华师版数学八年级下册同步课件-第19章 矩形、菱形与正方形- 复习课 22页

第19章 矩形、菱形与正方形 复习课 一、几种特殊四边形的性质 项目 四边形 边 角 对角线 对称性 对边平行 且相等 对边平行 且相等 对边平行 且四边相等 对边平行 且四边相等 对角相等 四个角 都是直角 对角相等 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每 一条对角线平分一组对角 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 互相垂直且平分，每一条 对角线平分一组对角 中心对称图形 四边形 条件 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 二、几种特殊四边形的常用判定方法： 1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等 3.两组对角分别相等 4.对角线互相平分 5.一组对边平行且相等 1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形 1.定义：一组邻边相等的平行四边形 2.对角线互相 垂直的平行四边形 3.四条边都相等的四边形 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形 5种判 定方法 三 个 角 是 直 角 四 条 边 相 等 一 个 角 是 直 角 或 对 角 线 相 等 一 组 邻 边 相 等 或 对 角 线 垂 直 一 组 邻 边 相 等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O, ∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等). OA= OC= AC,OB = OD = BD , (矩形对角线相互平分) ∴OA = OB. A B C D O 1 2 1 2 矩形的性质与判定专题1 例1 A B C D O ∵∠AOD=120°, ∴∠AOB=60°. ∴△AOB为等边三角形， ∴BD = 2OB =2AB =2 ×2.5 = 5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相 交于点E． 求证：四边形AODE是菱形. 证明：∵AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形AODE是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC= AC， OB=OD= BD， ∴OA=OD， ∴平行四边形AODE是菱形. 1 21 2 菱形的性质与判定专题2 例2 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE. (1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由； (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方 形？请回答并证明你的结论． 解：(1)四边形BECF是菱形． 理由如下：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠3＝∠1. ∵∠ACB＝90°， ∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4， 正方形的性质与判定专题3 例3 ∴EC＝AE，∴BE＝AE. ∵CF＝AE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形. (2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形． 证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°， ∴菱形BECF是正方形． 总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形， 再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是 菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先 判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定． 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一 条边分成长是2和3的两条线段，求该平行四边形的 周长是多少. 解：如图，在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC， AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE． 又∵∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE． （1）当AE=2时，则平行四边形的周长=2(2+5)=14． （2）当AE=3时，则平行四边形的周长=2(3+5)=16． 本章解题的思想方法专题4 例4 如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的 点F处，BC=10cm，AB=8cm，求： （1）FC的长； （2）EF的长． 解：（1）由题意得AF=AD=BC=10cm， 在Rt△ABF中，∵AB=8， ∴BF=6cm， ∴FC=BC-BF=10-6=4(cm)． （2）由题意可得EF=DE，可设DE的长为x， 在Rt△EFC中，(8-x)2+42=x2， 解得x=5， 即EF的长为5cm． 例5 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线， 其交点为O，若BC=6，BC边上的高为4，试求阴影 部分的面积． 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. ∵AB∥CD， ∴∠EAO=∠HCO. 又∵ ∠AOE＝∠COH， ∴△AEO≌△CHO（ASA）， 同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB， ∴S阴影=S△ABC， 则S△ABC= S平行四边形ABCD= ×6×4=12．1 2 1 2 E H Q G F P 例6 1.如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA= OC,OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形, ∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. A B C D O ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 ∴BC= . ∴S□ABCD=AB·BC=4× = . A B C D O 2 2 2 28 4 4 3AC AB    4 3 16 3 2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD， BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由. D A B C EO 解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. ∵BE∥AC,CE∥BD， ∴四边形CEBO是平行四边形. ∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行 四边形是矩形）. 证明：在△AOB中. ∵AB= , OA=2,OB=1. ∴AB2=AO2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 3. 已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于 点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形.5 A B C O D 5 4. 如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分 ∠DCB , BF∥CE , CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. F A B E C D 解析：先由两组平行线得出四边形 BECF为平行四边形；再由一组邻边 相等，得出是菱形；最后由一个直角 可得正方形. 45°45° F A B E C D 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形. 5. 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E， 交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连结AE、 AF. (1)求证：∠ECF＝90°； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请 说明理由； (1)证明：∵CE平分∠BCO， CF平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠ECF＝ ×180°＝90°.1 2 (2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是 矩形．理由如下： ∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF. 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF. 又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形. 解：当点O运动到AC的中点时， 且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形． ∵由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF 是矩形， 已知MN∥BC， 当∠ACB＝90°， 则∠AOE＝90°， 即AC⊥EF， ∴矩形AECF是正方形． (3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时， 四边形AECF为正方形． 有一个角是90° （或对角线相等） 有一对邻边相等 （或对角线互相垂直） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直且相等） 有一个角是90° （或对角线相等） 有 一 对 邻 边 相 等 （ 或 对 角 线 互 相 垂 直 ）