2018-2019学年浙江省台州市黄岩区八年级（下）期末数学试卷 （解析版） 24页

2018-2019 学年浙江省台州市黄岩区八年级（下）期末数学试卷 一．选择题（共 12 小题） 1．有下列关于 x 的方程是一元二次方程的是（　　） A．3x（x﹣4）＝0 B．x2+y﹣3＝0 C． +x＝2 D．x3﹣3x+8＝0 2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，3，5 D．5，12，13 3．期中考试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小晖说：“我们组考分是 82 分 的人最多”，小聪说：“我们组的 7 位同学成绩排在最中间的恰好也是 82 分”．上面两位 同学的话能反映出的统计量是（　　） A．众数和平均数 B．平均数和中位数 C．众数和方差 D．众数和中位数 4．一元二次方程 x2+2x+2＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 5．若正比例函数 y＝kx 的图象经过点 A（k，9），且经过第二、四象限，则 k 的值是（　　） A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．﹣3 或 3 6．如图在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，且 OE＝4，则菱 形 ABCD 的周长是（　　） A．64 B．48 C．32 D．16 7．将二次函数 y＝x2 的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的表达式 是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1 8．某中学组织八年级学生足球比赛，每两班之间都赛一场，计划安排 15 场比赛，则共有多 少个班级参赛？（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF＝1，FD＝2，则 BC 的长为（　　） A．3 B．2 C．2 D．2 10．若一个二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过五个点 A（﹣1，n），B（3，n），C （m+1，y1），D（1﹣m，y2）和 E（1，y3），若 m≠0，则下列关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＝y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 11．根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经“排 水﹣清洗﹣灌水”的过程．某游泳馆从早上 7：00 开始对游泳池进行换水，已知该游泳 池的排水速度是灌水速度的 1.6 倍，其中游泳池内剩余的水量 y（m3）与换水时间 x（h） 之间的函数图象如图所示，若该游泳馆在换水结束后 30 分钟才能对外开放，则游泳爱好 者小明进入该游泳馆游泳的时间可能是（　　） A．中午 12：10 B．中午 12：20 C．中午 12：30 D．中午 12：40 12．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，P 是边 AD 的中点，E 是边 AB 上的一个动点（不 与 A 重合），以线段 AE 为边在正方形内作等边△AEF，M 是边 EF 的中点，连接 PM，则 在点 E 运动过程中，PM 的最小值是（　　） A． B． C． D．3 二．填空题（共 6 小题） 13．关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+k＝0 有一个根为 1，则 k 的值等于　 　． 14．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人 10 次射箭成绩的平均数都是 8.9 环，方差分 别是 S 甲 2＝0.65，S 乙 2＝0.55，S 丙 2＝0.50，S 丁 2＝0.45，则射箭成绩最稳定的 是　 　． 15．已知 P（﹣3，a），Q（1，b）是一次函数 y＝2x+1 图象上的两个点，则 a，b 的大小关 系是　 　． 16．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本 八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索 从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵着绳索（绳索头与地面接触） 退行，在距木柱根部 8 尺处时绳索用尽，则绳索长是　 　． 17．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 3cm/s 的速度向点 B 运动， 规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过　 　 s，使 PQ＝CD． 18．在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（a，b），点 P 的“变换点”P1 的坐标定义如下： 当 a≥b 时，点 P1 坐标为（a，﹣b）；当 a＜b 时，点 P1 坐标为（b，﹣a）．线段 l：y＝﹣ x+5（﹣4≤x≤8）上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线 y＝kx+6 与组成 的新的图形有两个交点，则 k 的取值范围是　 　． 三.解答题 19.解下列方程： （1）x2﹣4x+3＝0； （2）2x﹣6＝3x（x﹣3）． 20.如图，在 6×6 的网格中，每个小正方形的边长为 1，点 A 在格点（小正方形的顶点） 上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为 6，且符合相应条件的图形． 21.某市明年的初中毕业升学考试，拟将“引体向上”作为男生体育考试的一个必考项目．某 校为了解八年级男生的“引体向上”水平，在八年级的 400 名男生中，随机抽取部分男 生进行“引体向上”测试，所有被测试者的“引体向上”次数统计如表： 次数 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 2 3 5 3 2 2 1 2 （1）求本次测试获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （2）估计该校八年级男生“引体向上”次数 6 次以上（不含 6 次）的有多少人？ 22.如图，在平行四边形 ABCD 中，AC⊥BC，过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E，连 接 AE 交 CD 于点 F． （1）求证：四边形 ADEC 是矩形； （2）在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 M，连接 CM，若 CM＝5，且 AC＝8，求四 边形 ADEC 的周长． 23.已知抛物线 y＝ax2+2x 经过点 A（3，﹣3）和点 B． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 A 与点 B 关于该抛物线的对称轴对称，求点 B 的坐标． 24.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技 设备，每台设备成本价为 30 万元，经过市场调研发现，每台售价为 40 万元时，年销售 量为 600 台；每台售价为 45 万元时，年销售量为 550 台．假定该设备的年销售量 y（单 位：台）和销售单价 x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 70 万元，如果该公司想获得 10000 万 元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 25.如图 1，已知四边形 ABCD，将边 AB，AD 分别平移到 CB'，CD'，得到四边形 BDD'B'． （1）求证：四边形 BDD'B'是平行四边形； （2）求证：四边形 BDD'B'的面积是四边形 ABCD 面积的 2 倍； （3）在图 1 中，取边 BC 的中点 E，边 AD 的中点 F，连接 EF，B'D，如图 2．试探究线 段 EF 与线段 B'D 之间的数量关系． 26.如图 1，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点坐标分别是 O（0，0），A（4，0）， C（0，4）． （1）直接写出直线 OB 的函数解析式：　 　； （2）如图 2，在线段 OB 上取一点 D，连接 CD，延长 CD 交边 AB 于点 F，过点 D 作 DE ⊥CD 交边 OA 于点 E，连接 EF． ①求证：DC＝DE； ②当点 D 在线段 OB 上运动时，△AEF 的周长是否发生变化，若不变，请求出它的周长； 若发生变化，请说明理由； ③若点 D（m，m），则点 D 到直线 EF 的距离为　 ．（用含 m 的式子表示） 2018-2019 学年浙江省台州市黄岩区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题） 1．有下列关于 x 的方程是一元二次方程的是（　　） A．3x（x﹣4）＝0 B．x2+y﹣3＝0 C． +x＝2 D．x3﹣3x+8＝0 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是 2 进行分析即可． 【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项正确； B、不是一元二次方程，故此选项错误； C、不是一元二次方程，故此选项错误； D、不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：A． 2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，3，5 D．5，12，13 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可． 【解答】解：A、∵12+22≠22， ∴以 1、2、2 为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵22+32≠42， ∴以 2、3、4 为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵32+32≠52， ∴以 3、3、5 为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵52+122＝132， ∴以 5、12、13 为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 3．期中考试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小晖说：“我们组考分是 82 分 的人最多”，小聪说：“我们组的 7 位同学成绩排在最中间的恰好也是 82 分”．上面两位 同学的话能反映出的统计量是（　　） A．众数和平均数 B．平均数和中位数 C．众数和方差 D．众数和中位数 【分析】根据中位数和众数的定义回答即可． 【解答】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是 中位数， 故选：D． 4．一元二次方程 x2+2x+2＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【分析】计算判别式的值，然后利用判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：△＝22﹣4×2＝﹣4＜0， 所以方程没有实数解． 故选：C． 5．若正比例函数 y＝kx 的图象经过点 A（k，9），且经过第二、四象限，则 k 的值是（　　） A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．﹣3 或 3 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 k 值，结合正比例函数图象经过第二、 四象限，即可确定 k 的值． 【解答】解：∵正比例函数 y＝kx 的图象经过点 A（k，9）， ∴9＝k2， ∴k＝±3． 又∵正比例函数 y＝kx 的图象经过第二、四象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣3． 故选：B． 6．如图在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，且 OE＝4，则菱 形 ABCD 的周长是（　　） A．64 B．48 C．32 D．16 【分析】利用菱形的性质得出∠BCO＝90°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半进而得出 BC 的长，即可得出菱形的周长． 【解答】解：∵在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， ∴∠BCO＝90°， ∵E 为 AB 的中点，且 OE＝4， ∴BC＝2EO＝8， ∴菱形 ABCD 的周长是：8×4＝32． 故选：C． 7．将二次函数 y＝x2 的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的表达式 是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1 【分析】先确定抛物线 y＝x2 的顶点坐标为（0，0），再确定平移后顶点坐标，然后写出 平移的顶点式． 【解答】解：抛物线 y＝x2 的顶点坐标为（0，0）， 把点（0，0）向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到点（2，1）， 所以平移后的抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2+1． 故选：A． 8．某中学组织八年级学生足球比赛，每两班之间都赛一场，计划安排 15 场比赛，则共有多 少个班级参赛？（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】设共有 x 个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球 队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据 计划安排 15 场比赛即可列出方程求解． 【解答】解：设共有 x 个班级参赛，根据题意得： ＝15， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）， 则共有 6 个班级参赛． 故选：B． 9．如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF＝1，FD＝2，则 BC 的长为（　　） A．3 B．2 C．2 D．2 【分析】首先过点 E 作 EM⊥BC 于 M，交 BF 于 N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN 是△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得 GN＝MN，由折叠的性质，可得 BG＝3，继而求得 BF 的值，又由勾股定理，即可求得 BC 的长． 【解答】解：过点 E 作 EM⊥BC 于 M，交 BF 于 N， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵∠EMB＝90°， ∴四边形 ABME 是矩形， ∴AE＝BM， 由折叠的性质得：AE＝GE，∠EGN＝∠A＝90°， ∴EG＝BM， ∵∠ENG＝∠BNM， ∴△ENG≌△BNM（AAS）， ∴NG＝NM， ∴CM＝DE， ∵E 是 AD 的中点， ∴AE＝ED＝BM＝CM， ∵EM∥CD， ∴BN：NF＝BM：CM， ∴BN＝NF， ∴NM＝ CF＝ ， ∴NG＝ ， ∵BG＝AB＝CD＝CF+DF＝3， ∴BN＝BG﹣NG＝3﹣ ＝ ， ∴BF＝2BN＝5， ∴BC＝ ＝ ＝2 ． 故选 B． 补充方法：连接 EF．易证△EFD≌△EFG，可得 FG＝DF＝2，BG＝AB＝DC＝3，可得 BF ＝5，再利用勾股定理求 BC 比较简单． 10．若一个二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过五个点 A（﹣1，n），B（3，n），C （m+1，y1），D（1﹣m，y2）和 E（1，y3），若 m≠0，则下列关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＝y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 【分析】由 A，B 两点的纵坐标相同，可得 A，B 两点关于对称轴对称，可求对称轴为直 线 x＝1，则 x＝1 时 y3 值最小，C，D 关于对称轴对称，即 y1＝y2． 【解答】解：∵A（﹣1，n）、B（3，n）， ∴对称轴为直线 x＝1； ∵a＞0， ∴x＝1 时，y3 是最小值； ∵ ＝1， ∴C，D 关于对称轴直线 x＝1 对称， ∴y1＝y2， ∴y1＝y2＞y3． 故选：C． 11．根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经“排 水﹣清洗﹣灌水”的过程．某游泳馆从早上 7：00 开始对游泳池进行换水，已知该游泳 池的排水速度是灌水速度的 1.6 倍，其中游泳池内剩余的水量 y（m3）与换水时间 x（h） 之间的函数图象如图所示，若该游泳馆在换水结束后 30 分钟才能对外开放，则游泳爱好 者小明进入该游泳馆游泳的时间可能是（　　） A．中午 12：10 B．中午 12：20 C．中午 12：30 D．中午 12：40 【分析】根据题意可以求得排水的速度，进而求出灌水的速度，从而求出灌水用的时间， 据此即可求出游泳馆对外开放的时间． 【解答】解：由题意可得，排水的速度为：1200÷1.5＝800（m3/h）， ∴灌水的速度为：800÷1.6＝500（m3/h）， ∴灌水用的时间为：1200÷500＝2.4h， ∴对外开放的时间为：7+2.7+2.4+ ＝12：36＜12：40， ∴则游泳爱好者小明进入该游泳馆游泳的时间可能是 12：40． 故选：D． 12．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，P 是边 AD 的中点，E 是边 AB 上的一个动点（不 与 A 重合），以线段 AE 为边在正方形内作等边△AEF，M 是边 EF 的中点，连接 PM，则 在点 E 运动过程中，PM 的最小值是（　　） A． B． C． D．3 【分析】连接 PF，根据三角形的事不过三得到 PF+FM≥PM，于是得到当 P，F，M 三 点共线时，PM 的值最小，连接 AM，根据等边三角形的性质得到 AM⊥EF，∠EAM＝30 °，求得∠PAM＝60°，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：∵P 是边 AD 的中点，AD＝6， ∴AP＝3， 连接 PF， ∵PF+FM≥PM， ∴当 P，F，M 三点共线时，PM 的值最小， 连接 AM， ∵△AEF 是等边三角形，M 是边 EF 的中点， ∴AM⊥EF，∠EAM＝30°， ∴∠PAM＝60°， ∴PM＝ AP＝ ， 故选：A． 二．填空题（共 6 小题） 13．关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+k＝0 有一个根为 1，则 k 的值等于　2　． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把 x＝1 代入方程得关于 k 的一次方程 1﹣3+k ＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：把 x＝1 代入方程得 1﹣3+k＝0， 解得 k＝2． 故答案为 2． 14．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人 10 次射箭成绩的平均数都是 8.9 环，方差分 别是 S 甲 2＝0.65，S 乙 2＝0.55，S 丙 2＝0.50，S 丁 2＝0.45，则射箭成绩最稳定的是　 丁　． 【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小则谁的成绩最稳 定． 【解答】解：∵S 甲 2＝0.65，S 乙 2＝0.55，S 丙 2＝0.50，S 丁 2＝0.45， ∴丁的方差最小， ∴射箭成绩最稳定的是：丁． 故答案为：丁． 15．已知 P（﹣3，a），Q（1，b）是一次函数 y＝2x+1 图象上的两个点，则 a，b 的大小关 系是　a＜b　． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 a，b 的值，比较后即可得出结论． 【解答】解：当 x＝﹣3 时，a＝2×（﹣3）+1＝﹣5； 当 x＝1 时，b＝2×1+1＝3． ∵﹣5＜3， ∴a＜b． 故答案为：a＜b． 16．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本 八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索 从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵着绳索（绳索头与地面接触） 退行，在距木柱根部 8 尺处时绳索用尽，则绳索长是　 　． 【分析】设绳索长为 x 尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【解答】解：设绳索长为 x 尺，根据题意得： x2﹣（x﹣3）2＝82， 解得：x＝ ， 答：绳索长为 尺， 故答案为： ． 17．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 3cm/s 的速度向点 B 运动， 规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过　6 或 7　 s，使 PQ＝CD． 【分析】根据 PQ＝CD，一种情况是：四边形 PQCD 为平行四边形，可得方程 24﹣t＝ 3t，一种情况是：四边形 PQCD 为等腰梯形，可求得当 QC﹣PD＝QC﹣EF＝QF+EC＝2CE， 即 3t＝（24﹣t）+4 时，四边形 PQCD 为等腰梯形，解此方程即可求得答案． 【解答】解：根据题意得：PA＝t，CQ＝3t，则 PD＝AD﹣PA＝24﹣t， 若要 PQ＝CD，分为两种情况： ①当四边形 PQCD 为平行四边形时， 即 PD＝CQ 24﹣t＝3t， 解得：t＝6， ②当四边形 PQCD 为等腰梯形时， 即 CQ＝PD+2（BC﹣AD） 3t＝24﹣t+4 解得：t＝7， 即当 t＝6 或 t＝7 时，PQ＝CD， 故答案为：6 或 7． 18．在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（a，b），点 P 的“变换点”P1 的坐标定义如下： 当 a≥b 时，点 P1 坐标为（a，﹣b）；当 a＜b 时，点 P1 坐标为（b，﹣a）．线段 l：y＝﹣ x+5（﹣4≤x≤8）上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线 y＝kx+6 与组成 的新的图形有两个交点，则 k 的取值范围是　﹣ ＜k≤﹣ 　． 【分析】根据定义将线段 l：y＝﹣ x+5（﹣4≤x≤8）以（4，4）为临界点，分成两部 分，分别按照定义进行变换，得到新的解析式画出图象，数形结合即可． 【解答】解：如图 根据题意，y＝﹣ x+5（﹣4≤x≤8）横纵坐标相等时，坐标为（4，4） 则线段在（4，4）右侧部分，按照“变换点”P′的坐标定义得到线段 AB： y＝ x﹣5（4≤x≤6） 线段在（4，4）左侧部分，按照“变换点”P′的坐标定义得到线段 AD： y＝4x﹣20（4＜x≤8） ∵直线 y＝kx+6 过定点（0，6） 当 y＝kx+6 分别过点 A（4，﹣4），B（8，﹣3）时 分别求出 k＝﹣ ，k＝﹣ ， 由图象可知，﹣ ＜k≤﹣ ． 故答案为﹣ ＜k≤﹣ ． 三.解答题 19.解下列方程： （1）x2﹣4x+3＝0； （2）2x﹣6＝3x（x﹣3）． 【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0， 分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）＝0， 可得 x﹣1＝0 或 x﹣3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3； （2）方程整理得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0， 分解因式得：（x﹣3）（2﹣3x）＝0， 可得 x﹣3＝0 或 2﹣3x＝0， 解得：x1＝3，x2＝ ； 20.如图，在 6×6 的网格中，每个小正方形的边长为 1，点 A 在格点（小正方形的顶点） 上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为 6，且符合相应条件的图形． 【分析】利用数形结合的思想解决问题即可； 【解答】解：符合条件的图形如图所示： 21.某市明年的初中毕业升学考试，拟将“引体向上”作为男生体育考试的一个必考项目．某 校为了解八年级男生的“引体向上”水平，在八年级的 400 名男生中，随机抽取部分男 生进行“引体向上”测试，所有被测试者的“引体向上”次数统计如表： 次数 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 2 3 5 3 2 2 1 2 （1）求本次测试获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （2）估计该校八年级男生“引体向上”次数 6 次以上（不含 6 次）的有多少人？ 【分析】（1）根据加权平均数、众数和中位数的定义求解可得； （2）用总人数乘以样本中“引体向上”次数 6 次以上（不含 6 次）的人数所占比例可 得． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 本 次 测 试 获 取 的 样 本 数 据 的 平 均 数 为 ＝6， 众数为 5，中位数为 ×（5+6）＝5.5； （2）估计该校八年级男生“引体向上”次数 6 次以上（不含 6 次）的有 400× ＝140（人）． 22.如图，在平行四边形 ABCD 中，AC⊥BC，过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E，连 接 AE 交 CD 于点 F． （1）求证：四边形 ADEC 是矩形； （2）在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 M，连接 CM，若 CM＝5，且 AC＝8，求四 边形 ADEC 的周长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得 AD∥BC，结合条件可先证得四边形 ADEC 为 平行四边形，结合 AC⊥BC，可证得结论； （2）由直角三角形的性质可求得 AB 的长，在 Rt△ABC 中，由勾股定理可求得 BC 的长， 再利用矩形的性质可求得 AD 的长，结合 AC 可求得矩形 ADEC 的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC． 又∵DE∥AC， ∴四边形 ADEC 是平行四边形． 又∵AC⊥BC， ∴∠ACE＝90°． ∴四边形 ADEC 是矩形； （2）解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°． ∵M 是 AB 的中点， ∴AB＝2CM＝10． ∵AC＝8， ∴BC＝ ＝6． 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC＝AD． 又∵四边形 ADEC 是矩形， ∴EC＝AD． ∴EC＝BC＝6． ∴矩形 ADEC 的周长＝2×（8+6）＝28． 23.已知抛物线 y＝ax2+2x 经过点 A（3，﹣3）和点 B． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 A 与点 B 关于该抛物线的对称轴对称，求点 B 的坐标． 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）求得对称轴，然后根据对称轴为直线 x＝ ，求得 A 的对称点 B 的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+2x 经过点 A（3，﹣3）， ∴﹣3＝9a+6，解得 a＝﹣1， ∴此抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x； （2）∵抛物线 y＝﹣x2+2x 的对称轴为直线 x＝﹣ ＝1， ∴点 A 关于该抛物线的对称轴的对称点为（﹣1，﹣3）． 24.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技 设备，每台设备成本价为 30 万元，经过市场调研发现，每台售价为 40 万元时，年销售 量为 600 台；每台售价为 45 万元时，年销售量为 550 台．假定该设备的年销售量 y（单 位：台）和销售单价 x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 70 万元，如果该公司想获得 10000 万 元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量 y 与销售单价 x 的函数 关系式； （2）设此设备的销售单价为 x 万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量 为（﹣10x+1000）台，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可得出关于 x 的一元二次 方程，解之取其小于 70 的值即可得出结论． 【解答】解：（1）设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝kx+b（k≠0）， 将（40，600）、（45，550）代入 y＝kx+b，得： ，解得： ， ∴年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝﹣10x+1000． （2）设此设备的销售单价为 x 万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量 为（﹣10x+1000）台， 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000， 整理，得：x2﹣130x+4000＝0， 解得：x1＝50，x2＝80． ∵此设备的销售单价不得高于 70 万元， ∴x＝50． 答：该设备的销售单价应是 50 万元/台． 25.如图 1，已知四边形 ABCD，将边 AB，AD 分别平移到 CB'，CD'，得到四边形 BDD'B'． （1）求证：四边形 BDD'B'是平行四边形； （2）求证：四边形 BDD'B'的面积是四边形 ABCD 面积的 2 倍； （3）在图 1 中，取边 BC 的中点 E，边 AD 的中点 F，连接 EF，B'D，如图 2．试探究线 段 EF 与线段 B'D 之间的数量关系． 【分析】（1）证明 BB′＝DD′，BB′∥DD′即可． （2）由四边形 ABB′C 是平行四边形，推出 S△BCB′＝S△ABC 由四边形 ADD′C 是平行 四边形，推出 S△ACD＝S△CDD′，由四边形 BDD′B′是平行四边形，推出 S△BCB′+S△CDD ′＝ S 平行四边形 BDD′B′可得结论． （3）如图 2 中，结论：DB′＝2EF．证明△DCB′∽△FTE 可得结论． 【解答】（1）证明：如图 1 中， ∵AB＝CB′，AB∥CB′， ∴四边形 ABB′C 是平行四边形， ∴AC＝BB′，AC∥BB′， ∵AD∥CD′，AD＝CD′， ∴四边形 ADD′C 是平行四边形， ∴AC＝DD′，AC∥DD′， ∴BB′＝DD′，BB′∥DD′， ∴四边形 BDD′B′是平行四边形． （2）证明：∵四边形 ABB′C 是平行四边形， ∴S△BCB′＝S△ABC ∵四边形 ADD′C 是平行四边形， ∴S△ACD＝S△CDD′， ∵四边形 BDD′B′是平行四边形， ∴S△BCB′+S△CDD′＝ S 平行四边形 BDD′B′， ∵S 四边形 ABCD＝S△ABC+S△ACD， ∴S 平行四边形 BDD′B′＝2S 四边形 ABCD． （3）解：如图 2 中，结论：DB′＝2EF． 理由：取 AC 的中点 T，连接 ET，FT． ∵AT＝CT，CE＝BE， ∴ET∥AB，ET＝ AB， ∵AB∥CB′， ∴ET∥CB′，ET＝ AB， ∵AF＝DF，AT＝TC， ∴TF∥CD，TF＝ CD， ∴∠DCB′＝∠FTE， ∵ ＝ ＝2， ∴△DCB′∽△FTE， ∴B′D：EF＝CD：TF＝2， ∴DB′＝2EF． 26.如图 1，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点坐标分别是 O（0，0），A（4，0）， C（0，4）． （1）直接写出直线 OB 的函数解析式：　y＝x　； （2）如图 2，在线段 OB 上取一点 D，连接 CD，延长 CD 交边 AB 于点 F，过点 D 作 DE ⊥CD 交边 OA 于点 E，连接 EF． ①求证：DC＝DE； ②当点 D 在线段 OB 上运动时，△AEF 的周长是否发生变化，若不变，请求出它的周长； 若发生变化，请说明理由； ③若点 D（m，m），则点 D 到直线 EF 的距离为　4﹣m　．（用含 m 的式子表示） 【分析】（1）先求出点 B 坐标，由待定系数可求解析式； （2）①连接 AD，由“SAS”可证△AOD≌△COD，可得 CD＝AD，∠DAO＝∠DCO， 由四边形内角和定理可得∠DEA＝∠DAO，可得 DE＝DA＝CD； ②将△BCF 绕点 C 顺时针旋转 90°，得到△OCH，连接 CE，由旋转的性质可得 CF＝CH， BF＝OH，∠BCF＝∠OCH，由“SAS”可证△CEH≌△CEF，可得 EF＝EH，即可求解； ③由角平分线的性质可求解． 【解答】解（1）∵正方形 OABC 的顶点坐标分别是 O（0，0），A（4，0），C（0， 4）． ∴OA＝4＝OC，点 B（4，4）， 设直线 OB 解析式为：y＝kx， ∴4＝4k， ∴k＝1， ∴直线 OB 的解析式为：y＝x， 故答案为：y＝x； （2）①如图，连接 AD， ∵四边形 OABC 是正方形， ∴OA＝OC＝BC＝AB，∠COD＝∠AOD＝45°， 又∵OD＝OD， ∴△AOD≌△COD（SAS）， ∴CD＝AD，∠DAO＝∠DCO， ∵∠DCO+∠COE+∠CDE+∠DEO＝360°， ∴∠DCO+∠DEO＝180°， 又∵∠DEO+∠DEA＝180°， ∴∠DCO＝∠DEA， ∴∠DEA＝∠DAO， ∴AD＝DE， ∴CD＝DE； ②△AEF 的周长不会发生变化， 理由如下：如图，将△BCF 绕点 C 顺时针旋转 90°，得到△OCH，连接 CE， ∴△BCF≌△OCH， ∴CF＝CH，BF＝OH，∠BCF＝∠OCH， ∵CD＝DE，∠CDE＝90°， ∴∠DCE＝45°， ∴∠BCF+∠OCE＝45°， ∴∠OCH+∠OCE＝45°＝∠DCE， 又∵CE＝CE， ∴△CEH≌△CEF（SAS）， ∴EF＝EH， ∵△AEF 的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+OE+BF＝AB+AO＝8， ∴△AEF 的周长是 8； ③如图，过点 D 作 DP⊥AB 于 P，DN⊥EF 于 N，DM⊥AO 于 M， ∵DP⊥AB，DM⊥AO，∠BAO＝90°， ∴四边形 APDM 是矩形， ∴AM＝DP， ∵点 D（m，m）， ∴OM＝m， ∴AM＝DP＝4﹣m， ∵△CEH≌△CEF， ∴∠CFE＝∠H＝∠CFB， 又∵DP⊥AB，DN⊥EF， ∴DP＝DN＝4﹣m， 故答案为：4﹣m．