2020八年级数学下册 专题突破讲练 二次根式分母有理化及应用试题 （新版）青岛版 6页

二次根式分母有理化及应用 ‎ ‎ 一、分母有理化 ‎1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。‎ ‎2. 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。‎ 有理化因式确定方法如下：‎ ‎①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式；‎ ‎②两项二次根式：利用平方差公式来确定，如：与，，等分别互为有理化因式。‎ ‎3. 分母有理化的方法与步骤 根号内含有分数或分式 根号内分子、分母同乘以能使分母开方的数 中根号内分子分母同乘以2；中根号内分子分母同乘以3，而不是27‎ 分母中含有根式 分子分母同乘以能使分母化为整式的根式 中分子分母同乘以，中分子分母同乘以而不是2‎ 分母中含有根式的和（差）‎ 分子分母同乘以有理化因式 能构成平方差的形式 二、两种特殊有理化方法 ‎1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。‎ 分母有理化：；‎ ‎2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。‎ 分母有理化： 。‎ 总结：‎ ‎①先将分子、分母化成最简二次根式；‎ ‎②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；‎ 6‎ ‎③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。‎ 例题1 =（ ）‎ A. 2010 B. ‎2011 ‎ C. 2012 D. 2013‎ 解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。‎ 答案：解：‎ ‎=‎ ‎=2013－1‎ ‎=2012。‎ 故选C。‎ 点拨：考查二次根式的分母有理化。主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。‎ 例题2 与最接近的整数是（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎ C. 7 D. 8‎ 解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。‎ 答案：解：原式===‎ ‎====≈5.828。‎ 与6最接近。故选B。‎ 点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。‎ 有理化在方程中的应用 示例 已知－＝2，则+的值为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎ C. 5 D. 6‎ 解析：根据题意，－＝2，变形为＝2+，两边平方得x2=12，代入求值即可。‎ 答案：∵－＝2，∴＝2+，两边平方得25－x2=4+15－x2+4，即4=6，2=3，两边再平方得4（15－x2）=9，‎ 6‎ 化简，得x2=12，把x2=12代入+，‎ 得+=+=+=5，故选C。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 化简时，甲的解法是：==，‎ 乙的解法是：= =，以下判断正确的是（ ）‎ A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 ‎2. 已知：a＝，b＝，则 的值等于（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎ C. 7 D. 8‎ ‎*3. 若a=－+－，则a的值所在范围为（ ）‎ A. a≥0 B. 0＜a＜‎1 ‎ C. 1＜a＜2 D. a＞2‎ ‎**4. +=2的解是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎**5. 设r≥4，a=－，b=−，c=，则下列各式一定成立的是（ ）‎ A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. c＞a＞b D. c＞b＞a ‎ 二、填空题 ‎*6. 若a= ，则a5－‎2a4－‎1996a3的值为 。‎ ‎*7. 若x2－x－2=0，则 的值等于 。‎ ‎**8. 设M= ，N=1－2+3－4+5－6+…+2012－2013，则= 。‎ ‎**9. 方程+++……+=的解是x= 。‎ 6‎ 三、解答题 ‎*10. 已知；x＝，y＝。（1）求证：x＞y；（2）求的整数部分。‎ ‎**11. （1）已知9+与9−的小数部分分别是a和b，求ab－‎3a+4b+8的值；‎ ‎（2）设x＝，y＝，n为自然数，如果2x2+197xy+2y2=1993成立，求n。‎ ‎**12. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为：S＝…①（其中a、b、c为三角形的三边长，S为面积）。‎ 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：S=…②（其中p=）。‎ ‎（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S；‎ ‎（2）你能否由秦九韶公式推导出海伦公式？请试试。‎ 6‎ ‎1. C 解析：甲的做法是将分母有理化，去分母；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分去分母，均正确。故本题选C。‎ ‎2. B 解析：∵a=== b== ∴===6。故选B。‎ ‎3. B 解析：∵=3+=3+2，=+=2+， =+，=+，‎ ‎∴a=3+2－2－++－－=3－，又∵2＜＜3，∴0＜a＜1。故选B。‎ ‎4. A 解析：∵+=2，∴+ ‎ ‎=2，即－5+3x－x+（7+－x－x）=2，解得：x=，故选A。‎ ‎5. D 解析：取r=4，则a=－＝，b=−＝＝≈，c=＝＝≈，∴c＞b＞a。故选D。‎ ‎6. 0 解析：∵a==+1，∴a5－‎2a4－‎1996a3=a3（a－1）2－‎1997a3=‎1997a3－‎1997a3=0。故答案为0。‎ ‎7. 解析：因为x2－x－2=0，所以x2－x=2，则 原式====。‎ ‎8. － 解析：将M分母有理化可得 M=（）=－1。‎ N=1－2+3－4+5－6+…+1993－1994=（1－2）+（3－4）+（5－6）+…+（2012－2013）=－1×=－，∴==－。故答案为－。‎ ‎9. 2011 解析：原方程化为：+++……+=，‎ 6‎ 通分得=，解得x=2011。故答案为2011。‎ ‎10. （1）证明：==（）（）=1+，‎ ‎∵＞，∴1+＞1，∴x＞y；（2）解：因为的整数部分为3，的整数部分也为3，所以由（1）得=1+的整数部分是1。‎ ‎11. 解：∵＜＜，∴12＜9+＜13，得9+=12+a，a=−3，同理可得b=4－，把a、b代入ab－‎3a+4b+8，得（−3）（4−）－3（－3）+4（4－）+8=8，故ab－‎3a+4b+8的值为8。‎ ‎（2）∵x+y=+=4n+2，xy=×=1，若2x2+197xy+2y2=1993成立，即2（x+y）2+193xy=1993成立，∴2（4n+2）2+193=1993，（4n+2）2=900，∵n＞0，∴n=7，故n的值是7。‎ ‎12. 解：（1）＝＝＝＝10；‎ P=（5+7+8）=10，又S=＝＝10；‎ ‎（2）]=）=[c2−（a−b）2][（a+b）2−c2] =（c+a－b）（c－a+b）（a+b+c）（a+b－c）=（2p－‎2a）（2p－2b）•2P•（2p－‎2c）=p（p－a）（p－b）（p－c）‎ ‎∴=。‎ ‎（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算也正确）‎ 6‎