【同步作业】人教版 八年级下册数学18菱形的判定 20页

第 1 页 共 20 页 18.2.2 菱形 第 2 课时 菱形的判定 一、选择题（共 10小题） 1、在平面直角坐标系中，已知点 A（0，2），B（﹣2 ，0），C（0，﹣2），D（2 ，0）， 则以这四个点为顶点的四边形 ABCD是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形 3、如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD是菱形的为（ ） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD． A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③ 4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠 好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ） A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 5、（在同一平面内，用两个边长为 a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形 是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 6、用两个边长为 a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ） A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形 7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受 灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示， 绿丝带重叠部分形成的图形是（ ） A、正方形 B、等腰梯形 第 2 页 共 20 页 C、菱形 D、矩形 8、能判定一个四边形是菱形的条件是（ ） A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 9、四边形的四边长顺次为 a、b、c、d，且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 二、填空题（共 8小题） 11、（如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 _________ （只填一个你认为正确的即可）． 12、如图，如果要使平行四边形 ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的 条件是 _________ ． 13、（如图，平行四边形 ABCD 中，AF、CE分别是∠BAD 和∠BCD的角平分线，根据现 有的图形，请添加一个条件，使四边形 AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是 _________ ．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”） 14、在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD交于点 O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3） OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出 四边形 ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： _________ =＞ABCD是菱形； _________ =＞ABCD是菱形． 15、若四边形 ABCD 是平行四边形，请补充条件 _________ （写一个即可），使四边形 ABCD是菱形． 16、在四边形 ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分 ∠BAD ， 由 其 中 三 个 条 件 推 出 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， 你 认 为 这 三 个 条 件 是 _________ ．（写四个条件的不给分，只填序号） 17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是 _________ 形，再说明 _________ （只需填写一种方法） 18、如图，四边形 ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点 O，不添加任何字母和辅助线， 要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是 _________ （只需填写一个条件即可）． 第 3 页 共 20 页 三、解答题（共 11小题） 19、（如图，在△ABC中，AB=AC，D是 BC的中点，连接 AD，在 AD的延长线上取一点 E，连接 BE， CE． （1）求证：△ABE≌△ACE； （2）当 AE与 AD满足什么数量关系时，四边形 ABEC是菱形？并说明理由． 20、如图，在▱ ABCD中，E，F分别为边 AB，CD的中点，连接 DE、BF、BD． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论． 21、如图，已知点 D在△ABC的 BC边上，DE∥AC交 AB于 E，DF∥AB交 AC于 F． （1）求证：AE=DF； （2）若 AD平分∠BAC，试判断四边形 AEDF的形状，并说明理由． 22、已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为 AB中点，求证： 四边形 BCDE是菱形． 23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与 DB交于点M． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）过点 C作 CN∥BD，过点 B作 BN∥AC，CN与 BN交于点 N，试判断线段 BN与 CN 的数量关系，并证明你的结论． 第 4 页 共 20 页 24、如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN于 E，连接 AE、CD． （1）求证：AD=CE； （2）填空：四边形 ADCE的形状是 _________ ． 25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点 E、F分别在 AC、BC上，且 EF∥AB （1）求证：四边形 EFCD是菱形； （2）设 CD=4，求 D、F两点间的距离． 26、如图，在梯形纸片 ABCD 中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使 点 C落在 AD上的点 C处，折痕 DE交 BC于点 E，连接 C′E． 求证：四边形 CDC′E是菱形． 27、已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC的垂直平分线与边 AD、BC分别相交于 点 E、F． 求证：四边形 AFCE是菱形． 28、如图，等边△ABC的边长为 2，E 是边 BC上的动点，EF∥AC交边 AB于点 F，在边 第 5 页 共 20 页 AC上取一点 P，使 PE=EB，连接 FP． （1）请直接写出图中与线段 EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线） （2）探究：当点 E在什么位置时，四边形 EFPC是平行四边形？并判断四边形 EFPC是什 么特殊的平行四边形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，以点 E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形 EFPC 四条 边交点的总个数，求相应的 r的取值范围． 29、如图，已知△ABC 的面积为 3，且 AB=AC，现将△ABC沿 CA方向平移 CA长度得到 △EFA． （1）求△ABC所扫过的图形的面积； （2）试判断 AF与 BE的位置关系，并说明理由； （3）若∠BEC=15°，求 AC的长． 第 6 页 共 20 页 答案与评分标准 一、选择题（共 10小题） 1、在平面直角坐标系中，已知点 A（0，2），B（﹣2 ，0），C（0，﹣2），D（2 ，0）， 则以这四个点为顶点的四边形 ABCD是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 考点：坐标与图形性质；菱形的判定。 分析：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断． 解答：解：在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为 平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形． 故选 B． 点评：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点． 2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形 考点：等边三角形的性质；菱形的判定。 专题：操作型。 分析：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形． 解答：解：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等， 即是菱形． 故选 B． 点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形． 3、（如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD是菱形的为（ ） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD． A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③ 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：计算题。 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 解答：解：根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行 四边形是菱形可知：①，③正确． 故选 A． 点评：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平 行四边形是菱形． 4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠 好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ） 第 7 页 共 20 页 A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 考点：菱形的判定。 专题：应用题。 分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可 得邻边相等，则重叠部分为菱形． 解答：解：过点 A作 AE⊥BC于 E，AF⊥CD于 F，因为两条彩带宽度相同， 所以 AB∥CD，AD∥BC，AE=AF． ∴四边形 ABCD是平行四边形． ∵S▱ ABCD=BC•AE=CD•AF．又 AE=AF． ∴BC=CD， ∴四边形 ABCD是菱形． 故选 C． 点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形 是菱形． 5、在同一平面内，用两个边长为 a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形 是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 考点：菱形的判定；等边三角形的性质。 专题：操作型。 分析：用两个边长为 a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为 a，根据菱形的定义 四边相等的四边形是菱形． 解答：解：根据题意得，拼成的四边形四边相等， 则是菱形． 故选 B． 点评：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义． 6、用两个边长为 a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ） A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形 考点：菱形的判定；等边三角形的性质。 分析：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形． 解答：解：由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形． 故选 D． 点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形． 第 8 页 共 20 页 7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受 灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示， 绿丝带重叠部分形成的图形是（ ） A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 考点：菱形的判定。 专题：应用题。 分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可 得邻边相等，则重叠部分为菱形． 解答：解：过点 A作 AE⊥BC于 E，AF⊥CD于 F，因为两条彩带宽度相同， 所以 AB∥CD，AD∥BC，AE=AF． ∴四边形 ABCD是平行四边形． ∵S▱ ABCD=BC•AE=CD•AF．又 AE=AF． ∴BC=CD， ∴四边形 ABCD是菱形． 故选 C． 点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形 是菱形． 8、能判定一个四边形是菱形的条件是（ ） A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 考点：菱形的判定。 分析：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可． 解答：解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有 D能判定为是菱形， 故选 D． 点评：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定． 9、四边形的四边长顺次为 a、b、c、d，且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 考点：菱形的判定；非负数的性质：偶次方。 分析：本题可通过整理配方式子 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣ d）2+（a﹣d）2=0，从而得出 a=b=c=d，∴四边形一定是菱形． 解答：解：整理配方式子 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad， 2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），） 第 9 页 共 20 页 ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0， 由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0， ∴a=b=c=d， ∴四边形一定是菱形， 故选 C． 点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质． 二、填空题（共 8小题） 11、四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 AC⊥BD或 AB=BC或 BC=CD或 AB=AD （只填一个你认为正确的即可）． 考点：菱形的判定。 专题：开放型。 分析：根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD 或 AB=BC，或 BC=CD， 或 CD=DA，或 AB=AD． 解答：解：四边形 ABCD的对角线互相平分，则四边形 ABCD为平行四边形， 再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 可添加：AC⊥BD或 AB=BC，或 BC=CD，或 CD=DA，或 AB=AD（答案不唯一） 点评：本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等 的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 12、如图，如果要使平行四边形 ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的 条件是 AB=AD或 AC⊥BD ． 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种： ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． ∴可添加：AB=AD或 AC⊥BD． 解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：AB=AD或 AC⊥BD． 点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一． 13、如图，平行四边形 ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有 的图形，请添加一个条件，使四边形 AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 AC⊥EF或 AF=CF等 ．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”） 第 10 页 共 20 页 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形 AECF是平行四 边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形， 可得：当 AC⊥EF时，四边形 AECF是菱形． 解答：解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF． 证明：∵AD∥BC， ∴∠FAD=∠AFB， ∵AF是∠BAD的平分线， ∴∠BAF=FAD， ∴∠BAF=∠AFB， ∴AB=BF， 同理 ED=CD， ∵AD=BC，AB=CD， ∴AE=CF， 又∵AE∥CF ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形， 则添加的一个条件可以是：AC⊥EF． 点评：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯 一． 14、在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD交于点 O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3） OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出 四边形 ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： （1） （2）（6） =＞ABCD是菱形； （3）（4）（5）@（3）（4）（6） =＞ABCD是菱形． 考点：菱形的判定。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种： ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 解答：解：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形． 先由（1）（2）得出四边形是平行四边形， 再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA， 由等角对等边得 AD=CD， 所以平行四边形是菱形． （3）（4）（5）=＞ABCD是菱形． 第 11 页 共 20 页 由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形． （3）（4）（6）=＞ABCD是菱形． 由（3）（4）得出四边形是平行四边形， 再由（6）得出∠DAC=∠DCA， 由等角对等边得 AD=CD， 所以平行四边形是菱形． 点评：本题考查菱形的判定． 15、若四边形 ABCD是平行四边形，请补充条件 AB=BC@AC⊥BD （写一个即可），使 四边形 ABCD是菱形． 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可． 解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可 补充条件：AB=BC或 AC⊥BD． 点评：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直 平分，且每一条对角线平分一组对角． 16、在四边形 ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分 ∠BAD，由其中三个条件推出四边形 ABCD 是菱形，你认为这三个条件是 ①③④或 ②③④ ．（写四个条件的不给分，只填序号） 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质。 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可． 解答：解：设 AC 与 BD 交于点 E，由③AC⊥BD，④AC 平分∠BAD 可证得， Rt△AEB≌Rt△AED， ∴AB=AD，BE=DE， 再由∠BEC=∠DEC=90°，CE=CE，证得 Rt△BCE≌Rt△DCE， ∴BC=CD， 再由①AB=CD，可根据四边相等的四边形是菱形而得证为菱形； 或者再由②AD∥BC，证得：Rt△AED≌Rt△BCE， ∴AE=EC， 由对角线互相垂直平分的四边形是菱形而得证为菱形． 故填写①③④或②③④． 点评：本题考查了菱形的判定，利用全等三角形的判定和性质来证明． 17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是 平行四边 形，再说明 有一组 邻边相等 （只需填写一种方法） 考点：菱形的判定。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个 四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等． 解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以，要说明一个四边形是菱形，可以 先说明这个四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等． 第 12 页 共 20 页 点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一． 18、如图，四边形 ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点 O，不添加任何字母和辅助线， 要使四边形 ABCD是菱形，则还需添加一个条件是 AB=BC（答案不唯一） （只需填写 一个条件即可）． 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种： ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 所以可添加 AB=BC． 解答：解：AB=BC或 AC⊥BD等． 点评：本题考查了菱形的判定，答案不唯一． 三、解答题（共 11小题） 19、如图，在△ABC中，AB=AC，D是 BC的中点，连接 AD，在 AD的延长线上取一点 E， 连接 BE， CE． （1）求证：△ABE≌△ACE； （2）当 AE与 AD满足什么数量关系时，四边形 ABEC是菱形？并说明理由． 考点：全等三角形的判定；菱形的判定。 专题：证明题。 分析：由题意可知三角形三线合一，结合 SAS 可得△ABE≌△ACE．四边形 ABEC相邻两 边 AB=AC，只需要证明四边形 ABEC 是平行四边形的条件，当 AE=2AD（或 AD=DE 或 DE= AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形． 解答：（1）证明：∵AB=AC，点 D为 BC的中点， ∴∠BAE=∠CAE， ∵AE=AE ∴△ABE≌△ACE（SAS）． （2）解：当 AE=2AD（或 AD=DE或 DE= AE）时，四边形 ABEC是菱形 理由如下： ∵AE=2AD，∴AD=DE， 第 13 页 共 20 页 又∵点 D为 BC中点， ∴BD=CD， ∴四边形 ABEC 为平行四边形， ∵AB=AC， ∴四边形 ABEC 为菱形． 点评：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易． 20、如图，在▱ ABCD中，E，F分别为边 AB，CD的中点，连接 DE、BF、BD． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论． 考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定。 专题：证明题；探究型。 分析：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边 AB、CD的中 点，那么 AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的 SAS，由此可得出△AED≌△CFB． （2）直角三角形 ADB中，DE是斜边上的中线，因此 DE=BE，又由 DE=BF，FD∥BE 那 么可得出四边形 BFDE是个菱形． 解答：（1）证明：在平行四边形 ABCD中，∠A=∠C，AD=BC， ∵E、F分别为 AB、CD的中点， ∴AE=CF． 在△AED和△CFB中， ∴△AED≌△CFB（SAS）； （2）解：若 AD⊥BD，则四边形 BFDE是菱形． 证明：∵AD⊥BD， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°． ∵E是 AB的中点， ∴DE= AB=BE． 由题意可知 EB∥DF且 EB=DF， ∴四边形 BFDE是平行四边形． ∴四边形 BFDE是菱形． 点评：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点． 21、如图，已知点 D在△ABC的 BC边上，DE∥AC交 AB于 E，DF∥AB交 AC于 F． （1）求证：AE=DF； （2）若 AD平分∠BAC，试判断四边形 AEDF的形状，并说明理由． 第 14 页 共 20 页 考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定。 专题：证明题。 分析：（1）利用 AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出 AE=DF； （2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形 DEFA是▱ ，再利用 AD是角平分线，结合 AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得 AF=DF，从而可证▱ AEDF 实菱形． 解答：证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF， 同理∠DAE=∠FDA， ∵AD=DA， ∴△ADE≌△DAF， ∴AE=DF； （2）若 AD平分∠BAC，四边形 AEDF 是菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形 AEDF 是平行四边形， ∴∠DAF=∠FDA． ∴AF=DF． ∴平行四边形 AEDF 为菱形． 点评：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况． 22、已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为 AB中点，求证： 四边形 BCDE是菱形． 考点：菱形的判定。 专题：证明题。 分析：由题意易得 DE=BE，再证四边形 BCDE是平行四边形，即证四边形 BCDE是菱形． 解答：证明：∵AD⊥BD， ∴△ABD是 Rt△ ∵E是 AB的中点， ∴BE= AB，DE= AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴BE=DE， ∴∠EDB=∠EBD， ∵CB=CD， ∴∠CDB=∠CBD， ∵AB∥CD， 第 15 页 共 20 页 ∴∠EBD=∠CDB， ∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD， ∵BD=BD， ∴△EBD≌△CBD （ASA ）， ∴BE=BC， ∴CB=CD=BE=DE， ∴菱形 BCDE．（四边相等的四边形是菱形） 点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质． 23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与 DB交于点M． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）过点 C作 CN∥BD，过点 B作 BN∥AC，CN与 BN交于点 N，试判断线段 BN与 CN 的数量关系，并证明你的结论． 考点：菱形的判定；全等三角形的判定。 专题：证明题；探究型。 分析：（1）由 SSS可证△ABC≌△DCB； （2）BN=CN，可先证明四边形 BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得 BM=CM，于是就有四边形 BMCN是菱形，则 BN=CN． 解答：（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，AC=DB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB；（4分） （2）解：据已知有 BN=CN．证明如下： ∵CN∥BD，BN∥AC， ∴四边形 BMCN是平行四边形，（6分） 由（1）知，∠MBC=∠MCB， ∴BM=CM（等角对等边）， ∴四边形 BMCN是菱形， ∴BN=CN．（9分） 点评：此题主要考查全等三角形和菱形的判定． 24、如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN于 E，连接 AE、CD． （1）求证：AD=CE； （2）填空：四边形 ADCE的形状是 ． 第 16 页 共 20 页 考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质。 专题：证明题。 分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，∴AE=CE，AD=CD， OA=OC∠AOD=∠EOC=90°， ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO，∴AD=CE，OD=OE， 由一组对边平行且相等知，四边形 ADCE是平行四边形， ∵OD=OE，OA=OC∠AOD=90°根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得．平行四边形 ADCE是菱形． 解答：（1）证明：∵MN是 AC的垂直平分线，（1分） ∴OA=OC∠AOD=∠EOC=90°．（3分） ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO．（4分） ∴△ADO≌△CEO．（5分） ∴AD=CE．（6分） （2）解：四边形 ADCE是菱形．（8分） （填写平行四边形给 1分） 点评：本题利用了：1、中垂线的性质，2、全等三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的 判定． 25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点 E、F分别在 AC、BC上，且 EF∥AB （1）求证：四边形 EFCD是菱形； （2）设 CD=4，求 D、F两点间的距离． 考点：菱形的判定；等边三角形的性质；勾股定理。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，由△ABC与△CDE 都是等边三角形，可得出角之间的等量关系，从而证明四边形 EFCD是菱形； （2）连接 DF，与 CE 相交于点 G，由（1）知 DF 就是菱形 EFCD 的一条对角线，根据菱 形的性质及 30°特殊角的值可计算出结果． 解答：（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形， 第 17 页 共 20 页 ∴ED=CD． ∴∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60°．（1分） ∴AB∥CD，DE∥CF．（2分） 又∵EF∥AB， ∴EF∥CD，（3分） ∴四边形 EFCD是菱形．（4分） （2）解：连接 DF，与 CE相交于点 G，（5分） 由 CD=4，可知 CG=2，（6分） ∴ ，（7分） ∴ ．（8分） 点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四 边相等，③对角线互相垂直平分． 26、如图，在梯形纸片 ABCD 中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使 点 C落在 AD上的点 C处，折痕 DE交 BC于点 E，连接 C′E． 求证：四边形 CDC′E是菱形． 考点：菱形的判定。 专题：证明题。 分析：根据题意可知△CDE≌△C′DE，则 CD=C′D，CE=C′E，要证四边形 CDC′E为菱形， 证明 CD=CE即可． 解答：证明：根据题意可知△CDE≌△C′DE， 则 CD=C′D，∠C′DE=∠CDE，CE=C′E， ∵AD∥BC，∴∠C′DE=∠CED， ∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE， ∴CD=C′D=C′E=CE， ∴四边形 CDC′E为菱形． 点评：本题利用了：1、全等三角形的性质；2、两直线平行，内错角相等；3、等边对等角； 4、菱形的判定． 27、已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC的垂直平分线与边 AD、BC分别相交于 点 E、F． 求证：四边形 AFCE是菱形． 考点：菱形的判定。 专题：证明题。 分析：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： 第 18 页 共 20 页 ①定义； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定． 解答：证明：方法一：∵AE∥FC． ∴∠EAC=∠FCA．（2分） 又∵∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴△AOE≌△COF．（5分） ∴EO=FO． 又 EF⊥AC， ∴AC是 EF的垂直平分线．（8分） ∴AF=AE，CF=CE， 又∵EA=EC， ∴AF=AE=CE=CF． ∴四边形 AFCE为菱形；（10分） 方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分） ∴AE=CF． ∴四边形 AFCE是平行四边形．（8分） 又∵EF是 AC的垂直平分线， ∴EA=EC， ∴四边形 AFCE是菱形；（10分） 方法三：同方法二，证得四边形 AFCE是平行四边形．（8分） 又 EF⊥AC，（9分） ∴四边形 AFCE为菱形． 点评：本题利用了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，有一组邻边相等的平行四边形 是菱形． 28、如图，等边△ABC的边长为 2，E 是边 BC上的动点，EF∥AC交边 AB于点 F，在边 AC上取一点 P，使 PE=EB，连接 FP． （1）请直接写出图中与线段 EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线） （2）探究：当点 E在什么位置时，四边形 EFPC是平行四边形？并判断四边形 EFPC是什 么特殊的平行四边形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，以点 E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形 EFPC 四条 边交点的总个数，求相应的 r的取值范围． 考点：点与圆的位置关系；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定。 专题：探究型。 分析：（1）由平行易得△BFE是等边三角形，那么各边是相等的； （2）当点 E是 BC的中点时，△PEC为等边三角形，可得到 PC=EC=BE=EF，也就得到了 第 19 页 共 20 页 四边形 EFPC是平行四边形，再有 EF=EC可证为菱形； （3）根据各点到圆心的距离作答即可． 解答：解：（1）易得△BFE是等边三角形，PE=EB， ∴EF=BE=PE=BF； （2）当点 E是 BC的中点时，四边形是菱形； ∵E是 BC的中点， ∴EC=BE， ∵PE=BE， ∴PE=EC， ∵∠C=60°， ∴△PEC是等边三角形， ∴PC=EC=PE， ∵EF=BE， ∴EF=PC， 又∵EF∥CP， ∴四边形 EFPC是平行四边形， ∵EC=PC=EF， ∴平行四边形 EFPC是菱形； （3）当 0＜r＜ 时，有两个交点； 当 r= 时，有四个交点； 当 ＜r＜1时，有六个交点； 当 r=1时，有三个交点； 当 r＞1时，有 0个交点． 点评：本题综合考查了等边三角形的性质和判定，菱形的判定及点和圆的位置关系等知识 点．注意圆和线段有交点，应根据半径作答． 29、如图，已知△ABC 的面积为 3，且 AB=AC，现将△ABC沿 CA方向平移 CA长度得到 △EFA． （1）求△ABC所扫过的图形的面积； （2）试判断 AF与 BE的位置关系，并说明理由； （3）若∠BEC=15°，求 AC的长． 考点：平移的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定。 专题：计算题；探究型。 分析：（1）根据题意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且 BA=EF，进而得出 S 平行四边形 ABFE=2S△EAF，故可求出△ABC扫过图形的面积为 S△ABC+S 平行四边形ABFE； 第 20 页 共 20 页 （2）根据平移的性质，可得四边形 ABFE为菱形，故 AF与 BE互相垂直且平分； （3）根据题意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°， BD•AC=3， AC•AC=3，进而可得 AC 的长度． 解答：解：（1）连接 BF，由题意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且 BA=EF ∴四边形 ABFE 为平行四边形， ∴S 平行四边形ABFE=2S△EAF∴△ABC扫过图形的面积为 S△ABC+S 平行四边形ABFE=3+6=9； （2）由（1）知四边形 ABFE 为平行四边形，且 AB=AE， ∴四边形 ABFE 为菱形， ∴AF与 BE互相垂直且平分． （3）过点 B作 BD⊥CA于点 D， ∵AB=AE， ∴∠AEB=∠ABE=15°． ∴∠BAD=30°BD= AB= AC． ∴ BD•AC=3， AC•AC=3． ∴AC2=12． ∴AC=2 ． 点评：本题考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知识结合求解．考查了学生综 合运用数学的能力．