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- 2021-10-27 发布
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11.2.2
三角形的外角
第十一章 三角形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
11.2
与
三角形有关的角
八年级数学上(RJ)
教学课件
情境引入
学习目标
1.
理解并掌握三角形的外角的概念.
2.
能够
在能够复杂图形中找出外角
.
(难点)
3.
掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和及三角形的内角和.(重点)
4.
会利用三角形的外角性质解决问题
.
导入新课
复习引入
1.
在
△
ABC
中,
∠
A
=80°, ∠
B
=52°,
则
∠
C
=
.
3.
什么是三角形的内角?其内角和等于多少?
48 °
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角,
它们的和是
180 °.
2.
如图,在
△
ABC
中,
∠
A
=70°,
∠
B
=60°,
则
∠
ACB
=
,∠
ACD
=
.
A
B
C
D
50 °
130°
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
?
●
●
●
问题:
发现懒羊羊独自在
O
处游玩后,灰太狼打算用迂回的方式,先从
A
前进到
C
处,然后再折回到
B
处截住
懒羊羊
返回羊村的去路,红太狼则直接在
A
处拦截
懒羊羊
,已知∠
BAC
=40°
, ∠
ABC
=70°.
灰太狼从
C
处要转多少度角才能直达
B
处?
利用
“
三角形的内角和为
180
°
”
来求
∠
BCD
,你会吗?
思考:
像
∠
BCD
这样的角有什么特征吗?猜想它的性质
.
这节课让我们一起来探讨吧
.
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
?
●
●
●
由三角形内角和易得
∠
BCA
=180
°-
∠
A
-
∠
CBA
=70
°,
所以
∠
BCD
=
180
°-
∠
BCA=
110
°
.
讲授新课
三角形的外角的概念
一
定义
如图,把
△
ABC
的一边
BC
延长
,
得到
∠
ACD
,
像这样
,
三角形的一边与另一边的
延长线
组成的角,叫做
三角形的外角
.
∠
ACD
是
△
ABC
的一个外角
C
B
A
D
问题
1
如图,延长
AC
到
E
,
∠
BCE
是不是△
ABC
的一个外角?∠
DCE
是不是△
ABC
的一个外角?
E
在三角形每个顶点处都有两个外角
.
∠
ACD
与∠
BCE
为对顶角
,
∠
ACD
=
∠
BCE
;
C
B
A
D
∠
BCE
是△
ABC
的一个外角,∠
DCE
不是△
ABC
的一个外角
.
问题
2
如图,∠
ACD
与∠
BCE
有什么关系?在三角形的每个顶点处有多少个外角?
A
B
C
画一画
画出△
ABC
的所有外角,共有几个呢
?
每一个三角形都有
6
个外角.
每一个顶点相对应的外角都有
2
个,且这
2
个角
为对顶角
.
三角形的外角应具备的条件:
①角的顶点是三角形的顶点;
②角的一边是三角形的一边;
③另一边是三角形中一边的延长线
.
∠
ACD
是
△
ABC
的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有
6
个外角.
总结归纳
F
A
B
C
D
E
如图
,
∠
BEC
是哪个三角形的外角?
∠
AEC
是哪个三角形的外角?
∠
EFD
是哪个三角形的外角?
∠BEC
是△
AEC
的外角
;
∠AEC
是△
BEC
的外角
;
∠EFD
是
△
BEF
和△
DCF
的外角
.
练一练
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
三角形的外角的性质
二
问题
1
如图,△
ABC
的外角
∠
BCD
与其相邻的内角
∠
ACB
有什么关系?
∠
BCD
与
∠
ACB
互补
.
问题
2
如图,△
ABC
的外角
∠
BCD
与其不相邻的两内角
(∠
A
,
∠
B
)
有什么关系?
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵
∠
A
+∠
B
+
∠
ACB
=180
°,
∠
BCD
+∠
ACB
=
180
°,
∴∠
A
+∠
B
=∠
BCD
.
你能用作平行线的方法证明此结论吗?
D
证明:过
C
作
CE
平行于
AB
,
A
B
C
1
2
∴
∠
1=
∠
B
,
(两直线平行,同位角相等)
∠
2=
∠
A
,
(两直线平行,内错角相等)
∴
∠
ACD
=
∠
1+
∠
2=
∠
A
+
∠
B
.
E
已知:如图,△
ABC
,求证:
∠
ACD
=∠
A
+∠
B
.
验证结论
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
.
应用格式:
∵ ∠
ACD
是
△
ABC
的一个外角
∴ ∠
ACD
=
∠
A
+
∠
B
.
知识要点
练一练:
说出下列图形中∠
1
和∠
2
的度数:
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠
1=40 °, ∠2=140 °
∠
1=18 °, ∠2=130 °
例
1
如图
,
∠
A
=42°,∠
ABD
=28°,∠
ACE
=18°,
求∠
BFC
的度数
.
∵
∠
BEC
是△
AEC
的一个外角,
∴
∠
BEC
=
∠
A
+
∠
ACE
,
∵∠
A
=42°
,
∠
ACE
=18°
,
∴
∠
BEC
=60
°.
∵
∠
BFC
是△
BEF
的一个外角,
∴
∠
BFC
=
∠
ABD
+
∠
BEF
,
∵
∠
ABD
=28°
,
∠
BEC
=60°
,
∴
∠
BFC
=88
°.
解:
F
A
C
D
E
B
典例精析
例
2
如图,
P
为
△
ABC
内一点,
∠
BPC
=
150°
,
∠
ABP
=
20°
,
∠
ACP
=
30°
,求
∠
A
的度数.
解析:延长
BP
交
AC
于
E
或连接
AP
并延长,构造三角形的外角,再利用外角的性质即可求出
∠
A
的度数.
E
解:延长
BP
交
AC
于点
E
,
则
∠
BPC
,
∠
PEC
分别为
△
PCE
,
△
ABE
的外角,
∴∠
BPC
=
∠
PEC
+
∠
PCE
,
∠
PEC
=
∠
ABE
+
∠
A
,
∴∠
PEC
=
∠
BPC
-
∠
PCE
=
150°
-
30°
=
120°.
∴∠
A
=
∠
PEC
-
∠
ABE
=
120°
-
20°
=
100°.
【变式题】
(
一题多解
)
如图,
∠
A
=51
°,
∠
B
=20
°,
∠
C
=30
°,求
∠
BDC
的度数
.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
思路点拨:添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题
.
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一:
连接
AD
并延长于点
E
.
在△
ABD
中,
∠1+∠
ABD
=∠3
,
在△
ACD
中,
∠2+∠
ACD
=∠4.
因为
∠
BD
C
=∠3+∠4
,
∠
BAC
=∠1+∠2
,
所以
∠
BDC
=∠
BAC
+∠
ABD
+∠
ACD
=51
°
+20
°
+30
°
=101
°
.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论?
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二:
延长
BD
交
AC
于点
E
.
在△
ABE
中,
∠1=∠
ABE+
∠
BAE
,
在△
ECD
中,
∠
BDC
=∠1+∠
ECD
.
所以
∠
BDC
=∠
BAC
+∠
ABD
+∠
ACD
=51
°
+20
°
+30
°
=101
°
.
解法三
:
连接延长
CD
交
AB
于点
F
(解题过程同解法二)
.
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形,利用三角形外角的性质及转化的思想,把未知角与已知角联系起来求解
.
总结
如图 ,试比较∠
2
、∠
1
的大小;
如图 ,试比较∠
3
、∠
2
、 ∠
1
的大小
.
图
图
解:
∵∠2=∠1+∠
B
,
∴∠2
>
∠1.
解:
∵∠2=∠1+∠
B
,
∠3=∠2+∠
D
,
∴∠3
>
∠2
>
∠1.
拓展探究
三角形的外角大于与它不相邻的内角
.
三角形的外角和
三
例
3
如图, ∠
BAE
,
∠
CBF
,
∠
ACD
是△
ABC
的三个外角,它们的和是多少?
解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得
∠
BAE
=
∠
2+
∠
3
,
∠
CBF
=
∠
1+
∠
3,
∠
ACD
=
∠
1+
∠
2.
又知∠
1+
∠
2+
∠
3=180 °
,
所以∠
BAE
+
∠
CBF
+
∠
ACD
=2(
∠
1+
∠
2+
∠
3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗?
解法二:如图,
∠
BAE
+
∠
1=180 ° ①
,
∠
CBF
+
∠
2=180 ° ②
,
∠
ACD
+
∠
3=180 ° ③
,
又知∠
1+
∠
2+
∠
3=180 °
,
①+ ②+ ③
得
∠
BAE
+
∠
CBF
+
∠
ACD
+(
∠
1+
∠
2+
∠
3)=540 °
,
所以∠
BAE
+
∠
CBF
+
∠
ACD
=540 °-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解法三:过
A
作
AM
平行于
BC
,
∠
3
=
∠
4
B
C
1
2
3
4
A
∠
2
=
∠
BAM
,
所以
∠
1
+
∠
2
+
∠
3
=
∠
1
+
∠
4
+
∠
BAM
=360°
M
∠
2
+
∠
3
=
∠
4
+
∠
BAM
,
结论:三角形的外角和等于
360°
.
思考
你能总结出三角形的外角和的数量关系吗?
D
E
F
当堂练习
1.
判断下列命题的对错
.
(
1
)
三角形的外角和是指三角形的所有外角的和
.
( )
(
2
)
三角形的外角和等于它的内角和的
2
倍
.
( )
(
3
)
三角形的一个外角等于两个内角的和
.
( )
(
4
)
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
.
( )
(
5
)
三角形的一个外角大于任何一个内角
.
( )
(
6
)
三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角
.
( )
2.
如图,
AB
//
CD
,∠
A
=37°, ∠
C
=63°,
那么∠
F
等于 ( )
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
3.
(
1
)如图,∠
BDC
是
__
______
的外角
,
也是
的外角;
(2)
若∠
B
=45 °
, ∠
BAE
=36 °,
∠
BCE
=20 °,
试求∠
AEC
的度数
.
A
B
C
D
E
△
ADE
△
ADC
解:根据三角形外角的性质有
∠
ADC
=
∠
B
+
∠
BCE
,
∠
AEC
=
∠
ADC
+
∠
BAE.
所以∠
AEC
=
∠
B
+
∠
BCE
+
∠
BAE
=45 °+20 °+36 °=101 °.
解:因为
∠
ADC
是
△
ABD
的外角
.
4
.
如图,
D
是
△
ABC
的
BC
边上一点,
∠
B
=∠
BAD
, ∠
ADC
=80°,∠
BAC
=70°,
求:
(
1)
∠
B
的度数;
(2)∠
C
的度数
.
在
△
ABC
中,
∠
B
+∠
BAC
+∠
C
=180°
,
∠
C
=180º-40º-70º=70°.
所以
∠
ADC
=∠
B
+∠
BAD
=80°.
又因为
∠
B
=∠
BAD
,
A
B
C
D
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解:∵∠
1
是△
FBE
的外角
,
∴∠
1=∠
B
+ ∠
E
,
同理∠
2=∠
A
+∠
D
.
在△
CFG
中
,
∠
C
+∠1+∠2=180º,
∴∠
A
+ ∠
B
+∠
C
+ ∠
D
+∠
E
= 180º.
5.
如图,求∠
A
+ ∠
B
+ ∠
C
+ ∠
D
+ ∠
E
的度数
.
能力提升:
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
6.
如图,试求出
∠
A
+∠
B
+∠
C
+∠
D
+∠
E
+∠
F
=________.
360°
课堂小结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边,另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于
360 °
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