华师版数学八年级上册课件-第14章-14勾股定理 14页

第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.3 反证法 如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c） 有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？ c a b A C B 解：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定 理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三 角形. 【问题】若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c， BC=a,AC=b（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否 一定不是直角三角形呢？请说明理由. c a b A C B 【探究】 （1）假设它是一个直角三角形; （2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已 知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直角 三角形. 反证法 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为： (1)先假设结论的反面是正确的; (2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、 定义或已知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 像这样的证明方法叫“反证法”. 【例1】 写出下列各结论的反面： （1）a∥b； （2）a≥0； （3）b是正数； （4）a⊥b. a<0 b是0或负数 a不垂直于b a不平行于b 【例2】在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C. A B C 证明：假设　　　　　， 则　　　　　（　　　　　 ）， 这与　　　　　　　　　矛盾， 假设不成立， ∴　　　　　　　　． ∠B ＝ ∠C AB＝AC 等角对等边 已知AB≠AC ∠B ≠ ∠ C 小结： 反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得 出矛盾→肯定原结论正确 【例3】 求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：如图，两条相交直线a、b. 求证：a与b只有一个交点. a b A● A'● 分析：想从已知条件“两条相交直线a、b”出发，经过推 理，得出结论“a、b只有一个交点”是很困难的，因此可 以考虑用反证法. 证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A', 因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一 条，这与已知两条直线矛盾,假设不成立. 　 所以两条直线相交只有一个交点. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外， 还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾. 【例4】 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　　　， ∴　　　　　　　　　　　　　　 　， 这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC中没有一个内角小于或等于60° ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 三角形的内角和为180° △ABC中至少有一个内角小于或等于60° ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 1.试说出下列命题的反面： （1）a是实数; 　　 （2)a大于2; （3）a小于2; 　　 （4）至少有2个; （5）最多有一个; 　 （6）两条直线平行; 2.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是　 . 3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个 三角形不是等腰三角形”的第一步　　　 　　 　.　 　a不是实数 　a小于或等于２ 　a大于或等于２ 没有两个 一个也没有 两直线相交 假设a=b 假设这个三角形是等腰三角形 4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的 否定是（ ） A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角 5.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的 反设为（ ） A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数 C D 6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a. 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a. 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x成 立 对任何x 不成立 7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是 一些常见的关键词的否定形式.   不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个 存在某个x 不成立 存在某个x成立 不等于 某个 反证法 概念 反证法证明的思路：假设命题不成 立→正确的推理,得出矛盾→肯定待 定命题的结论 证明步骤