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- 2021-10-27 发布
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第4章 一元一次不等式
4.2 平面直角坐标系
第2课时 建立平面直角坐标系确定点的坐标
问题:如果某小区里有一块如图所示的空地,打算进
行绿化,小明想请他的同学小慧提一些建议,小明要
在电话中告诉小慧同学如图所示的图形,为了描述清
楚,他使用了直角坐标系的知识.你知道小明是怎样
叙述的吗?
描点及坐标的特点
问题:我们上节课已经学习过了平面直角坐标系的定
义.根据定义想一想你会在坐标轴上描点吗?
找点的方法:
先分别找出该点的横坐标、纵坐标在两
条数轴上的点,再分别作对应坐标轴的垂
线,交点即为所要找的点的位置.
1
例1:在直角坐标系中描出下列各点,并将各组
内的点用线段依次连接起来.
① (-6,5),(-10,3),(-9,3),(-3,3),(-2,3);
② (-9,3),(-9,0),(-3,0),(-3,3);
③ (3.5,9),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7);
④ (3,7),(1,5),(2,5),(5,5),(6,5);
⑤ (2,5),(0,3),(3,3),(3,0),(4,0),(4,3),(7,3),(5,5).
x
y
o
●●
●
●
●●●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
观察所得图形,你觉得它像什么?
x
y
o
●●
●
●
●●●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2.线段EC与x轴有
什么位置关系?
点E和点C的坐标
有什么特点?线
段EC上其它点的
坐标呢?
D
F
E
CB
G A
1.图形中哪些点在坐
标轴上,它们的坐
标有什么特点?
3.点F和点G的横坐标有什么共同特点?
线段FG与y轴有怎样的位置关系?
点的位置 横坐标的
符号
纵坐标的
符号
在x轴的
正半轴上
在x轴的
负半轴上
在y轴的
正半轴上
在y轴的
负半轴上
0
+
+
-
-
0
0
0
A
y
O x-1-2-3 -1
-2
-3
-4
1 2 3 4
1
2
3
4
5
-4
B
C
E
与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征:
(1)与x轴平行的直线上各点的_______坐标都相同;
(2)与y轴平行的直线上各点的_______坐标都相同.
纵
横
A
y
O x-1-2-3 -1
-2
-3
-4
1 2 3 4
1
2
3
4
5
-4
B
C
画一画:你能在直角坐标系里描出点A(-4,-5),B(-2,0),
C(4,0)吗?并连线.
O x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
A
B C●
●
●
O x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
A
B C●
●
●
问题:你能求出△ABC的面积吗?
D
解:过点A作AD⊥x轴于点D.
∵A(-4,-5),∴D(-4,0) .
由点的坐标可得 AD=5 ,BC=6,
∴ S△ABC = ·BC·AD
= ×6×5=15.
1
2
1
2
例2:如图,已知点A(2,-1),B(4,3),C(1,2),求
△ABC的面积.
解:如图,过点A作x轴的平行线,过点C
作y轴的平行线,两条平行线交于点E,过
点B分别作x轴、y轴的平行线,分别交EC
的延长线于点D,交EA的延长线于点F.
∵A(2,-1),B(4,3),C(1,2),
∴BD=3,CD=1,CE=3,AE=1,AF=2,BF=4,
∴S△ABC=S长方形BDEF-S△BDC-S△CEA-S△BFA
=BD·DE- DC·DB- CE·AE- AF·BF
=12-1.5-1.5-4=5.
1
2
1
2
1
2
本题主要考查如何利用简单方法求坐标系中图形的面积.
已知三角形三个顶点坐标,求三角形面积通常有三种方法:
方法一:直接法,计算三角形一边的长,并求出该边上的高;
方法二:补形法,将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和
三角形的面积的和与差;
方法三:分割法,选择一条恰当的直线,将三角形分割成两个
便于计算面积的三角形.
建立坐标系求图形中点的坐标
问题:正方形ABCD的边长为4,请建立一个平面直角
坐标系,并写出正方形的四个顶点A,B,C,D在这个平面
直角坐标系中的坐标.
A B
CD
2
4
4
y
x
(A) B
CD
解:如图,以顶点A为原点,
AB所在直线为x轴,AD所在直
线为y轴建立平面直角坐标系.
此时,正方形四个顶点A,B,C,D
的坐标分别为:
A(0,0), B(4,0),
C(4,4), D(0,4).
O
A
B
CD
A(0,-4), B(4,-4),C(4,0), D(0,0).
y
xO
想一想:还可以建立其他平面
直角坐标系,表示正方形的四
个顶点A,B,C,D的坐标吗?
A(-4,0), B(0,0),C(0,4), D(-4,4).
A(-4,-4), B(0,-4),C(0,0), D(-4,0).
A(-2,-2), B(2,-2),C(2,2), D(-2,2).
追问 由上得知,建立的平面直角坐标系不同,则
各点的坐标也不同.你认为怎样建立直角坐标系才
比较适当?
总结:平面直角坐标系建立得适当,可以容易确定图
形上的点,例如以正方形的两条边所在的直线为坐标
轴,建立平面直角坐标系.又如以正方形的中心为原
点建立平面直角坐标系.建立不同的平面直角坐标系,
同一个点就会有不同的坐标,但正方形的形状和性质
不会改变.
例3:长方形的两条边长分别为4,6,建立适当的直角
坐标系,使它的一个顶点的坐标为(-2,-3).请
你写出另外三个顶点的坐标.
解:如图建立直角坐标系,
∵长方形的一个顶点的坐标为A(-2,-3),
∴长方形的另外三个顶点的坐标分别为
B(2,-3),C(2,3),D(-2,3).
由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的
关键,当建立的直角坐标系不同,其点的坐标也就不
同,但要注意,一旦直角坐标系确定以后,点的坐标
也就确定了.
右图是一个围棋棋盘(局部),把这个围棋棋盘
放置在一个平面直角坐标系中,白棋①的坐标是
(-2,-1),白棋③的坐标是(-1,-3),则黑棋
❷的坐标是________.
解析:由已知白棋①的坐标是(-2,-1),白
棋③的坐标是(-1,-3),可知y轴应在从左往
右数的第四条格线上,且向上为正方向,x轴
在从上往下数第二条格线上,且向右为正方向,
这两条直线的交点为坐标原点,由此可得黑棋
②的坐标是(1,-2).
(1,-2)
1 2 3 4
1
O
3
2
–2 –1
–1
–2
–3
–4
–3-4
yA
B C
x
例4:对于边长为4的正三角形△ABC,建立适当的
直角坐标系,写出各个顶点的坐标.
解:A(0,2 ), B(-2,0) ,C(2,0).3
练一练:在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了坐
标为(3,2)和(3,-2)的两个标志点,并且知道藏
宝地点的坐标为(4,4),如何确定直角坐标系找到
“宝藏”?
·
1 2 3 4 5-4 -3 -2 -1
3
1
4
2
5
-2
-1
-3
y
·O
(3,-2)
x
(3,2)·
·(4,4)
解:如图所示
x
y
A
B C
1.已知A(1,4), B(-4,0),C(2,0).
△ABC的面积是___.
2.若BC的坐标不变,
△ABC的面积为6,点A
的横坐标为-1,那么
点A的坐标为 .
12
O
(1,4)
(-4,0) (2,0)
C x
yA
B(-4,0)
(2,0)
(-1,2)或(-1,-2) O
3. 在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,2),点
Q在y轴上,△PQO是等腰三角形,则满足条件的点
Q共有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【解析】如图所示,当以OP为腰时,
分别以O、P为圆心OP为半径画弧,与y轴
有三个交点Q2,Q4,Q3,当以OP为底时,
OP的垂直平分线与y轴有一个交点Q1.
B
4.写出平行四边形ABCD各个顶点的坐标.
A
CB
D
O-1-2-3-4 54321 6
1
2
3
4
-1
-2
(-3,3)
(-5,-2) (4,-2)
(6,3)
-5-6 x
y
A
B
C
D
E
5.下图是某植物园的平面示意图,A是大门,B、C、
D、E分别表示梅、兰、菊、竹四个花圃.
请建立平面直角坐标系,写出各花圃的坐标.
hm
hm
解:以A点为原点,以水平方向
为坐标轴建立直角坐标系,则
B(2,3),C(5,10),
D(8,8),E(11,9).
建立直角坐
标系
坐标的特征
建立适当的
直角坐标系