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- 2021-10-27 发布
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第12章 整式的乘除
12.1 幂的运算
第3课时 积的乘方
1.计算:
(1) 10×102× 103 =______ ;
(2) (x5 )2=_________.x10
106
2.(1)同底数幂的乘法 :am·an= ( m,n为正整数);am+n
(2)幂的乘方:(am)n= (m,n为正整数).amn
底数不变
指数相乘
指数相加
同底数幂的乘法
幂的乘方
其中m,n为
正整数
(am)n=amn
am·an=am+n
【想一想】同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么
相同点和不同点?
积的乘方运算
【问题1】下列两题有什么特点?
2( ) ;a b 3( ) .a b(1) (2)
底数为两个因式相乘,积的形式.
这种形式为
积的乘方。
我们学过的幂的
乘方的运算性质
适用吗?
1
2( )ab ( ) ( )ab ab
( ) ( )aa bb
2 2a b
同理:
(乘方的意义)
(乘法交换律、结合律)
(同底数幂相乘的法则)
3( )ab ( ) ( ) ( )ab ab ab
( ) ( )aa a bbb
3 3a b
【问题2】根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算:
(ab)n =?
(ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab)
n个ab
=(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b)
n个a n个b
=anbn.
证明:
【思考】积的乘方(ab)n =?
【猜想】
由此可得:(ab)n=anbn (n为正整数).
(ab)n=anbn (n为正整数)
这就是说,积的乘方,把积的每一个因式分别
_____,再把所得的幂________.
【想一想】三个或三个以上的积的乘方等于什么?
乘方 相乘
【例1】 计算:
(1) (2a)3 ; (2) (-5b)3 ;
(3) (xy2)2 ; (4) (-2x3)4.
解:(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
= 8a3.
=-125b3.
=x2y4.
=16x12.
23·a3
(-5)3·b3
x2·(y2)2
(-2)4·(x3)4
运用积的乘方法则进行计算时,注意每个因式都
要乘方,尤其是字母的系数不要漏乘方.
.
4
101 2
4
42
101 2
2
解:原式
8
101 2
2
8
8 21 2 2
2
8
21 2 2
2
.4
【例2】 计算:
an·bn = (ab)n
am+n =am·an
amn =(am)n
注意:逆用积的乘法法则,有时可使运算更加简便快捷!
积的乘方法则的逆用2
(1)(ab2)3=ab6 ( ) ×
×
×
(2) (3xy)3=9x3y3 ( )
×(3) (-2a2)2=-4a4 ( )
(4) -(-ab2)2=a2b4 ( )
1.判断:
2.下列运算正确的是( )
A. x.x2=x2 B. (xy)2=xy2 C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
C
(1) (ab)8 ; (2) (2m)3 ; (3) (-xy)5;
(4) (5ab2)3 ; (5) (2×102)2 ; (6) (-3×103)3.
3.计算:
解:(1)原式=a8·b8.
(2)原式= 23 ·m3=8m3.
(3)原式=(-x)5 ·y5=-x5y5.
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6.
(5)原式=22×(102)2=4×104.
(6)原式=(-3)3 ×(103)3=-27 ×109=-2.7 ×1010.
(1) 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7;
(2)(3xy2)2+(-4xy3) · (-xy) ;
(3)(-2x3)3·(x2)2.
解:原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7
= 2x9-27x9+25x9 = 0.
解:原式=9x2y4 +4x2y4
=13x2y4.
解:原式= -8x9·x4 =-8x13.
注意:运算顺序
是先乘方,再乘
除,最后加减.
4.计算:
5.如果(an·bm·b)3=a9b15,求m,n的值.
(an)3·(bm)3·b3=a9b15,
a3n ·b3m·b3=a9b15,
a3n ·b3m+3=a9b15,
3n=9,3m+3=15.
n=3,m=4.
解:∵(an·bm·b)3=a9b15,
幂的运算
性质
性 质
am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m,n为正整数)
逆 用
am+n =am · an
amn =(am)n
(ab)n= an·bn
(可使某些计算简捷)
注 意
公式中的a,b代表任何代数式;
每一个因式都要“乘方”;注意
结果的符号、幂指数及其逆用
(混合运算要注意运算顺序)