2020八年级数学下册 专题突破讲练 巧用勾股定理解决几何问题试题 （新版）青岛版 10页

巧用勾股定理解决几何问题 ‎ ‎ 一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧 ‎1. 构造直角三角形 根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构造直角三角形。‎ ‎ 如：在ABC中，AB=AC=5，BC=8，求三角形ABC的面积。‎ ‎ 答案：12。‎ ‎2. 利用勾股定理列方程 将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。‎ ‎（1）在翻折问题中，大多数求值都是这种应用 如：如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为多少？‎ ‎ 答案：3。‎ ‎（2）求折断物体长度时，使用方程 如：一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是多少？‎ 答案：尺。‎ ‎3. 分类讨论思想 已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论。‎ 如：已知一个直角三角形的两边长是和，求第三边的长。‎ 10‎ 答案：‎5cm或cm。‎ ‎4. 数形结合思想 几何与代数问题的综合。‎ 如：在一棵树的‎5米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树‎10米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？‎ 答案：‎7.5米。‎ 二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律 ‎1. 含有30°角的直角三角形 ‎（1）30°角所对的直角边是斜边的一半；‎ ‎（2）60°角所对的直角边是30°角所对直角边的倍。‎ ‎2. 等边三角形 高等于边长的倍。‎ 总结：‎ ‎（1）勾股定理的几何应用是学习的重点内容，要在直角三角形中灵活运用。‎ ‎（2）要有意识的训练自己辅助线的添加，经常性的思考不同问题的不同添加法。　‎ 例题 A‎1A2B是直角三角形，且A‎1A2=A2B=a，A‎2A3⊥A1B，垂足为A3，A‎3A4⊥A2B，垂足为A4，A‎4A5⊥A3B，垂足为A5，…，An+1An+2⊥AnB，垂足为An+2，则线段An+1An+2（n为自然数）的长为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10‎ 解析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A‎2A3及A‎3A4的长，找出规律即可解答．‎ 答案：∵△A‎1A2B是直角三角形，且A‎1A2=A2B=a，A‎2A3⊥A1B，∴A1B==，‎ ‎∵△A‎1A2B是等腰直角三角形， ‎ ‎∴A‎2A3=A‎1A3=A1B==，‎ 同理，△A‎2A3B是等腰直角三角形，A‎2A3=A3B=，A‎3A4⊥A2B，A2B=a，A‎3A4=A‎2A4=A1B=，‎ ‎∴线段An+1An+2（n为自然数）的长为．‎ 故选A。‎ 点拨：规律性题目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性质，解答此题的关键是求出A‎2A3及A‎3A4的长，并找出规律．‎ 分类讨论求值 近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查同学们的数学基本知识与方法，而且考查了同学们思维的深刻性。在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够。所以同学们要充分考虑不同情况下的求值。‎ 例题 在△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，则边BC的长是（　　）‎ A. 14 B. ‎4 C. 14或4 D. ‎ 解析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD、CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD．‎ 答案：解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12， ‎ 在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9，故BC的长为BD+DC=9+5=14；‎ ‎ （2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12， ‎ 在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9，故BC的长为DC-BD=9-5=4．综上可得BC的长为14或4．故选C．‎ 10‎ ‎（1） （2）‎ 生活中的勾股定理方案设计 在实际生活中应用勾股定理。‎ 例题 某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a=‎6米，b=‎8米．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以b为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形花圃的周长为（　　）米 A. 32或20+4 B. 32或36或 ‎ C. 32或或20+4 D. 32或36或或20+4‎ 解析：由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①AB=AD，②AD=BD两种情况进行讨论．‎ 答案：解：如图所示：‎ 在Rt△ABC中，∵AC=‎8m，BC=‎6m，∴AB=‎10m，‎ 如图1，当AB=AD时，DC=BC=‎6m，此时等腰三角形花圃的周长=10+10+6+6=32（m）；‎ 如图2：当AD=BD时，设AD=BD=x（m）；Rt△ACD中，BD=x（m），CD=（x-6）m；‎ 由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即（x-6）2+82=x2，解得x=；‎ 此时等腰三角形绿地的周长=×2+10=（m）．‎ 当AB=BD时，在Rt△ACD中，AD===4，‎ ‎∴等腰三角形绿地的周长=2×10+4=20+4（m）．‎ 故选C．‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…，根据以上规律的第⑦组勾股数是（　　）‎ 10‎ A. 14、48、49 B. 16、12、‎20 C. 16、63、65 D. 16、30、34‎ ‎2. 如图，一个长为‎10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为‎8米，如果梯子的顶端下滑‎1米，那么梯子的底端的滑动距离（　　）‎ A. 等于‎1米 B. 大于‎1米 C. 小于‎1米 D. 不能确定 ‎*3. 已知△ABC是斜边长为‎1cm的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是（　　）‎ A. cm B. cm C. 2ncm D. cm ‎*4. 如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（　　）‎ A. 5＜S≤6 B. 6＜S≤‎7 ‎C. 7＜S≤8 D. 8＜S≤9‎ ‎**5. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，现将△ACE绕点A旋转至△ABE′处，连接DE′和EE′，则下列结论中 ①AB⊥DE′②∠ADE=∠BAE ③△AEE′是等腰直角三角形   ④AD⊥EE′⑤BD2+CE2=DE2正确的有（　　）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：‎ ‎*6. 如图，一牧童在A处放羊，牧童的家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD分别为 10‎ ‎500m和‎700m，且C、D两地相距‎500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走 ‎1300m．‎ ‎*7. 如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为‎3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是 m．‎ ‎**8. 勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积=16，AE=1；则正方形EFGH的面积= ‎ ‎ **9. 图（1）是一个面积为1的正方形，经过第一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图（2）；经过第2次“生长”后变成图（3），经过第3次“生长”后变成图（4），如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”，这就是美丽的“勾股树”．已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和存在一定的变化规律，请你利用这一规律求：①经过第一次“生长”后的所有正方形的面积和为________，②经过第10次“生长”后，图中所有正方形的面积和为： ‎ 三、解答题：‎ ‎*10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅 10‎ ‎“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是多少？‎ ‎**11. 已知：如图，点O是等腰直角△ABC斜边AB的中点，D为BC边上任意一点．操作：在图中作OE⊥OD交AC于E，连接DE．探究OD、BD、CD三条线段之间有何等量关系？请探究说明．‎ ‎**12. 如图，平面直角坐标系xoy中，A（1，0）、B（0，1），∠ABO的平分线交x轴于一点D．‎ ‎ （1）求D点的坐标；‎ ‎ （2）如图所示，A、B两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON=45°，下列结论①BM+AN=MN，②BM2+AN2=MN2，其中有且只有一个结论成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．‎ ‎（1） （2）‎ 10‎ ‎1. C 解析：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1，故可得第⑦组勾股数是16，63，65．故选C．‎ ‎2. B 解析：如图，AC=EF=‎10米，AB=‎8米，AE=‎1米，求CF；∵∠B=90°，由勾股定理得，BC=‎6米，又∵AE=‎1米，BE=‎7米，EF=‎10米，由勾股定理得，BF=米，∵＞，即＞7，∴-6＞1．故选B．‎ ‎3. B 解析：等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，第二个△（也就是△ACD）的斜边长：1×=；第三个△，直角边是第一个△的斜边长，所以它的斜边长：×=（）2；…；第n个△，直角边是第（n-1）个△的斜边长，其斜边长为：（）n−1．故选B．‎ ‎4. B解析：正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程S=5+=5+．即6＜S≤7．故选B．‎ ‎5. D 解析：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠BAE；∴②正确。（2）∵△ACE绕点A旋转至△ABE′处，∴AE=AE′，∠EAC=∠E′AB，∵∠BAC=90°，∴∠E′AB +∠BAE=90°，∴∠EAB′+∠BAE=90°，∴△AEE′是等腰直角三角形；∴③正确。（3）∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，∴∠EAC+∠BAD=45°，∵∠EAC=∠E′AB，∴∠DAE′=∠EAD=45°，∵△AEE′是等腰直角三角形，∴AD⊥EE′，∴④正确。（4）∵∠C=∠E′BA=∠DBA=45°，∴∠E′BD=90°，∵EC=E′B，∴BD2+CE2=DE2，∴⑤正确，综上所述∴②③④⑤项正确．故选D．‎ ‎6. 1300 解析： 解：作A关于CD的对称点E，连接BE，并作BF⊥AC于点F．‎ 则EF=BD+AC=700+500=‎1200m，BF=CD=‎500m．在Rt△BEF中，根据勾股定理得：BE===‎1300米．‎ 10‎ ‎7. 解析：设AC=xm，∵∠ABC=∠BAC=45°，∴BC=xm，∵滑梯AB的长为‎3m，∴2x2=9，解得x=，∵∠D=30°，∴AD=‎2AC， ∴AD=m，故答案为：。‎ ‎8. 10 解析： ∵四边形EFGH是正方形，∴EH=FE，∠FEH=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∠AEF+∠DEH=90°，∴∠AFE=∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AF=DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB=BC=CD=DA=4，∴AF=DE=AD-AE=4-1=3，在Rt△AEF中，EF==，故正方形EFGH的面积=×=10．故答案为：10．‎ ‎9. 2；11 解析：如图2：设直角三角形的三条边分别是a、b、c．根据勾股定理，得a2+b2=c2，‎ 即：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1；所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1；图（3）正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，所有正方形的面积之和为3=（2+1）×1…推而广之，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（n+1）×1，则：“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（10+1）×1=11．‎ 故答案为：2；11。‎ ‎10. 解：∵图中正方形ABCD、正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=（CG+DG）²=CG²+DG²+2CG•DG=GF²+2CG•DG，S2=GF²，‎ S3=（NG-NF）²=NG²+NF²-2NG•NF=GF2-2NG·NF，‎ ‎∵S1+S2+S3=10=GF²+2CG•DG+GF²+ GF²-2NG•NF=3GF²，∴S2的值是：‎ ‎11. 解：如图，关系为2OD2=BD2+CD2．作OE⊥OD交AC于E，连接OC、DE，得到△OBD≌△OCE从而Rt△DCE与Rt△EOD中，CE2+DC2=DE2，OD2+OE2=DE2由BD=CE，OD=OE，所以2OD2=BD2+CD2，（也可过O作BC垂线）．‎ 10‎ ‎12. 解：（1）过点D作DE⊥AB于E，设D点坐标为（m，0），根据题意得：OB=1，OA=1，OD=m；在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2，所以AB=，∠A=45°；在△DOB和△DEB中，∴△DOB≌△EDB（AAS），∴OD=ED=m，OB=EB=1；在△AED中，∠A=45°，∠AED=90°，∴DE=AE=m，∴1+m=，∴m=-1，∴D点坐标为（-1，0）．‎ ‎（2）结论②正确；过点O作OE⊥OM，并使OE=OM，连接NE，AE在△MOB和△EOA中，∴△MOB≌△EOA（SAS），∴BM=AE，∠B=∠OAE，在△MON和△EON中，∴△MON≌△EON（SAS）；∴MN=EN，又∵∠NAE=∠NAO+∠OAE=90°，∴△NAE为直角三角形，∴NA2+AE2=NE2∴BM2+AN2=MN2，即结论②正确．‎ 10‎