2020八年级数学上册 专题突破讲练 分式方程解题技巧试题 （新版）青岛版 6页

分式方程解题技巧 一、分式方程的重要特征 ‎（1）从分式方程的定义中可以看出分式方程的重要特征：一是方程；二是方程里含分母；三是分母中含有未知数。‎ ‎（2）整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数。‎ ‎（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。‎ 二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：‎ 把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，求得分式方程的解，这是解分式方程的关键。‎ 解分式方程的一般方法和步骤：‎ 注意：（1）用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母同乘方程两边各项时，不要漏乘常数项；‎ ‎（2）解分式方程可能产生不适合原方程的根，所以检验是解分式方程的必要步骤。‎ ‎【拓展】‎ ‎（1）方程变形时，可能产生不适合原方程的根，叫做原方程的增根。‎ ‎（2）产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根。‎ 三、含有字母的分式方程的解法 6‎ 在数学式子中的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数.含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，还要注意题目的限制条件。‎ 例题1 解关于x的方程 解析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。‎ 答案：若、b全不为0，去分母整理得：，对是否为0分类讨论：‎ ‎①当，即时，有，方程无解；‎ ‎②当，即时，解之，得，‎ 若、b有一个为0，方程为，无解；‎ 若、b全为0，分母为0，方程无意义；‎ 检验：当时，公分母，所以当时，是原方程的解。‎ 点拨：这种含有字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里、b全不为0时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解.当、b中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当、b全为0时，方程不存在.最后对字母条件归纳，得出方程的解。‎ 例题2 如果关于x的方程有唯一解，确定、b应满足的条件。‎ 解析：显然方程存在的条件是：且 答案：若且，去分母整理，得 当且仅当，即时，解得 经检验，是原方程的解 ‎、b应满足的条件：且，‎ 点拨：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是、b全不为0，然后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件.因为是分式方程，需验根后确定唯一解的条件。‎ 6‎ 例题3 解方程：‎ 解析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。‎ 答案：由原方程得：‎ 即：‎ 于是，‎ 所以 解得：x=1‎ 经检验：x=1是原方程的根。‎ 分式方程增根的妙用 解分式方程可能会产生增根，因此验根是解分式方程必不可少的步骤，不可否认，增根的出现给我们解题带来了麻烦，然而巧妙利用增根也可使之“变废为宝”，帮助我们寻找解题途径。‎ 例题 （牡丹江中考）若关于的分式方程无解，则 。‎ 解析：本题中的分式方程去分母后转化为整式方程，除了考虑这个整式方程的解恰好是原分式方程的增根外，还要考虑它本身无解的情况。‎ 答案：方程两边都乘以，得，整理得。若原方程无解，则有两种情形：‎ ‎（1）当时，，方程为，此方程无解，所以原方程无解。‎ ‎（2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解。原方程若有增根，增根为或，把代入，a值不存在；把代入，解得。‎ 综上所述，当或时，原方程无解。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 6‎ 一、选择题 ‎1. 下列方程中不是分式方程的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 分式方程的解为（ ）‎ A. x=1 B. x=‎2 ‎ C. x=3 D. x=4‎ ‎3. 若解分式方程产生增根，则m的值是（ ）‎ A. -1或-2 B. -1或‎2 ‎ C. 1或2 D. 1或-2‎ ‎*4. （保定中考）对于非零的两个实数a、b规定，若，则x的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎5. 若分式方程：有增根，则k= 。‎ ‎*6. 关于x的方程无解，则m=______。‎ 三、解答题 ‎7. 解分式方程：‎ ‎**8. 设，，当x为何值时，A与B的值相等。‎ ‎**9. 当m为何值时，关于x的方程的解等于0。‎ ‎10. （1）当a为何值时，方程有増根？‎ ‎（2）当a为何值时，方程无解？‎ 6‎ ‎1. C 解析：观察分母中是否含有未知数即可判断出不是分式方程，故选C。‎ ‎2. C 解析：把分式方程化为整式方程再进行求解整理得，得x=3，故选C。‎ ‎3. D 解析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值，由题意得增根是：x=0或x=-1，化简原方程为：，把x=0或x=-1代入解得m=1或-2，故选择D。‎ ‎4. A 解析： 根据题意得：，去分母得：2-（2x-1）=2（2x-1），去括号得：2-2x+1=4x-2，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．故选A。‎ ‎5. 1 解析：∵去分母得：2（x-2）+1-kx=-1，‎ 整理得：（2-k）x=2，∵分式方程有增根，∴x-2=0，2-x=0，‎ 解得：x=2，‎ 把x=2代入（2-k）x=2得：k=1．‎ 故答案为：1。‎ ‎6. 解析：把分式方程化为整式方程，再把增根x=-1代入，即可求m的值。‎ ‎7. 解析：把分式方程两边乘以最简公分母x（x+2）化为整式方程求解，最后要验根。‎ ‎8. 解：当A=B，解分式方程。‎ 方程两边同时乘以（x+1）（x-1），‎ 得x（x+1）=3+（x+1）（x-1），‎ x+x=3+x-1，‎ ‎∴x=2。‎ 检验，当x=2时，（x+1）（x-1）=3≠0。‎ ‎∴x=2是分式方程的根。‎ 因此，当x=2时，A=B。‎ ‎9. 解：把分式方程化为整式方程，求解，即可求。‎ 6‎ ‎10. 解：（1）分式方程去分母得：x-2=2x-6+a，‎ 由分式方程有增根得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：3-2=6-6+a，即a=1；‎ ‎（2）去分母得：‎3a+1=ax+a，‎ 由分式方程无解，得到x+1=0，即x=-1，‎ 代入整式方程得：‎3a+1=-a+a，即a=-．‎ 6‎