华师版数学八年级下册同步课件-第18章 平行四边形-18平行四边形的判定 25页

第18章 平行四边形 18.2 平行四边形的判定 第2课时 平行四边形的判定定理3 平行四边形的对角相等. 平行四边形的对角线互相平分. 角： 对角线： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪 些性质？ 问题1 上面的两条条性质的逆命题各是什么？问题2 我们得到的这些逆命题是否都成立？这节课我 们一起探讨一下吧. 思考 如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉 固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四 边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平 行四边形吗？ B D O A C 猜想：四边形ABCD一直是一个平行四边形. 你能根据平行 四边形的定义 证明它们吗？ 1 平行四边形的判定定理3 问题 A B C D O 已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD. 求证：四边 形ABCD是平行四边形. 证明： 在△AOB和△COD中, OA=OC (已知)， OB=OD (已知)， ∠AOB=∠COD (对顶角相等)， ∴△AOB≌△COD(SAS)， ∴ ∠BAO=∠OCD , ∴AB∥ CD , ∴四边形ABCD是平行四边形. 同理可证AD∥ BC 证一证 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO, ∴四边形ABCD是平行四边形. B O DA C ★平行四边形的判定定理3 B O DA C E F 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AO=CO,BO=DO. ∵AE=CF ， ∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF. 又∵BO=DO， ∴四边形BFDE是平行四边形. 例1 1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是 ( ) A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分 C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行 2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O. 如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm, BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形. B O DA C C 4 5 练一练 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形. A B C D A=∠C，∠B=∠D， ∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°， ∴2∠A+2∠B=360°， 即∠A+∠B=180°， ∴ AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 同理得 AB∥ CD， 证明： 2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 例2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D, ∴四边形ABCD是平行四边形. B DA C ★平行四边形的判定定理 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°， ∠1＝85°，∠2＝40°. (1)求∠D的度数； (2)求证：四边形ABCD是平行四边形． (1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°， ∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°. 例3 (2)证明：∵AB∥DC， ∴∠2＝∠CAB， ∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°. ∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°， ∴∠DCB＝∠DAB＝125°. 又∵∠D＝∠B＝55°， ∴四边形ABCD是平行四边形． 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°， ∠1＝85°，∠2＝40°. (2)求证：四边形ABCD是平行四边形． 例3 1.判断下列四边形是否为平行四边形： A D CB 110° 70° 110° A B C D 120° 60° 是 不是 2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件： ∠A:∠B:∠C:∠D的值为 （　　） A. 1:2:3:4 B. 1:4:2:3 C. 1:2:2:1 D. 3:2:3:2 D 练一练 卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几 根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选， 请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四 边形木框，为什么？ 7cm 4cm 3cm 3cm 5cm 4cm 阅读与思考 4cm4cm 4cm 4cm 3cm3cm 3cm3cm 发现：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不 一定是平行四边形.两组边相等的四边形也不一定是 平行四边形. 3cm 4cm 4cm 7cm 从边考虑 两组对边分别平行的四边形 是平行四边形(定义法) 一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形(判定定理2) 两组对边分别相等的四边形是 平行四边形（判定定理1） 从角考虑 从对角线考虑 平 行 四 边 形 的 判 定 方 法 两组对角分别相等的四边形是 平行四边形（定义拓展） 对角线互相平分的四边形是平 行四边形（判定定理3） ★平行四边形的判定方法总结 A B C D E F 证明：∵四边形AEFD和EBCF 都是平行四边形， ∴AD EF，EF BC. ∴AD BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. //= //=//= 四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四 边形ABCD 是平行四边形. 3 平行四边形的性质与判定的综合应用 例4 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列 四个条件：①AE=CF；②DE=BF； ③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判 定四边形DEBF是平行四边形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例5 解析:由平行四边形的判定方法可知：若是四边形 的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四 边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④ 可以，故选B． 如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO， E、F分别是OC、OD的中点．求证： (1)△AOC≌△BOD； (2)四边形AFBE是平行四边形． 练一练 证明：(1)∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D. 又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ， ∴△AOC≌△BOD(AAS). (2)∵△AOC≌△BOD， ∴CO＝DO. ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EO＝FO. 又∵AO＝BO， ∴四边形AFBE是平行四边形． 1.判断对错. (1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) (2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边 形一定是平行四边形. ( ) (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( ) (4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四 边形. ( ) (5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行 四边形. ( ) √ × × × √ 2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组 条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD B O DA C B 3.如图，五边形ABCDE是正五边形，连结BD、CE， 交于点P． 求证：四边形ABPE是平行四边形． 证明：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴正五边形的每个内角的度数是 AB=BC=CD=DE=AE， ∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°， 同理∠CBD=∠CDB=36°， ∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°， ∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A， ∴四边形ABPE是平行四边形． A B C D EP  5 2 180 108 ,5     1 2 4.如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意 一点，分别作DF∥AB交AC于点F，DE∥AC交AB 于点E，求DE+DF的值． 解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE=AF. 又∵AB=AC=10， ∴∠B=∠C. ∵DF∥AB， ∴∠CDF=∠B， ∴∠CDF=∠C， ∴DF=CF， ∴DE+DF=AF+FC=AC=10． 从边考虑 两组对边分别平行的四边形 是平行四边形(定义法) 一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形(判定定理2) 两组对边分别相等的四边形是 平行四边形（判定定理1） 从角考虑 从对角线考虑 平 行 四 边 形 的 判 定 方 法 两组对角分别相等的四边形是 平行四边形（定义拓展） 对角线互相平分的四边形是平 行四边形（判定定理3）