浙教版八年级上册数学同步课件-第1章-1证明 37页

1.3 证明 第1章 三角形的初步认识 复习引入 1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= . 3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？ 48 ° 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 它们的和是180 °. 2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= ，∠ACD= . A B C D 50 ° 130° B D C AO ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂 回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒 羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊， 已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多 少度角才能直达B处？ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. 这节课让我们一起来探讨吧. B D C AO ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－ ∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°. 思 考 （1）一位同学在钻研数学题时发现： 2+1=3， 2×3+1=7， 2×3×5+1=31， 2×3×5×7+1=211， 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论： 从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定 也是质数.他的结论正确吗？ 试一试： 计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1， 你发现了什么？ 证明的概念1 （2）如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞ b时，a2＞ b2.这个命题是真命题吗？ （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边 形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于（n-2） ×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满 足这一规律？ 不正确，因为3>-5,但是32<(-5)2 . 这是一个正确的结论. 上面的几个例子说明了什么问题？ 探讨归纳 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不 正确. 定义：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经 过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过 程叫做证明. 例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）， 又∵∠C=90°（已知）， ∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质). 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我 们把它也作为定理. 方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基 本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代 换也可以作为推理的依据. 典例精析 现在我们就用演绎推理的方法来证明下面的判别方法: 例2　内错角相等,两直线平行. A B l1 l2 l3 (１ )２ )3 已知：如图，直线l3分别与l1、l2交于点Ａ, 点Ｂ，且∠１=∠２. 求证：l1∥l2. 你能根据图写出此定 理的已知和求证吗？ 注意:如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、 定理、性质等直接进行证明了.如果要证明一个文字语言 叙述的证明题,而没有给出图形、 已知、求证, 我们要 证明这个命题,必须: 1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形,标出字母. 2.再根据要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知 和求证. 证明：∵　∠１=∠２　 　∠3=∠2 ∴　∠1=∠３　 ∴　l１∥l２　 l1 l2 l3 A B ) 1 (2 ) 3(已知)， (对顶角相等)， (等量代换). (同位角相等,两直线平行). 三角形的外角的概念 定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这 样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫 做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 CB A D 2 问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个 外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； CB A D ∠BCE是△ABC的一 个外角，∠DCE不是 △ABC的一个外角. 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的 每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都 有6个外角． 每一个顶点相对 应的外角都有2个， 且这2个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角， CB A D 每一个三角形都有6个外角． 总结归纳 F A B C D E 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三 角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角. ∠AEC是△BEC的外角. ∠EFD是△BEF和△DCF 的外角. 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形的外角的性质 问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角 ∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 3 问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两 内角(∠A、∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方 法证明此结论吗？ D 证明：过C作CE∥AB， A B C 12 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 验证结论 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 知识要点 练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 21 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求 ∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28°， ∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 典例精析 例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于点E，构造三角形的外角，再 利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°， ∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为 三角形问题. A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接AD并延长至点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4， ∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什 么结论？ A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二：延长BD交AC于点E. ∠1=∠ABE+∠BAE， ∠BDC=∠1+∠ECD. ∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. ) 2 F 总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性 质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 如图 ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 1 2 图1 图2 解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 拓展探究 三角形的 外角大于 与它不相 邻的内角. 三角形的外角和 例3 如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它 们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他 解法吗？ 4 解法二：如图，∠BAE+∠1=180 °， ① ∠CBF +∠2=180 ° ，② ∠ACD +∠3=180 ° .③ 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+ (∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法三：过A作AM平行于BC， 所以∠3＝ ∠4 B C 1 2 3 4A ∠2＝ ∠BAM， 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°. M 所以∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM， 结论：三角形的外角和等于360°. 思考：你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么 ∠F等于 （ ） F A BE C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 3.（1）如图，∠BDC是________ 的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数. A B C D E△ADE △ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °. 解：因为∠ADC是△ABD的外角， 4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求： （1）∠B 的度数；（2）∠C的度数. 在△ABC中， ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°. 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又因为∠B=∠BAD， A B180 40 ,2B    所以 CD A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1是△FBE的外角, ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º. 5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 能力提升： 1 2 3 B A C P N M D E F 6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =________.360° 三角形 的外角 定 义 角一边必须是三角形的一边，另一 边必须是三角形另一边的延长线 性 质 三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和 三 角 形 的 外 角 和 三角形的外角和等于360 °