠CAB=75°,在同一平面内,将△ABC 绕点 A 旋转到△AB′C′ 的位置,使得 CC′∥AB,则∠BAB′等于(A) A.30° B.35° C.40° D.50° ,第 5 题图) ,第 6 题图) ,第 7 题 图) 6.在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE 垂直平分 AB,垂足为 E.若 CD=2,则 BD 的长为(C) A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图,AD⊥CD,AE⊥BE,垂足分别为 D,E,且 AB=AC,AD=AE.则下列结论:①△ ABE≌△ACD;②AM=AN;③△ABN≌△ACM;④BO=EO.其中正确的有(B) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 8.如图,函数 y1=-2x 与 y2=ax+3 的图象相交于点 A(m,2),则关于 x 的不等式- 2x>ax+3 的解集是(D) A.x>2 B.x<2 C.x>-1 D.x<-1 ,第 8 题图) ,第 9 题图) ,第 10 题图) 9.如图,已知 MN 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线,垂足为点 F,∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D,且 MN 与 AD 交于点 O,连接 BO 并延长交 AC 于点 E,则下列结论中不一定成立的 是(B) A.∠CAD=∠BAD B.OE=OF C.AF=BF D.OA=OB 10.如图,在等边△ABC 中,D 是边 AC 上一点,连接 BD,将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°,得到△BAE,连接 ED,若 BC=5,BD=4,则下列结论错误的是(B) A.AE∥BC B.∠ADE=∠BDC C.△BDE 是等边三角形 D.△ADE 的周长是 9 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11.(长春中考)如图,在△ABC 中,AB=AC.以点 C 为圆心,以 CB 长为半径作圆弧,交 AC 的延长线于点 D,连结 BD.若∠A=32°,则∠CDB 的大小为 37 度. ,第 11 题图) ,第 13 题图) 19 ,第 15 题图) 12.(兰州中考)不等式组 2(x+1)≥5x-7, 4 3 x+3>1-2 3 x, 的解集为-1<x≤3. 13.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AD 是△ABC 的角平分线,若 CD= 3,则 △ABD 的面积为5 3 2 . 14.一次生活常识竞赛一共有 25 道题,答对一题得 4 分,不答得 0 分,答错一题扣 2 分,小明有 2 题没答,竞赛成绩要超过 74 分,则小明最多答错 3 道题. 15.如图,点 E 是正方形 ABCD 内的一点,连接 AE,BE,CE,将△ABE 绕点 B 顺时针旋 转 90°到△CBE′的位置.若 AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C=135°. 16.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,O 是 AB 的中点,点 D 在 AC 上,点 E 在 BC 上,且∠DOE=90°.则下列结论:①OA=OB=OC;②CD=BE;③△ODE 是等腰直角三 角形;④四边形 CDOE 的面积等于△ABC 的面积的一半;⑤AD2+BE2=2OD2;⑥CD+CE= 2OA. 其中正确的有①②③④⑤⑥.(填序号) 三、解答题(共 72 分) 17.(6 分)解不等式组 1 2 (x+1)≤2, x+2 2 ≥x+3 3 . 解:解不等式1 2 (x+1)≤2,得 x≤3,解不等式x+2 2 ≥x+3 3 ,得 x≥0,则不等式组的解 集为 0≤x≤3 18.(6 分)如图,△ABO 与△CDO 关于 O 点成中心对称,点 E,F 在线段 AC 上,且 AF= CE.求证:FD=BE. 解:根据中心对称的性质可得 BO=DO,AO=CO,又∵AF=CE,∴AO-AF=CO-CE,即 OF=OE.在△ODF 和△OBE 中,DO=BO,∠DOF=∠BOE(对顶角相等),OF=OE,∴△ODF≌△ OBE(SAS),∴FD=BE 19.(6 分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB,交 CB 于点 D,过点 D 作 DE 20 ⊥AB 于点 E. (1)求证:△ACD≌△AED; (2)若∠B=30°,CD=1,求 BD 的长. 解:(1)∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD,∵∠C=90°,DE⊥AB,∴∠C=∠DEA=90°, 又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED(AAS) (2)∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,又∵由(1)得△ACD≌△AED,∴DE=CD=1,在 Rt△BDE 中,∵∠B=30°,∴BD=2DE=2 20.(8 分)如图,OA⊥OB,OA=45 海里,OB=15 海里,我国某岛位于 O 点,我国渔政 船在点 B 处发现有一艘不明国籍的渔船,自 A 点出发沿着 AO 方向匀速驶向该岛所在地 O 点, 我国渔政船立即从 B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点 C 处截住了渔 船. (1)请用直尺和圆规作出 C 处的位置; (2)求我国渔政船行驶的航程 BC 的长. 解: (1)如答图,连接 AB,作 AB 的垂直平分线与 OA 交于点 C.点 C 即为所求 (2)连接 BC, 设 BC=x 海里,则 CA=x 海里,OC=(45-x)海里,在 Rt△OBC 中,BO2+OC2=BC2,即 152 +(45-x)2=x2,解得 x=25.则我国渔政船行驶的航程 BC 为 25 海里 21.(8 分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(-4,2),B(0, 4),C(0,2). (1)将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若 点 A 的对应点 A2 的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2; (2)若将△A1B1C 绕某一点旋转可以得到△A2B2C2;请直接写出旋转中心的坐标. 21 解:(1)图略 (2)(2,-1) 22.(8 分)如图,下列 4×4 网格图都是由 16 个相同小正方形组成,每个网格图中有 4 个小正方形已涂上阴影,请在空白小正方形中,按下列要求涂上阴影. (1)在图 1 中选取 2 个空白小正方形涂上阴影,使 6 个阴影小正方形组成一个中心对称 图形; (2)在图 2 中选取 2 个空白小正方形涂上阴影,使 6 个阴影小正方形组成一个轴对称图 形,但不是中心对称图形. 解:(1)答案如图所示: (2)答案如图所示: 23.(8 分)(贺州中考)某自行车经销商计划投入 7.1 万元购进 100 辆 A 型和 30 辆 B 型 自行车,其中 B 型车单价是 A 型车单价的 6 倍少 60 元. (1)求 A,B 两种型号的自行车单价分别是多少元? (2)后来由于该经销商资金紧张,投入购车的资金不超过 5.86 万元,但购进这批自行车 的总数不变,那么至多能购进 B 型车多少辆? 解:(1)设 A 型自行车的单价为 x 元/辆,B 型自行车的单价为 y 元/辆,根据题意得 y=6x-60, 100x+30y=71000, 解得 x=260, y=1500. 答:A 型自行车的单价为 260 元/辆,B 型自行车的单价 为 1500 元/辆 (2)设购进 B 型自行车 m 辆,则购进 A 型自行车(130-m)辆,根据题意得 260(130-m) +1500m≤58600,解得 m≤20.答:至多能购进 B 型车 20 辆 22 24.(10 分)已知△ABC 是等边三角形,将一块含有 30°角的直角三角板 DEF 如图放置, 让三角板在 BC 所在的直线上向右平移.如图①,当点 E 与点 B 重合时,点 A 恰好落在三角 形的斜边 DF 上. (1)利用图①证明:EF=2BC; (2)在三角板的平移过程中,在图②中线段 EB=AH 是否始终成立(假定 AB,AC 与三角板 斜边的交点为 G,H)?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由. 解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°,AC=BC.∵∠F=30°,∴∠CAF=60° -30°=30°,∴∠CAF=∠F,∴CF=AC.∴CF=AC=BC,∴EF=2BC (2)成立.∵△ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°,AC=BC,∵∠F=30°,∴∠CHF= 60°-30°=30°.∴∠CHF=∠F.∴CH=CF.∵EF=2BC,∴EB+CF=BC.又∵AH+CH=AC, AC=BC,∴EB=AH 25. (12 分)如图 1,已知 Rt△ABC 中,AB=BC,AC=2,把一块含 30°角的三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上(直角三角板的短直角边为 DE,长直角边为 DF),点 C 在 DE 上,点 B 在 DF 上. (1)求重叠部分△BCD 的面积; (2)如图 2,将直角三角板 DEF 绕 D 点按顺时针方向旋转 30 度,DE 交 BC 于点 M,DF 交 AB 于点 N. ①求证:DM=DN; ②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗?若发生变化,请求出重叠部分的面积,若 不发生变化,请说明理由; (3)如图 3,将直角三角板 DEF 绕 D 点按顺时针方向旋转α度(0<α<90),DE 交 BC 于 点 M,DF 交 AB 于点 N,则 DM=DN 的结论仍成立吗?重叠部分的面积会变吗?(请直接写出 结论,不需要说明理由) 解:(1)∵AB=BC,AC=2,D 是 AC 的中点,∴CD=BD=1 2 AC=1,BD⊥AC.∴S△BCD=1 2 CD·BD =1 2 ×1×1=1 2 (2)①证明:连接 BD,则 BD 垂直平分 AC.∴BD=CD,∠C=∠NBD=45°.由题意可知∠ EDC=30°,∴∠NDA=60°,∵BD 垂直平分 AC,∴∠BDA=90°,∴∠BDN=∠BDA-∠NDA 23 =30°,∴∠CDM=∠BDN,∴△CDM≌△BDN(ASA).∴DM=DN ②由①知△CDM≌△BDN,∴S 四边形 BNDM=S△BCD=1 2 ,即此条件下重叠部分的面积不变,仍为 1 2 (3)DM=DN 的结论仍成立,重叠部分的面积不会变 第四章检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.下列从左边到右边的变形,属于因式分解的是(C) A.(3-x)(3+x)=9-x2 B.(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1) C.m4-n4=(m2+n2)(m+n)(m-n) D.4yz-2y2z+z=2y(2z-yz)+z 2.下列各组多项式中,没有公因式的是(D) A.(a-b)3 与(a-b)2 B.3m(x-y)与 n(y-x) C.2(a-3)2 与-a+3 D.ax2+by2 与 ax+by 3.下列各式中,能用公式法分解因式的有(B) ①-x2-y2;②-1 4 a2b2+1;③a2+ab+b2;④-x2+2xy-y2;⑤1 4 -mn+m2n2. A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 4.(安徽中考)下列分解因式正确的是(C) A.-x2+4x=-x(x+4) B.x2+xy+x=x(x+y) C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2 D.x2-4x+4=(x+2)(x-2) 5.一次数学课堂练习,小明同学做了如下四道因式分解题.你认为小明做得不够完整 的一题是(B) A.4x2-4x+1=(2x-1)2 B.x3-x=x(x2-1) C.x2y-xy2=xy(x-y) D.x2-y2=(x+y)(x-y) 6.小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形,并据此写出一个多项式的因式分解, 正确的是(D) A.x2+2x=x(x+2) B.x2-2x+1=(x-1)2 24 C.x2+2x+1=(x+1)2 D.x2+3x+2=(x+2)(x+1) 7.已知多项式 2x2+bx+c 因式分解后为 2(x-3)(x+1),则 b,c 的值为(D) A.b=3,c=-1 B.b=-6,c=2 C.b=-6,c=-4 D.b=-4,c=-6 8.计算(-2)99+(-2)100 的结果为(A) A.299 B.2100 C.-299 D.-2 9.对于任何整数 m,多项式(4m+5)2-9 都能(A) A.被 8 整除 B.被 m 整除 C.被(m-1)整除 D.被(2m-1)整除 10.若三角形的三边长分别是 a,b,c,且满足 a2b-a2c+b2c-b3=0,则这个三角形是 (A) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.三角形的形状不确定 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11.(潍坊中考)因式分解:(x+2)x-x-2=(x+2)(x-1). 12.(菏泽中考)若 a+b=2,ab=-3,则代数式 a3b+2a2b2+ab3 的值为-12. 13.若多项式(3x+2)(2x-5)+(5-2x)(2x-1)可分解为(2x+m)(x+n),其中 m,n 均为整数,则 mn 的值为-15. 14.计算:1.222×9-1.332×4=6.32. 15.已知代数式 a2+2a+2,当 a=-1 时,它有最小值,最小值为 1. 16.从边长为 a 的正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后,将其裁成四个相 同的等腰梯形,如图甲,然后拼成一个平行四边形,如图乙,那么通过计算两个图形阴影部 分的面积,可以验证成立的为 a2-b2=(a+b)(a-b). 三、解答题(共 72 分) 17.(12 分)将下列各式分解因式: (1)2x2y-8xy+8y; (2)a2(x-y)-9b2(x-y); 解:2y(x-2)2 解:(x-y)(a+3b)(a-3b) (3)(a+b)3-4(a+b); (4)(y2-1)2+6(1-y2)+9. 解:(a+b)(a+b+2)(a+b-2) 解:(y+2)2(y-2)2 18.(8 分)先分解因式,再求值: 25 (1)已知 x-y=-2 3 ,求(x2+y2)2-4xy(x2+y2)+4x2y2 的值; 解:原式=(x-y)4,当 x-y=-2 3 时,原式=16 81 (2)已知 x+y=1,xy=-1 2 ,求 x(x+y)(x-y)-x(x+y)2 的值. 解:原式=-2xy(x+y),当 x+y=1,xy=-1 2 时,原式=-2×(-1 2 )×1=1 19.(6 分)下列三个多项式:1 2 x3+2x2-x,1 2 x3+4x2+x,1 2 x3-2x2,请选择你喜欢的两 个多项式进行加法运算,再将结果因式分解. 解:1 2 x3+2x2-x+1 2 x3+4x2+x=x3+6x2=x2(x+6)(答案不唯一) 20.(6 分)甲,乙两同学分解因式 x2+mx+n,甲看错了 n,分解结果为(x+2)(x+4); 乙看错了 m,分解结果为(x+1)(x+9),请分析一下 m,n 的值及正确的分解过程. 解:∵(x+2)(x+4)=x2+6x+8,甲看错了 n 的值,∴m=6,又∵(x+1)(x+9)=x2 +10x+9,乙看错了 m 的值,∴n=9,∴原式为 x2+6x+9=(x+3)2 21.(7 分)(大连中考)【观察】1×49=49,2×48=96,3×47=141,…,23×27=621, 24×26=624,25×25=625,26×24=624,27×23=621,…,47×3=141,48×2=96, 49×1=49. 【发现】根据你的阅读回答问题: (1)上述内容中,两数相乘,积的最大值为________;(1 分) (2)设参与上述运算的第一个因数为 a,第二个因数为 b,用等式表示 a 与 b 的数量关系 是____________.(2 分) 【类比】观察下列两数的积:1×59,2×58,3×57,4×56,…,m×n,…,56×4, 57×3,58×2,59×1. 猜想 mn 的最大值为________,(2 分)并用你学过的知识加以证明.(2 分) 解:【发现】(1)625 (2)a+b=50 【类比】900.证明如下:由题意,可得 m+n=60,将 n=60-m 代入 mn,得 mn=-m2 26 +60m=-(m-30)2+900,∴m=30 时,mn 的最大值为 900 22.(7 分)阅读下列解题过程: 已知 a,b,c 为三角形的三边,且满足 a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC 的形状. 解:∵a2c2-b2c2=a4-b4, (A) ∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), (B) 则 c2=a2+b2, (C) ∴△ABC 为直角三角形. (D) (1)上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号________;(1 分) (2) 错 误 的 原 因 ________________________________________________________________________;(2 分) (3)请写出正确的解答过程.(4 分) 解:(1)C (2)忽略了 a2-b2=0,即 a=b 的可能 (3)∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),即 c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2- b2)=0,∴(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a2-b2=0 或 c2-a2-b2=0,即 a=b 或 c2=a2+b2, ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形 23.(8 分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神 秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此 4,12,20 都是“神秘数”. (1)28 和 2020 这两个数是“神秘数”吗?为什么?(2 分) (2)设两个连续偶数为 2k+2 和 2k(其中 k 取非负整数),由这两个连续偶数构造的“神 秘数”是 4 的倍数吗?为什么?(3 分) (3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数”吗?为什么?(3 分) 解:(1)因为 28=82-62,2020=5062-5042,所以 28 和 2020 都是“神秘数” (2)(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),因此由 2k+2 和 2k 构造的“神秘数”是 4 的倍数 (3)由(2)知“神秘数”可表示为 4 的倍数但一定不是 8 的倍数.设两个连续奇数为 2k +1 和 2k-1,则(2k+1)2-(2k-1)2=8k,所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数” 24.(8 分)有足够多的长方形和正方形的卡片,如图① 27 (1)如果选取 1 号,2 号,3 号卡片分别为 1 张,2 张,3 张(如图②),可拼成一个长方 形(不重叠无缝隙).请画出这个长方形的草图,并运用拼图前后面积之间的关系将多项式 a2+3ab+2b2 分解因式; (2)小明想用类似的方法将多项式 2a2+7ab+3b2 分解因式,那么需要 1 号卡片________ 张,2 号卡片________张,3 号卡片________张.试画出草图,写出将多项式 2a2+7ab+3b2 分解因式的结果. 解:(1)画图略.a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b) (2)2 3 7.画图略.2a2+7ab+3b2=(2a+b)(a+3b) 25. (10 分)阅读材料:若 m2-2mn+2n2-8n+16=0,求 m,n 的值. 解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0, ∴(m-n)2+(n-4)2=0,又∵(m-n)2≥0,(n-4)2≥0, ∴ (m-n)2=0 (n-4)2=0 ,解得 m=4, n=4. 请解答下面的问题: (1)已知 x2-2xy+2y2+6y+9=0,求 xy-x2 的值;(3 分) (2)已知△ABC 的三边长 a,b,c 都是互不相等的正整数,且满足 a2+b2-4a-18b+85 =0,求△ABC 的最长边 c 的值;(3 分) (3)已知 a2+b2=12,ab+c2-16c+70=0,求 a+b+c 的值.(4 分) 解:(1)∵x2-2xy+2y2+6y+9=0,∴(x-y)2+(y+3)2=0,解得 y=-3,故 x=y= -3,xy-x2=-3×(-3)-(-3)2=9-9=0 (2)∵a2+b2-4a-18b+85=0,∴(a-2)2+(b-9)2=0,解得 a=2,b=9,∴7<c< 11,∵△ABC 的三边长 a,b,c 都是互不相等的正整数,∴△ABC 的最长边 c 的值为 10 (3)∵a2+b2=12,∴(a+b)2-2ab=12,∴ab=1 2 (a+b)2-6,∴ab+c2-16c+70=0, 1 2 (a+b)2-6+(c-8)2+6=0,则1 2 (a+b)2+(c-8)2=0,则 c=8,a+b=0,∴a+b+c=8 第五章检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 28 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.在式子1 a ,2xy π ,3ab2c 4 , 5 6+x ,x 7 +y 8 ,9x+10 y ,x2 x 中,分式的个数是(B) A.5 B.4 C.3 D.2 2.(陇南中考)若分式x2-4 x 的值为 0,则 x 的值是(A) A.2 或-2 B.2 C.-2 D.0 3.分式4y+3x 4a ,x2-1 x4-1 ,x2-xy+y2 x+y ,a2+2ab ab-2b2中,最简分式有(C) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.下列各式从左到右的变形中正确的是(A) A. x-1 2 y 1 2 xy =2x-y xy B.0.2a+b a+2b =2a+b a+2b C.-x+1 x-y =x-1 x-y D.a+b a-b =a-b a+b 5.若( 4 a2-4 + 1 2-a )·w=1,则 w=(D) A.a+2(a≠-2) B.-a+2(a≠2) C.a-2(a≠2) D.-a-2(a≠-2) 6.(成都中考)分式方程x+1 x + 1 x-2 =1 的解是(A) A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3 7.若关于 x 的分式方程2x-a x-2 =1 2 的解为非负数,则 a 的取值范围是(C) A.a≥1 B.a>1 C.a≥1 且 a≠4 D.a>1 且 a≠4 8.(临沂中考)新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市 场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为 5000 万元,今年 1~5 月份,每辆 车的销售价格比去年降低 1 万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的 少 20%,今年 1~5 月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年 1~5 月份每辆车的销售价格 为 x 万元.根据题意,列方程正确的是(A) A.5000 x+1 =5000(1-20%) x B.5000 x+1 =5000(1+20%) x C.5000 x-1 =5000(1-20%) x D.5000 x-1 =5000(1+20%) x 9.已知1 a + 1 2b =3,则代数式2a-5ab+4b 4ab-3a-6b 的值为(D) A.3 B.-2 C.-1 3 D.-1 2 10.张华在一次数学活动中,利用“在面积一定的矩形中,正方形的周长最短”的结论, 推导出“式子 x+1 x (x>0)的最小值是 2”.其推导方法如下:在面积是 1 的矩形中设矩形的 29 一边长为 x,则另一边长是1 x ,矩形的周长是 2(x+1 x );当矩形成为正方形时,就有 x=1 x (x >0),解得 x=1,这时矩形的周长 2(x+1 x )=4 最小,因此 x+1 x (x>0)的最小值是 2.模仿 张华的推导,你求得式子x2+9 x (x>0)的最小值是(C) A.2 B.1 C.6 D.10 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11.已知分式 x-3 x2-5x+a ,当 x=2 时,分式无意义,则 a=6. 12.当 a=1 2 时,代数式2a2-2 a-1 -2 的值为 1. 13.一个分数的分母比分子大 7,如果此分数的分子加 17,分母减 4,所得的新分数是 原分数的倒数,那么原分数是 3 10 . 14.(达州中考)若关于 x 的分式方程 x x-3 + 3a 3-x =2a 无解,则 a 的值为 1 或1 2 . 15.(宿迁中考)为了改善生态环境,防止水土流失,红旗村计划在荒坡上种树 960 棵, 由于青年志愿者支援,实际每天种树的棵数是原计划的 2 倍,结果提前 4 天完成任务,则原 计划每天种树的棵数是 120 棵. 16.(眉山中考)已知关于 x 的分式方程 x x-3 -2= k x-3 有一个正数解,则 k 的取值范围 为 k<6 且 k≠3. 三、解答题(共 72 分) 17.(8 分) 计算: (1)(山西中考)x-2 x-1 · x2-1 x2-4x+4 - 1 x-2 . 解:原式=x-2 x-1 ·(x-1)(x+1) (x-2)2 - 1 x-2 =x+1 x-2 - 1 x-2 = x x-2 (2)(重庆中考)(a-1-4a-1 a+1 )÷a2-8a+16 a+1 . 解:原式=a2-1-4a+1 a+1 · a+1 (a-4)2=a(a-4) a+1 · a+1 (a-4)2= a a-4 18.(8 分)解分式方程: (1)5x-4 x-2 =4x+10 3x-6 -1; 解:无解 30 (2) 3 2x+1 - 2 2x-1 = x+1 4x2-1 . 解:去分母得 6x-3-4x-2=x+1,解得 x=6,经检验,x=6 是分式方程的解 19.(6 分)老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果,随后用手掌捂住了一部分, 形式如下:( - x2-1 x2-2x+1 )÷ x x+1 =x+1 x-1 ,求所捂部分化简后的结果. 解:设所捂部分为 A,则 A=x+1 x-1 · x x+1 + x2-1 x2-2x+1 = x x-1 +x+1 x-1 =2x+1 x-1 20.(6 分)(泰安中考)先化简,再求值:m2-4m+4 m-1 ÷( 3 m-1 -m-1),其中 m= 2-2. 解 : 原 式 = (m-2)2 m-1 ÷ ( 3 m-1 - m2-1 m-1 ) = (m-2)2 m-1 ÷ 4-m2 m-1 = (m-2)2 m-1 · m-1 -(m+2)(m-2) =-m-2 m+2 ,当 m= 2-2 时,原式=- 2-2-2 2-2+2 =- 2-4 2 = -1+2 2 21.(7 分)小明解方程1 x -x-2 x =1 的过程如下: 解:方程两边同乘 x,得 1-(x-2)=1.① 去括号,得 1-x-2=1.② 合并同类项,得-x-1=1.③ 移项,得-x=2.④ 解得 x=-2.⑤ ∴原方程的解为 x=-2.⑥ 请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程. 解:小明的解法有三处错误:步骤①去分母有误;步骤②去括号有误;步骤⑥前缺少“检 验”步骤.正确解法是:方程两边同乘 x,得 1-(x-2)=x.去括号,得 1-x+2=x.移项, 得-x-x=-2-1.合并同类项,得-2x=-3.两边同除以-2,得 x=3 2 .经检验,x=3 2 是原 方程的解.所以原方程的解是 x=3 2 31 22.(7 分)(徐州中考)徐州至北京的高铁里程约为 700 km,甲、乙两人从徐州出发,分 别乘坐“徐州号”高铁 A 与“复兴号”高铁 B 前往北京.已知 A 车的平均速度比 B 车的平均 速度慢 80 km/h,A 车的行驶时间比 B 车的行驶时间多 40%,两车的行驶时间分别为多少? 解:设 B 车行驶的时间为 t 小时,则 A 车行驶的时间为 1.4t 小时,根据题意得700 t - 700 1.4t =80,解得 t=2.5,经检验,t=2.5 是原分式方程的解,且符合题意,∴1.4t=3.5.答:A 车行驶的时间为 3.5 小时,B 车行驶的时间为 2.5 小时 23.(8 分)先化简:(2x2+2x x2-1 - x2-x x2-2x+1 )÷ x x+1 ,然后解答下列问题: (1)当 x=3 时,求代数式的值; (2)原代数式的值能等于-1 吗?为什么? 解:原式=[ 2x(x+1) (x+1)(x-1) -x(x-1) (x-1)2 ]·x+1 x =( 2x x-1 - x x-1 )·x+1 x = x x-1 ·x+1 x =x+1 x-1 (1)当 x=3 时,原式=2 (2)原代数式的值不能等于-1,理由:如果x+1 x-1 =-1,那么 x+1=-x+1,∴x=0. 当 x=0 时,除式 x x+1 =0.∴原代数式的值不能等于-1 24.(10 分)阅读下列材料: 在学习“分式方程及其解法”过程中,老师提出一个问题:若关于 x 的分式方程 a x-1 + 3 1-x =1 的解为正数,求 a 的取值范围? 经过小组交流讨论后,同学们逐渐形成了两种意见: 小明说:解这个关于 x 的分式方程,得到方程的解为 x=a-2.由题意可得 a-2>0,所 以 a>2,问题解决. 小强说:你考虑的不全面.还必须保证 a≠3 才行. 老师说:小强所说完全正确. 请 回 答 : 小 明 考 虑 问 题 不 全 面 , 主 要 体 现 在 哪 里 ? 请 你 简 要 说 明 : ________________________________________________________________________. 完成下列问题: (1)已知关于 x 的方程2mx-1 x+2 =1 的解为负数,求 m 的取值范围; (2)若关于 x 的分式方程3-2x x-3 +2-nx 3-x =-1 无解.直接写出 n 的取值范围. 解:小明没有考虑分式的分母不为 0(或分式必须有意义)这个条件 32 (1)解关于 x 的分式方程,得 x= 3 2m-1 ,∵方程有解,且解为负数,∴ 2m-1<0, 3 2m-1 ≠-2,解 得 m<1 2 且 m≠-1 4 (2)分式方程去分母,得 3-2x+nx-2=-x+3,即(n-1)x=2,由分式方程无解,得 到 x-3=0,即 x=3,代入整式方程得 n=5 3 ;当 n-1=0 时,整式方程无解,此时 n=1, 综上,n=1 或 n=5 3 25. (12 分)(德阳中考)为配合“一带一路”国家倡议,某铁路货运集装箱物流园区正 式启动了 2 期扩建工程.一项地基基础加固处理工程由 A、B 两个工程公司承担建设,已知 A 工程公司单独建设完成此项工程需要 180 天,A 工程公司单独施工 45 天后,B 工程公司参 与合作,两工程公司又共同施工 54 天后完成了此项工程. (1)求 B 工程公司单独建设完成此项工程需要多少天? (2)由于受工程建设工期的限制,物流园区管委会决定将此项工程划分成两部分,要求 两工程公司同时开工,A 工程公司建设其中一部分用了 m 天完成,B 工程公司建设另一部分 用了 n 天完成,其中 m,n 均为正整数,且 m<46,n<92,求 A、B 两个工程公司各施工建 设了多少天? 解:(1)设 B 工程公司单独完成需要 x 天,根据题意得 45× 1 180 +54( 1 180 +1 x )=1,解得 x=120,经检验,x=120 是分式方程的解,且符合题意,答:B 工程公司单独完成需要 120 天 (2)根据题意得 m× 1 180 +n× 1 120 =1,整理得 n=120-2 3 m,∵m<46,n<92,∴120-2 3 m <92,解得 42<m<46,∵m 为正整数,∴m=43,44,45,又∵120-2 3 m 为正整数,∴m= 45,n=90.答:A,B 两个工程公司分别施工建设了 45 天和 90 天 第六章检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=3,AD=2,则 CD 等于(B) A.2 B.3 C.4 D.5 33 ,第 1 题图) ,第 3 题图) , 第 5 题图) 2.(宜宾中考)在▱ ABCD 中,若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点 E,则△AED 的形状是 (B) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 3.如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,下列结论正确的是(A) A.S▱ ABCD=4S△AOB B.AC=BD C.AC⊥BD D.▱ ABCD 是轴对称图形 4.(铜仁中考)如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍,则这个多边形的边数是(A) A.8 B.9 C.10 D.11 5.(苏州中考)如图,在△ABC 中,延长 BC 至 D,使得 CD=1 2 BC,过 AC 中点 E 作 EF∥CD(点 F 位于点 E 右侧),且 EF=2CD,连接 DF.若 AB=8,则 DF 的长为(B) A.3 B.4 C.2 3 D.3 2 6.如图,在平面直角坐标系内,原点 O 恰好在▱ ABCD 对角线的交点处,若点 A 的坐标 为(2,3),则点 C 的坐标为(C) A.(-3,-2) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) ,第 6 题图) ,第 8 题图) ,第 9 题图) 7.(呼和浩特中考)顺次连接平面上 A,B,C,D 四点得到一个四边形,从①AB∥CD;② BC=AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D 四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形 ABCD 是平 行四边形”这一结论的情况共有(C) A.5 种 B.4 种 C.3 种 D.1 种 8.如图,AD∥BC,∠ABC 的角平分线 BP 与∠BAD 的角平分线 AP 相交于点 P,作 PE⊥AB 于点 E.若 PE=2,则两平行线 AD 与 BC 间的距离为(A) A.4 B.5 C.6 D.7 9.如图,平行四边形 ABCD 中,AE 平分∠BAD,交 BC 于点 E,且 AB=AE,延长 AB 与 DE 的延长线交于点 F,下列结论中: ①△ABC≌△ADE;②△ABE 是等边三角形;③AD=AF;④S△ABE=S△CDE;⑤S△ABE=S△CEF.其 中正确的是(C) 34 A.①②③ B.①②④ C.①②⑤ D.①③④ 10.(达州期末)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=4,∠BAD 的平分线与 BC 的延长线 交于点 E,与 DC 交于点 F,且点 F 为边 DC 的中点,DG⊥AE,垂足为 G,若 DG=1,则 AE 的 边长为(B) A.2 3 B.4 3 C.4 D.8 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11.如图,在▱ ABCD 中,AE=CG,DH=BF,连接 E,F,G,H,E,则四边形 EFGH 是平 行四边形. ,第 11 题图) ,第 12 题图) 12.(南京中考)如图,五边形 ABCDE 是正五边形.若 l1∥l2,则∠1-∠2=72°. 13.(曲靖中考)如图,在△ABC 中,AB=13,BC=12,点 D,E 分别是 AB,BC 的中点, 连接 DE,CD,如果 DE=2.5,那么△ACD 的周长是 18. ,第 13 题图) ,第 14 题图) 14.如图,在平行四边形 ABCD 中,AE⊥BC 于 E,AF⊥CD 于 F,∠EAF=45°,且 AE+ AF=2 2,则平行四边形 ABCD 的周长是 8. 15.如图,分别以 Rt△ABC 的斜边 AB,直角边 AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE,F 为 AB 的中点,DE,AB 相交于点 G.若∠BAC=30°,下列结论:①EF⊥AC;②四边形 ADFE 为平 行四边形;③AD=4AG;④△DBF≌△EFA.其中正确结论的序号是①②③④. ,第 15 题图) ,第 16 题图) 16.(无锡中考)如图,已知∠XOY=60°,点 A 在边 OX 上,OA=2.过点 A 作 AC⊥OY 于 点 C,以 AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形 ABC,点 P 是△ABC 围成的区域(包括各边)内的 一点,过点 P 作 PD∥OY 交 OX 于点 D,作 PE∥OX 交 OY 于点 E.设 OD=a,OE=b,则 a+2b 的取值范围是 2≤a+2b≤5. 点拨:过 P 作 PH⊥OY 交于点 H,∵PD∥OY,PE∥OX,∴四边形 EODP 是平行四边形,∠ 35 HEP=∠XOY=60°,∴EP=OD=a,Rt△HEP 中,∠EPH=30°,∴EH=1 2 EP=1 2 a,∴a+2b= 2(1 2 a+b)=2(EH+EO)=2OH,当 P 在 AC 边上时,H 与 C 重合,此时 OH 的最小值为 OC=1 2 OA =1,即 a+2b 的最小值是 2;当 P 在点 B 时,OH 的最大值是 1+3 2 =5 2 ,即(a+2b)的最大值 是 5,∴2≤a+2b≤5 三、解答题(共 72 分) 17.(6 分)(曲靖中考)如图,在平行四边形 ABCD 的边 AB,CD 上截取 AF,CE,使得 AF =CE,连接 EF,点 M,N 是线段 EF 上两点,且 EM=FN,连接 AN, CM.求证:△AFN≌△CEM. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD∥AB,∴∠AFN=∠CEM,∵FN=EM,AF=CE, ∴△AFN≌△CEM(SAS) 18.(6 分)如图,在▱ ABCD 中,对角线 AC 交 BD 于点 O,四边形 AODE 是平行四边形. 求证:四边形 ABOE 是平行四边形. 解:∵在▱ ABCD 中,对角线 AC 交 BD 于点 O,∴OB=OD.又∵四边形 AODE 是平行四边形, ∴AE∥OD,AE=OD,∴AE∥OB,AE=OB,∴四边形 ABOE 是平行四边形 19.(7 分)如图,E,F 是▱ ABCD 对角线 BD 上的两点,给出下列三个条件:①BE=DF; ②∠AEB=∠DFC;③AF∥EC.请你从中选择一个适当的条件,使四边形 AECF 是平行四边形, 并证明你的结论. 解:选择条件①,∵在▱ ABCD 中,AC,BD 为对角线,∴OA=OC,OB=OD,又 BE=DF, ∴OE=OF,∴四边形 AECF 是平行四边形(答案不唯一) 36 20.(8 分)(青海中考)如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 AB 边上的中点,连接 DE 并延 长,交 CB 的延长线于点 F. (1)求证:AD=BF; (2)若平行四边形 ABCD 的面积为 32,试求四边形 EBCD 的面积. 解:(1)∵E 是 AB 边上的中点,∴AE=BE.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠F.在△ADE 和△BFE 中,∠ADE=∠F,∠DEA=∠FEB,AE=BE,∴△ADE≌△BFE.∴AD=BF (2)过点 D 作 DM⊥AB 与 M,则 DM 同时也是平行四边形 ABCD 的高.∴S△AED=1 2 ×1 2 AB·DM =1 4 AB·DM=1 4 ×32=8,∴S 四边形 EBCD=S▱ ABCD-S△ADE=32-8=24 21.(8 分)如图,D 是△ABC 的边 AB 上一点,CN∥AB,DN 交 AC 于点 M,若 MA=MC. (1)求证:CD=AN; (2)若 AC⊥DN,∠CAN=30°,MN=1,求四边形 ADCN 的面积. 解:(1)∵AB∥CN,∴∠BAC=∠ACN,在△AMD 和△CMN 中,∠DAM=∠NCM,AM=CM,∠ AMD=∠CMN,∴△AMD≌△CMN(ASA),∴AD=CN,又∵AD∥CN,∴四边形 ADCN 是平行四边形, ∴CD=AN (2)∵AC⊥DN,∠CAN=30°,MN=1,∴AN=2MN=2,则 AM= AN2-MN2= 22-12= 3, ∴S△AMN=1 2 AM·MN=1 2 × 3×1= 3 2 ,∵四边形 ADCN 是平行四边形,∴S▱ ADCN=4S△AMN=2 3 22.(8 分)(巴中中考)如图,在▱ ABCD 中,过 B 点作 BM⊥AC 于点 E,交 CD 于点 M,过 D 点作 DN⊥AC 于点 F,交 AB 于点 N. (1)求证:四边形 BMDN 是平行四边形; (2)已知 AF=12,EM=5,求 AN 的长. 37 (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD∥AB,∵BM⊥AC,DN⊥AC,∴DN∥BM,∴ 四边形 BMDN 是平行四边形 (2)解:∵四边形 BMDN 是平行四边形,∴DM=BN,∵CD=AB,CD∥AB,∴ CM=AN,∠ MCE=∠NAF,∵∠CEM=∠AFN=90°,∴△CEM≌△AFN,∴FN=EM=5,在 Rt△AFN 中,AN = AF2+FN2= 52+122=13 23.(8 分)如图,在△ABC 中,D 是边 BC 的中点,点 E 在△ABC 内,AE 平分∠BAC,CE ⊥AE,点 F 在边 AB 上,EF∥BC. (1)求证:四边形 BDEF 是平行四边形; (2)线段 BF,AB,AC 之间具有怎样的数量关系?证明你所得到的结论. 解:(1) 延长 CE 交 AB 于点 G,∵AE⊥CE,∴∠AEG=∠AEC=90°,在△AEG 和△AEC 中,∠GAE=∠CAE,AE=AE,∠AEG=∠AEC,∴△AEG≌△AEC(ASA),∴GE=EC,又∵BD= CD,∴DE 为△CGB 的中位线,∴DE∥AB,又∵EF∥BC,∴四边形 BDEF 是平行四边形 (2)∵BF=1 2 (AB-AC).理由:∵四边形 BDEF 是平行四边形,∴BF=DE,∵D,E 分别是 BC,GC 的中点,∴BF=DE=1 2 BG,∵△AGE≌△ACE,∴AG=AC,∴BF=1 2 (AB-AG)=1 2 (AB- AC) 24.(9 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,DH 垂直平分 AB 交 AC 于点 E,连接 BE, CD,且 CD=CE. (1)如图 1,求证:四边形 BCDE 是平行四边形;(4 分) (2)如图 2,点 F 在 AB 上,且 BF=BC,连接 BD,若 BD 平分∠ABC,试判断 DF 与 AC 的 位置关系,并证明你的结论.(5 分) (1)证明:∵DH 垂直平分 AB 交 AC 于点 E,∴AE=BE,∠AHE=∠BHE=90°,∴∠A=∠ ABE,∠A+∠AEH=∠ABE+∠BEH=90°,∵∠ABC=90°,∴∠A+∠ACB=90°,∴∠AEH =∠ACB=∠BEH,∵CE=CD,∴∠D=∠CED,∵∠AEH=∠CED,∴∠D=∠BEH,∠CED=∠ 38 ACB,∴BE∥CD,BC∥ED,∴四边形 BCDE 是平行四边形 (2)DF⊥AC,证明:∵四边形 BCDE 是平行四边形,∴DE=BC,∵BC=BF,∴BF=DE,∵ BD 平分∠ABC,∠ABC=90°,∴∠HBD=45°,∵∠BHD=90°,∴∠HBD=∠HDB=45°, ∴DH=BH=AH,∴DH-DE=BH-BF,∴HE=HF,在△DHF 和△AHE 中, DH=AH, ∠DHF=∠AHE, HF=HE, ∴△ DHF≌△AHE,∴∠A=∠FDH,∵∠A+∠AEH=90°,∠DEC=∠AEH,∴∠FDH+∠DEC=90°, ∴∠EGD=180°-90°=90°,∴DF⊥AC 25. (12 分)如图,在▱ ABCD 中,BD 为对角线,EF 垂直平分 BD 分别交 AD、BC 的于点 E, F,交 BD 于点 O. (1)试说明:BF=DE; (2)试说明:△ABE≌△CDF; (3)如果在▱ ABCD 中,AB=5,AD=10,有两动点 P,Q 分别从 B,D 两点同时出发,沿 △BAE 和△DFC 各边运动一周,即点 P 自 B→A→E→B 停止,点 Q 自 D→F→C→D 停止,点 P 运动的路程是 m,点 Q 运动的路程是 n,当四边形 BPDQ 是平行四边形时,求 m 与 n 满足的数 量关系.(画出示意图) (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO,∵EF 垂直平分 BD,∴OB=OD,在△EOD 和△FOB 中,∵ ∠EOD=∠FOB, OD=OB, ∠EDO=∠FBO, ∴△EOD≌△FOB(ASA),∴BF=DE (2)证明:∵△EOD≌△FOB,∴DE=BF,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C,AB =CD,AD=BC,∴AD-DE=BC-BF,∴AE=CF,在△ABE 和△CDF 中,∵ AB=CD, ∠A=∠C, AE=CF, ∴△ABE ≌△CDF(SAS) (3)解:∵EF 垂直平分 BD,∴BF=DF,∵△ABE≌△CDF,∴DF=BE,AE=CF,∴△DFC 的周长是 DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15,△ABE 的周长也是 15. ①当 P 在 AB 上,Q 在 CD 上,如图①,∵AB∥CD,∴∠BPO=∠DQO,∵∠POB=∠DOQ, OB=OD,∴△BPO≌△DQO,∴BP=DQ,∴m+n=BP+DF+CF+CQ=DF+CF+CQ+DQ=DF+CF +CD=15 ②当 P 在 AE 上,Q 在 CF 上,如图②,∵AD∥BC,∴∠PEO=∠QFO,∵△EOD≌△FOB, ∴OE=OF,∵∠PEO=∠QFO,∠EOP=∠FOQ,∴△PEO≌△QFO,∴PE=QF,∵AE=CF,∴CQ =AP,m+n=AB+AP+DF+FQ=CD+CQ+DF+FQ=DF+CF+CD=15 ③当 P 在 BE 上,Q 在 DF 上,如图③,∵AD=BC,AE=CF,∴DE=BF,∵DE∥BF,∴四 边形 BEDF 是平行四边形,∴BE=DF,BE∥DF,∴∠PEO=∠FQO,∵∠EOP=∠FOQ,OE=OF, ∴△PEO≌△QFO,∴PE=FQ,∴m+n=AB+AE+PE+DQ=CD+CF+QF+DQ=DF+CF+CD=15 39 期末检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(德州中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B) 2.若分式|x|-1 x+1 的值为零,则 x 的值是(A) A.1 B.-1 C.±1 D.2 3.(湘西州中考)不等式组 x>-2 x≤1 的解集在数轴上表示正确的是(C) 4.(贺州中考)下列各式分解因式正确的是(A) A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2 C.2x2-8y2=2(x+4y)(x-4y) D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y) 5.(甘孜州中考)若 x=4 是分式方程a-2 x = 1 x-3 的根,则 a 的值为(A) A.6 B.-6 C.4 D.-4 6.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则 ∠C 的度数为(C) A.50° B.60° C.70° D.80° ,第 6 题图) ,第 9 题图) ,第 10 题图) 7.在平面直角坐标系中,已知线段 AB 的两个端点分别是 A(4,-1),B(1,1).将线 段 AB 平移后得到线段 A′B′,若点 A′的坐标为(-2,2),则点 B′的坐标为(A) A.(-5,4) B.(4,3) C.(-1,-2) D.(-2,-1) 8.(淄博中考)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任 40 务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%,结果提前 30 天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米,则下面所列方程中正确的 是(C) A.60 x - 60 (1+25%)x =30 B. 60 (1+25%)x -60 x =30 C.60×(1+25%) x -60 x =30 D.60 x -60×(1+25%) x =30 9.一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图,则下列结论:①当 x<3 时,y1>0; ②当 x<3 时,y2>0;③当 x>3 时,y1<y2,正确的个数是(C) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 10.如图所示,在四边形 ABCD 中,AB=CD,对角线 AC,BD 相交于点 O,AE⊥BD 于点 E, CF⊥BD 于点 F,连接 AF,CE,若 DE=BF,则下列结论:①CF=AE;②OE=OF;③四边形 ABCD 是平行四边形;④图中共有四对全等三角形.其中正确结论的个数是(B) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11.(宜宾中考)分解因式:2a3b-4a2b2+2ab3=2ab(a-b)2. 12.(巴中中考)不等式组 3x≤2x-4, x-1 2 -1<x+1的整数解是 x=-4. 13.(张家界中考)如图,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°,得到△ADE,这时点 B,C, D 恰好在同一直线上,则∠B 的度数为 15°. ,第 13 题图) ,第 14 题图) , 第 15 题图) 14.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB, AC 于 D,E 两点,则 CD 的长为25 8 . 15.如图,在△ABC 中,AD 是中线,AE 是角平分线,CF⊥AE 于 F,AB=5,AC=2,则 DF 的长为 3 2 . 16.如图,平行四边形 ABCD 中,AB=8 cm,AD=12 cm,点 P 在 AD 边上以每秒 1 cm 的 速度从点 A 向点 D 运动,点 Q 在 BC 边上,以每秒 4 cm 的速度从点 C 出发,在 CB 间往返运 动,两个点同时出发,当点 P 到达点 D 时停止(同时点 Q 也停止),在运动以后,以 P,D,Q, B 四点组成平行四边形的次数有 3 次. 三、解答题(共 72 分) 17.(8 分)解方程(或不等式组): 41 (1) x x-1 -1= 3 (x-1)(x+2) ; 解:去分母得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,去括号得 x2+2x-x2-2x+x+2=3,合并 同类项,得 x=1,检验:当 x=1 时,x-1=0,不合题意,应舍去,∴原方程无解 (2) x+6≤3x+4, 1+2x 3 >x-1. 解:解方程 x+6≤3x+4,得 x≥1,解方程1+2x 3 >x-1,得 x<4,∴方程的解集为 1≤x <4 18.(6 分)(孝感中考)如图,B,E,C,F 在一条直线上,已知 AB∥DE,AC∥DF,BE= CF,连接 AD.求证:四边形 ABED 是平行四边形. 证明:∵AB∥DE,AC∥DF,∴∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.∵BE=CF,∴BE+CE=CF+CE, ∴BC=EF.在△ABC 和△DEF 中, ∠B=∠DEF, BC=EF, ∠ACB=∠F, ∴△ABC≌△DEF(ASA),∴AB=DE.又∵AB∥ DE,∴四边形 ABED 是平行四边形 19.(6 分)(遵义中考)化简分式( a2-3a a2-6a+9 + 2 3-a )÷a-2 a2-9 ,并在 2,3,4,5 这四个数 中取一个合适的数作为 a 的值代入求值. 解:原式=[a(a-3) (a-3)2 - 2 a-3 ]÷ a-2 (a+3)(a-3) =( a a-3 - 2 a-3 )·(a+3)(a-3) a-2 = a-2 a-3 ·(a+3)(a-3) a-2 =a+3,∵a≠-3,2,3,∴a=4 或 a=5,当 a=4 时,原式=7 20.(7 分)(黄冈中考)如图,在▱ ABCD 中,分别以边 BC,CD 作等腰△BCF,△CDE,使 BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接 AF,AE. (1)求证:△ABF≌△EDA;(3 分) 42 (2)延长 AB 与 CF 相交于 G.若 AF⊥AE,求证:BF⊥BC.(4 分) (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC,∵BC=BF, CD=DE,∴BF=AD,AB=DE,∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°,∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°, ∠EDC=∠CBF,∴∠ADE=∠ABF,∴△ABF≌△EDA (2)证明:延长 FB 交 AD 于 H.∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°,∵△ABF≌△EDA,∴∠EAD= ∠AFB,∵∠EAD+∠FAH=90°,∴∠FAH+∠AFB=90°,∴∠AHF=90°,即 FB⊥AD,∵ AD∥BC,∴FB⊥BC 21.(7 分)△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)作△ABC 关于点 C 成中心对称的△A1B1C;(3 分) (2)将△A1B1C 向右平移 4 个单位,作出平移后的△A2B2C2.(4 分) 解:画图略 22.(8 分)(邵阳中考)某公司计划购买 A,B 两种型号的机器人搬运材料.已知 A 型机 器人比 B 型机器人每小时多搬运 30 kg 材料,且 A 型机器人搬运 1000 kg 材料所用的时间与 B 型机器人搬运 800 kg 材料所用的时间相同. (1)求 A,B 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料; (2)该公司计划采购 A,B 两种型号的机器人共 20 台,要求每小时搬运材料不得少于 2800 kg,则至少购进 A 型机器人多少台? 解:(1)设 B 型机器人每小时搬运 x 千克材料,则 A 型机器人每小时搬运(x+30)千克材 料,根据题意,得 1000 x+30 =800 x ,解得 x=120.经检验,x=120 是所列方程的解.当 x=120 时,x+30=150.答:A 型机器人每小时搬运 150 千克材料,B 型机器人每小时搬运 120 千克 材料 (2)设购进 A 型机器人 a 台,则购进 B 型机器人(20-a)台,根据题意,得 150a+120(20 43 -a)≥2800,解得 a≥40 3 .∵a 是整数,∴a≥14.答:至少购进 A 型机器人 14 台 23.(8 分)如图,在▱ ABCD 中,AE⊥BC,垂足为点 E,CE=CD,点 F 为 CE 的中点,点 G 为 CD 上的一点,连接 DF,EG,AG,∠1=∠2. (1)若 CF=2,AE=3,求 BE 的长; (2)求证:∠CEG=1 2 ∠AGE. 解:(1)∵点 F 为 CE 的中点,∴CE=CD=2CF=4.又∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴AB =CD=4.在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 BE= AB2-AE2= 7 (2)延长 AG,BC 交于点 H.∵∠2=∠1,∠ECG=∠DCF,CE=CD,∴△CEG≌△CDF(AAS), ∴CG=CF.∵CD=CE=2CF,∴CG=GD.∵在▱ ABCD 中,AD∥BC,∴∠DAG=∠CHG,∠ADG= ∠HCG.∴△ADG ≌ △ HCG(AAS) , ∴AG = HG.∵∠AEH = 90° , ∴EG = AG = HG.∴∠CEG = ∠H.∵∠AGE=∠CEG+∠H,∴∠AGE=2∠CEG,即∠CEG=1 2 ∠AGE 24.(10 分)【发现】 任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数. 【验证】 (1)(-1)2+02+12+22+32 的结果是 5 的几倍?(3 分) (2)设五个连续整数的中间一个为 n,写出它们的平方和,并说明是 5 的倍数.(3 分) 【延伸】 任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是几呢?请写出理由.(4 分) 解:【验证】 (1)(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15,15÷5=3,即(-1)2 +02+12+22+32 的结果是 5 的 3 倍 (2)设五个连续整数的中间一个为 n,则其余的 4 个整数分别是 n-2,n-1,n+1,n +2,它们的平方和为(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=n2-4n+4+n2-2n+1+n2 +n2+2n+1+n2+4n+4=5n2+10=5(n2+2),又∵n 是整数,∴n2+2 是整数,∴五个连续 整数的平方和是 5 的倍数 【延伸】 设三个连续整数的中间一个为 n,则其余的 2 个整数是 n-1,n+1,它们的 平方和为(n-1)2+n2+(n+1)2=n2-2n+1+n2+n2+2n+1=3n2+2,∵n 是整数,∴n2 是整 数,∴任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2 25. (12 分)如图①,点 A 是线段 BC 上一点,△ABD 和△ACE 都是等边三角形. (1)连接 BE,CD,求证:BE=CD;(4 分) (2)如图②,将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得到△AB′D′. ①当旋转角为 度时,边 AD′落在边 AE 上;(3 分) ②在①的条件下,延长 DD′交 CE 于点 P,连接 BD′,CD′,当线段 AB,AC 满足什么 44 数量关系时,△BDD′与△CPD′全等?并给予证明.(5 分) 解:(1)∵△ACE 和△ABD 都是等边三角形,∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=60°, ∴∠BAD+∠DAE=∠EAC+∠DAE,即∠BAE=∠DAC,∴△BAE≌△DAC(SAS),∴BE=CD (2) ①60 ②当 AC=2AB 时,△BDD′与△CPD′全等.证明:∵由旋转可知△ABD≌△AB′D′, ∵△ABD 为等边三角形,∴△AB′D′也为等边三角形,且它们的边长相等,∴AB=BD=DD′ =AD′,∠BDA=∠D′DA=60°,∴∠BDD′=120°,∴∠DBD′+∠DD′B=60°,∵BD =DD′,∴∠DBD′=∠DD′B=1 2 ×60°=30°,∵AC=2AB,且 AB=AD′,∴AC=2AD′, 又∵△ACE 为等边三角形,∴AC=AE,∴AE=2AD′,∴D′为 AE 的中点,∴D′E=AD′= DD′,∵△ADD′为等边三角形,∴∠AD′D=60°,∴∠PD′E=∠AD′D=60°,又∵∠E =60°,∴∠EPD′=60°,∴△PD′E 为等边三角形,∴PD′=D′E,∴PD′=DD′,∵ ∠EPD′=60°,∴∠D′PC=120°,∴∠BDD′=∠CPD′=120°,∵△ACE 为等边三角形, D′为 AE 的中点,∴∠PCD′=1 2 ∠ACE=30°,在△BDD′和△CPD′中,∠DBD′=∠PCD′ =30°,∠BDD′=∠CPD′=120°,DD′=PD′,∴△BDD′≌△CPD′(AAS)

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