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- 2021-10-26 发布
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1
第一章检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.如图,直线 l1∥l2,以直线 l1 上的点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交直线 l1,
l2 于点 B,C,连接 AC,BC.若∠ABC=67°,则∠1 的度数为(B)
A.23° B.46° C.67° D.78°
,第 1 题图) ,第 2 题图) ,
第 3 题图)
2.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.则下列
结论错误的是(D)
A.AD⊥BC B.∠BAD=∠CAD
C.DE=DF D.BE=DE
3.(福建中考)如图,等边三角形 ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,点 E 在线段 AD 上,∠EBC
=45°,则∠ACE 等于(A)
A.15° B.30° C.45° D.60°
4.(达州二模)如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,DE 垂直平
分 AB,垂足为 E,若 BC=3,则 AD 的长为(C)
A. 3 B.2 C.2 3 D.4
,第 4 题图) ,第 5 题图) ,
第 10 题图)
5.(雅安中考)如图,四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,∠B=60°,AD=1,BC=2,
则四边形 ABCD 的面积是(A)
A.3 3
2
B.3 C.2 3 D.4
6.已知三角形三内角之间有∠A=1
2
∠B=1
3
∠C,它的最长边为 10,则此三角形的面积
为(D)
A.20 B.10 3 C.5 3 D.25 3
2
7.已知△ABC 的三边长分别为 4、4、6,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分
割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画(B)
A.3 条 B.4 条 C.5 条 D.6 条
8.已知等边△ABC 的边长为 12,D 是 AB 上的动点,过 D 作 DE⊥AC 于点 E,过 E 作 EF
⊥BC 于点 F,过 F 作 FG⊥AB 于点 G.当 G 与 D 重合时,AD 的长是(C)
2
A.3 B.4 C.8 D.9
9.下列说法:①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等;②两个锐角分别
相等的两个直角三角形全等;③有一个角和底边分别相等的两个等腰三角形全等;④一条直
角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.其中正确的有(B)
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
10.如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点 C,D,E
在同一条直线上,连接 BD,BE.下列四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;
④BE2=2(AD2+AB2).其中结论正确的个数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
11.(南通中考)一个等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 9 cm,则它的周长为 22cm.
12.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,CD=4,则点 D
到 AB 的距离为 4.
,第 12 题图) ,第 13 题图) ,第
14 题图)
13.如图,已知点 B,C,F,E 在同一条直线上,∠1=∠2,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,
还需添加一个条件,这个条件可以是 AC=DF(答案不唯一).(只需写出一个)
14.如图,△ABC 的周长为 22 cm,AB 的垂直平分线交 AC 于点 E,垂足为 D,若△BCE
的周长为 14 cm,则 AB=8 cm.
15.如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是 BC 边上的中点,E 是 AB 边上
一动点,则 EC+ED 的最小值是 5.
,第 15 题图) ,第 16 题图)
16.(葫芦岛中考)如图,∠MON=30°,点 B1 在边 OM 上,且 OB1=2,过点 B1 作 B1A1⊥OM
交 ON 于点 A1,以 A1B1 为边在 A1B1 右侧作等边三角形 A1B1C1;过点 C1 作 OM 的垂线分别交 OM,
ON 于点 B2,A2,以 A2B2 为边在 A2B2 的右侧作等边三角形 A2B2C2;过点 C2 作 OM 的垂线分别交
OM,ON 于点 B3,A3,以 A3B3 为边在 A3B3 的右侧作等边三角形 A3B3C3,…;按此规律进行下去,
则△AnAn+1Cn 的面积为(3
2
)2n-2× 3
3
.(用含正整数 n 的代数式表示)
点拨:由题意△A1A2C1 是等边三角形,边长为2 3
3
,△A2A3C2 是等边三角形,边长为3
2
×2 3
3
,
△A3A4C3 是等边三角形,边长为3
2
×3
2
×2 3
3
=(3
2
)2×2 3
3
,△A4A5C4 是等边三角形,边长为3
2
×3
2
×3
2
×2 3
3
=(3
2
)3×2 3
3
,…,△AnAn+1Cn 的边长为(3
2
)n-1×2 3
3
,∴△AnAn+1Cn 的面积为 3
4
×[(3
2
)n
3
-1×2 3
3
]2=(3
2
)2n-2× 3
3
三、解答题(共 72 分)
17.(6 分)如图,点 D,E 在△ABC 的 BC 边上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.
证明:过点 A 作 AP⊥BC 于 P.∵AB=AC,∴BP=PC,∴AD=AE,∴DP=PE,∴BP-DP=
PC-PE,∴BD=CE
18.(7 分)(成都期末)如图,在△ABC 中,∠B=30°,边 AB 的垂直平分线分别交 AB
和 BC 于点 D,E,且 AE 平分∠BAC.
(1)求∠C 的度数;(3 分)
(2)若 CE=1,求 AB 的长.(4 分)
解:(1)∵DE 是线段 AB 的垂直平分线,∠B=30°,∴∠BAE=∠B=30°,∵AE 平分∠
BAC,∴∠EAC=∠BAE=30°,即∠BAC=60°,∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°
-30°=90°
(2)∵∠C=90°,∠B=30°,AE 平分∠BAC,CE=1,∴AC= 3,∴AB=2 3
19.(7 分)(达州期末)如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE∥AC,EF⊥AD 交 BC 延长线
于 F.求证:∠FAC=∠B.
证明:∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵DE∥AC,∴∠EDA=∠CAD,∴∠EDA=∠
EAD,∴AE=ED,又∵EF⊥AD,∴EF 是 AD 的垂直平分线,∴AF=DF,∴∠FAD=∠FDA.又∵
∠FAD=∠CAD+∠FAC,∠FDA=∠B+∠BAD,∴∠FAC=∠B
20.(7 分)如图,已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,且 AD
=AE,连接 BE,CD,交于点 F.
(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系,并说明理由;(3 分)
(2)求证:过点 A,F 的直线垂直平分线段 BC.(4 分)
4
解:(1)∠ABE=∠ACD.理由:在△ABE 和△ACD 中,
AB=AC,
∠A=∠A,
AE=AD,
∴△ABE≌△ACD,∴∠
ABE=∠ACD
(2)连接 AF.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由(1)可知∠ABE=∠ACD,∴∠FBC=∠FCB,
∴FB=FC,∵AB=AC,∴点 A,F 均在线段 BC 的垂直平分线上,即直线 AF 垂直平分线段 BC
21.(7 分)如图,在△ABC 中,∠A=60°,点 D 是 BC 边的中点,DE⊥BC,∠ABC 的平
分线 BF 交 DE 于△ABC 内一点 P,连接 PC.
(1)若∠ACP=24°,求∠ABP 的度数;(4 分)
(2)若∠ACP=m°,∠ABP=n°,请直接写出 m,n 满足的关系式:________________.(3
分)
解:(1)∵点 D 是 BC 边的中点,DE⊥BC,∴PB=PC,∴∠PBC=∠PCB.∵BP 平分∠ABC,
∴∠PBC=∠ABP,∴∠PBC=∠PCB=∠ABP,∵∠A=60°,∠ACP=24°,∴∠PBC+∠PCB
+∠ABP=180°-60°-24°,
∴3∠ABP=120°-24°,∴∠ABP=32°
(2)m+3n=120
22.(8 分)如图,为了测出某塔 CD 的高度,在塔前的平地上选择一点 A,用测角仪测得
塔顶 D 的仰角为 30°,在 A,C 之间选择一点 B(A,B,C 三点在同一直线上).用测角仪测
得塔顶 D 的仰角为 75°,且 AB 间的距离为 40 m.
(1)求点 B 到 AD 的距离;
(2)求塔高 CD.(结果用根号表示)
解:(1)过点 B 作 BE⊥AD,垂足为 E,∴∠AEB=90°,又∵∠A=30°,∴BE=1
2
AB=1
2
×40
=20(m)
(2)AE= AB2-BE2=20 3,∵∠A+∠ADB=∠DBC=75°,∴∠ADB=75°-∠A=45°,
∵BE⊥AD,∴∠BED=90°,∴∠DBE=∠ADB=45°,∴DE=BE=20,∴AD=AE+DE=20 3
5
+20,∵CD⊥AC,∴∠C=90°,又∵∠A=30°,∴CD=1
2
AD=1
2
(20 3+20)=(10 3+10) m
23.(8 分)在△ABC 中,∠B=22.5°,边 AB 的垂直平分线 DP 交 AB 于点 P,交 BC 于点
D,且 AE⊥BC 于点 E,DF⊥AC 于点 F,DF 与 AE 交于点 G,求证:EG=EC.
解:如图所示:
连接 AD,∵∠B=22.5°,且 DP 为 AB 的垂直平分线,∴DB=DA,∴∠B=∠BAD,∴∠
ADE=2∠B=45°,在 Rt△ADE 中,∠ADE=45°,∴∠DAE=45°,∴AE=DE,∵AE⊥DE,
∴∠1+∠2=90°,∵DF⊥AC,∴∠2+∠C=90°,∴∠1=∠C.在△DEG 和△AEC 中,
∠1=∠C,
∠DEG=∠AEC=90°,
DE=AE,
∴△DEG≌△AEC(AAS),∴EG=EC
24.(10 分)如图,已知△ABC 是边长为 6 cm 的等边三角形,动点 P,Q 同时从 A,B 两
点出发,分别沿 AB,BC 方向匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1 cm/s,点 Q 运动的速度是
2 cm/s,当点 Q 到达点 C 时,P,Q 两点都停止运动,设运动时间为 t s,解答下列问题:
(1)当点 Q 到达点 C 时,PQ 与 AB 的位置关系如何?请说明理由;
(2)在点 P 与点 Q 的运动过程中,△BPQ 是否能成为等边三角形?若能,请求出 t 的值;
若不能,请说明理由.
解:(1)当点 Q 到达点 C 时,PQ 与 AB 垂直,即△BPQ 为直角三角形.理由:∵AB=AC
=BC=6 cm,∴当点 Q 到达点 C 时,AP=3 cm,∴点 P 为 AB 的中点.∴QP⊥BA(等腰三角形
三线合一的性质) (2)假设在点 P 与点 Q 的运动过程中,△BPQ 能成为等边三角形,则有 BP
=BQ,∴6-t=2t,解得 t=2,又∠B=60°,∴当 t=2 时,△BPQ 是等边三角形
6
25. (12 分)如图 1,已知点 B(0,6),点 C 为 x 轴上一动点,连接 BC,△ODC 和△EBC
都是等边三角形.
(1)求证:DE=BO;(3 分)
(2)如图 2,当点 D 恰好落在 BC 上时.
①求 OC 的长及点 E 的坐标;(3 分)
②在 x 轴上是否存在点 P,使△PEC 为等腰三角形?若存在,写出点 P 的坐标;若不存
在,说明理由;(3 分)
③如图 3,点 M 是线段 BC 上的动点(点 B,C 除外),过点 M 作 MG⊥BE 于点 G,MH⊥CE
于点 H,当点 M 运动时,MH+MG 的值是否发生变化?若不会变化,直接写出 MH+MG 的值;
若会变化,简要说明理由.(3 分)
(1)证明:∵△ODC 和△EBC 都是等边三角形,∴OC=DC,BC=CE,∠OCD=∠BCE=60°,
∴∠BCE+∠BCD=∠OCD+∠BCD,即∠ECD=∠BCO,∴△DEC≌△OBC(SAS),∴DE=BO
(2)①∵△ODC 是等边三角形,∴∠OCB=60°.∵∠BOC=90°,∴∠OBC=30°.设 OC
=x,则 BC=2x,∴x2+62=(2x)2,解得 x=2 3,∴OC=2 3,BC=4 3.∵△EBC 是等边三
角形,∴BE=BC=4 3.又∵∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°,∴E(4 3,6)
②若点 P 在 C 点左侧,则 CP=CE=4 3,OP=4 3-2 3=2 3,点 P 的坐标为(-2 3,
0);若点 P 在 C 点右侧,CP=CE=4 3,则 OP=2 3+4 3=6 3,点 P 的坐标为(6 3,0),
若 CP=EP,∵∠DCO=60°,∠BCE=60°,∴∠ECP=60°,∴△ECP 为等边三角形,∴CP
=EP=CE=4 3,则 OP=2 3+4 3=6 3,点 P 的坐标为(6 3,0),综上,点 P 坐标为(-
2 3,0)或(6 3,0)
③不会变化,MH+MG=6
第二章检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.已知实数 a,b 满足 a+1>b+1,则下列选项错误的为(D)
A.a>b B.a+2>b+2
C.-a<-b D.2a>3b
2.(海南中考)下列四个不等式组中,解集在数轴上表示如图所示的是(D)
A.
x≥2
x>-3
B.
x≤2
x<-3
C.
x≥2
x<-3
D.
x≤2
x>-3
7
3.(株洲中考)下列哪个选项中的不等式与不等式 5x>8+2x 组成的不等式组的解集为8
3
<x<5(C)
A.x+5<0 B.2x>10
C.3x-15<0 D.-x-5>0
4.不等式 6-4x≥3x-8 的非负整数解为(B)
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
5.如果点 P(3-m,1)在第二象限,那么关于 x 的不等式(2-m)x+2>m 的解集是(B)
A.x>-1 B.x<-1
C.x>1 D.x<1
6.(徐州中考)若函数 y=kx+b 的图象如图所示,则关于 x 的不等式 kx+2b<0 的解集
为(D)
A.x<3
B.x>3
C.x<6
D.x>6
7.(聊城中考)已知不等式2-x
2
≤2x-4
3
<x-1
2
,其解集在数轴上表示正确的是(A)
8.已知关于 x 的不等式组
x-a≥b,
2x-a<2b+1
的解集为 3≤x<5,则 a,b 的值为(A)
A.a=-3,b=6 B.a=6,b=-3
C.a=1,b=2 D.a=0,b=3
9.已知在某超市内购物总金额超过 190 元时,购物总金额有打八折的优惠,安妮带 200
元到此超市买棒棒糖.若棒棒糖每根 9 元,则她最多可买多少根棒棒糖(C)
A.22 B.23 C.27 D.28
10.某镇有甲,乙两家液化气站,它们每罐液化气的价格,质地和重量都相同.为了促
销,甲站的液化气每罐降价 25%销售;每个用户购买乙站的液化气,第 1 罐按照原价销售,
若用户继续购买,则从第 2 罐开始以 7 折优惠,促销活动都是一年.若小明家每年需购买 8
罐液化气,则购买液化气最省钱的方法是(B)
A.买甲站的
B.买乙站的
C.买两站的都一样
D.先买甲站的 1 罐,以后买乙站的
二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
8
11.已知“x 的 3 倍大于 5,且 x 的一半与 1 的差不大于 2”,则 x 的取值范围是5
3
<x≤
6.
12.(贵阳中考)已知关于 x 的不等式组
5-3x≥-1,
a-x<0
无解,则 a 的取值范围是 a≥2.
13.要使关于 x 的方程 5x-2m=3x-6m+1 的解在-3 与 4 之间,m 的取值范围是-7
4
<
m<7
4
.
14.(白银中考)如图,一次函数 y=-x-2 与 y=2x+m 的图象相交于点 P(n,-4),
则关于 x 的不等式组
2x+m<-x-2,
-x-2<0
的解集为-2<x<2.
15.若关于 x,y 的二元一次方程组
2x+y=3k-1,
x+2y=-2
的解满足 x+y>1,则 k 的取值范
围是 k>2.
16.商店购进一批文具盒,进价每个 4 元,零售价每个 6 元,为促进销售,决定打折销
售,但利润率仍不低于 20%,那么该文具盒实际价格最多可打 8 折销售.
三、解答题(共 72 分)
17.(10 分)解下列不等式组,并把解集在数轴上表示出来:
(1)
2(x+1)≤x+3,
x-4<3x;
(2)
2x>3x-2,
2x-1
3
≥1
2
x-2
3
.
解:-2<x≤1 解:-2≤x<2
数轴表示略 数轴表示略
18.(6 分)已知关于 x,y 的方程组
5x+2y=11a+18,
2x-3y=12a-8
的解满足 x>0,y>0,求实数
a 的取值范围.
解:解方程组得
x=3a+2,
y=4-2a,
∵x>0,y>0,∴
3a+2>0,
4-2a>0,
解得-2
3
<a<2
19.(6 分)小明解不等式1+x
2
-2x+1
3
≤1 的过程如图.请指出他解答过程中错误步骤的
9
序号,并写出正确的解答过程.
解:错误的是①②⑤,正确解答过程如下:去分母,得 3(1+x)-2(2x+1)≤6,去括
号,得 3+3x-4x-2≤6,移项,得 3x-4x≤6-3+2,合并同类项,得-x≤5,两边都除
以-1,得 x≥-5
20.(6 分)x 取哪些整数值时,不等式 5x+2>3(x-1)与 1
2
x≤2-3
2
x 都成立?
解:根据题意解不等式组
5x+2>3(x-1),①
1
2
x≤2-3
2
x,② 解不等式①,得 x>-5
2
,解不等式②,
得 x≤1,∴-5
2
<x≤1,故满足条件的整数有-2,-1,0,1
21.(7 分)某校九年级有三个班,其中九(一)班和九(二)班共有 105 名学生,在期末体
育测试中,这两个班级共有 79 名学生满分,其中九(一)班的满分率为 70%,九(二)班的满
分率为 80%.
(1)求九(一)班和九(二)班各有多少名学生;(3 分)
(2)该校九(三)班有 45 名学生,若九年级体育成绩的总满分率超过 75%,求九(三)班至
少有多少名学生体育成绩是满分.(4 分)
解:(1)设九(一)班有 x 名学生,九(二)班有 y 名学生,根据题意得
x+y=105,
70%x+80%y=79,
解得
x=50,
y=55.
答:九(一)班有 50 名学生,九(二)班有 55 名学生
(2)设九(三)班有 m 名学生体育成绩满分,根据题意得 79+m>(105+45)×75%,解得 m
>33.5,∵m 为整数,∴m 的最小值为 34.答:九(三)班至少有 34 名学生体育成绩是满分
22.(7 分)若关于 x 的不等式组
x
2
+x+1
3
>0,
3x+5a+4>4(x+1)+3a
恰有三个整数解,求实数 a
的取值范围.
10
解:解不等式x
2
+x+1
3
>0 得 x>-2
5
,解不等式 3x+5a+4>4(x+1)+3a 得 x<2a,∵
不等式组恰有三个整数解,∴2<2a≤3,∴1<a≤3
2
23.(8 分)(达州期末)如图,在平面直角坐标系中,直线 L1:y=-1
2
x+6 分别与 x 轴,
y 轴交于点 B,C,且与直线 L2:y=1
2
x 交于点 A.
(1)分别求出点 A,B,C 的坐标;(3 分)
解:(1)直线 L1:y=-1
2
x+6,当 x=0 时,y=6,当 y=0 时,x=12,则 B(12,0),
C(0,6),解方程组
y=-1
2
x+6,
y=1
2
x
得
x=6,
y=3,
则 A(6,3),故 A(6,3),B(12,0),C(0,6)
(2)直接写出关于 x 的不等式-1
2
x+6>1
2
x 的解集;(2 分)
(3)若 D 是线段 OA 上的点,且△COD 的面积为 12,求直线 CD 的函数表达式.(3 分)
解:(2)关于 x 的不等式-1
2
x+6>1
2
x 的解集为 x<6
(3)设 D(x,1
2
x),∵△COD 的面积为 12,∴1
2
×6×x=12,解得 x=4,∴D(4,2),设直
线 CD 的函数表达式是 y=kx+b,把 C(0,6),D(4,2)代入得
6=b,
2=4k+b,
解得
k=-1,
b=6,
∴
直线 CD 的函数表达式为 y=-x+6
24.(10 分)甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方
案:在甲商场累计购物超过 100 元后,超出 100 元的部分按 90%收费;在乙商场累计购物超
过 50 元后,超出 50 元的部分按 95%收费,设小红在同一商场累计购物 x 元,其中 x>100.
(1)根据题意,填写下表(单位:元):(3 分)
累计购物
实际花费 130 290 … x
在甲商场 127 271 …
11
在乙商场 126 …
(2)当 x 取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?(3 分)
(3)当小红在同一商场累计购物超过 100 元时,在哪家商场的实际花费少?(4 分)
解:(1)100+(x-100)×90% 278 50+(x-50)×95% (2)根据题意得 100+(x-100)
×90%=50+(x-50)×95%,解得 x=150.即当 x=150 时,小红在甲、乙两商场的实际花费
相同 (3)由 100+(x-100)×90%<50+(x-50)×95%,解得 x>150;由 100+(x-100)×
90%>50+(x-50)×95%,解得 x<150.∴当小红累计购物超过 150 元时,选择甲商场实际
花费少,当小红累计购物超过 100 元而不到 150 元时,选择乙商场实际花费少
25. (12 分)去冬今春,我市部分地区遭受了罕见的旱灾,“旱灾无情人有情”.某单位
给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共 320 件,其中饮用水比蔬菜多 80 件.
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件?
(2)现计划租用甲,乙两种货车共 8 辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小
学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水 40 件和蔬菜 10 件,每辆乙种货车最多可装饮用水和
蔬菜各 20 件,则运输部门安排甲,乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来;
(3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费 400 元,乙种货车每辆需付运费 360
元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?
解:(1)设饮用水有 x 件,则蔬菜有(x-80)件,由题意得 x+(x-80)=320,解得 x=
200,∴x-80=120.则饮用水和蔬菜分别为 200 件和 120 件 (2)设租用甲种货车 m 辆,则
租用乙种货车(8-m)辆,由题意得
40m+20(8-m)≥200,
10m+20(8-m)≥120,
解得 2≤m≤4.∵m 为正整数,
∴m=2 或 3 或 4.故安排甲、乙两种货车时有 3 种方案,设计方案分别为①甲车 2 辆,乙车
6 辆;②甲车 3 辆,乙车 5 辆;③甲车 4 辆,乙车 4 辆 (3)3 种方案的运费分别为①2×400
+6×360=2960(元);②3×400+5×360=3000(元);③4×400+4×360=3040(元);∴方
案①运费最少,最少运费是 2960 元.则运输部门应安排甲车 2 辆,乙车 6 辆,可使运费最
少,最少运费是 2960 元
第三章检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.在 A,B,C、D 四幅图案中,能通过图平移得到的是(B)
12
2.如图,下列四个图形中,△ABC 经过旋转之后不能得到△A′B′C′的是(D)
3.(天津中考)下列图形中,可以看作是中心对称图形的是(A)
4.(吉林中考)如图,将木条 a,b 与 c 钉在一起,∠1=70°,∠2=50°,要使木条 a
与 b 平行,木条 a 旋转的度数至少是(B)
A.10°
B.20°
C.50°
D.70°
5.一个图形无论经过平移还是旋转,下列说法:①对应线段相等;②对应线段平行;
③对应角相等;④图形的形状和大小都没有发生变化.其中正确的有(C)
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
6.如图,在平面直角坐标系中,若△ABC 与△A1B1C1 关于 E 点成中心对称,则对称中心
E 点的坐标是(A)
A.(3,-1) B.(0,0) C.(2,-1) D.(-1,3)
,第 6 题图) ,第 7 题图) ,第
8 题图)
7.如图,将△ABC 沿射线 BC 向右平移到△DCE 的位置,连接 AD,则下列结论:①AB∥
CD;②AC=DE;③AD=BC;④∠B=∠ADC;⑤△ACD≌△EDC.其中正确的结论有(A)
A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
8.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2.△A′B′C 可以由△ABC
绕点 C 顺时针旋转得到,其中点 A′与点 A 是对应点,点 B′与点 B 是对应点,连接 AB′,
且 A,B′,A′在同一条直线上,则 AA′的长为(A)
A.6 B.4 3 C.3 3 D.3
9.如图,如果把△ABC 的顶点 A 先向下平移 3 格,再向左平移 1 格到达 A′点,连接 A′
B,那么线段 A′B 与线段 AC 的关系是(D)
A.垂直 B .相等 C.平分 D.平分且垂直
13
,第 9 题图) ,第 10 题图)
10.如图,△DEC 是由△ABC 经过了如下的几何变换而得到的:①以 AC 所在直线为对称
轴作轴对称,再以 C 为旋转中心,顺时针旋转 90°;②以 C 为旋转中心,顺时针旋转 90°
得△A′B′C′,再以 A′C′所在直线为对称轴作轴对称;③将△ABC 向下向左各平移 1 个
单位长度,再以 AC 的中点为中心作中心对称,其中正确的变换有(A)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
11.(长沙中考)在平面直角坐标系中,将点 A(-2,3)向右平移 3 个单位长度,再向下
平移 2 个单位长度,那么平移后对应的点 A′的坐标是(1,1).
12.如图,已知面积为 1 的正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,过点 O 任作一条直线分
别交 AD,BC 于 E,F,则阴影部分的面积是1
4
.
,第 12 题图) ,第 13 题图) ,第
14 题图)
13.如图,△A′B′C′是由△ABC 沿 BC 方向平移得到的,若 BC=5 cm,AC=4.5 cm,
B′C=2 cm,那么 A′C′=4.5cm,A,A′两点之间的距离为 3cm.
14.如图,在△ABC 中,∠BAC=115°,∠ACB=25°,把△ABC 以 AC 为对称轴作对称
变换得△ADC,又把△ABC 绕点 B 逆时针旋转 55°得△FBE,则∠α的度数为 145°.
15.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋
转α(0°<α<90°)后得到△DEC,设 CD 交 AB 于点 F,连接 AD,当旋转角α的度数为 40°
或 20°时,△ADF 是等腰三角形.
,第 15 题图) ,第 16 题图)
16.在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1 是边长为 2 的等边三角形,作△B2A2B1 与
△OA1B1 关于点 B1 成中心对称,再作△B2A3B3 与△B2A2B1 关于点 B2 成中心对称,如此作下去,
则△B2nA2n+1B2n+1(n 是正整数)的顶点 A2n+1 的坐标是 (4n+1, 3) .
三、解答题(共 72 分)
17.(6 分)如图,将△ABC 沿直线 AB 向右平移后到达△BDE 的位置.
(1)若 AC=6 cm,则 BE=________cm;
(2)若∠CAB=50°,∠BDE=100°,求∠CBE 的度数.
14
解:(1)6
(2)根据平移的性质得 AC∥BE,∠ABC=∠BDE=100°,∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC
=180°-50°-100°=30°,由 AC∥BE 得∠CBE=∠C=30°
18.(6 分)如图,已知 AD=AE,AB=AC.
(1)求证:∠B=∠C;
(2)若∠A=50°,问△ADC 经过怎样的变换能与△AEB 重合?
(1)证明:在△AEB 与△ADC 中,AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,∴△AEB≌△ADC,∴∠B
=∠C
(2)解:先将△ADC 绕点 A 逆时针旋转 50°,再将△ADC 沿直线 AE 对折,即可得△ADC
与△AEB 重合.或先将△ADC 绕点 A 顺时针旋转 50°,再将△ADC 沿直线 AB 对折,即可得△
ADC 与△AEB 重合
19.(7 分)如图,边长为 4 的正方形 ABCD 绕点 D 旋转 30°后能与四边形 A′B′C′D
重合.
(1)旋转中心是哪一点?(1 分)
(2)四边形 A′B′C′D 是什么图形?面积是多少?(2 分)
(3)求∠C′DC 和∠CDA′的度数;(2 分)
(4)连接 AA′,求∠DAA′的度数.(2 分)
解:(1)点 D
(2)四边形 A′B′C′D 是正方形,面积为 4×4=16
(3)由题意得∠C′DC=30°,∠CDA′=90°-∠C′DC=60°
(4)∵AD=A′D,∠ADA′=30°,∴∠DAA′=(180°-30°)×1
2
=75°
20.(7 分)(1)在平面直角坐标系中找出点 A(-3,4),B(-4,1),C(-1,1),D(-2,
3)并将它们依次连接;(2 分)
(2)将(1)中所画图形先向右平移 4 个单位,再向下平移 3 个单位,画出第二次平移后的
图形;(2 分)
(3)如何将(1)中所画图形经过一次平移得到(2)中所画图形?平移前后对应点的横坐标
有什么关系?纵坐标呢?(3 分)
15
解:(1)画图略 (2)画图略 (3)将 A 点与它的对应点 A′连接起来,则 AA′= 32+42
=5,∴将(1)中所画图形沿 A 到 A′的方向平移 5 个单位长度得到(2)中所画图形.四边形 A′
B′C′D′与四边形 ABCD 相比,对应点的横坐标分别增加了 4,纵坐标分别减少了 3
21.(7 分)(枣庄中考)如图,在 4×4 的方格纸中,△ABC 的三个顶点都在格点上.
(1)在图 1 中,画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形;(2 分)
(2)在图 2 中,画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形;(2 分)
(3)在图 3 中,画出△ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90°后的三角形.(3 分)
解:(1)如图①所示,△DCE 为所求作
(2)如图②所示,△ACD 为所求作
(3)如图③所示,△ECD 为所求作
22.(8 分)如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,以 BC 为边向图形外作等边△BCD,把△
ABD 绕点 D 按顺时针方向旋转 60°到△ECD 的位置,若 AB=3,AC=2.
(1)求∠BAD 的度数;
(2)求 AD 的长.
解:(1)因为△DCE 是由△DBA 旋转后得到的,∴DE=DA,∵∠BDC=60°,∴∠ADE=60°,
∴△ADE 是等边三角形,∴∠DAE=60°,∠BAD=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°
(2)AD=AE=AC+CE=AC+AB=2+3=5
23.(9 分)如图 1,在△ABC 中,AC=BC,∠A=30°,点 D 在 AB 边上,且∠ADC=45°.
(1)求∠BCD 的度数;(3 分)
(2)将图 1 中的△BCD 绕点 B 顺时针旋转得到△BC′D′,当点 D′恰好落在 BC 边上时,
如图 2 所示,连接 C′C 并延长交 AB 于点 E.
①求∠C′CB 的度数;(3 分)
16
②求证:△C′BD′≌△CAE.(3 分)
解:(1)∵AC=BC,∠A=30°,∴∠B=∠A=30°.∵∠ADC=45°,∴∠BCD=∠ADC
-∠B=15°
(2)①由旋转,得 BC=BC′=AC,∠C′BD′=∠CBD=∠A=30°.∴∠CC′B=∠C′CB
=75°
②证明:∵∠CEB=∠C′CB-∠CBA=45°,∴∠ACE=∠CEB-∠A=15°.∴∠BC′D′
=∠BCD=∠ACE.在△C′BD′和△CAE 中,
∠BC′D′=∠ACE,
BC′=AC,
∠C′BD′=∠A,
∴△C′BD′≌△CAE(ASA)
24.(10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 Rt△DOE,∠DOE=90°,OD=3,点
D 在 y 轴上,点 E 在 x 轴上,在△ABC 中,点 A,C 在 x 轴上,AC=5,∠ACB+∠ODE=180°,
∠ABC=∠OED,BC=DE.按下列要求画图(保留作图痕迹):
(1)将△ODE 绕 O 点按逆时针方向旋转 90°得到△OMN(其中点 D 的对应点为点 M,点 E
的对应点为点 N),画出△OMN;(3 分)
(2)将△ABC 沿 x 轴向右平移得到△A′B′C′(其中 A,B,C 的对应点分别为点 A′,B′,
C′),使得 B′C′与(1)中△OMN 的边 NM 重合;(3 分)
(3)求 OE 的长.(4 分)
解:
(1)△OMN 如图所示
(2)△A′B′C′如图所示
(3)设 OE=x,则 ON=x,作 MF⊥A′B′于点 F,由作图可知 B′C′平分∠A′B′O,且
C′O⊥OB′,∴B′F=B′O=OE=x,FC′=OC′=OD=3.∵A′C′=AC=5,∴A′F=
52-32=4,∴A′B′=x+4,A′O=5+3=8.在 Rt△A′B′O 中,x2+82=(4+x)2,解得
x=6,即 OE=6
25. (12 分)如图,小明将一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图②),
量得它们的斜边长为 10 cm,较小的锐角为 30°,再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状,
且点 B,C,F,D 在同一条直线上,且点 C 与点 F 重合(在图③至图⑥中统一用 F 表示).
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮忙解决:
17
(1)将图③中的△ABF 沿 BD 向右平移到图④的位置,使点 B 与点 F 重合,请你求出平移
的距离;
(2)将图③中的△ABF 绕点 F 顺时针方向旋转 30°到图⑤的位置,A1F 交 DE 于点 G,请
你求出线段 FG 的长度;
(3)将图③中的△ABF 沿直线 AF 翻折到图⑥的位置,AB1 交 DE 于点 H,请证明:AH=DH.
解:(1)图形平移的距离就是线段 BC 的长,∵在 Rt△ABC 中,斜边长为 10 cm,∠BAC
=30°,∴BC=5 cm.∴平移的距离为 5 cm
(2)∵∠A1FA=30°,∴∠GFD=60°,又∵∠D=30°,∴∠FGD=90°.在 Rt△DFG 中,
由勾股定理得 FD=5 3 cm,∴FG=1
2
FD=5 3
2
cm
(3)在△AHE 与△DHB1 中,∵∠FAB1=∠EDF=30°,FD=FA,EF=FB=FB1,∴FD-FB1
=FA-FE,即 AE=DB1.又∵∠AHE=∠DHB1.∴△AHE≌△DHB1(AAS).∴AH=DH
期中检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.(达州中考)下列图形中是中心对称图形的是(B)
2.(达州月考)已知 x>y,下列不等式一定成立的是(C)
A.ax>ay B.3x<3y
C.-2x<-2y D.a2x>a2y
3.(益阳中考)不等式组
2x+1<3,
3x+1≥-2
的解集在数轴上表示正确的是(A)
18
4.在平面直角坐标系中,线段 AB 的两个端点坐标分别为 A(-1,-1),B(1,2),平
移线段 AB,得到线段 A′B′,已知 A′的坐标为(3,-1),则点 B′的坐标为(B)
A.(4,2) B.(5,2) C.(6,2) D.(5,3)
5.如图,在△ABC 中,∠CAB=75°,在同一平面内,将△ABC 绕点 A 旋转到△AB′C′
的位置,使得 CC′∥AB,则∠BAB′等于(A)
A.30° B.35° C.40° D.50°
,第 5 题图) ,第 6 题图) ,第 7 题
图)
6.在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE 垂直平分 AB,垂足为 E.若 CD=2,则
BD 的长为(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
7.如图,AD⊥CD,AE⊥BE,垂足分别为 D,E,且 AB=AC,AD=AE.则下列结论:①△
ABE≌△ACD;②AM=AN;③△ABN≌△ACM;④BO=EO.其中正确的有(B)
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
8.如图,函数 y1=-2x 与 y2=ax+3 的图象相交于点 A(m,2),则关于 x 的不等式-
2x>ax+3 的解集是(D)
A.x>2 B.x<2 C.x>-1 D.x<-1
,第 8 题图) ,第 9 题图) ,第
10 题图)
9.如图,已知 MN 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线,垂足为点 F,∠CAB 的平分线 AD 交
BC 于点 D,且 MN 与 AD 交于点 O,连接 BO 并延长交 AC 于点 E,则下列结论中不一定成立的
是(B)
A.∠CAD=∠BAD B.OE=OF
C.AF=BF D.OA=OB
10.如图,在等边△ABC 中,D 是边 AC 上一点,连接 BD,将△BCD 绕点 B 逆时针旋转
60°,得到△BAE,连接 ED,若 BC=5,BD=4,则下列结论错误的是(B)
A.AE∥BC B.∠ADE=∠BDC
C.△BDE 是等边三角形 D.△ADE 的周长是 9
二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
11.(长春中考)如图,在△ABC 中,AB=AC.以点 C 为圆心,以 CB 长为半径作圆弧,交
AC 的延长线于点 D,连结 BD.若∠A=32°,则∠CDB 的大小为 37 度.
,第 11 题图) ,第 13 题图)
19
,第 15 题图)
12.(兰州中考)不等式组
2(x+1)≥5x-7,
4
3
x+3>1-2
3
x, 的解集为-1<x≤3.
13.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AD 是△ABC 的角平分线,若 CD= 3,则
△ABD 的面积为5 3
2
.
14.一次生活常识竞赛一共有 25 道题,答对一题得 4 分,不答得 0 分,答错一题扣 2
分,小明有 2 题没答,竞赛成绩要超过 74 分,则小明最多答错 3 道题.
15.如图,点 E 是正方形 ABCD 内的一点,连接 AE,BE,CE,将△ABE 绕点 B 顺时针旋
转 90°到△CBE′的位置.若 AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C=135°.
16.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,O 是 AB 的中点,点 D 在 AC 上,点 E
在 BC 上,且∠DOE=90°.则下列结论:①OA=OB=OC;②CD=BE;③△ODE 是等腰直角三
角形;④四边形 CDOE 的面积等于△ABC 的面积的一半;⑤AD2+BE2=2OD2;⑥CD+CE= 2OA.
其中正确的有①②③④⑤⑥.(填序号)
三、解答题(共 72 分)
17.(6 分)解不等式组
1
2
(x+1)≤2,
x+2
2
≥x+3
3
.
解:解不等式1
2
(x+1)≤2,得 x≤3,解不等式x+2
2
≥x+3
3
,得 x≥0,则不等式组的解
集为 0≤x≤3
18.(6 分)如图,△ABO 与△CDO 关于 O 点成中心对称,点 E,F 在线段 AC 上,且 AF=
CE.求证:FD=BE.
解:根据中心对称的性质可得 BO=DO,AO=CO,又∵AF=CE,∴AO-AF=CO-CE,即
OF=OE.在△ODF 和△OBE 中,DO=BO,∠DOF=∠BOE(对顶角相等),OF=OE,∴△ODF≌△
OBE(SAS),∴FD=BE
19.(6 分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB,交 CB 于点 D,过点 D 作 DE
20
⊥AB 于点 E.
(1)求证:△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求 BD 的长.
解:(1)∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD,∵∠C=90°,DE⊥AB,∴∠C=∠DEA=90°,
又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED(AAS)
(2)∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,又∵由(1)得△ACD≌△AED,∴DE=CD=1,在 Rt△BDE
中,∵∠B=30°,∴BD=2DE=2
20.(8 分)如图,OA⊥OB,OA=45 海里,OB=15 海里,我国某岛位于 O 点,我国渔政
船在点 B 处发现有一艘不明国籍的渔船,自 A 点出发沿着 AO 方向匀速驶向该岛所在地 O 点,
我国渔政船立即从 B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点 C 处截住了渔
船.
(1)请用直尺和圆规作出 C 处的位置;
(2)求我国渔政船行驶的航程 BC 的长.
解:
(1)如答图,连接 AB,作 AB 的垂直平分线与 OA 交于点 C.点 C 即为所求 (2)连接 BC,
设 BC=x 海里,则 CA=x 海里,OC=(45-x)海里,在 Rt△OBC 中,BO2+OC2=BC2,即 152
+(45-x)2=x2,解得 x=25.则我国渔政船行驶的航程 BC 为 25 海里
21.(8 分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(-4,2),B(0,
4),C(0,2).
(1)将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若
点 A 的对应点 A2 的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)若将△A1B1C 绕某一点旋转可以得到△A2B2C2;请直接写出旋转中心的坐标.
21
解:(1)图略 (2)(2,-1)
22.(8 分)如图,下列 4×4 网格图都是由 16 个相同小正方形组成,每个网格图中有 4
个小正方形已涂上阴影,请在空白小正方形中,按下列要求涂上阴影.
(1)在图 1 中选取 2 个空白小正方形涂上阴影,使 6 个阴影小正方形组成一个中心对称
图形;
(2)在图 2 中选取 2 个空白小正方形涂上阴影,使 6 个阴影小正方形组成一个轴对称图
形,但不是中心对称图形.
解:(1)答案如图所示:
(2)答案如图所示:
23.(8 分)(贺州中考)某自行车经销商计划投入 7.1 万元购进 100 辆 A 型和 30 辆 B 型
自行车,其中 B 型车单价是 A 型车单价的 6 倍少 60 元.
(1)求 A,B 两种型号的自行车单价分别是多少元?
(2)后来由于该经销商资金紧张,投入购车的资金不超过 5.86 万元,但购进这批自行车
的总数不变,那么至多能购进 B 型车多少辆?
解:(1)设 A 型自行车的单价为 x 元/辆,B 型自行车的单价为 y 元/辆,根据题意得
y=6x-60,
100x+30y=71000,
解得
x=260,
y=1500.
答:A 型自行车的单价为 260 元/辆,B 型自行车的单价
为 1500 元/辆
(2)设购进 B 型自行车 m 辆,则购进 A 型自行车(130-m)辆,根据题意得 260(130-m)
+1500m≤58600,解得 m≤20.答:至多能购进 B 型车 20 辆
22
24.(10 分)已知△ABC 是等边三角形,将一块含有 30°角的直角三角板 DEF 如图放置,
让三角板在 BC 所在的直线上向右平移.如图①,当点 E 与点 B 重合时,点 A 恰好落在三角
形的斜边 DF 上.
(1)利用图①证明:EF=2BC;
(2)在三角板的平移过程中,在图②中线段 EB=AH 是否始终成立(假定 AB,AC 与三角板
斜边的交点为 G,H)?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°,AC=BC.∵∠F=30°,∴∠CAF=60°
-30°=30°,∴∠CAF=∠F,∴CF=AC.∴CF=AC=BC,∴EF=2BC
(2)成立.∵△ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°,AC=BC,∵∠F=30°,∴∠CHF=
60°-30°=30°.∴∠CHF=∠F.∴CH=CF.∵EF=2BC,∴EB+CF=BC.又∵AH+CH=AC,
AC=BC,∴EB=AH
25. (12 分)如图 1,已知 Rt△ABC 中,AB=BC,AC=2,把一块含 30°角的三角板 DEF
的直角顶点 D 放在 AC 的中点上(直角三角板的短直角边为 DE,长直角边为 DF),点 C 在 DE
上,点 B 在 DF 上.
(1)求重叠部分△BCD 的面积;
(2)如图 2,将直角三角板 DEF 绕 D 点按顺时针方向旋转 30 度,DE 交 BC 于点 M,DF 交
AB 于点 N.
①求证:DM=DN;
②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗?若发生变化,请求出重叠部分的面积,若
不发生变化,请说明理由;
(3)如图 3,将直角三角板 DEF 绕 D 点按顺时针方向旋转α度(0<α<90),DE 交 BC 于
点 M,DF 交 AB 于点 N,则 DM=DN 的结论仍成立吗?重叠部分的面积会变吗?(请直接写出
结论,不需要说明理由)
解:(1)∵AB=BC,AC=2,D 是 AC 的中点,∴CD=BD=1
2
AC=1,BD⊥AC.∴S△BCD=1
2
CD·BD
=1
2
×1×1=1
2
(2)①证明:连接 BD,则 BD 垂直平分 AC.∴BD=CD,∠C=∠NBD=45°.由题意可知∠
EDC=30°,∴∠NDA=60°,∵BD 垂直平分 AC,∴∠BDA=90°,∴∠BDN=∠BDA-∠NDA
23
=30°,∴∠CDM=∠BDN,∴△CDM≌△BDN(ASA).∴DM=DN
②由①知△CDM≌△BDN,∴S 四边形 BNDM=S△BCD=1
2
,即此条件下重叠部分的面积不变,仍为
1
2
(3)DM=DN 的结论仍成立,重叠部分的面积不会变
第四章检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.下列从左边到右边的变形,属于因式分解的是(C)
A.(3-x)(3+x)=9-x2
B.(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)
C.m4-n4=(m2+n2)(m+n)(m-n)
D.4yz-2y2z+z=2y(2z-yz)+z
2.下列各组多项式中,没有公因式的是(D)
A.(a-b)3 与(a-b)2 B.3m(x-y)与 n(y-x)
C.2(a-3)2 与-a+3 D.ax2+by2 与 ax+by
3.下列各式中,能用公式法分解因式的有(B)
①-x2-y2;②-1
4
a2b2+1;③a2+ab+b2;④-x2+2xy-y2;⑤1
4
-mn+m2n2.
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
4.(安徽中考)下列分解因式正确的是(C)
A.-x2+4x=-x(x+4)
B.x2+xy+x=x(x+y)
C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2
D.x2-4x+4=(x+2)(x-2)
5.一次数学课堂练习,小明同学做了如下四道因式分解题.你认为小明做得不够完整
的一题是(B)
A.4x2-4x+1=(2x-1)2 B.x3-x=x(x2-1)
C.x2y-xy2=xy(x-y) D.x2-y2=(x+y)(x-y)
6.小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形,并据此写出一个多项式的因式分解,
正确的是(D)
A.x2+2x=x(x+2) B.x2-2x+1=(x-1)2
24
C.x2+2x+1=(x+1)2 D.x2+3x+2=(x+2)(x+1)
7.已知多项式 2x2+bx+c 因式分解后为 2(x-3)(x+1),则 b,c 的值为(D)
A.b=3,c=-1 B.b=-6,c=2
C.b=-6,c=-4 D.b=-4,c=-6
8.计算(-2)99+(-2)100 的结果为(A)
A.299 B.2100 C.-299 D.-2
9.对于任何整数 m,多项式(4m+5)2-9 都能(A)
A.被 8 整除 B.被 m 整除
C.被(m-1)整除 D.被(2m-1)整除
10.若三角形的三边长分别是 a,b,c,且满足 a2b-a2c+b2c-b3=0,则这个三角形是
(A)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.三角形的形状不确定
二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
11.(潍坊中考)因式分解:(x+2)x-x-2=(x+2)(x-1).
12.(菏泽中考)若 a+b=2,ab=-3,则代数式 a3b+2a2b2+ab3 的值为-12.
13.若多项式(3x+2)(2x-5)+(5-2x)(2x-1)可分解为(2x+m)(x+n),其中 m,n
均为整数,则 mn 的值为-15.
14.计算:1.222×9-1.332×4=6.32.
15.已知代数式 a2+2a+2,当 a=-1 时,它有最小值,最小值为 1.
16.从边长为 a 的正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后,将其裁成四个相
同的等腰梯形,如图甲,然后拼成一个平行四边形,如图乙,那么通过计算两个图形阴影部
分的面积,可以验证成立的为 a2-b2=(a+b)(a-b).
三、解答题(共 72 分)
17.(12 分)将下列各式分解因式:
(1)2x2y-8xy+8y; (2)a2(x-y)-9b2(x-y);
解:2y(x-2)2 解:(x-y)(a+3b)(a-3b)
(3)(a+b)3-4(a+b); (4)(y2-1)2+6(1-y2)+9.
解:(a+b)(a+b+2)(a+b-2) 解:(y+2)2(y-2)2
18.(8 分)先分解因式,再求值:
25
(1)已知 x-y=-2
3
,求(x2+y2)2-4xy(x2+y2)+4x2y2 的值;
解:原式=(x-y)4,当 x-y=-2
3
时,原式=16
81
(2)已知 x+y=1,xy=-1
2
,求 x(x+y)(x-y)-x(x+y)2 的值.
解:原式=-2xy(x+y),当 x+y=1,xy=-1
2
时,原式=-2×(-1
2
)×1=1
19.(6 分)下列三个多项式:1
2
x3+2x2-x,1
2
x3+4x2+x,1
2
x3-2x2,请选择你喜欢的两
个多项式进行加法运算,再将结果因式分解.
解:1
2
x3+2x2-x+1
2
x3+4x2+x=x3+6x2=x2(x+6)(答案不唯一)
20.(6 分)甲,乙两同学分解因式 x2+mx+n,甲看错了 n,分解结果为(x+2)(x+4);
乙看错了 m,分解结果为(x+1)(x+9),请分析一下 m,n 的值及正确的分解过程.
解:∵(x+2)(x+4)=x2+6x+8,甲看错了 n 的值,∴m=6,又∵(x+1)(x+9)=x2
+10x+9,乙看错了 m 的值,∴n=9,∴原式为 x2+6x+9=(x+3)2
21.(7 分)(大连中考)【观察】1×49=49,2×48=96,3×47=141,…,23×27=621,
24×26=624,25×25=625,26×24=624,27×23=621,…,47×3=141,48×2=96,
49×1=49.
【发现】根据你的阅读回答问题:
(1)上述内容中,两数相乘,积的最大值为________;(1 分)
(2)设参与上述运算的第一个因数为 a,第二个因数为 b,用等式表示 a 与 b 的数量关系
是____________.(2 分)
【类比】观察下列两数的积:1×59,2×58,3×57,4×56,…,m×n,…,56×4,
57×3,58×2,59×1.
猜想 mn 的最大值为________,(2 分)并用你学过的知识加以证明.(2 分)
解:【发现】(1)625
(2)a+b=50
【类比】900.证明如下:由题意,可得 m+n=60,将 n=60-m 代入 mn,得 mn=-m2
26
+60m=-(m-30)2+900,∴m=30 时,mn 的最大值为 900
22.(7 分)阅读下列解题过程:
已知 a,b,c 为三角形的三边,且满足 a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC 的形状.
解:∵a2c2-b2c2=a4-b4, (A)
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), (B)
则 c2=a2+b2, (C)
∴△ABC 为直角三角形. (D)
(1)上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号________;(1 分)
(2) 错 误 的 原 因
________________________________________________________________________;(2 分)
(3)请写出正确的解答过程.(4 分)
解:(1)C
(2)忽略了 a2-b2=0,即 a=b 的可能
(3)∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),即 c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-
b2)=0,∴(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a2-b2=0 或 c2-a2-b2=0,即 a=b 或 c2=a2+b2,
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形
23.(8 分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神
秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此 4,12,20 都是“神秘数”.
(1)28 和 2020 这两个数是“神秘数”吗?为什么?(2 分)
(2)设两个连续偶数为 2k+2 和 2k(其中 k 取非负整数),由这两个连续偶数构造的“神
秘数”是 4 的倍数吗?为什么?(3 分)
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数”吗?为什么?(3 分)
解:(1)因为 28=82-62,2020=5062-5042,所以 28 和 2020 都是“神秘数”
(2)(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),因此由 2k+2 和 2k 构造的“神秘数”是 4 的倍数
(3)由(2)知“神秘数”可表示为 4 的倍数但一定不是 8 的倍数.设两个连续奇数为 2k
+1 和 2k-1,则(2k+1)2-(2k-1)2=8k,所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”
24.(8 分)有足够多的长方形和正方形的卡片,如图①
27
(1)如果选取 1 号,2 号,3 号卡片分别为 1 张,2 张,3 张(如图②),可拼成一个长方
形(不重叠无缝隙).请画出这个长方形的草图,并运用拼图前后面积之间的关系将多项式
a2+3ab+2b2 分解因式;
(2)小明想用类似的方法将多项式 2a2+7ab+3b2 分解因式,那么需要 1 号卡片________
张,2 号卡片________张,3 号卡片________张.试画出草图,写出将多项式 2a2+7ab+3b2
分解因式的结果.
解:(1)画图略.a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)
(2)2 3 7.画图略.2a2+7ab+3b2=(2a+b)(a+3b)
25. (10 分)阅读材料:若 m2-2mn+2n2-8n+16=0,求 m,n 的值.
解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0,
∴(m-n)2+(n-4)2=0,又∵(m-n)2≥0,(n-4)2≥0,
∴
(m-n)2=0
(n-4)2=0
,解得
m=4,
n=4.
请解答下面的问题:
(1)已知 x2-2xy+2y2+6y+9=0,求 xy-x2 的值;(3 分)
(2)已知△ABC 的三边长 a,b,c 都是互不相等的正整数,且满足 a2+b2-4a-18b+85
=0,求△ABC 的最长边 c 的值;(3 分)
(3)已知 a2+b2=12,ab+c2-16c+70=0,求 a+b+c 的值.(4 分)
解:(1)∵x2-2xy+2y2+6y+9=0,∴(x-y)2+(y+3)2=0,解得 y=-3,故 x=y=
-3,xy-x2=-3×(-3)-(-3)2=9-9=0
(2)∵a2+b2-4a-18b+85=0,∴(a-2)2+(b-9)2=0,解得 a=2,b=9,∴7<c<
11,∵△ABC 的三边长 a,b,c 都是互不相等的正整数,∴△ABC 的最长边 c 的值为 10
(3)∵a2+b2=12,∴(a+b)2-2ab=12,∴ab=1
2
(a+b)2-6,∴ab+c2-16c+70=0,
1
2
(a+b)2-6+(c-8)2+6=0,则1
2
(a+b)2+(c-8)2=0,则 c=8,a+b=0,∴a+b+c=8
第五章检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
28
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.在式子1
a
,2xy
π
,3ab2c
4
, 5
6+x
,x
7
+y
8
,9x+10
y
,x2
x
中,分式的个数是(B)
A.5 B.4 C.3 D.2
2.(陇南中考)若分式x2-4
x
的值为 0,则 x 的值是(A)
A.2 或-2 B.2 C.-2 D.0
3.分式4y+3x
4a
,x2-1
x4-1
,x2-xy+y2
x+y
,a2+2ab
ab-2b2中,最简分式有(C)
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4.下列各式从左到右的变形中正确的是(A)
A.
x-1
2
y
1
2
xy
=2x-y
xy
B.0.2a+b
a+2b
=2a+b
a+2b
C.-x+1
x-y
=x-1
x-y
D.a+b
a-b
=a-b
a+b
5.若( 4
a2-4
+ 1
2-a
)·w=1,则 w=(D)
A.a+2(a≠-2) B.-a+2(a≠2)
C.a-2(a≠2) D.-a-2(a≠-2)
6.(成都中考)分式方程x+1
x
+ 1
x-2
=1 的解是(A)
A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3
7.若关于 x 的分式方程2x-a
x-2
=1
2
的解为非负数,则 a 的取值范围是(C)
A.a≥1 B.a>1
C.a≥1 且 a≠4 D.a>1 且 a≠4
8.(临沂中考)新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市
场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为 5000 万元,今年 1~5 月份,每辆
车的销售价格比去年降低 1 万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的
少 20%,今年 1~5 月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年 1~5 月份每辆车的销售价格
为 x 万元.根据题意,列方程正确的是(A)
A.5000
x+1
=5000(1-20%)
x
B.5000
x+1
=5000(1+20%)
x
C.5000
x-1
=5000(1-20%)
x
D.5000
x-1
=5000(1+20%)
x
9.已知1
a
+ 1
2b
=3,则代数式2a-5ab+4b
4ab-3a-6b
的值为(D)
A.3 B.-2 C.-1
3
D.-1
2
10.张华在一次数学活动中,利用“在面积一定的矩形中,正方形的周长最短”的结论,
推导出“式子 x+1
x
(x>0)的最小值是 2”.其推导方法如下:在面积是 1 的矩形中设矩形的
29
一边长为 x,则另一边长是1
x
,矩形的周长是 2(x+1
x
);当矩形成为正方形时,就有 x=1
x
(x
>0),解得 x=1,这时矩形的周长 2(x+1
x
)=4 最小,因此 x+1
x
(x>0)的最小值是 2.模仿
张华的推导,你求得式子x2+9
x
(x>0)的最小值是(C)
A.2 B.1 C.6 D.10
二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
11.已知分式 x-3
x2-5x+a
,当 x=2 时,分式无意义,则 a=6.
12.当 a=1
2
时,代数式2a2-2
a-1
-2 的值为 1.
13.一个分数的分母比分子大 7,如果此分数的分子加 17,分母减 4,所得的新分数是
原分数的倒数,那么原分数是 3
10
.
14.(达州中考)若关于 x 的分式方程 x
x-3
+ 3a
3-x
=2a 无解,则 a 的值为 1 或1
2
.
15.(宿迁中考)为了改善生态环境,防止水土流失,红旗村计划在荒坡上种树 960 棵,
由于青年志愿者支援,实际每天种树的棵数是原计划的 2 倍,结果提前 4 天完成任务,则原
计划每天种树的棵数是 120 棵.
16.(眉山中考)已知关于 x 的分式方程 x
x-3
-2= k
x-3
有一个正数解,则 k 的取值范围
为 k<6 且 k≠3.
三、解答题(共 72 分)
17.(8 分) 计算:
(1)(山西中考)x-2
x-1
· x2-1
x2-4x+4
- 1
x-2
.
解:原式=x-2
x-1
·(x-1)(x+1)
(x-2)2 - 1
x-2
=x+1
x-2
- 1
x-2
= x
x-2
(2)(重庆中考)(a-1-4a-1
a+1
)÷a2-8a+16
a+1
.
解:原式=a2-1-4a+1
a+1
· a+1
(a-4)2=a(a-4)
a+1
· a+1
(a-4)2= a
a-4
18.(8 分)解分式方程:
(1)5x-4
x-2
=4x+10
3x-6
-1;
解:无解
30
(2) 3
2x+1
- 2
2x-1
= x+1
4x2-1
.
解:去分母得 6x-3-4x-2=x+1,解得 x=6,经检验,x=6 是分式方程的解
19.(6 分)老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果,随后用手掌捂住了一部分,
形式如下:( - x2-1
x2-2x+1
)÷ x
x+1
=x+1
x-1
,求所捂部分化简后的结果.
解:设所捂部分为 A,则 A=x+1
x-1
· x
x+1
+ x2-1
x2-2x+1
= x
x-1
+x+1
x-1
=2x+1
x-1
20.(6 分)(泰安中考)先化简,再求值:m2-4m+4
m-1
÷( 3
m-1
-m-1),其中 m= 2-2.
解 : 原 式 = (m-2)2
m-1
÷ ( 3
m-1
- m2-1
m-1
) = (m-2)2
m-1
÷ 4-m2
m-1
=
(m-2)2
m-1
· m-1
-(m+2)(m-2)
=-m-2
m+2
,当 m= 2-2 时,原式=- 2-2-2
2-2+2
=- 2-4
2
=
-1+2 2
21.(7 分)小明解方程1
x
-x-2
x
=1 的过程如下:
解:方程两边同乘 x,得 1-(x-2)=1.①
去括号,得 1-x-2=1.②
合并同类项,得-x-1=1.③
移项,得-x=2.④
解得 x=-2.⑤
∴原方程的解为 x=-2.⑥
请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.
解:小明的解法有三处错误:步骤①去分母有误;步骤②去括号有误;步骤⑥前缺少“检
验”步骤.正确解法是:方程两边同乘 x,得 1-(x-2)=x.去括号,得 1-x+2=x.移项,
得-x-x=-2-1.合并同类项,得-2x=-3.两边同除以-2,得 x=3
2
.经检验,x=3
2
是原
方程的解.所以原方程的解是 x=3
2
31
22.(7 分)(徐州中考)徐州至北京的高铁里程约为 700 km,甲、乙两人从徐州出发,分
别乘坐“徐州号”高铁 A 与“复兴号”高铁 B 前往北京.已知 A 车的平均速度比 B 车的平均
速度慢 80 km/h,A 车的行驶时间比 B 车的行驶时间多 40%,两车的行驶时间分别为多少?
解:设 B 车行驶的时间为 t 小时,则 A 车行驶的时间为 1.4t 小时,根据题意得700
t
- 700
1.4t
=80,解得 t=2.5,经检验,t=2.5 是原分式方程的解,且符合题意,∴1.4t=3.5.答:A
车行驶的时间为 3.5 小时,B 车行驶的时间为 2.5 小时
23.(8 分)先化简:(2x2+2x
x2-1
- x2-x
x2-2x+1
)÷ x
x+1
,然后解答下列问题:
(1)当 x=3 时,求代数式的值;
(2)原代数式的值能等于-1 吗?为什么?
解:原式=[ 2x(x+1)
(x+1)(x-1)
-x(x-1)
(x-1)2 ]·x+1
x
=( 2x
x-1
- x
x-1
)·x+1
x
= x
x-1
·x+1
x
=x+1
x-1
(1)当 x=3 时,原式=2
(2)原代数式的值不能等于-1,理由:如果x+1
x-1
=-1,那么 x+1=-x+1,∴x=0.
当 x=0 时,除式 x
x+1
=0.∴原代数式的值不能等于-1
24.(10 分)阅读下列材料:
在学习“分式方程及其解法”过程中,老师提出一个问题:若关于 x 的分式方程 a
x-1
+
3
1-x
=1 的解为正数,求 a 的取值范围?
经过小组交流讨论后,同学们逐渐形成了两种意见:
小明说:解这个关于 x 的分式方程,得到方程的解为 x=a-2.由题意可得 a-2>0,所
以 a>2,问题解决.
小强说:你考虑的不全面.还必须保证 a≠3 才行.
老师说:小强所说完全正确.
请 回 答 : 小 明 考 虑 问 题 不 全 面 , 主 要 体 现 在 哪 里 ? 请 你 简 要 说 明 :
________________________________________________________________________.
完成下列问题:
(1)已知关于 x 的方程2mx-1
x+2
=1 的解为负数,求 m 的取值范围;
(2)若关于 x 的分式方程3-2x
x-3
+2-nx
3-x
=-1 无解.直接写出 n 的取值范围.
解:小明没有考虑分式的分母不为 0(或分式必须有意义)这个条件
32
(1)解关于 x 的分式方程,得 x= 3
2m-1
,∵方程有解,且解为负数,∴
2m-1<0,
3
2m-1
≠-2,解
得 m<1
2
且 m≠-1
4
(2)分式方程去分母,得 3-2x+nx-2=-x+3,即(n-1)x=2,由分式方程无解,得
到 x-3=0,即 x=3,代入整式方程得 n=5
3
;当 n-1=0 时,整式方程无解,此时 n=1,
综上,n=1 或 n=5
3
25. (12 分)(德阳中考)为配合“一带一路”国家倡议,某铁路货运集装箱物流园区正
式启动了 2 期扩建工程.一项地基基础加固处理工程由 A、B 两个工程公司承担建设,已知
A 工程公司单独建设完成此项工程需要 180 天,A 工程公司单独施工 45 天后,B 工程公司参
与合作,两工程公司又共同施工 54 天后完成了此项工程.
(1)求 B 工程公司单独建设完成此项工程需要多少天?
(2)由于受工程建设工期的限制,物流园区管委会决定将此项工程划分成两部分,要求
两工程公司同时开工,A 工程公司建设其中一部分用了 m 天完成,B 工程公司建设另一部分
用了 n 天完成,其中 m,n 均为正整数,且 m<46,n<92,求 A、B 两个工程公司各施工建
设了多少天?
解:(1)设 B 工程公司单独完成需要 x 天,根据题意得 45× 1
180
+54( 1
180
+1
x
)=1,解得
x=120,经检验,x=120 是分式方程的解,且符合题意,答:B 工程公司单独完成需要 120
天
(2)根据题意得 m× 1
180
+n× 1
120
=1,整理得 n=120-2
3
m,∵m<46,n<92,∴120-2
3
m
<92,解得 42<m<46,∵m 为正整数,∴m=43,44,45,又∵120-2
3
m 为正整数,∴m=
45,n=90.答:A,B 两个工程公司分别施工建设了 45 天和 90 天
第六章检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=3,AD=2,则 CD 等于(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
33
,第 1 题图) ,第 3 题图) ,
第 5 题图)
2.(宜宾中考)在▱ ABCD 中,若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点 E,则△AED 的形状是
(B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
3.如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,下列结论正确的是(A)
A.S▱ ABCD=4S△AOB B.AC=BD
C.AC⊥BD D.▱ ABCD 是轴对称图形
4.(铜仁中考)如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍,则这个多边形的边数是(A)
A.8 B.9 C.10 D.11
5.(苏州中考)如图,在△ABC 中,延长 BC 至 D,使得 CD=1
2
BC,过 AC 中点 E 作 EF∥CD(点
F 位于点 E 右侧),且 EF=2CD,连接 DF.若 AB=8,则 DF 的长为(B)
A.3 B.4 C.2 3 D.3 2
6.如图,在平面直角坐标系内,原点 O 恰好在▱ ABCD 对角线的交点处,若点 A 的坐标
为(2,3),则点 C 的坐标为(C)
A.(-3,-2) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3)
,第 6 题图) ,第 8 题图)
,第 9 题图)
7.(呼和浩特中考)顺次连接平面上 A,B,C,D 四点得到一个四边形,从①AB∥CD;②
BC=AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D 四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形 ABCD 是平
行四边形”这一结论的情况共有(C)
A.5 种 B.4 种 C.3 种 D.1 种
8.如图,AD∥BC,∠ABC 的角平分线 BP 与∠BAD 的角平分线 AP 相交于点 P,作 PE⊥AB
于点 E.若 PE=2,则两平行线 AD 与 BC 间的距离为(A)
A.4 B.5 C.6 D.7
9.如图,平行四边形 ABCD 中,AE 平分∠BAD,交 BC 于点 E,且 AB=AE,延长 AB 与 DE
的延长线交于点 F,下列结论中:
①△ABC≌△ADE;②△ABE 是等边三角形;③AD=AF;④S△ABE=S△CDE;⑤S△ABE=S△CEF.其
中正确的是(C)
34
A.①②③ B.①②④ C.①②⑤ D.①③④
10.(达州期末)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=4,∠BAD 的平分线与 BC 的延长线
交于点 E,与 DC 交于点 F,且点 F 为边 DC 的中点,DG⊥AE,垂足为 G,若 DG=1,则 AE 的
边长为(B)
A.2 3
B.4 3
C.4
D.8
二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
11.如图,在▱ ABCD 中,AE=CG,DH=BF,连接 E,F,G,H,E,则四边形 EFGH 是平
行四边形.
,第 11 题图) ,第 12 题图)
12.(南京中考)如图,五边形 ABCDE 是正五边形.若 l1∥l2,则∠1-∠2=72°.
13.(曲靖中考)如图,在△ABC 中,AB=13,BC=12,点 D,E 分别是 AB,BC 的中点,
连接 DE,CD,如果 DE=2.5,那么△ACD 的周长是 18.
,第 13 题图) ,第 14 题图)
14.如图,在平行四边形 ABCD 中,AE⊥BC 于 E,AF⊥CD 于 F,∠EAF=45°,且 AE+
AF=2 2,则平行四边形 ABCD 的周长是 8.
15.如图,分别以 Rt△ABC 的斜边 AB,直角边 AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE,F 为
AB 的中点,DE,AB 相交于点 G.若∠BAC=30°,下列结论:①EF⊥AC;②四边形 ADFE 为平
行四边形;③AD=4AG;④△DBF≌△EFA.其中正确结论的序号是①②③④.
,第 15 题图) ,第 16 题图)
16.(无锡中考)如图,已知∠XOY=60°,点 A 在边 OX 上,OA=2.过点 A 作 AC⊥OY 于
点 C,以 AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形 ABC,点 P 是△ABC 围成的区域(包括各边)内的
一点,过点 P 作 PD∥OY 交 OX 于点 D,作 PE∥OX 交 OY 于点 E.设 OD=a,OE=b,则 a+2b
的取值范围是 2≤a+2b≤5.
点拨:过 P 作 PH⊥OY 交于点 H,∵PD∥OY,PE∥OX,∴四边形 EODP 是平行四边形,∠
35
HEP=∠XOY=60°,∴EP=OD=a,Rt△HEP 中,∠EPH=30°,∴EH=1
2
EP=1
2
a,∴a+2b=
2(1
2
a+b)=2(EH+EO)=2OH,当 P 在 AC 边上时,H 与 C 重合,此时 OH 的最小值为 OC=1
2
OA
=1,即 a+2b 的最小值是 2;当 P 在点 B 时,OH 的最大值是 1+3
2
=5
2
,即(a+2b)的最大值
是 5,∴2≤a+2b≤5
三、解答题(共 72 分)
17.(6 分)(曲靖中考)如图,在平行四边形 ABCD 的边 AB,CD 上截取 AF,CE,使得 AF
=CE,连接 EF,点 M,N 是线段 EF 上两点,且 EM=FN,连接 AN, CM.求证:△AFN≌△CEM.
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD∥AB,∴∠AFN=∠CEM,∵FN=EM,AF=CE,
∴△AFN≌△CEM(SAS)
18.(6 分)如图,在▱ ABCD 中,对角线 AC 交 BD 于点 O,四边形 AODE 是平行四边形.
求证:四边形 ABOE 是平行四边形.
解:∵在▱ ABCD 中,对角线 AC 交 BD 于点 O,∴OB=OD.又∵四边形 AODE 是平行四边形,
∴AE∥OD,AE=OD,∴AE∥OB,AE=OB,∴四边形 ABOE 是平行四边形
19.(7 分)如图,E,F 是▱ ABCD 对角线 BD 上的两点,给出下列三个条件:①BE=DF;
②∠AEB=∠DFC;③AF∥EC.请你从中选择一个适当的条件,使四边形 AECF 是平行四边形,
并证明你的结论.
解:选择条件①,∵在▱ ABCD 中,AC,BD 为对角线,∴OA=OC,OB=OD,又 BE=DF,
∴OE=OF,∴四边形 AECF 是平行四边形(答案不唯一)
36
20.(8 分)(青海中考)如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 AB 边上的中点,连接 DE 并延
长,交 CB 的延长线于点 F.
(1)求证:AD=BF;
(2)若平行四边形 ABCD 的面积为 32,试求四边形 EBCD 的面积.
解:(1)∵E 是 AB 边上的中点,∴AE=BE.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠F.在△ADE 和△BFE
中,∠ADE=∠F,∠DEA=∠FEB,AE=BE,∴△ADE≌△BFE.∴AD=BF
(2)过点 D 作 DM⊥AB 与 M,则 DM 同时也是平行四边形 ABCD 的高.∴S△AED=1
2
×1
2
AB·DM
=1
4
AB·DM=1
4
×32=8,∴S 四边形 EBCD=S▱ ABCD-S△ADE=32-8=24
21.(8 分)如图,D 是△ABC 的边 AB 上一点,CN∥AB,DN 交 AC 于点 M,若 MA=MC.
(1)求证:CD=AN;
(2)若 AC⊥DN,∠CAN=30°,MN=1,求四边形 ADCN 的面积.
解:(1)∵AB∥CN,∴∠BAC=∠ACN,在△AMD 和△CMN 中,∠DAM=∠NCM,AM=CM,∠
AMD=∠CMN,∴△AMD≌△CMN(ASA),∴AD=CN,又∵AD∥CN,∴四边形 ADCN 是平行四边形,
∴CD=AN
(2)∵AC⊥DN,∠CAN=30°,MN=1,∴AN=2MN=2,则 AM= AN2-MN2= 22-12= 3,
∴S△AMN=1
2
AM·MN=1
2
× 3×1= 3
2
,∵四边形 ADCN 是平行四边形,∴S▱ ADCN=4S△AMN=2 3
22.(8 分)(巴中中考)如图,在▱ ABCD 中,过 B 点作 BM⊥AC 于点 E,交 CD 于点 M,过
D 点作 DN⊥AC 于点 F,交 AB 于点 N.
(1)求证:四边形 BMDN 是平行四边形;
(2)已知 AF=12,EM=5,求 AN 的长.
37
(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD∥AB,∵BM⊥AC,DN⊥AC,∴DN∥BM,∴
四边形 BMDN 是平行四边形
(2)解:∵四边形 BMDN 是平行四边形,∴DM=BN,∵CD=AB,CD∥AB,∴ CM=AN,∠
MCE=∠NAF,∵∠CEM=∠AFN=90°,∴△CEM≌△AFN,∴FN=EM=5,在 Rt△AFN 中,AN
= AF2+FN2= 52+122=13
23.(8 分)如图,在△ABC 中,D 是边 BC 的中点,点 E 在△ABC 内,AE 平分∠BAC,CE
⊥AE,点 F 在边 AB 上,EF∥BC.
(1)求证:四边形 BDEF 是平行四边形;
(2)线段 BF,AB,AC 之间具有怎样的数量关系?证明你所得到的结论.
解:(1) 延长 CE 交 AB 于点 G,∵AE⊥CE,∴∠AEG=∠AEC=90°,在△AEG 和△AEC
中,∠GAE=∠CAE,AE=AE,∠AEG=∠AEC,∴△AEG≌△AEC(ASA),∴GE=EC,又∵BD=
CD,∴DE 为△CGB 的中位线,∴DE∥AB,又∵EF∥BC,∴四边形 BDEF 是平行四边形
(2)∵BF=1
2
(AB-AC).理由:∵四边形 BDEF 是平行四边形,∴BF=DE,∵D,E 分别是
BC,GC 的中点,∴BF=DE=1
2
BG,∵△AGE≌△ACE,∴AG=AC,∴BF=1
2
(AB-AG)=1
2
(AB-
AC)
24.(9 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,DH 垂直平分 AB 交 AC 于点 E,连接 BE,
CD,且 CD=CE.
(1)如图 1,求证:四边形 BCDE 是平行四边形;(4 分)
(2)如图 2,点 F 在 AB 上,且 BF=BC,连接 BD,若 BD 平分∠ABC,试判断 DF 与 AC 的
位置关系,并证明你的结论.(5 分)
(1)证明:∵DH 垂直平分 AB 交 AC 于点 E,∴AE=BE,∠AHE=∠BHE=90°,∴∠A=∠
ABE,∠A+∠AEH=∠ABE+∠BEH=90°,∵∠ABC=90°,∴∠A+∠ACB=90°,∴∠AEH
=∠ACB=∠BEH,∵CE=CD,∴∠D=∠CED,∵∠AEH=∠CED,∴∠D=∠BEH,∠CED=∠
38
ACB,∴BE∥CD,BC∥ED,∴四边形 BCDE 是平行四边形
(2)DF⊥AC,证明:∵四边形 BCDE 是平行四边形,∴DE=BC,∵BC=BF,∴BF=DE,∵
BD 平分∠ABC,∠ABC=90°,∴∠HBD=45°,∵∠BHD=90°,∴∠HBD=∠HDB=45°,
∴DH=BH=AH,∴DH-DE=BH-BF,∴HE=HF,在△DHF 和△AHE 中,
DH=AH,
∠DHF=∠AHE,
HF=HE,
∴△
DHF≌△AHE,∴∠A=∠FDH,∵∠A+∠AEH=90°,∠DEC=∠AEH,∴∠FDH+∠DEC=90°,
∴∠EGD=180°-90°=90°,∴DF⊥AC
25. (12 分)如图,在▱ ABCD 中,BD 为对角线,EF 垂直平分 BD 分别交 AD、BC 的于点 E,
F,交 BD 于点 O.
(1)试说明:BF=DE;
(2)试说明:△ABE≌△CDF;
(3)如果在▱ ABCD 中,AB=5,AD=10,有两动点 P,Q 分别从 B,D 两点同时出发,沿
△BAE 和△DFC 各边运动一周,即点 P 自 B→A→E→B 停止,点 Q 自 D→F→C→D 停止,点 P
运动的路程是 m,点 Q 运动的路程是 n,当四边形 BPDQ 是平行四边形时,求 m 与 n 满足的数
量关系.(画出示意图)
(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO,∵EF 垂直平分
BD,∴OB=OD,在△EOD 和△FOB 中,∵
∠EOD=∠FOB,
OD=OB,
∠EDO=∠FBO,
∴△EOD≌△FOB(ASA),∴BF=DE
(2)证明:∵△EOD≌△FOB,∴DE=BF,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C,AB
=CD,AD=BC,∴AD-DE=BC-BF,∴AE=CF,在△ABE 和△CDF 中,∵
AB=CD,
∠A=∠C,
AE=CF,
∴△ABE
≌△CDF(SAS)
(3)解:∵EF 垂直平分 BD,∴BF=DF,∵△ABE≌△CDF,∴DF=BE,AE=CF,∴△DFC
的周长是 DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15,△ABE 的周长也是 15.
①当 P 在 AB 上,Q 在 CD 上,如图①,∵AB∥CD,∴∠BPO=∠DQO,∵∠POB=∠DOQ,
OB=OD,∴△BPO≌△DQO,∴BP=DQ,∴m+n=BP+DF+CF+CQ=DF+CF+CQ+DQ=DF+CF
+CD=15
②当 P 在 AE 上,Q 在 CF 上,如图②,∵AD∥BC,∴∠PEO=∠QFO,∵△EOD≌△FOB,
∴OE=OF,∵∠PEO=∠QFO,∠EOP=∠FOQ,∴△PEO≌△QFO,∴PE=QF,∵AE=CF,∴CQ
=AP,m+n=AB+AP+DF+FQ=CD+CQ+DF+FQ=DF+CF+CD=15
③当 P 在 BE 上,Q 在 DF 上,如图③,∵AD=BC,AE=CF,∴DE=BF,∵DE∥BF,∴四
边形 BEDF 是平行四边形,∴BE=DF,BE∥DF,∴∠PEO=∠FQO,∵∠EOP=∠FOQ,OE=OF,
∴△PEO≌△QFO,∴PE=FQ,∴m+n=AB+AE+PE+DQ=CD+CF+QF+DQ=DF+CF+CD=15
39
期末检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.(德州中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
2.若分式|x|-1
x+1
的值为零,则 x 的值是(A)
A.1 B.-1 C.±1 D.2
3.(湘西州中考)不等式组
x>-2
x≤1
的解集在数轴上表示正确的是(C)
4.(贺州中考)下列各式分解因式正确的是(A)
A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2
B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2
C.2x2-8y2=2(x+4y)(x-4y)
D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y)
5.(甘孜州中考)若 x=4 是分式方程a-2
x
= 1
x-3
的根,则 a 的值为(A)
A.6 B.-6 C.4 D.-4
6.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则
∠C 的度数为(C)
A.50° B.60° C.70° D.80°
,第 6 题图) ,第 9 题图) ,第
10 题图)
7.在平面直角坐标系中,已知线段 AB 的两个端点分别是 A(4,-1),B(1,1).将线
段 AB 平移后得到线段 A′B′,若点 A′的坐标为(-2,2),则点 B′的坐标为(A)
A.(-5,4) B.(4,3) C.(-1,-2) D.(-2,-1)
8.(淄博中考)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任
40
务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%,结果提前 30
天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米,则下面所列方程中正确的
是(C)
A.60
x
- 60
(1+25%)x
=30 B. 60
(1+25%)x
-60
x
=30
C.60×(1+25%)
x
-60
x
=30 D.60
x
-60×(1+25%)
x
=30
9.一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图,则下列结论:①当 x<3 时,y1>0;
②当 x<3 时,y2>0;③当 x>3 时,y1<y2,正确的个数是(C)
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
10.如图所示,在四边形 ABCD 中,AB=CD,对角线 AC,BD 相交于点 O,AE⊥BD 于点 E,
CF⊥BD 于点 F,连接 AF,CE,若 DE=BF,则下列结论:①CF=AE;②OE=OF;③四边形 ABCD
是平行四边形;④图中共有四对全等三角形.其中正确结论的个数是(B)
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
11.(宜宾中考)分解因式:2a3b-4a2b2+2ab3=2ab(a-b)2.
12.(巴中中考)不等式组
3x≤2x-4,
x-1
2
-1<x+1的整数解是 x=-4.
13.(张家界中考)如图,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°,得到△ADE,这时点 B,C,
D 恰好在同一直线上,则∠B 的度数为 15°.
,第 13 题图) ,第 14 题图) ,
第 15 题图)
14.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB,
AC 于 D,E 两点,则 CD 的长为25
8
.
15.如图,在△ABC 中,AD 是中线,AE 是角平分线,CF⊥AE 于 F,AB=5,AC=2,则
DF 的长为 3
2
.
16.如图,平行四边形 ABCD 中,AB=8 cm,AD=12 cm,点 P 在 AD 边上以每秒 1 cm 的
速度从点 A 向点 D 运动,点 Q 在 BC 边上,以每秒 4 cm 的速度从点 C 出发,在 CB 间往返运
动,两个点同时出发,当点 P 到达点 D 时停止(同时点 Q 也停止),在运动以后,以 P,D,Q,
B 四点组成平行四边形的次数有 3 次.
三、解答题(共 72 分)
17.(8 分)解方程(或不等式组):
41
(1) x
x-1
-1= 3
(x-1)(x+2)
;
解:去分母得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,去括号得 x2+2x-x2-2x+x+2=3,合并
同类项,得 x=1,检验:当 x=1 时,x-1=0,不合题意,应舍去,∴原方程无解
(2)
x+6≤3x+4,
1+2x
3
>x-1.
解:解方程 x+6≤3x+4,得 x≥1,解方程1+2x
3
>x-1,得 x<4,∴方程的解集为 1≤x
<4
18.(6 分)(孝感中考)如图,B,E,C,F 在一条直线上,已知 AB∥DE,AC∥DF,BE=
CF,连接 AD.求证:四边形 ABED 是平行四边形.
证明:∵AB∥DE,AC∥DF,∴∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.∵BE=CF,∴BE+CE=CF+CE,
∴BC=EF.在△ABC 和△DEF 中,
∠B=∠DEF,
BC=EF,
∠ACB=∠F,
∴△ABC≌△DEF(ASA),∴AB=DE.又∵AB∥
DE,∴四边形 ABED 是平行四边形
19.(6 分)(遵义中考)化简分式( a2-3a
a2-6a+9
+ 2
3-a
)÷a-2
a2-9
,并在 2,3,4,5 这四个数
中取一个合适的数作为 a 的值代入求值.
解:原式=[a(a-3)
(a-3)2 - 2
a-3
]÷ a-2
(a+3)(a-3)
=( a
a-3
- 2
a-3
)·(a+3)(a-3)
a-2
=
a-2
a-3
·(a+3)(a-3)
a-2
=a+3,∵a≠-3,2,3,∴a=4 或 a=5,当 a=4 时,原式=7
20.(7 分)(黄冈中考)如图,在▱ ABCD 中,分别以边 BC,CD 作等腰△BCF,△CDE,使
BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接 AF,AE.
(1)求证:△ABF≌△EDA;(3 分)
42
(2)延长 AB 与 CF 相交于 G.若 AF⊥AE,求证:BF⊥BC.(4 分)
(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC,∵BC=BF,
CD=DE,∴BF=AD,AB=DE,∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°,∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°,
∠EDC=∠CBF,∴∠ADE=∠ABF,∴△ABF≌△EDA
(2)证明:延长 FB 交 AD 于 H.∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°,∵△ABF≌△EDA,∴∠EAD=
∠AFB,∵∠EAD+∠FAH=90°,∴∠FAH+∠AFB=90°,∴∠AHF=90°,即 FB⊥AD,∵
AD∥BC,∴FB⊥BC
21.(7 分)△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)作△ABC 关于点 C 成中心对称的△A1B1C;(3 分)
(2)将△A1B1C 向右平移 4 个单位,作出平移后的△A2B2C2.(4 分)
解:画图略
22.(8 分)(邵阳中考)某公司计划购买 A,B 两种型号的机器人搬运材料.已知 A 型机
器人比 B 型机器人每小时多搬运 30 kg 材料,且 A 型机器人搬运 1000 kg 材料所用的时间与
B 型机器人搬运 800 kg 材料所用的时间相同.
(1)求 A,B 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料;
(2)该公司计划采购 A,B 两种型号的机器人共 20 台,要求每小时搬运材料不得少于 2800
kg,则至少购进 A 型机器人多少台?
解:(1)设 B 型机器人每小时搬运 x 千克材料,则 A 型机器人每小时搬运(x+30)千克材
料,根据题意,得 1000
x+30
=800
x
,解得 x=120.经检验,x=120 是所列方程的解.当 x=120
时,x+30=150.答:A 型机器人每小时搬运 150 千克材料,B 型机器人每小时搬运 120 千克
材料
(2)设购进 A 型机器人 a 台,则购进 B 型机器人(20-a)台,根据题意,得 150a+120(20
43
-a)≥2800,解得 a≥40
3
.∵a 是整数,∴a≥14.答:至少购进 A 型机器人 14 台
23.(8 分)如图,在▱ ABCD 中,AE⊥BC,垂足为点 E,CE=CD,点 F 为 CE 的中点,点 G
为 CD 上的一点,连接 DF,EG,AG,∠1=∠2.
(1)若 CF=2,AE=3,求 BE 的长;
(2)求证:∠CEG=1
2
∠AGE.
解:(1)∵点 F 为 CE 的中点,∴CE=CD=2CF=4.又∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴AB
=CD=4.在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 BE= AB2-AE2= 7
(2)延长 AG,BC 交于点 H.∵∠2=∠1,∠ECG=∠DCF,CE=CD,∴△CEG≌△CDF(AAS),
∴CG=CF.∵CD=CE=2CF,∴CG=GD.∵在▱ ABCD 中,AD∥BC,∴∠DAG=∠CHG,∠ADG=
∠HCG.∴△ADG ≌ △ HCG(AAS) , ∴AG = HG.∵∠AEH = 90° , ∴EG = AG = HG.∴∠CEG =
∠H.∵∠AGE=∠CEG+∠H,∴∠AGE=2∠CEG,即∠CEG=1
2
∠AGE
24.(10 分)【发现】 任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数.
【验证】 (1)(-1)2+02+12+22+32 的结果是 5 的几倍?(3 分)
(2)设五个连续整数的中间一个为 n,写出它们的平方和,并说明是 5 的倍数.(3 分)
【延伸】 任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是几呢?请写出理由.(4 分)
解:【验证】 (1)(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15,15÷5=3,即(-1)2
+02+12+22+32 的结果是 5 的 3 倍
(2)设五个连续整数的中间一个为 n,则其余的 4 个整数分别是 n-2,n-1,n+1,n
+2,它们的平方和为(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=n2-4n+4+n2-2n+1+n2
+n2+2n+1+n2+4n+4=5n2+10=5(n2+2),又∵n 是整数,∴n2+2 是整数,∴五个连续
整数的平方和是 5 的倍数
【延伸】 设三个连续整数的中间一个为 n,则其余的 2 个整数是 n-1,n+1,它们的
平方和为(n-1)2+n2+(n+1)2=n2-2n+1+n2+n2+2n+1=3n2+2,∵n 是整数,∴n2 是整
数,∴任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2
25. (12 分)如图①,点 A 是线段 BC 上一点,△ABD 和△ACE 都是等边三角形.
(1)连接 BE,CD,求证:BE=CD;(4 分)
(2)如图②,将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为 度时,边 AD′落在边 AE 上;(3 分)
②在①的条件下,延长 DD′交 CE 于点 P,连接 BD′,CD′,当线段 AB,AC 满足什么
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数量关系时,△BDD′与△CPD′全等?并给予证明.(5 分)
解:(1)∵△ACE 和△ABD 都是等边三角形,∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=60°,
∴∠BAD+∠DAE=∠EAC+∠DAE,即∠BAE=∠DAC,∴△BAE≌△DAC(SAS),∴BE=CD (2)
①60 ②当 AC=2AB 时,△BDD′与△CPD′全等.证明:∵由旋转可知△ABD≌△AB′D′,
∵△ABD 为等边三角形,∴△AB′D′也为等边三角形,且它们的边长相等,∴AB=BD=DD′
=AD′,∠BDA=∠D′DA=60°,∴∠BDD′=120°,∴∠DBD′+∠DD′B=60°,∵BD
=DD′,∴∠DBD′=∠DD′B=1
2
×60°=30°,∵AC=2AB,且 AB=AD′,∴AC=2AD′,
又∵△ACE 为等边三角形,∴AC=AE,∴AE=2AD′,∴D′为 AE 的中点,∴D′E=AD′=
DD′,∵△ADD′为等边三角形,∴∠AD′D=60°,∴∠PD′E=∠AD′D=60°,又∵∠E
=60°,∴∠EPD′=60°,∴△PD′E 为等边三角形,∴PD′=D′E,∴PD′=DD′,∵
∠EPD′=60°,∴∠D′PC=120°,∴∠BDD′=∠CPD′=120°,∵△ACE 为等边三角形,
D′为 AE 的中点,∴∠PCD′=1
2
∠ACE=30°,在△BDD′和△CPD′中,∠DBD′=∠PCD′
=30°,∠BDD′=∠CPD′=120°,DD′=PD′,∴△BDD′≌△CPD′(AAS)