2020人教版初中数学八年级上册知识点要点归纳（附知识点练习题） 60页

八年级数学上册知识点归纳及练习 第十一章 三角形知识点清单 一、知识框架：‎ 二、知识概念：‎ 1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.‎ 2. 三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差 小于第三边.‎ 3. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.‎ ‎（钝角三角形三条高的交点在三角形外，直角三角形的三条高的交点在三角形上，锐角三角形的三条高在三角形内）‎ 4. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做 三角形的中线.‎ ‎（三条中线的交点叫重心）‎ 1. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.‎ ‎（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）‎ 2. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.‎ ‎（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）‎ 3. 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.‎ 4. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.‎ 5. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.‎ 6. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫 做多边形的对角线.‎ 7. 正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.‎ 8. 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完 全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，‎ 9. 公式与性质：‎ ‎⑴三角形的内角和：三角形的内角和为 180°‎ ‎⑵三角形外角的性质：‎ 性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.‎ 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.‎ ‎⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(n - 2) ·180°‎ ‎⑷多边形的外角和：多边形的外角和为 360°.‎ ‎⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引 ‎(n - 3) 条对角线，把多边形分成(n - 2) 个三角形.②n 边形共有n(n - 3) 条 ‎2‎ 对角线.‎ 第十一章 测试试题 一、选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的三条高都在三角形内 C. 三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三 角形外 D. 三角形的三条中线相交于一点 2. 在三角形的三个外角中，锐角最多只有（ ）‎ A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 1. 若三角形三个内角的度数比为 1：2：3，则这个三角形是 ‎（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．钝角三角形 2. 等腰三角形两边长分别为 3，7，则它的周长为（ ）‎ A．13 B．17 C．13 或 17 D．不能确定5.如图，下列说法错误的是（ ）‎ A．∠B＞∠ACD B．∠B+∠ACB=180°—∠A C．∠B+∠ACB＜180° D．∠HEC＞∠B ‎ ‎ 6. 如图是一个五边形的木架，它的内角和是（ ）‎ A．720° B．540° C．360° D．180°‎ 7. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm 8. 下列各值能成为某多边形的内角和的是（ ）‎ A．430° B．4343° C．4320° D．4360°‎ 6. 如图，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于 O 点，∠A=80°，则∠‎ BOC 等于（ ）‎ A．95° B．120° C．130° D 无法确定 7. 电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8，如果跳蚤开始时在 BC 边的 P0处，BP0=2，跳蚤第一步从 P0 跳到 AC 边的 P1（第一次落点）处，且 CP1=CP0；第二步从 P1跳到 AB 边的 P2（第二次落点）处，且 AP2=AP1；第三步从 P2跳到 BC 边的 P3（第三次落点）处，且 BP3=BP2；……；跳蚤按上述规则一直跳下去，第 n 次落点为 Pn（n 为正整数），则点 P2013 与 P2016 之间的距离为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题 8. 要使六边形木架不变形，至少要再钉上 根木条.‎ ‎12.下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：‎ ‎3；③∠A=90°—∠B；④∠A=∠B=∠C.能确定△ABC 是直角三角形的条件有 .‎ ‎13.一个四边形的四个内角中，最多有 个钝角，最多有 ‎ 个锐角.‎ ‎14.如图，∠1+∠2+∠3+∠4 等于 .‎ ‎15.如图，若∠A=70°，∠ABD=120°，则∠ACD= .‎ 16. 已知 a、b、c 是三角形的三边长，化简：︱a—b+c︳+︱a— b—c︳= .‎ 17. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，‎ ‎∠2=50°，则∠3 的度数是 .‎ 18. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，则△ABD 的面积 △ACD 的面积（填“＞”“＜”或“=”）.‎ 19. 如图，△ABC 中，∠A=40°，∠B=72°，CE 平分∠ACB，CD ‎⊥AB 于 D，DF⊥CE 于 F， 则∠CDF= .‎ 20. 在△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 上的点，AE=2CE， BD=2CD，AD、BE 交于点 F，若 S△ABC=3，则四边形 DCEF 的面积为 .‎ 三、解答题 16. 如图所示，某厂规定一块模板中 AB、CD 的延长线相交成 ‎80°的角，因交点不在模板上，不便测量，工人师傅连接 AC， 测得∠BAC=34°，∠DCA=65°，此时 AB、CD 的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？‎ 17. 如图所示，已知△ABC 中，E 是 AC 延长线上一点，D 是 BC 上一点.下面的命题正确吗？若正确，请说明理由.‎ ‎（1）∠1=∠E+∠A+∠B；‎ ‎（2）∠1＞∠A.‎ 18. 如图所示，已知在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1=∠‎ ‎2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC 的度数.‎ ‎24.如图，已知∠B=∠ADB，∠1=15°，∠2=20°，求∠3 的度数.‎ 25. 如图，△ABC 中，∠B=34°，∠ACB=104°，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 的度数.‎ 26. 如图所示，在△ABC 中，BD、CD 是∠ABC、∠ACB 的平分线，BP、CP 是∠CBE、∠BCF 的平分线.‎ （1） 若∠A=30°，求∠BDC、∠BPC 的度数；‎ （2） 不论∠A 为多少，试探索∠D+∠P 的值是变化还是不变化的.说明理由.‎ 27. 如图 1 所示，在△ABC 中，∠1=∠2，∠C＞∠B，E 为 AD 上一点，且 EF⊥BC 于 F.‎ （1） 试探索∠DEF 与∠B、∠C 的大小关系；‎ （2） 如图 2所示，当点 E 在 AD 的延长线上时，其余条件不 变，你在（1）中探索得到的结论是否还成立？说明理由.‎ 参考答案 ‎1．D 2．C 3．B 4．B 5．A 6．B 7．B 8．C 9．C ‎10．C 11．3 12．①②③ 13．3 14．360° 15．50° 16．2c ‎2‎ ‎17．20° 18．＝ 19．74° 20． 1‎ ‎21．不符合规定．理由：延长 AB、CD 相交于点 O，由三角形内角和定理知∠AOC＝180°－34°－65°＝81°≠80°．‎ ‎22．(1)正确．理由：∠1＝∠E＋∠DCE，而∠DCE＝∠A＋∠ B，所以∠1＝∠E＋∠A＋∠B;‎ ‎(2)正确．理由：∠1＞∠DCE，∠DCE＞∠A，所以∠1＞∠A． 23．∵∠4 是△ABD 的外角，∴∠4＝∠1＋∠2．‎ 而∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠4＝2∠2＝∠3．‎ 在△ABC 中，∵∠BAC＝63°，∴∠2＋∠3＋63°＝180°，‎ ‎2‎ ‎∴ 1 ∠3＋∠3＝180°－63°，∴∠3＝78°．‎ 在△DAC 中，∵∠4＝∠3＝78°，∴∠DAC＝180°－78°－78°‎ ‎＝24°．‎ ‎24．∵∠ADB＝∠1＋∠2，∠1＝15°，∠2＝20°，‎ ‎∴∠ADB＝15°＋20°＝35°．‎ ‎∵∠B＝∠ADB，∴∠B＝35°．‎ 又∵∠3＝∠B＋∠2，∴∠3＝35°＋20°＝55°．‎ ‎25．在△ABC 中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，‎ ‎∴∠BAC＝180°－34°－104°＝42°．‎ ‎∵AE 平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE＝21°．‎ ‎∴∠AEC＝34°＋21°＝55°． 又∵AD 是 BC 边上的高，‎ ‎∴∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－55°＝35°．‎ ‎26．（1）由角平分线性质可知：∠ABD＝∠1，∠ACD＝∠2．‎ ‎∴∠BDC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－ 1 (180°－∠A)＝90°＋ 1‎ ‎2 2‎ ‎∠A＝90°＋15°＝105°．‎ 由三角形的外角和为 360°可知：2（∠3＋∠4）＝360°－（180°‎ ‎－∠A），‎ ‎2‎ ‎∴∠3＋∠4＝90°＋ 1 ∠A．‎ ‎2‎ ‎∴∠P＝180°－（∠3＋∠4）＝90°－ 1 ∠A＝75°；‎ ‎（2）由（1）可知：∠BDC＝90°＋ 1 ∠A．，∠P＝90°－ 1 ∠A，‎ ‎2 2‎ ‎∴∠BDC＋∠P＝180°．‎ ‎∴不论∠A 为多少，∠D＋∠P 的值是不变化的．‎ ‎2‎ ‎27．（1）∵∠1＝∠2，∴∠1＝ 1 ∠BAC．‎ ‎2‎ ‎∵∠BAC＝180°－（∠B＋∠C），∴∠1＝90°－ 1 （∠B＋∠‎ C）．‎ ‎2‎ ‎∴∠EDF＝∠1＋∠B＝90°＋ 1 (∠B－∠C)． 又∵EF⊥BC，∴∠EFD＝90°，‎ ‎2‎ ‎∴∠DEF＝90°－∠EDF＝ 1 (∠C－∠B);‎ ‎(2)当点 E 在 AD 延长线上时，其余条件不变，（1）中的结论仍然成立．理由同（1）．‎ 第十二章 全等三角形知识点清单 一、知识框架：‎ 二、知识概念：‎ ‎1.基本定义：‎ ‎⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.‎ ‎⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.‎ ‎⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.‎ ‎⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.‎ ‎⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质：‎ ‎⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.‎ ‎⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理：‎ ‎⑴边边边（ SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.‎ ‎⑵边角边（ SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.‎ ‎⑶角边角（ ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.‎ ‎⑷角角边（ AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.‎ ‎⑸斜边、直角边（ HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.‎ 4. 角平分线：‎ ‎⑴画法：‎ ‎⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.‎ ‎⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.‎ ‎（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）‎ 4. 证明的基本方法：‎ ‎⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共 角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）‎ ‎⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.‎ ‎⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.‎ 第十二章 测试试题 一、填空题 ‎1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.若 CD＝4，则点 D 到斜边 AB 的距离为 ．‎ ‎2．如图，若△AOB≌△A′OB′，∠B＝30°，∠AOA′＝52°，OB 与 A′B′交于点 C，则∠A′CO 的度数是 ．‎ 3. 如图，在△ABC 中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF 的度数是 ．‎ 3. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AC，垂足为 E，BF ‎∥AC 交ED 的延长线于点F.若BC 恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④ AC＝3BF，其中正确的结论是 (填序号)．‎ 二、选择题 4. 下列各组的两个图形属于全等图形的是( )‎ ‎6．如图，已知△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B＝65°，则 ‎∠CAD 的度数为( )‎ A．85° B．65° C．40° D．30°‎ 7. 如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加 下列选项中的( ) A．AB＝CD B．CE＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC 8. 如图，两根长度为 12 米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离 BD 与 CD 的大小关系是( )‎ A．BD＞CD B．BD＜CD ‎ C．BD＝CD D．不能确定 9. 如图，AB∥CD，AP、CP 分别平分∠BAC、∠ACD，PE⊥ AC 于 点 E，PN⊥DC 于 点 N， 交 AB 于 点 M. 若 PE＝3， 则 MN 的 长 为 ( )‎ A．3 B．6‎ C．9 D．无法确定 10. 如图是由 4 个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1＋‎ ‎∠2 等 于 ( )‎ A．90° B．150° ‎ C．180° D．210°‎ 11. 如图，已知 EA⊥AB，BC∥EA，ED＝AC，AD＝BC，则下 列式子不一定成立的是( )‎ A．∠EAF＝∠ADF B．DE⊥AC C．AE＝AB D．EF＝FC 7. 如图，在方格纸中以 AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从 P1，P2，P3，P4 四个点中找出符合条件的点 P，则点 P 有 ( )‎ 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8. 如 图 ， 在 △ABC 中 ，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平 分 ∠CAB交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E.若 BC＝7，则 AE 的长为( )‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ 9. 如图，在△ABC 和△DEB 中，点 C 在边 BD 上，AC 交BE于点 F.若 AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB 等于( ) A．∠EDB B．∠BED ‎1‎ C.2∠AFB D．2∠ABF 三、解答题 7. 如图，已知△ABE≌△ACD.‎ (1) 如果 BE＝6，DE＝2，求 BC 的长；‎ (2) 如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE 的度数．‎ 8. 如图，已知 CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF.求证： AC∥BD.‎ 9. 如图，两车从路段 AB 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达 C、D 两地，CE⊥AB， DF⊥AB，C、D 两地到路段 AB 的距离相等吗？为什么？‎ 10. 如图，已知∠DAB＝∠CBE＝90°，点 E 是线段 AB 的中点，CE 平分∠DCB 且与 DA 的延长线相交于点 F，连接 DE.‎ 求证：DE 平分∠FDC.‎ 7. 如图，在△ABC 中，点 O 是∠ABC、∠ACB 平分线的交点，AB＋BC＋AC＝12，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，且 OD＝ 2，求△ABC 的面积．‎ 8. 如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以 A 为圆心，AB长为半径画弧；②以 C 为圆心，CB 长为半径画弧，两弧相交于点 D；③连接 BD，与 AC 交于点 E，连接 AD，CD.‎ (1) 求证：△ABC≌△ADC；‎ (2) 试猜想 BD 与 AC 的位置关系，并说明理由．‎ 9. 阅读下面材料：‎ 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”) 和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，小聪继续对“两个 三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究 小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC＝‎ DF，BC＝EF，∠B＝∠E.‎ 小聪的探究方法是对∠B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．‎ 第一种情况：当∠B 是直角时，如图①，在△ABC 和△DEF 中， AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据“HL”，可以判定Rt△ABC≌Rt△DEF；‎ 第二种情况：当∠B 是锐角时，如图②，BC＝EF，∠B＝∠E ‎＜90°，在射线 EM 上有点 D，使 DF＝AC，则△ABC 和△DEF 的关系是 ；‎ A．全等 B．不全等 C．不一定全等 第三种情况：当∠B 是钝角时，如图③，在△ABC 和△DEF 中， AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＞90°.过点 C 作 AB 边的垂线， 交 AB 的延长线于点 M，过点 F 作 DE 边的垂线，交 DE 的延长线于点 N，根据“AAS”，可以知道△CBM≌△FEN，请补全图形，进而证出△ABC≌△DEF.‎ 7. 如图，在△ABC 中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝6，点 D 为 AB 的中点，点 P 在线段 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度由点 B 向点 C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上以每秒 a 个单位长度的速度由点 C 向点 A 运动．设运动时间为 t 秒(0≤t≤3)．‎ (1) 用含 t 的代数式表示线段 PC 的长；‎ (2) 若点 P、Q 的运动速度相等，当 t＝1 时，△BPD 与△CQP 是否全等？请说明理由．‎ (3) 若点 P、Q 的运动速度不相等，则当△BPD 与△CQP 全等时，求 a 的值．‎ ‎23．(1)如图①，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，∠EAF＝45°，试判断 BE、EF、FD 之间的数量关系； (2)小聪延长 CD 至点 G，使 DG＝BE，连接 AG，得到△ADG，‎ 从而发现 EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论；‎ ‎(3)如图②，四边形 ABCD 中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋‎ ‎∠D＝180°，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，则当∠EAF 与∠ BAD 满足 关系时，仍有 EF＝BE＋FD，说明理由．‎ 参考答案 ‎1.4 2.82° 3.50° 4．①②③④‎ ‎5-14：DDACB CDCDC ‎15.解：(1)∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠BAE＝∠CAD.又 ‎∵BE＝6，DE＝2，∴EC＝DC－DE＝BE－DE＝4，∴BC＝BE ‎＋EC＝10.‎ ‎(2)∵∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝75°－30°＝45°，∴∠BAE＝∠‎ CAD＝45°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝45°－30°＝15°. 16．证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC＝∠BFD＝90°.(2‎ ìïAC＝BD，‎ ïî 分)在 Rt△ACE 和 Rt△BDF 中，∵íCE＝DF，∴Rt△ACE≌‎ Rt△BDF(HL)，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.‎ 17. 解：C、D 两地到路段 AB 的距离相等．理由如下：由题 意可知AC＝BD.∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC＝∠BFD＝90°.‎ ‎∵ AC ∥ BD ， ∴ ∠ A ＝ ∠ B. 在 △AEC 和 △BFD 中 ，‎ ìï∠AEC＝∠BFD，‎ í∠A＝∠B，‎ ïîAC＝BD，‎ ‎∴△AEC≌△BFD(AAS)，∴CE＝DF，∴‎ C、D 两地到路段 AB 的距离相等．‎ 18. 证明：过点 E 作 EH⊥CD.∵CE 平分∠DCB，∠CBE＝90°，‎ ‎∴BE＝EH.∵点 E 是线段 AB 的中点，∴AE＝BE，∴AE＝EH. 又∵∠DAB＝90°，∴DE 平分∠FDC.‎ 19. 解：如图，作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，连接 OA.(2 分)∵点 O 是∠ABC、∠ACB 的平分线的交点，∴OE＝OD， OF＝OD，即 OE＝OF＝OD＝2，(5 分)∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO ‎1 1 1 1‎ ‎＋S△ACO＝2AB·OE＋2BC·OD＋2AC·OF＝2222(AB＋BC＋AC)‎ ‎1‎ ‎＝222212＝12.‎ ‎20．(1)证明：由作图步骤可得 AB＝AD，BC＝DC.在△ABC 与 ìïAB＝AD，‎ ‎△ADC 中，íBC＝DC，∴△ABC≌△ADC(SSS)．‎ ïîAC＝AC，‎ ‎(2)解：BD⊥AC.(5 分)理由如下：由(1)知△ABC≌△ADC，‎ ìïAB＝AD，‎ ‎∴∠BAC＝∠DAC.在△ABE 与△ADE 中，í∠BAE＝∠DAE，‎ ïîAE＝AE，‎ ‎∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴∠AEB＝∠AED.(8 分)又∵∠AEB ‎＋∠AED＝180°，∴∠AEB＝90°，∴BD⊥AC.‎ ‎21．解：第二种情况：C 解析：由题意可知满足条件的点 D 有两个(如图②)，所以△ABC 和△DEF 不一定全等．故选 C.‎ 第三种情况：补全图形如图③所示．‎ 证明：∵∠ABC＝∠DEF，∴∠CBM＝∠FEN.∵CM⊥AB，FN ‎⊥ DE ， ∴∠ CMB ＝∠ FNE ＝ 90°. 在△CBM 和△FEN 中，‎ ìï∠CMB＝∠FNE，‎ í∠CBM＝∠FEN，∴△CBM≌△FEN(AAS)，‎ ïîBC＝EF，‎ ìïCM＝FN，‎ ‎∴CM＝FN.在 Rt△AMC 和Rt△DNF 中，í ïîAC＝DF，‎ ‎∴Rt△AMC≌Rt△DNF(HL)，∴∠A＝∠D.在△ABC 和△DEF 中 ìï∠A＝∠D，‎ í∠ABC＝∠DEF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．‎ ïîBC＝EF，‎ ‎22．解：(1)PC＝BC－PB＝6－2t.‎ (2) ‎△BPD 与△CQP 全等．理由如下：∵t＝1，∴PB＝CQ＝2，‎ ‎∴PC＝BC－PB＝6－2＝4.∵AB＝8，点 D 为 AB 的中点，‎ ‎∴ BD ＝ AD ＝ 4 ， ∴ PC ＝ BD. 在△BPD 与△CQP 中，‎ ìïBP＝CQ，‎ í∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP(SAS)．‎ ïîBD＝CP，‎ (3) ‎∵点 P、Q 的运动速度不相等，∴BP≠CQ.又∵△BPD 与 ‎△CQP 全等，∠B＝∠C，∴BP＝PC，BD＝CQ，∴2t＝6－2t，‎ at＝4，解得 t 3 a 8‎ ‎＝2， ＝3.‎ ‎23．(1)解：EF＝BE＋DF.‎ (2) 证明：∵四边形 ABCD 为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC ‎＝∠ BAD ＝ 90°， ∴∠ ADG ＝ 180°－ ∠ ADC ＝ 90° ＝∠ B. 在 ìïAB＝AD，‎ ‎△ABE 和△ADG 中，í∠B＝∠ADG，∴△ABE≌△ADG，‎ ïîBE＝DG，‎ ‎∴∠BAE＝∠DAG.∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝∠‎ BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠DAF＋∠DAG＝45°，即 ‎∠ GAF ＝ 45°， ∴∠ GAF ＝∠ EAF. 在△GAF 和△EAF 中，‎ ìïAG＝AE，‎ í∠GAF＝∠EAF，∴△AFG≌△AFE(SAS)，∴GF＝EF.‎ ïîAF＝AF，‎ ‎∵GF＝DG＋FD＝BE＋FD，∴EF＝BE＋FD.‎ (3) 解：∠BAD＝2∠EAF 理由如下：如图，延长 CB 至 M， 使 BM＝DF，连接 AM.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABM ‎＝ 180° ， ∴ ∠ D ＝ ∠ ABM. 在 △ABM 和 △ADF 中 ，‎ ìïAB＝AD，‎ í∠ABM＝∠D，∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AF＝AM，∠DAF ïîBM＝DF，‎ ‎＝∠BAM.∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF＋∠BAE＝∠EAF，‎ ‎∴∠BAE＋∠BAM＝∠EAM＝∠EAF.在△FAE 和△MAE 中，‎ ìïAE＝AE，‎ í∠EAF＝∠EAM，∴△FAE≌△MAE(SAS)，∴EF＝EM.‎ ïîAF＝AM，‎ ‎∵EM＝BE＋BM＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.‎ 第十三章 轴对称知识点清单 一、知识框架：‎ 二、知识概念：‎ ‎1.基本概念：‎ ‎⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.‎ ‎⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对 称.‎ ‎⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直 线，叫做这条线段的垂直平分线.‎ ‎⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角， 底边与腰的夹角叫做底角.‎ ‎⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 2.基本性质：‎ ‎⑴对称的性质：‎ ‎①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.‎ ‎②对称的图形都全等.‎ ‎⑵线段垂直平分线的性质：‎ ‎①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.‎ ‎②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.‎ ‎⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质 ‎①点P (x, y) 关于x 轴对称的点的坐标为P ' (x, - y) .‎ ‎②点P (x, y) 关于y 轴对称的点的坐标为P" (-x, y) .‎ ‎⑷等腰三角形的性质：‎ ‎①等腰三角形两腰相等.‎ ‎②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.‎ ‎③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.‎ ‎④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1 条）.‎ ‎⑸等边三角形的性质：‎ ‎①等边三角形三边都相等.‎ ‎②等边三角形三个内角都相等，都等于 60°‎ ‎③等边三角形每条边上都存在三线合一.‎ ‎④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3 条）. 3.基本判定：‎ ‎⑴等腰三角形的判定：‎ ‎①有两条边相等的三角形是等腰三角形.‎ ‎②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.‎ ‎⑵等边三角形的判定：‎ ‎①三条边都相等的三角形是等边三角形.‎ ‎②三个角都相等的三角形是等边三角形.‎ ‎③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 4.基本方法：‎ ‎⑴做已知直线的垂线：‎ ‎⑵做已知线段的垂直平分线：‎ ‎⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.‎ ‎⑷作已知图形关于某直线的对称图形：‎ ‎⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.‎ 第十三章 测试试题 一、单选题 1. 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D,E 是边 AB 上两点,且 CE 所在直线垂直平分线段 AD,CD 平分∠BCE,AC=5cm,则 BD 的长为（ ）‎ A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 2. 如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP=6cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，△PMN 周长的最小值 是 6cm，则∠AOB 的度数是（ ）‎ A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°‎ 1. 在 424 的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，是整个阴影部分组成的图形成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共 有 （ ）‎ A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 2. 在平面直角坐标系中，点 P（﹣3，2）关于直线 对称点的坐标是（ ）‎ A. （﹣3，﹣2） B. （3，2）‎ C. （2，﹣3） D. （3，﹣2）‎ 3. 如图，在五边形 ABCDE 中，AB=AC=AD=AE，且 AB∥ ED，∠EAB=120°， 则 ∠DCB=（ ）‎ A. 150° B. 160° C. 130° D. 60°‎ 1. 已知等腰三角形的周长为 14,其腰长为 4,则它的底边长为 ‎（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 4 或 6‎ 2. 如图,AD⊥BC,BD=DC,点 C 在 AE 的垂直平分线上,则 AB,AC,CE 的长度关系为（ ）‎ A. AB>AC=CE B. AB=AC>CE C. AB>AC>CE D. AB=AC=CE 3. 点 P（2，﹣3）关于 x 轴的对称点的坐标为（ ）‎ A. （﹣2，﹣3） B. （2，3）‎ C. （﹣2，3） D. （3，﹣2）‎ 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 1. ‎△ABC 中，AB=AC，CD 为 AB 上的高，且△ADC 为等腰 三角形，则∠BCD 等于( )‎ A. 67.5° B. 22.5° C. 45° D. 67.5°或 22.5°‎ 2. 等腰三角形的一个角是 40°，则它的顶角是（ ）‎ A. 40° B. 70° C. 100° D. 40°或 100°‎ 3. 在△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,且 AB＝AC＋CD.‎ 若∠BAC＝60°则∠ABC=( )‎ A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°‎ 二、填空题 4. 如图△ABC 中，∠BAC=78°，AB=AC，P 为△ABC 内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连 PA，则∠ BAP 的度数为 ．‎ 5. 在平面直角坐标系中，过（-1，0）作 y 轴的平行线 L，若点 A（3，-2），则 A 点关于直线 L 对称的点的坐标为 ‎ ．‎ 1. 如图所示，△ABC 为等边三角形，D 为 AB 的中点，高 AH=10 cm，P 为 AH 上一动点，则 PD+PB 的最小值为 ‎ cm．‎ 2. 如图为 6 个边长相等的正方形的组合图形，则 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC,DE 是 AB 的垂直平分线,△BCE 的周长为 24,BC=10 则 AB 的长为 .‎ 三、解答题 4. 如图，在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点 A、B、C 在小正方形的顶点上．‎ （1） 在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′；‎ （2） 在直线 l 上找一点 P（在答题纸上图中标出），使 PB+PC 的长最短．‎ 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB 的垂直平分线分别交 AB 和 AC 于点 D、E.‎ (1) 求证：AE＝2CE；‎ (2) 连结 CD，请判断△BCD 的形状，并说明理由．‎ 2. 如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥‎ CB，垂足为 F．‎ （1） 求证：△ABC≌△ADE；‎ （2） 求∠FAE 的度数；‎ （3） 求证：CD=2BF+DE．‎ 1. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上，且 AD=AE．‎ （1） 若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC 的度数？‎ （2） 猜想∠EDC 与∠BAD 的数量关系？（不必证明）‎ 2. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD 是∠ACB 的平分线，‎ DE∥BC，交 AC 于点 E．‎ （1） 求证：DE=CE．‎ （2） 若∠CDE=35°，求∠A 的度数．‎ 第十四章 整式的乘除与分解因式知识点清单 一、知识框架:‎ 整式乘法 乘法法则 整式除法 因式分解 二、知识概念：‎ 1. 基本运算：‎ ‎⑴同底数幂的乘法：am ´ an = am+n ‎⑵幂的乘方：(am )n = amn ‎⑶积的乘方：(ab)n = anbn 2. 整式的乘法：‎ ‎⑴单项式´ 单项式：系数´ 系数，同字母´ 同字母，不同字母为积的因式.‎ ‎⑵单项式´ 多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.‎ ‎⑶多项式´ 多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.‎ 3. 计算公式：‎ ‎⑴平方差公式：(a - b)´(a + b) = a2 - b2‎ ‎⑵完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ；(a - b)2 = a2 - 2ab + b2‎ 1. 整式的除法：‎ ‎⑴同底数幂的除法：am ¸ an = am-n ‎⑵单项式¸ 单项式：系数¸ 系数，同字母¸ 同字母，不同字母作为商的因式.‎ ‎⑶多项式¸ 单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.‎ ‎⑷多项式¸ 多项式：用竖式.‎ 2. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.‎ 3. 因式分解方法：‎ ‎⑴提公因式法：找出最大公因式.‎ ‎⑵公式法：‎ ‎①平方差公式：a2 - b2 = (a + b)(a - b) ‎②完全平方公式：a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2‎ ‎③立方和：a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 )‎ ‎④立方差：a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 )‎ ‎⑶十字相乘法： x2 +( p + q) x + pq = (x + p)(x + q) ‎⑷拆项法 ‎⑸添项法 第十四章 测试试题 一、填空题 ‎2 3‎ ‎‎ æ1 2 ö3‎ ‎‎ æ 1ö2017‎ ‎1．计算：－x ·x ＝ ；ç2a b÷ ‎＝ ；ç－ ÷ è ø ‎222016＝ ．‎ ‎è 2ø ‎2．因式分解：a－ab2＝ ．‎ ‎3．已知 2a2＋2b2＝10，a＋b＝3，则 ab＝ ．‎ 4. 对于实数 m，n 定义如下的一种新运算“☆”：m☆n＝m2－mn ‎－3，下列说法：①0☆1＝－3；②x☆(x－2)＝－2x－3；③方程 ‎(x＋1) ☆(x－1)＝0 的解为 x 1 ④整式 3x☆1 可进行因式分 ‎＝2；‎ 解．其中正确的说法是 (填序号)． 二、选择题 5. 计算(－2a)2 的结果是( )‎ A．－4a2 B．2a2 C．－2a2 D．4a2 6．下列运算正确的是( ) A．(x＋y)2＝x2＋y2 B．x2·x5＝x10 C．x＋y＝2xy D．2x3÷x＝2x2 7．下列四个多项式中，能因式分解的是( )‎ A．a2＋b2 B．a2－a＋2‎ C．a2＋3b D．(x＋y)2－4 8．若(x－2)(x＋3)＝x2－ax＋b，则 a、b 的值是( ) A．a＝5，b＝6 B．a＝1，b＝－6 C．a＝－1，b＝－6 D．a＝5，b＝－6‎ ‎9．如果关于 x 的代数式 9x2＋kx＋25 是一个完全平方式，那么 k 的值是( )‎ A．15 B．±5 C．30 D．±30‎ ‎10．已知 x＋y＝－4，xy＝2，则 x2＋y2 的值为( ) A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎11．已知 3a＝5，9b＝10，则 3a＋2b 的值为( ) A．50 B．－50 C．500 D．－500‎ 12. 若 a、b、c 为一个三角形的三边长，则式子(a－c)2－b2 的值( )‎ A．一定为正数 B．一定为负数 C．可能是正数，也可能是负数 D．可能为 0‎ 13. 图①是一个长为 2a、宽为 2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长 方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面 积 是 ( )‎ A．ab B．(a＋b)2 C．(a－b)2 D．a2－b2‎ ‎14．在求 1＋6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 6 倍，于是她设：S＝1＋6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69①，然后在 ‎①式的两边都乘以 6，得 6S＝6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68‎ ‎＋69＋610②，②－①得 6S－S＝610－1，即 5S＝610－1，所以 S ‎610－1‎ ‎＝ 5 .得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字 母“a”(a≠0 且 a≠1)，能否求出 1＋a＋a2＋a3＋a4＋…＋a2018 的值？你的答案是( )‎ a2018－1‎ ‎a2019－1 a2018－1‎ A. a－1 B.‎ ‎a－1 C.‎ ‎a D．a2018－1‎ 三、解答题 15. 计算：‎ ‎(1)x·x7; (2)a2·a4＋(a3)2； (3)(－2ab3c2)4; (4)(－a3b)2÷(－3a5b2)．‎ 15. 化简：‎ ‎(1)(a＋b－c)(a＋b＋c)； (2)(2a＋3b)(2a－3b)－(a－3b)2.‎ 16. 若关于 x 的多项式(x2＋x－n)(mx－3)的展开式中不含 x2 和常数项，求 m，n 的值．‎ 17. 分解因式：‎ ‎(1)4x3y＋xy3－4x2y2; (2)y2－4－2xy＋x2.‎ 18. 观察下列关于自然数的等式：‎ ‎32－4212＝5; ①‎ ‎52－4222＝9; ②‎ ‎72－4232＝13; ③‎ ‎……‎ 根据上述规律解决下列问题：‎ ‎(1)完成第四个等式：92－42 2＝ ；‎ ‎(2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示)，并验证其正确性．‎ 19. 小红家有一块 L 形菜地，把 L 形菜地按如图所示分成面 积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都 是 a 米，下底都是 b 米，高都是(b－a)米．‎ ‎(1)请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？ (2)当 a＝10，b＝30 时，面积是多少平方米？‎ 15. 先 化 简 ， 再 求 值 ： (1)[(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x，其中 x＝3，y＝1；‎ ‎(2)(m－n)(m＋n)＋(m＋n)2 －2m2 ，其中 m、n 满足方程组 ìïm＋2n＝1，‎ í ïî3m－2n＝11.‎ ‎22．(1)已知 a－b＝1，ab＝－2，求(a＋1)(b－1)的值；‎ ‎(2)已知(a＋b)2＝11，(a－b)2＝7，求 ab 的值；‎ ‎(3)已知 x－y＝2，y－z＝2，x＋z＝5，求 x2－z2 的值．‎ ‎23．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.‎ 解：将“x＋y”看成整体，令 x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.‎ 再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.‎ 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用 的一种思想方法，请你解答下列问题：‎ ‎(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝ ； (2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；‎ ‎(3)求证：若 n 为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1 的值一定是某一个整数的平方．‎ 参考答案 ‎8a ‎1．－x5 1‎ ‎6b3 1‎ ‎‎ ‎2.a(1＋b)(1－b) 3．2 4.①③④‎ ‎－2‎ ‎5-14：DDDCD CABCB ‎15．解：(1)原式＝x8. (2)原式＝a6＋a6＝2a6. (3)原式＝16a4b12c8.‎ ‎3a.‎ ‎(4)原式＝a6b2÷(－3a5b2)＝－1‎ ‎16．解：(1)原式＝(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2.‎ ‎(2)原式＝4a2－9b2－(a2－6ab＋9b2)＝3a2＋6ab－18b2.(8 分)‎ ‎17．解：原式＝mx3＋(m－3)x2－(3＋mn)x＋3n.(3 分)∵展开式 中不含 x2 和常数项，得到 m－3＝0，3n＝0，(6 分)解得 m＝3，‎ n＝0.‎ ‎18．解：(1)原式＝xy(2x－y)2.‎ ‎(2)原式＝(x－y)2－4＝(x－y＋2)(x－y－2)． 19．解：(1)4 17‎ ‎(2)第 n 个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.(5 分)左边＝(2n＋1)2－ 4n2＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1.右边＝4n＋1.左边＝右边，∴ (2n＋1)2－4n2＝4n＋1.‎ ‎20．解：(1)小红家的菜地面积共有 a2)(平方米)．‎ ‎1‎ ‎222(a ‎＋b)(b－a)＝(b2－‎ ‎(2)当 a＝10，b＝30 时，面积为 900－100＝800(平方米)． 21．解：(1)原式＝(x2－2xy＋y2＋x2－y2)÷2x＝(2x2－2xy)÷2x＝ x－y.当 x＝3，y＝1 时，原式＝3－1＝2.‎ ìïm＋2n＝1①，‎ ‎(2)í ①＋②，得 4m＝12，解得 m＝3.将 m＝3‎ ïî3m－2n＝11②，‎ 代入①，得 3＋2n＝1，解得 n＝－1.(8 分)原式＝m2－n2＋m2＋‎ ‎2mn＋n2－2m2＝2mn.当 m＝3，n＝－1 时，原式＝2232(－1)＝‎ ‎－6.‎ ‎22．解：(1)∵a－b＝1，ab＝－2，∴原式＝ab－(a－b)－1＝－‎ ‎2－1－1＝－4.‎ ‎(2)∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝11①，(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝7②‎ ‎∴①－②得 4ab＝4，∴ab＝1.‎ ‎(3)由 x－y＝2，y－z＝2，得 x－z＝4.又∵x＋z＝5，∴原式＝‎ ‎(x＋z)(x－z)＝20. 23．(1)(x－y＋1)2‎ ‎(2)解：令 A＝a＋b，则原式＝A(A－4)＋4＝A2－4A＋4＝(A－‎ ‎2)2，再将 A 还原，得原式＝(a＋b－2)2.‎ ‎(3)证明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1‎ ‎＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1.令 n2＋3n＝A，则原式＝A(A＋2)＋‎ ‎1＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2，∴原式＝(n2＋3n＋1)2.∵n 为正整数，‎ ‎∴n2＋3n＋1 也为正整数，∴式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1 的值一定是某一个整数的平方．‎ 第十五章 分式知识点清单 一、知识框架 ：‎ 二、知识概念：‎ ‎1.分式：形如 A ，A、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于 0 的整式 B 叫做分式.其中A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于 0.‎ 3. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同 一个不为 0 的整式，分式的值不变.‎ 4. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分.‎ 5. 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做 通分.‎ 6. 最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.‎ 7. 分式的四则运算：‎ ‎⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把 分子相加减.用字母表示为： a ± b = a ± b c c c ‎⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为 同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 用字母表示为： a ± c = ad ± cb b d bd ‎⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： a ´ c = ac b d bd ‎⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为： a ¸ c = a ´ d = ad b d b c bc ç b ÷ ‎⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：æ a ön è ø ‎= an bn 3. 整数指数幂：‎ ‎⑴am ´ an = am+n （m、n是正整数）‎ ‎⑵(am )n = amn （m、n是正整数）‎ ‎⑶(ab)n = anbn （n 是正整数）‎ ‎⑷am ¸ an = am-n （a ¹ 0 ，m、n是正整数，m > n ）‎ ç b ÷ ‎⑸æ a ön è ø ‎= an （ 是正整数）‎ n n b n ‎⑹a- n = 1 （a ¹ 0 ，n 是正整数）‎ a 4. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.‎ 5. 分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出 未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把 分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围, 可能产生增根).‎ 第十五章 测试试题 一、选择题 1. 若代数式 1‎