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- 2021-10-27 发布
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第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
14.1.3 反证法
如图,在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,(a≤b≤c)
有关系a2 +b2 =c2时,这个三角形一定是直角三角形吗?
c
a
b
A
C B
解:由a2 +b2 =c2 ,根据勾股定理的逆定
理可知∠C=90°,这个三角形一定是直角三
角形.
【问题】若将上面的条件改为“在△ABC中,AB=c,
BC=a,AC=b(a≤b≤c),a2 +b2 ≠ c2”,请问这个三角形是否
一定不是直角三角形呢?请说明理由.
c
a
b
A
C B
【探究】 (1)假设它是一个直角三角形;
(2)由勾股定理,一定有a2 +b2 =c2,与已
知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾;
(3)因此假设不成立,即它不是一个直角
三角形.
反证法
这种证明方法与前面的证明方法不同,其步骤为:
(1)先假设结论的反面是正确的;
(2)然后通过逻辑推理,得出与基本事实、已证的定理、
定义或已知条件相矛盾;
(3)从而说明假设不成立,进而得出原结论正确.
像这样的证明方法叫“反证法”.
【例1】 写出下列各结论的反面:
(1)a∥b;
(2)a≥0;
(3)b是正数;
(4)a⊥b.
a<0
b是0或负数
a不垂直于b
a不平行于b
【例2】在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B ≠ ∠ C.
A
B C
证明:假设 ,
则 ( ),
这与 矛盾,
假设不成立,
∴ .
∠B = ∠C
AB=AC 等角对等边
已知AB≠AC
∠B ≠ ∠ C
小结:
反证法的步骤:假设结论的反面成立→逻辑推理得
出矛盾→肯定原结论正确
【例3】 求证:两条直线相交只有一个交点.
已知:如图,两条相交直线a、b.
求证:a与b只有一个交点.
a
b
A●
A'●
分析:想从已知条件“两条相交直线a、b”出发,经过推
理,得出结论“a、b只有一个交点”是很困难的,因此可
以考虑用反证法.
证明:假设a与b不止一个交点,不妨假设有两个交点A和A',
因为两点确定一条直线,即经过点A和A’的直线有且只有一
条,这与已知两条直线矛盾,假设不成立.
所以两条直线相交只有一个交点.
小结:根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外,
还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
【例4】 求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于
60°.
已知:△ABC.
求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明:假设 ,
即 ,
∴ ,
这与 矛盾.假设不成立.
∴ .
△ABC中没有一个内角小于或等于60°
∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
三角形的内角和为180°
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
1.试说出下列命题的反面:
(1)a是实数; (2)a大于2;
(3)a小于2; (4)至少有2个;
(5)最多有一个; (6)两条直线平行;
2.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 .
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角,那么这个
三角形不是等腰三角形”的第一步 .
a不是实数 a小于或等于2
a大于或等于2 没有两个
一个也没有 两直线相交
假设a=b
假设这个三角形是等腰三角形
4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的
否定是( )
A.有两个内角是直角
B.有三个内角是直角
C.至少有两个内角是直角
D.没有一个内角是直角
5.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时,正确的
反设为( )
A.a、b、c都是奇数
B. a、b、c都是偶数
C. a、b、c中至少有两个偶数
D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数
C
D
6.已知:a是整数,2能整除a2.
求证:2能整除a.
证明:假设命题的结论不成立,即“2不能整除a”.
因为a是整数,故a是奇数.
不妨设a=2n+1(n是整数),
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,
∴a2是奇数,则2不能整除a2 ,这与已知矛盾.
∴假设不成立,故2能整除a.
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 任意的
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有n个
小于 至多有n个
对所有x成
立
对任何x
不成立
7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的,下面是
一些常见的关键词的否定形式.
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有(n-1)个
至少有(n+1)个
存在某个x
不成立
存在某个x成立
不等于 某个
反证法
概念
反证法证明的思路:假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待
定命题的结论
证明步骤