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- 2021-10-27 发布
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3.5矩形的性质
班级 姓名 学号
学习目标
知识与技能:探索并掌握矩形的有关性质,领会矩形的内涵.
过程与方法:经历探索矩形有关性质的过程,在直观操作活动中学会简单说理,发展初步的合情推理能力和主动探究习惯,逐步掌握说理的基本方法.
情感态度与价值观:形成良好的几何感知,体会几何学的逻辑内涵,发展思维.
学习难点
理解和掌握矩形的性质,发展合情推理能力和主动探究习惯.
教学过程
一、回顾
1.平行四边形有哪些特征?
2.有几种方法可以识别四边形是平行四边形?
3.平行四边形是中心对称图形吗?它的对称中心是什么样的点?平行四边形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是怎样的直线?如果不是,请说明理由.
二、创设问题情境,引入新课
1.教师出示教具:“一个活动的平行四边形木框”,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上.
拉动一对不相邻的顶点A、C,立即改变平行四边形的形状,如图所示.
学生思考如下问题:
(1)无论∠α如何变化,四边形ABCD还是平行四边形吗?
(2)随着∠α的变化,两条对角线长度有没有变化?
学生凭直觉可以很快地回答上述问题.
随着∠α由锐角变成钝角时,过∠α顶角的对角线由长变短,而另一条对角线由短变长.
当∠α是锐角时,学生可以用刻度尺量出两条对角线的长度,你可判别它们数量之间的关系吗?
当∠α是钝角时,学生也可以用同样办法,得到两对角线的数量关系.
(3)当∠α为直角时,这个时候平行四边形就变成一个特殊的平行四边形──矩形.
这就是你们以前学过的长方形.
教师根据学生的回答.板书:矩形.
这就是我们今天着手研究的一个课题.
6
(4)那怎样的平行四边形是矩形呢?
2.同学回答,老师板书:有一个内角为直角的平行四边形是矩形?
如果人家问怎样的四边形是矩形呢?
那就要说四个内角都是直角(或三个内角是直角)的四边形是矩形.
大家想一想矩形是平行四边形吗?9是)
那么矩形就具有平行四边形的一切特征.
即矩形是中心对称图形;对边分别平行;两组对边分别相等;两组对角分别相等;对角线互相平分.
3.矩形除了以上特征外,还有它的特有的性质吗?
学生思考以下问题:
(1)上面的活动架当∠α为直角时,它们的对角线有何关系?
(2)矩形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是怎样的直线?如果不是请说明理由.
(3)说出日常生活中的矩形图象.
4.让我们一起来归纳矩形的性质,并板书:
(1)矩形具有平行四边形的一切性质.
(2)矩形是轴对称图形.
(3)矩形的对角线相等.
(4)矩形的四个角都是直角.
三、讲解例题
例1 矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形周长的和为86cm,对角线长为13cm,那么矩形的周长是多少?
学生思考交流后.
师生共同分析:要求矩形ABCD的周长,就必要求出AB、BC、CD、AD的长度,由于AB=DC,AD=BC,那么只要求出AB、BC或CD、AD即可.
而矩形的对角线相等且互相平分,又对角线AC=13cm,所以OA=OB=OC=OD=cm=6.5cm.
这样通过四个小三角形的周长和得到答案.
点拨:上面从求AB、BC、CD、AD的长度来考虑是一种常见的方法,这里是很难实现的与上次讲述的从整体考虑也是一种好方法,即求AB+BC+CD+AD的值,本题应该从这方面入手.
解:因为△AOB、△BOC、△COD、△AOD的周长的和为86cm,四边形ABCD是矩形,
所以AC=BD=13cm,AO=OB=OC=OD
6
则AO+OB+AB+BO+OC+BC+CO+CD+OD+AO+OD+AD=86(cm)
即AB+BC+CD+AD=86-2AC-2BD=86-2×13-2×13=34(cm)
所以矩形ABCD的周长为34cm.
练一练
1.矩形的定义中有两个条件:一是____________,二是_________________。
2.有一个角是直角的四边形是矩形。( )
3.矩形的对角线互相平分。( )
4.下列性质中,矩形不一定具有的是( )
A、对角线相等 B、 四个角都相等
C、对角线垂直 D、是轴对称图形
5.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A 两组对边分别平行 B 对角相等
C 对角线互相平分 D 对角线相等
例2 如图,在矩形ABCD中,AB=3, BC = 4, BE⊥AC于E.试求出AC、BE的长.
A
B
D
C
E
练习
1. 如图,在矩形ABCD中,E是边AD上的一点.试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.
E
A
B
D
C
五、全课小结,提高认识
【课后作业】
班级 姓名 学号
一、判断题
1.矩形是轴对称图形,对角线是它的对称轴.( )
2.平行四边形也是轴对称图形其对称轴也是对角线.( )
3.AD是直角三角形ABC的中线,那么AD就等于它斜边BC的一半.( )
二、选择题
4.矩形ABCD的长为5,宽为3,点E、F将AC三等分,则△BEF的面积为( ).
6
A. D.5
5.已知矩形ABCD的AB=2BC,在CD上取点E,使AE=EB,那么∠EBC等于( ).
A.60° B.45° C.30° D.15°
6.已知E、F分别是矩形ABCD的对边BC和AD上的点,且BE=BC,AF=AD,连结AC、EF,那么( ).
A.AC平分EF,但EF不平分AC B.AC与EF互相平分
C.EF平分AC,但AC不平分EF D.AC与EF不会互相平分
7.如果矩形ABCD的对角线AC和BD所成的锐角是60°,那么( ).
A.AC+BD=AB+BC+CD+DA B.BD=2AB C.AC+BD=AB+BC D.以上都不对
8.一个矩形和一个平行四边形的边分别相等,若矩形面积为这个平行四边形的面积的2倍,则平行四边形的锐角的度数为( ).
A.15° B.30° C.45° D.60°
9.过四边形各顶点分别作对角线的平行线,若这四条平行线围成一个矩形,则原四边形一定是( ).
A.对角线相等的四边形 B.对角线垂直的四边形
C.对角线互相平分且相等的四边形 D.对角线互相垂直且平分的四边形
10.E为矩形ABCD的边CD上的一点,AB=AE=4,BC=2,则∠BEC是( ).
A.15° B.30° C.60° D.75°
11.如图1所示,矩形ABCD的对角线交于O,AE⊥BD于E,∠1:∠2=2:1,则∠1的度数为( ).
A.22.5° B.45° C.30° D.60°
(1) (2) (3) (4)
12.下列叙述错误的是( ).
A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线相等 D.对角线相等的四边形是矩形
13.下列性质矩形不一定具备的是( ).
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A.对角线相等 B.四个内角都相等 C.对角线互相平分D.对角线互相垂直
三、填空题
14.如图2所示,O为矩形ABCD的对角线交点,DF平分∠ADC交AC于E,BC于F,∠BDF=15°,则∠COF=______.
15.矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E、F、G是AD的四等分点,则△BEF的面积是_____.
16.若矩形两邻边之比为3:4,周长为28cm,则它的边长为______.
17.已知矩形的对角线与较长边所夹的角等于30°,那么较短边与两对角线所围成的三角形是________三角形.
18.矩形ABCD的周长为40cm,O是它的对角线交点,△AOB比△AOD周长多4cm,则它的各边长之比为________.
19.如图3所示,矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE=3∠BAE,则∠BAE=_____,∠EAD=_____,∠EAC=_____.
20.矩形ABCD中,M为AD的中点,MB⊥MC,矩形的周长为24,则AB=_____,BC=_______.
21.O为矩形ABCD的对角线交点,∠AOB=2∠BOC,对角线AC=12,则CB=_______.
22.如图4所示,在矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取点E,使AE=AB,则∠EAB=_____,∠BEC=________.
23.M为矩形ABCD的BC上一点,DN⊥AM于N,AB=3,BC=7,AM=5,则DN=______.
四、解答题
24.如图所示,矩形ABCD中,AC、BD相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,若∠CAE=15°的度数,求∠BOE的度数.
25.如图所示,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,CE⊥BD于E,OF⊥AB于F,BE:DE=1:3,OF=2cm,求AC的长.
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26.如图所示,矩形ABCD中,长为7,宽为6,点E、F将BD三等分,求△AEF的面积.
27.如图所示,矩形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边长的点F处,如果∠BAE=60°,求∠DAE的度数.
6