2020-2021学年浙教版八年级上册等腰三角形专题培优（附答案） 10页

2020-2021 学年浙教版八年级上册等腰三角形专题培优 姓名 班级 学号 基础巩固 1.如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB = AC，P，Q 分别为 AC，AB 上的点，且 AP = PQ = QB = BC，则∠PCQ 的度数为（ ）. A.30° B.36° C.45° D.37.5° 2.如图，在下列三角形中，若 AB = AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的 是（ ）. A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 3.如图，在△ABC 中，AB = AC，AD = DE，∠BAD = 20°，∠EDC = 10°，则 ∠DAE 等于（ ）. A.30° B.40° C.60° D.80° 4.在△ABC 中，CA = CB，∠ACB = 120°，将一块足够大的直角三角尺 PMN（∠M = 90°，∠MPN = 30°）按如图放置，顶点 P 在线段 AB 上滑动，三角尺的直角边 PM 始终经过点 C，并且与 CB 的夹角∠PCB = α，斜边 PN 交 AC 于点 D，在点 P 的滑动过程中，若△PCD 是等腰三角形，则夹角α的大小是 _________ . 5.如图，AF 平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为点 E，点 D 与点 A 关于点 E 对称，PB 分 别与线段 CF，AF 相交于点 P，M. （1）求证:AB = CD. （2）若∠BAC = 2∠MPC，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由 6.如图 1，在△ABC 中.AB = AC，点 P 为底边 BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC， CH⊥AB，垂足分别为点 E，F，H.易证 PE + PF = CH.证明过程如下:如图 1，连 结 AP.∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴S△ABP= 1 2 AB·PE，S△ACP= 1 2 AC·PF，S△ABC = 1 2 AB·CH. 又∵S△ABP+ S△ACP= S△ABC，∴ 1 2 AB·PE + 1 2 AC·PF = 1 2 AB·CH. ∵AB = AC，∴PE + PF = CH. （1）如图 2，当点 P 为 BC 延长线上的点时，其他条件不变，PE，PF，CH 又有怎 样的数量关系?请写出你的猜想，并加以证明. （2）若∠A = 30°，△ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且点 P 到直线 AC 的 距离为 PF，当 PF = 3 时，则 AB 边上的高 CH = _________ .点 P 到 AB 边的距离 PE = _________ . 7.如图，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB，点 D 在 BC 所在的直线上，点 E 在射线 AC 上，且 AD = AE，连结 DE. （1）如图 1，若∠B = ∠C = 35°，∠BAD = 80°，求∠CDE 的度数. （2）如图 2，若∠ABC = ∠ACB = 75°，∠CDE = 18°，求∠BAD 的度数. （3）当点 D 在直线 BC 上（不与点 B，C 重合）运动时，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由. 拓展提优 1.若实数 m，n 满足等式|m - 2| + 4n = 0，且 m，n 恰好是等腰三角形 ABC 的两 条边的边长，则△ABC 的周长是（ ）. A.12 B.10 C.8 D.6 2.如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线.若 AB = AC，∠CAD = 20°，则 ∠ACE 的度数是（ ）. A.20° B.35° C.40° D.70° 3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它 的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多 为（ ）. A.4 B.5 C.6 D.7 4.我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”， 记作 k.若 k = 1 2 ，则该等腰三角形的顶角为 _________ 度. 5.如图，∠BOC = 9°，点 A 在 OB 上，且 OA = 1，按下列要求画图:以 A 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A1，得第 1 条线段 AA1；再以 A1 为圆心，1 为半径向右画 弧交 OB 于点 A2，得第 2 条线段 A1A2；再以 A2 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A3，得第 3 条线段 A2A3…这样画下去，直到得第 n 条线段，之后就不能再画出符合 要求的线段了，则 n = _________ . 6.数学课上，张老师举了下面的例题: 例 1:在等腰三角形 ABC 中，∠A = 110°，求∠B 的度数.（答案:35°） 例 2:在等腰三角形 ABC 中，∠A = 40°，求∠B 的度数.（答案:40°或 70°或 100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题: 变式:在等腰三角形 ABC 中，∠A = 80°，求∠B 的度数. （1）请你解答以上的变式题. （2）解答（1）后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不 同.如果在等腰三角形 ABC 中，设∠A = x°，当∠B 有三个不同的度数时，请你探 索 x 的取值范围. 7.在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 E，且 AC⊥BD，作 BF⊥CD，垂 足为点 F，BF 与 AC 交于点 G，∠BGE = ∠ADE. （1）如图 1，求证:AD = CD. （2）如图 2，BH 是△ABE 的中线，若 AE = 2DE，DE = EG，在不添加任何辅助线 的情况下，请直接写出图 2 中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于 △ADE 面积的 2 倍. 冲刺重高 1.如图，在△ABC 中，∠BAC 与∠BCA 的平分线相交于点 I，若∠B = 35°，BC = AI + AC，则∠BAC 的度数为（ ）. A.60° B.70° C.80° D.90° 2.如图，在△ABC 中，AB = AC，点 P，Q 分别在 AC，AB 上，且 AP = PQ = QC = BC，则∠A 的大小是 _________ . 3.如图，在△ABC 中，AC = BC > AB，点 P 为△ABC 所在平面内一点，且点 P 与 △ABC 的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC 均是等腰三角形，则满足 上述条件的所有点 P 的个数为 _________ . 4.如图，在△ABC 中，∠BAC = 60°，∠C = 40°，点 P，Q 分别在 BC，CA 上， AP，BQ 分别是∠BAC，∠ABC 的平分线.求证:BQ + AQ = AB + BP. 5.如图，在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点 P 是线段 CH 上不与端点重合的 任意一点，连结 AP 并延长交 BC 于点 E，连结 BP 并延长交 AC 于点 F. （1）求证:∠CAE = ∠CBF. （2）求证:AE = BF. （3）以线段 AE，BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG（点 E 与点 F 重合于点 G），记△ABC 和△ABG 的面积分别为 S△ABC 和 S△ABG，如果存在点 P，能使得 S△ABC= S△ABG，求∠ACB 的取值范围. 2 3 4 5 6 7 冲刺重高