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  • 2021-10-27 发布

2019-2020学年四川省成都市青羊区八年级下学期期末数学试卷 (解析版)

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‎2019-2020学年四川省成都市青羊区八年级第二学期期末数学试卷 一、选择题 ‎1.下列图案中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.下列多项式分解因式正确的是(  )‎ A.a2﹣2a﹣3=a(a﹣2)﹣3 B.3ax2﹣6ax=3(ax2﹣2ax) ‎ C.m3﹣m=m(m﹣1)(m+1) D.x2+2xy﹣y2=(x﹣y)2‎ ‎3.在平面直角坐标系中,点P(﹣2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为(  )‎ A.(3,6) B.(1,3) C.(1,6) D.(6,6)‎ ‎4.若关于x的不等式(m﹣1)x>m﹣1的解集是x<1,则m的取值范围是(  )‎ A.m≠1 B.m>1 ‎ C.m<1 D.m为任何实数 ‎5.内角和为1800°的多边形是(  )‎ A.十二边形 B.十边形 C.八边形 D.七边形 ‎6.下列各式从左到右的变形,一定正确的是(  )‎ A.=﹣ ‎ B.= ‎ C.= ‎ D.=‎ ‎7.若解关于x的分式方程=1时出现了增根,则m的值为(  )‎ A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2‎ ‎8.如图,菱形ABCD边长为5cm,P为对角线BD上一点,PH⊥AB于点H,且PH=2cm,则△PBC的面积为(  )cm2.‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ ‎9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CD∥AB交BD于点D,已知∠ACB=34°,则∠D的度数为(  )‎ A.30° B.28° C.26° D.34°‎ ‎10.如图,若一次函数y=﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A,B两点,点A的坐标为(0,4),则不等式﹣2x+b<0的解集为(  )‎ A.x>2 B.x<2 C.x<4 D.x>4‎ 二、填空题:(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)‎ ‎11.若x2+mx+=(x﹣)2,则m=   .‎ ‎12.若分式的值为0,则x=   .‎ ‎13.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC边上任意一点,作BD的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F.连接DE、DF,当BC=1时,△ADE与△CDF的周长之和为   .‎ ‎14.如图,▱ABCD中,∠B=60°,AB=4,AE⊥BC于E,F为边CD上一动点,连接AF、EF,点G,H分别为AF、EF的中点,则GH的长为   .‎ 三、计算下列各题(第15题每小题12分,第16题8分,共20分)‎ ‎15.(1)解不等式组:;‎ ‎(2)解分式方程:=﹣3.‎ ‎16.先化简,再求值:÷(x﹣1﹣),其中x=﹣2.‎ 四、解答题(17、18,19每小题8分、20题10分,共34分)‎ ‎17.△ABC在平面直角坐标系中如图:‎ ‎(1)画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1,并写出A1点的坐标;‎ ‎(2)画出△A1B1C1关于原点成中心对称的△A2B2C2,并直接写出△AA1A2的面积.‎ ‎18.如图,在四边形ABCD中,点E和点F是对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE ‎,且DF∥BE.‎ ‎(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;‎ ‎(2)若∠CEB=2∠EBA,BE=3,EF=2,求AC的长.‎ ‎19.新冠肺炎疫情期间,成都江安河社区有甲、乙两个医疗用品公司,免费为医院加工同种型号的防护服.甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍,两厂各加工600套防护服,甲厂比乙厂要少用4天.求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服?‎ ‎20.如图1,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=6cm,BD=8cm,分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E.‎ ‎(1)判断四边形BOCE的形状并证明;‎ ‎(2)点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒,连接BG,当S△ABG=2S△OBG时,求t的值.‎ ‎(3)如图2,长度为3cm的线段GH在射线AC上运动,求BG+BH的最小值.‎ 一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)‎ ‎21.若x﹣2y=3,xy=1,则2x2y﹣4xy2=   .‎ ‎22.若关于x的分式方程=的解为非负数,则实数a的取值范围是   .‎ ‎23.已知关于x的不等式组有且只有2个整数解,且a为整数,则a的值为   ‎ ‎.‎ ‎24.如图,正方形ABCD边长为2,F为BC上一动点,作DE⊥AF于E,连接CE.当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时,DE的长为   .‎ ‎25.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,E为BC边上一动点,作EF⊥AE,且EF=AE.连接DF,AF.当DF⊥EF时,△ADF的面积为   .‎ 二、解答题(26题8分,27题10分,28题12分,共30分)‎ ‎26.某工厂计划生产A、B两种产品共10件,其生产成本和利润如下表:‎ A种产品 B种产品 成本(万元/件)‎ ‎2‎ ‎5‎ 利润(万元/件)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎(1)若工厂计划获利14万元,问A、B两种产品应分别生产多少件?‎ ‎(2)若工厂计划投入资金不多于35万元,且获利多于14万元,问工厂有哪几种生产方案?‎ ‎(3)在(2)的条件下,哪种生产方案获利最大?并求出最大利润.‎ ‎27.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转,连接AF与CE相交于点G,连接DG.‎ ‎(1)求证:CE⊥AF;‎ ‎(2)求证:AG+CG=DG;‎ ‎(3)连接CF,当EG:AG:FG=l:2:5,且S正方形ABCD=100时,求DG的长和△BCF 的面积.‎ ‎28.如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知直线AB:y=﹣x+3与直线CD:y=kx﹣2相交于点M (4,a),分别交坐标轴于点A、B、C、D,点P是线段CD延长线上的一个点,△PBM的面积为15.‎ ‎(1)求直线CD解析式和点P的坐标;‎ ‎(2)在(1)的条件下,平面直角坐标系内存在点N,使得以点B、N,M、P为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点N的坐标;‎ ‎(3)如图2,当点P为直线CD上的一个动点时,将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接PQ与OQ.点Q随着点P的运动而运动,请求出点Q运动所形成直线的解析式,以及OQ的最小值.‎ 参考答案 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.下列图案中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解.‎ 解:A、不是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项不符合题意;‎ B、既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项不符合题意;‎ C、是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项不符合题意;‎ D、既是中心对称图形,又是轴对称图形,故本选项符合题意.‎ 故选:D.‎ ‎2.下列多项式分解因式正确的是(  )‎ A.a2﹣2a﹣3=a(a﹣2)﹣3 B.3ax2﹣6ax=3(ax2﹣2ax) ‎ C.m3﹣m=m(m﹣1)(m+1) D.x2+2xy﹣y2=(x﹣y)2‎ ‎【分析】直接利用十字相乘法以及公式法分别分解因式得出答案.‎ 解:A、a2﹣2a﹣3=a(a﹣2)﹣3,不符合因式分解的定义,故此选项错误;‎ B、3ax2﹣6ax=3ax(x﹣2),故此选项错误;‎ C、m3﹣m=m(m﹣1)(m+1),正确;‎ D、x2+2xy﹣y2,无法运用完全平方公式分解因式,故此选项错误;‎ 故选:C.‎ ‎3.在平面直角坐标系中,点P(﹣2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为(  )‎ A.(3,6) B.(1,3) C.(1,6) D.(6,6)‎ ‎【分析】让横坐标加3,纵坐标不变即可得到所求的坐标.‎ 解:平移后的横坐标为﹣2+3=1,‎ 纵坐标为3,‎ ‎∴点P(﹣2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为(1,3),‎ 故选:B.‎ ‎4.若关于x的不等式(m﹣1)x>m﹣1的解集是x<1,则m的取值范围是(  )‎ A.m≠1 B.m>1 ‎ C.m<1 D.m为任何实数 ‎【分析】根据不等式的基本性质3,两边都除以m﹣1后得到x<1,可知m﹣1<0,解之可得.‎ 解:∵将不等式(m﹣1)x>m﹣1两边都除以(m﹣1),得x<1,‎ ‎∴m﹣1<0,‎ 解得:m<1,‎ 故选:C.‎ ‎5.内角和为1800°的多边形是(  )‎ A.十二边形 B.十边形 C.八边形 D.七边形 ‎【分析】首先设这个多边形是n边形,然后根据题意得:(n﹣2)×180=1800,解此方程即可求得答案.‎ 解:设这个多边形是n边形,‎ 根据题意得:(n﹣2)×180=1800,‎ 解得:n=12.‎ 故这个多边形是十二边形.‎ 故选:A.‎ ‎6.下列各式从左到右的变形,一定正确的是(  )‎ A.=﹣ ‎ B.= ‎ C.= ‎ D.=‎ ‎【分析】根据分式的基本性质对各个选项进行判断.‎ 解:A、,故A错误;‎ B、分子、分母同时扩大10倍,结果不变,则,故B错误;‎ C、a=1,b=2时,此时原式不成立,故C错误;‎ D、分子、分母都除以a+3,值不变,故D正确.‎ 故选:D.‎ ‎7.若解关于x的分式方程=1时出现了增根,则m的值为(  )‎ A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2‎ ‎【分析】由分式方程的最简公分母为x﹣2,且分式方程有增根知增根为x=2,将x=2代入去分母后所得整式方程,解之可得答案.‎ 解:方程两边都乘以x﹣2,得:2x+m=x﹣2,‎ ‎∵分式方程有增根,‎ ‎∴分式方程的增根为x=2,‎ 将x=2代入2x+m=x﹣2,得:4+m=0,‎ 解得m=﹣4,‎ 故选:A.‎ ‎8.如图,菱形ABCD边长为5cm,P为对角线BD上一点,PH⊥AB于点H,且PH=2cm,则△PBC的面积为(  )cm2.‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ ‎【分析】利用菱形的对角线平分对角和角平分线的性质得到点P到BC边的距离=PH,然后由三角形的面积公式解答.‎ 解:如图,过点P作PM⊥BC于点M.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,BD是对角线,‎ ‎∴直线BD平分∠ABC.‎ 又∵PH⊥AB,‎ ‎∴PH=PM=2cm.‎ ‎∴S△PBC=BC•PH=×5×2=5(cm2).‎ 故选:D.‎ ‎9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CD∥AB交BD于点D,已知∠ACB=34°,则∠D的度数为(  )‎ A.30° B.28° C.26° D.34°‎ ‎【分析】先由三角形内角和定理求得∠ABC,再由角平分线定义求得∠ABD,最后由平行线的性质求得∠D.‎ 解:∵∠BAC=90°,∠ACB=34°,‎ ‎∴∠ABC=180°﹣90°﹣34°=56°,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABD=∠ABC=28°,‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴∠D=∠ABD=28°,‎ 故选:B.‎ ‎10.如图,若一次函数y=﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A,B两点,点A的坐标为(0,4),则不等式﹣2x+b<0的解集为(  )‎ A.x>2 B.x<2 C.x<4 D.x>4‎ ‎【分析】首先把A点坐标代入一次函数解析式,算出b的值,进而可求出B点坐标,再结合图象可得不等式﹣2x+b<0的解集.‎ 解:∵一次函数y=﹣2x+b的图象过A(0,4),‎ ‎∴b=4,‎ ‎∴函数解析式为y=﹣2x+4,‎ 当y=0时,x=2,‎ ‎∴B(2,0),‎ ‎∴不等式﹣2x+b<0的解集为x>2,‎ 故选:A.‎ 二、填空题:(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)‎ ‎11.若x2+mx+=(x﹣)2,则m= ﹣3 .‎ ‎【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简,再利用多项式相等的条件确定出m的值即可.‎ 解:x2+mx+=(x﹣)2=x2﹣3x+,‎ 则m=﹣3.‎ 故答案为:﹣3.‎ ‎12.若分式的值为0,则x= ﹣2 .‎ ‎【分析】利用分式值为零的条件进行计算即可.‎ 解:由题意得:x(x+2)=0且x≠0,‎ 解得:x=﹣2,‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎13.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC边上任意一点,作BD的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F.连接DE、DF,当BC=1时,△ADE与△CDF 的周长之和为 2+ .‎ ‎【分析】由等腰直角三角形的性质得出AC=BC=1,AB=BC=,由线段垂直平分线的性质得出BE=DE,BF=DF,即可得出△ADE与△CDF的周长之和.‎ 解:∵△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎∴AC=BC=1,AB=BC=,‎ ‎∵EF是BD的垂直平分线,‎ ‎∴BE=DE,BF=DF,‎ ‎∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BE+AE=AD+AB,△CDF的周长=CD+CF+DF=CD+CF+BF=CD+BC,‎ ‎∴△ADE与△CDF的周长之和=AD+AB+CD+BC=AC+AB+BC=2+;‎ 故答案为:2+.‎ ‎14.如图,▱ABCD中,∠B=60°,AB=4,AE⊥BC于E,F为边CD上一动点,连接AF、EF,点G,H分别为AF、EF的中点,则GH的长为  .‎ ‎【分析】根据含30°的直角三角形的性质得出AE,进而利用三角形中位线得出GH即可.‎ 解:∵∠B=60°,AB=4,AE⊥BC于E,‎ ‎∴AE=2,‎ ‎∵点G,H分别为AF、EF的中点,‎ ‎∴GH=,‎ 故答案为:.‎ 三、计算下列各题(第15题每小题12分,第16题8分,共20分)‎ ‎15.(1)解不等式组:;‎ ‎(2)解分式方程:=﹣3.‎ ‎【分析】(1)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.‎ ‎(2)关键解分式方程的步骤解答即可.‎ 解:(1),‎ 解不等式①,得x≥﹣1,‎ 解不等式②,得x<3,‎ 所以原不等式组的解集为﹣1≤x<3;‎ ‎(2)=﹣3,‎ 方程两边同乘x﹣2,得:1=x﹣1﹣3(x﹣2),‎ 解这个方程,得:x=2,‎ 因为分式的分母x﹣2≠0,‎ 所以x=2是原分式方程的增根,原分式方程无解.‎ ‎16.先化简,再求值:÷(x﹣1﹣),其中x=﹣2.‎ ‎【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算,再把分子分母因式分解,则约分得到原式=,然后把x的值代入计算即可.‎ 解:原式=÷‎ ‎=•‎ ‎=,‎ 当x=﹣2时,原式==.‎ 四、解答题(17、18,19每小题8分、20题10分,共34分)‎ ‎17.△ABC在平面直角坐标系中如图:‎ ‎(1)画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1,并写出A1点的坐标;‎ ‎(2)画出△A1B1C1关于原点成中心对称的△A2B2C2,并直接写出△AA1A2的面积.‎ ‎【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1、C1即可;‎ ‎(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标,然后描点得到△A2B2C2,再利用等腰直角三角形的性质计算△AA1A2的面积.‎ 解:(1)如图,△A1B1C1为所作,A1点的坐标为(﹣3,2);‎ ‎(2)如图,△A2B2C2为所作;‎ ‎△AA1A2的面积=×()2=13.‎ ‎18.如图,在四边形ABCD中,点E和点F是对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,且DF∥BE.‎ ‎(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;‎ ‎(2)若∠CEB=2∠EBA,BE=3,EF=2,求AC的长.‎ ‎【分析】(1)证△ADF≌△CBE(SAS),得到AD=CB,∠DAF=∠BCE,证出AD∥CB,即可得到结论;‎ ‎(2)证∠EAB=∠EBA,得出AE=BE=3,则CF=AE=3,即可得出答案.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AE=CF,‎ ‎∴AE+EF=CF+EF,‎ 即AF=CE,‎ ‎∵DF∥BE,‎ ‎∴∠DFA=∠BEC,‎ 在△ADF和△CBE中,,‎ ‎∴△ADF≌△CBE(SAS),‎ ‎∴AD=CB,∠DAF=∠BCE,‎ ‎∴AD∥CB,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形;‎ ‎(2)解:∵∠CEB=∠EBA+∠EAB=2∠EBA,‎ ‎∴∠EAB=∠EBA,‎ ‎∴AE=BE=3,‎ ‎∴CF=AE=3,‎ ‎∴AC=AE+EF+CF=3+2+3=8.‎ ‎19.新冠肺炎疫情期间,成都江安河社区有甲、乙两个医疗用品公司,免费为医院加工同种型号的防护服.甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍,两厂各加工600套防护服,甲厂比乙厂要少用4天.求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服?‎ ‎【分析】设乙厂每天加工x套防护服,则甲厂每天加工1.5x套防护服,根据“两厂各加工600套防护服,甲厂比乙厂要少用4天”列出方程并解答.‎ 解:设乙厂每天加工x套防护服,则甲厂每天加工1.5x套防护服,‎ 根据题意,得﹣=4,‎ 解得x=50,‎ 经检验:x=50是所列方程的解,‎ 则1.5x=75.‎ 答:甲厂每天加工75套防护服,乙厂每天加工50套防护服.‎ ‎20.如图1,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=6cm,BD=8cm,分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E.‎ ‎(1)判断四边形BOCE的形状并证明;‎ ‎(2)点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒,连接BG,当S△ABG=2S△OBG时,求t的值.‎ ‎(3)如图2,长度为3cm的线段GH在射线AC上运动,求BG+BH的最小值.‎ ‎【分析】(1)结论:四边形BOCE是矩形.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可.‎ ‎(2)分两种情形构建方程求解即可.‎ ‎(3)如图2中,设OG=x,则BG+BH=+,欲求BG+BH的最小值,相当于在x轴上找一点P(x,0),使得点P(x,0)到A(0,4和B(3,4)的距离最小,如图3中,利用轴对称解决最值问题即可.‎ 解:(1)结论:四边形BOCE是矩形.‎ 理由:∵BE∥OC,EC∥OB,‎ ‎∴四边形OBEC是平行四边形,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∴∠BOC=90°,‎ ‎∴四边形BOCE是矩形.‎ ‎(2)如图2中,∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴OA=OC=3cm,OB=OD=4cm,‎ ‎∵S△ABG=2S△OBG,‎ ‎∴AG=2OG,‎ ‎∴2t=2(3﹣2t)或2t=2(2t﹣3),‎ 解得t=1或t=3,‎ ‎∴满足条件的t的值为1或3.‎ ‎(3)如图2中,设OG=x,则BG+BH=+,‎ 欲求BG+BH的最小值,相当于在x轴上找一点P(x,0),使得点P(x,0)到A(0,4和B(3,4)的距离最小,如图3中,‎ 作点B关于x轴的对称点B′,连接AB′交x轴于P,连接BP,此时PA+PB的值最小,‎ ‎∵A(0,4),B′(3,﹣4),‎ ‎∴AP+PB=AP+PB′=AB′==,‎ ‎∴BG+BH的最小值为.‎ 一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)‎ ‎21.若x﹣2y=3,xy=1,则2x2y﹣4xy2= 6 .‎ ‎【分析】原式提取公因式,把已知等式代入计算即可求出值.‎ 解:∵x﹣2y=3,xy=1,‎ ‎∴原式=2xy(x﹣2y)=2×1×3=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎22.若关于x的分式方程=的解为非负数,则实数a的取值范围是 a≥且a≠4 .‎ ‎【分析】表示出分式方程的解,由解为非负数确定出a的范围即可.‎ 解:去分母得:6x﹣3a=x﹣2,‎ 解得:x=,‎ 由分式方程的解为非负数,得到≥0,且≠2,‎ 解得:a≥且a≠4.‎ 故答案为:a≥且a≠4.‎ ‎23.已知关于x的不等式组有且只有2个整数解,且a为整数,则a的值为 5 .‎ ‎【分析】解不等式组得出其解集为3≤x<a,根据不等式组只有2个整数解知4<a≤5,结合a为整数可得答案.‎ 解:解不等式x﹣a<0,得:x<a,‎ 解不等式9﹣2x≤3,得:x≥3,‎ 则不等式组的解集为3≤x<a,‎ ‎∵不等式组只有2个整数解,‎ ‎∴不等式组的整数解为3和4,‎ 则4<a≤5,‎ 又a为整数,‎ ‎∴a=5,‎ 故答案为:5.‎ ‎24.如图,正方形ABCD边长为2,F为BC上一动点,作DE⊥AF于E,连接CE.当△CDE 是以CD为腰的等腰三角形时,DE的长为  .‎ ‎【分析】作辅助线,构建全等三角形,先确定当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时,只存在一种情况:CD=CE,由等腰三角形三线合一得DG=EG,证明△AED≌△DGC(AAS),AE=DG=DE,设AE=x,则DE=2x,在Rt△AED中,由勾股定理得:AE2+DE2=AD2,列方程可得结论.‎ 解:过C作CG⊥DE于G,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=CD,∠ADC=90°,‎ ‎∵DE⊥AF,‎ ‎∴∠AED=90°,‎ ‎∴AD>DE,‎ ‎∴CD>DE,‎ 当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时,只能CD=CE,‎ ‎∵CG⊥DE,‎ ‎∴EG=DG=DE,‎ ‎∵∠ADE+∠CDG=∠ADE+∠DAE=90°,‎ ‎∴∠CDG=∠DAE,‎ ‎∵∠AED=∠CGD=90°,‎ ‎∴△AED≌△DGC(AAS),‎ ‎∴AE=DG=DE,‎ 设AE=x,则DE=2x,‎ 在Rt△AED中,由勾股定理得:AE2+DE2=AD2,‎ ‎∵AD=2,‎ ‎∴x2+(2x)2=22,‎ 解得:x=,‎ ‎∵x>0,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴DE=2x=,‎ 故答案为:.‎ ‎25.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,E为BC边上一动点,作EF⊥AE,且EF=AE.连接DF,AF.当DF⊥EF时,△ADF的面积为 3﹣ .‎ ‎【分析】作辅助线,构建全等三角形和矩形,利用面积法可得AE的长,根据勾股定理可得BE的长,设AE=x,证明△ABE≌△EQF(AAS),得FQ=BE=,最后根据三角形面积公式可得结论.‎ 解:如图,过D作DH⊥AE于H,过E作EM⊥AD于M,连接DE,‎ ‎∵EF⊥AE,DF⊥EF,‎ ‎∴∠DHE=∠HEF=∠DFE=90°,‎ ‎∴四边形DHEF是矩形,‎ ‎∴DH=EF=AE,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠B=∠BAD=90°,‎ ‎∵∠AME=90°,‎ ‎∴四边形ABEM是矩形,‎ ‎∴EM=AB=2,‎ 设AE=x,‎ 则S△ADE=,‎ ‎∴3×2=x2,‎ ‎∴x=±,‎ ‎∵x>0,‎ ‎∴x=,‎ 即AE=,‎ 由勾股定理得:BE==,‎ 过F作PQ∥CD,交AD的延长线于P,交BC的延长线于Q,‎ ‎∴∠Q=∠ECD=∠B=90°,∠P=∠ADC=90°,‎ ‎∵∠BAE+∠AEB=∠AEF=∠AEB+∠FEQ=90°,‎ ‎∴∠FEQ=∠BAE,‎ ‎∵AE=EF,∠B=∠Q=90°,‎ ‎∴△ABE≌△EQF(AAS),‎ ‎∴FQ=BE=,‎ ‎∴PF=2﹣,‎ ‎∴S△ADF===3﹣.‎ 二、解答题(26题8分,27题10分,28题12分,共30分)‎ ‎26.某工厂计划生产A、B两种产品共10件,其生产成本和利润如下表:‎ A种产品 B种产品 成本(万元/件)‎ ‎2‎ ‎5‎ 利润(万元/件)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎(1)若工厂计划获利14万元,问A、B两种产品应分别生产多少件?‎ ‎(2)若工厂计划投入资金不多于35万元,且获利多于14万元,问工厂有哪几种生产方案?‎ ‎(3)在(2)的条件下,哪种生产方案获利最大?并求出最大利润.‎ ‎【分析】(1)设生产A种产品x件,则生产B种产品有(10﹣x)件,根据计划获利14万元,即两种产品共获利14万元,即可列方程求解;‎ ‎(2)根据计划投入资金不多于35万元,且获利多于14万元,这两个不等关系即可列出不等式组,求得x的范围,再根据x是非负整数,确定x的值,x的值的个数就是方案的个数;‎ ‎(3)得出利润y与A产品数量x的函数关系式,根据增减性可得,B产品生产越多,获利越大,因而B取最大值时,获利最大,据此即可求解.‎ 解:(1)设生产A种产品x件,则生产B种产品(10﹣x)件,‎ 依题意得:x+3(10﹣x)=14,‎ 解得 x=8,‎ 则10﹣x=2,‎ 答:生产A产品8件,生产B产品2件;‎ ‎(2)设生产A产品y件,则生产B产品(10﹣y)件 ‎,‎ 解得:5≤y<8.‎ 因为x为正整数,故x=5,6或7;‎ 方案①,A种产品5件,则B种产品5件;‎ 方案②,A种产品6件,则B种产品4件;‎ 方案③,A种产品7件,则B种产品3件,‎ ‎(3)设A种产品x件时,获得的利润为W万元,则 W=x+3(10﹣x)=﹣2x+30,‎ 因为﹣2<0,所以W随x的增大而减小,‎ 所以,当x=5时,W取得最大值为20,‎ 所以,生产方案①获利最大,最大利润为20万元.‎ ‎27.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转,连接AF与CE相交于点G,连接DG.‎ ‎(1)求证:CE⊥AF;‎ ‎(2)求证:AG+CG=DG;‎ ‎(3)连接CF,当EG:AG:FG=l:2:5,且S正方形ABCD=100时,求DG的长和△BCF的面积.‎ ‎【分析】(1)证明△FBA≌△EBC(SAS)即可解决问题.‎ ‎(2)过点D作DM⊥GA的延长线于M,过点D作DN⊥CG于N.证明△DMA≌△DNC(AAS),推出DM=DN,AM=CN,推出四边形DMGN是正方形,可得结论.‎ ‎(3)可以假设EG=k,AG=2k,FG=5k,利用勾股定理求出k,求出CG,EB,过点F作FK⊥CB交CB的延长线于K,过点E作EH⊥CK于H.设EH=x,BH=y,利用勾股定理构建方程组求出x,y即可解决问题.‎ ‎【解答】(1)证明:设AF交BE于J.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴BA=BC,∠ABC=90°,‎ ‎∵△EBF是等腰直角三角形,‎ ‎∴BE=BF,∠EBF=∠ABC=90°,‎ ‎∴∠FBA=∠EBC,‎ ‎∴△FBA≌△EBC(SAS),‎ ‎∴∠AFB=∠BEC,‎ ‎∵∠FJB=∠EJG,‎ ‎∴∠EGJ=∠FBJ=90°,‎ ‎∴CE⊥AF.‎ ‎(2)证明:如图,过点D作DM⊥GA的延长线于M,过点D作DN⊥CG于N.‎ ‎∵∠M=∠MGN=∠DNG=90°,‎ ‎∴四边形DMGN是矩形,‎ ‎∴∠DMN=∠ADC=90°,‎ ‎∴∠ADM=∠CDN,‎ ‎∵∠M=∠DNC=90°,DA=DC,‎ ‎∴△DMA≌△DNC(AAS),‎ ‎∴DM=DN,AM=CN,‎ ‎∴四边形DMGN是正方形,‎ ‎∴GM=GN=DM=DN,‎ ‎∴AG+CG=GM﹣AM+GN﹣CN=2GM,‎ ‎∵DG=GM,‎ ‎∴AG+CG=DG.‎ ‎(3)解:∵EG:AG:FG=l:2:5,‎ ‎∴可以假设EG=k,AG=2k,FG=5k,‎ ‎∵△FBA≌△EBC,‎ ‎∴EC=AF=7k,CG=6k,‎ ‎∵正方形ABCD的面积为100,‎ ‎∴AB=BC=10,‎ ‎∵∠ABC=90°,‎ ‎∴AC===10,‎ ‎∵∠AGC=90°,‎ ‎∴AG2+CG2=AC2,‎ ‎∴4k2+36k2=200,‎ ‎∴k=(负根已经舍弃),‎ ‎∴AG=2,CG=6,‎ ‎∵AG+CG=DG,‎ ‎∴DG=4,‎ 过点F作FK⊥CB交CB的延长线于K,过点E作EH⊥CK于H.设EH=x,BH=y,‎ ‎∵EF==,‎ ‎∴EB=BF=EF=,‎ 由勾股定理可知,解得,‎ ‎∵∠FKB=∠EHB=90°,∠FBK=∠BEH,BE=BF,‎ ‎∴△FKB≌△BHE(AAS),‎ ‎∴FK=BH=4,‎ ‎∴S△BFC=•BC•FK=20.‎ ‎28.如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知直线AB:y=﹣x+3与直线CD:y=kx﹣2相交于点M (4,a),分别交坐标轴于点A、B、C、D,点P是线段CD延长线上的一个点,△PBM的面积为15.‎ ‎(1)求直线CD解析式和点P的坐标;‎ ‎(2)在(1)的条件下,平面直角坐标系内存在点N,使得以点B、N,M、P为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点N的坐标;‎ ‎(3)如图2,当点P为直线CD上的一个动点时,将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ ‎,连接PQ与OQ.点Q随着点P的运动而运动,请求出点Q运动所形成直线的解析式,以及OQ的最小值.‎ ‎【分析】(1)PBM的面积=S△BDM+S△BDP=×BD×(xM﹣xP)=×(3+2)(4﹣xP)=15,即可求解;‎ ‎(2)分PB为边、PB为对角线两种情况,分别求解即可;‎ ‎(3)证明△BGP≌△QHB(AAS),求出点Q(5﹣m,3+m),当OQ⊥SR时,OQ最小,即可求解.‎ 解:(1)将点M的坐标代入y=﹣x+3并解得:a=1,故点M(4,1),‎ 将点M的坐标代入y=kx﹣2并解得:k=,‎ 故直线CD的表达式为:y=x﹣2,则点D(0,﹣2),‎ PBM的面积=S△BDM+S△BDP=×BD×(xM﹣xP)=×(3+2)(4﹣xP)=15,‎ 解得:xP=﹣2,故点P(﹣2,﹣);‎ ‎(2)设点N(m,n),而点P、B、M的坐标分别为(﹣2,﹣)、(0,3)、(4,1);‎ 当PB为边时,‎ 点P向右平移2个单位向上平移个单位得到点B,同样点M(N)向右平移2个单位向上平移个单位得到点N(M),‎ 故4±2=m,1±=n,‎ 解得:m=6或2,n=或﹣;‎ 故点N的坐标为(6,)或(2,﹣);‎ 当PB为对角线时,‎ 由中点公式得:﹣2+0=m+4,﹣+3=n+1,‎ 解得:m=﹣6,n=﹣,故点N(﹣6,﹣1.5);‎ 综上,点N的坐标为(6,7.5)或(2,﹣5.5)或(﹣6,﹣1.5);‎ ‎(3)如下图,分别过点P、Q作y轴的垂线,垂足为G、H,‎ 设点P(m,m﹣2),‎ ‎∵∠HQB+∠HBQ=90°,∠HBQ+∠GBP=90°,‎ ‎∴∠HQB=∠GBP,∠QHB=∠BGP=90°,‎ BP=BQ,‎ ‎∴△BGP≌△QHB(AAS),‎ ‎∴HQ=GB,HB=GP=m,‎ 故HQ=BG=3﹣(m﹣2)=5﹣m,OH=OB+BH=m+3,‎ 故点Q(5﹣m,3+m),‎ 令x=5﹣m,y=3+m,‎ 则y=﹣x+,设该直线与坐标轴的交点分别为R、S,则R(,0)、S(0,),‎ 即OR=,OS=,‎ 当OQ⊥SR时,OQ最小,‎ 则S△ORS=×OR×OS=×OQ×SR,‎ 即×=OQ×,‎ 解得:OQ=,‎ 即OQ的最小值为.‎

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