华师版数学八年级上册同步课件-第14章-14 勾股定理 15页

第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.2 直角三角形的判定 * * * * * * * ******(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) * (1) * (2) * (3) * (4) * (5) * (6) * (7) * (8) * (9) * (10) * (11) * (12) * (13) 你想知道这是什么道理吗? 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角： 他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个 工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住 第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处. 【问题】同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角? 【问题】试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看 看它们是一些什么样的三角形： (1)a=3,b=4,c=5; (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10. 可以发现，按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角 形，最长边所对的角是直角；按（2）所画的三角形不是直角 三角形. 直角三角形的判定1 这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 在这三组数据中，（1）、（3）两组数据恰好都满 足a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个 三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 对于任意一个三角形，若三边长满足 a2+b2=c2，则 该三角形是直角三角形吗？ 证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90°， A′C′=b，B′C′=a， 则A′B′²=a²+b²=c²， 即A′B′=c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC=a=B′C′， AC=b=A′C′， AB=c=A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°. B′ C′ 【例1】 已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b， a²+b²=c²，求证：∠C=90°. A B C A′ 分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直 角三角形, 只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 【例2 】判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形? (1) a=7，b=25，c=24; (2) a=13，b=11，c=9. 解:(1)最长边为25， ∵a2+c2=72+242 =49+576 =625， b2=252 =625， ∴a2+c2=b2. ∴以7, 25, 24为边长的 三角形是直角三角形. (2)最长边为13， ∵b2+c2=112+92 =121+81 =202， a2=132 =169， ∴b2+c2≠a2. ∴以13, 11, 9为边长的 三角形不是直角三角形. 【例 3】 一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如 图2所示,这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 在△BCD中， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD中， 所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 【例4】 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大 于1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪 一条边所对的角是直角？请说明理由 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²， ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角. 能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾 股数.例如3 ,4 ,5 ；6, 8, 10； n²-1,2n,n²+1(n为大于 1的正整数)等都是勾股数. 勾股数2 【例5】 下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数， 先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的 平方和即可. 1.如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( ) A.3∶ 4∶ 7 B.5∶ 12∶ 13 C.1∶ 2∶ 4 D.1∶ 3∶ 5 2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的 三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 B A 4.如果三条线段a、b、c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的 三角形是直角三角形吗?为什么? 解：这个是直角三角形，因为a2+b2=c2,满足勾股定理的 逆定理. 3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面 积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形.直角 5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 与你的同 伴交流. 4 1 2 2 4 3 解:由题意可知△ABE，△DEF， △FCB均为直角三角形. 由勾股定理，知 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5， BF2=32+42=25， ∴BE2+EF2=BF2. ∴ △BEF是直角三角形. 直角三角 形的判定 勾股定理的逆定理：如果三角形的 三边长a、b、c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形 勾股数：满足a2+b2=c2的 三个正整数