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  • 2021-10-27 发布

人教版八年级数学上册第十四章小结与复习PPT

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小结与复习 第十四章 整式的乘法与因式分解 人教版 · 八年级上册 要点梳理 一、幂的乘法运算 1. 同底数幂的乘法:底数 ________, 指数 ______. a m a n · =_______ a m+n 不变 相加 2. 幂的乘方:底数 ________, 指数 ______. 不变 相乘 a m ( ) n = ____________ a mn 3. 积的乘方:积的每一个因式分别 _____ ,再把所得的幂 _____. 乘方 相乘 ab n ( ) = ____________ a n b n (1) 将 _____________ 相乘作为积的系数; 二、整式的乘法 1. 单项式乘单项式: 单项式的系数 (2) 相同字母的因式,利用 _________ 的乘法 , 作为积的一个因式; 同底数幂 (3) 单独出现的字母,连同它的 ______ ,作为积的一个因式; 指数 注: 单项式乘单项式,积为 ________. 单项式 (1) 单项式分别 ______ 多项式的每一项; 2. 单项式乘多项式: (2) 将所得的积 ________. 注: 单项式乘多项式,积为多项式,项数与原多项式的项数 ________. 乘以 相加 相同 3. 多项式乘多项式: 先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的 ______ ,再把所得的积 ________. 每一项 相加 实质是转化为 单项式乘单项式 的运算 三、整式的除法 同底数幂相除,底数 _______, 指数 _________. 1. 同底数幂的除法: a m a n ÷ =_______ a m - n 不变 相减 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 ________. 1 1 =a m a m ÷ =_______ a 0 2. 单项式除以单项式: 单项式相除 , 把 _______ 、 ____________ 分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连它的 _______ 一起作为商的一个因式 . 系数 同底数的幂 指数 3. 多项式除以单项式: 多项式除以单项式,就是用多项式的 除以这个 ,再把所得的商 . 单项式 每一项 相加 四、乘法公式 1. 平方差公式 两数 ______ 与这两数 ______ 的积 , 等于 这两数的 ______ . 和 差 平方差 ( a + b )( a - b ) =_________ a 2 b 2 - 2. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方,等于它们的 _______ ,加上(或减去)它们的 ______ 的 2 倍 . 平方和 积 ( a + b ) 2 =______________ a 2 b 2 2 ab + + 五、因式分解 把 一个 多项式化为 几个 ________ 的 ________ 的形式 , 像这样的式子变形叫做把这个多项式 因式分解 ,也叫做把这个多项式 分解因式 . 1. 因式分解的定定义 整式 乘积 2. 因式分解的方法 (1) 提公因式法 (2) 公式法 ①平方差公式: __________________ ②完全平方公式: _______________________ a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ) a 2 ± 2 ab+b 2 =( a ± b ) 2 步骤: 1. 提公因式; 2. 套用公式; 3. 检查分解是否彻底; 考点讲练 考点一 幂的运算 例 1 下列计算正确的是 ( ) A . ( a 2 ) 3 = a 5 B . 2 a - a = 2 C . (2 a ) 2 = 4 a D . a · a 3 = a 4 D 例 2 计算: (2 a ) 3 ( b 3 ) 2 ÷4 a 3 b 4 . 解析:幂的混合运算中,先算乘方,再算乘除 . 解:原式 = 8 a 3 b 6 ÷4 a 3 b 4 =2 a 3-3 b 6-4 =2 b 2 . 幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法 . 这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础 . 其逆向运用可以使一些计算简便,从而培养一定的计算技巧,达到学以致用的目的 . 归纳总结 针对训练 1. 下列计算不正确的是( ) A.2 a 3 ÷ a =2 a 2 B. (- a 3 ) 2 = a 6 C. a 4 · a 3 = a 7 D. a 2 · a 4 = a 8 2. 计算: 0.25 2015 × ( - 4 ) 2015 - 8 100 ×0.5 301 . D 解:原式 =[0.25 × ( - 4 ) ] 2015 - ( 2 3 ) 100 ×0.5 300 ×0.5 = - 1 - ( 2 ×0.5 ) 300 ×0.5 = - 1 - 0.5= - 1.5 ; 3.(1) 已知 3 m =6,9 n =2, 求 3 m+2n , 3 2 m -4 n 的值 . (2) 比较大小: 4 20 与 15 10 . (2) ∵ 4 20 = ( 4 2 ) 10 =16 10 , ∵16 10 >15 10 , ∴4 20 >15 10 . 3 2 m -4 n =3 2 m ÷3 4 n =(3 m ) 2 ÷(3 2 n ) 2 =(3 m ) 2 ÷(9 n ) 2 =6 2 ÷2 2 =9. 解: (1) ∵ 3 m =6,9 n =2, ∴ 3 m+2n =3 m · 3 2 n =3 m · (3 2 ) n =3 m · 9 n = 6 × 2 =12. 考点二 整式的运算 例 3 计算: [ x ( x 2 y 2 - xy )- y ( x 2 - x 3 y )] ÷3 x 2 y , 其中 x =1, y =3 . 解析:在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中,一要注意运算顺序;二要熟练正确地运用运算法则 . 解:原式 = ( x 3 y 2 - x 2 y - x 2 y + x 3 y 2 ) ÷3 x 2 y =(2 x 3 y 2 -2 x 2 y ) ÷3 x 2 y 当 x =1, y =3 时, 原式 = 整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式,其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础,必须熟练掌握它们的运算法则 . 整式的混合运算,要按照 先算乘方 , 再算乘除 , 最后算加减 的顺序进行,有括号的要算括号里的 . 归纳总结 针对训练 4. 一个长方形的面积是 a 2 -2 ab + a , 宽为 a , 则长方形的长为 ; 5. 已知多项式 2 x 3- 4 x 2 -1 除以一个多项式 A , 得商为 2 x ,余式为 x -1 , 则这个多项式是 . a -2 b +1 6. 计算: (1)( - 2xy 2 ) 2 ·3x 2 y·( - x 3 y 4 ) . (2)x(x 2 + 3) + x 2 (x - 3) - 3x(x 2 - x - 1) (3)( - 2a 2 )·(3ab 2 - 5ab 3 ) + 8a 3 b 2 ; (4)(2x + 5y)(3x - 2y) - 2x(x - 3y) ; (5)[x(x 2 y 2 - xy) - y(x 2 - x 3 y)]÷x 2 y ; 解:( 1 )原式=- 12x 7 y 9 ( 2 )原式=- x 3 + 6x ( 3 )原式= 2a 3 b 2 + 10a 3 b 3 ( 4 )原式= 4x 2 + 17xy - 10y 2 ( 5 )原式= 2xy - 2 考点三 乘法公式的运用 例 4 先化简再求值: [( x - y ) 2 +( x + y )( x - y )] ÷2 x , 其中 x =3, y =1.5 . 解析:运用平方差公式和完全平方公式,先计算括号内的,再计算整式的除法运算 . 原式 =3-1.5=1.5. 解:原式 = ( x 2 -2 xy + y 2 + x 2 - y 2 ) ÷2 x =(2 x 2 -2 xy ) ÷2 x = x-y . 当 x =3, y =1.5 时 , 归纳总结 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式,在计算多项式的乘法时,对于符合这三个公式结构特征的式子,运用公式可减少运算量,提高解题速度 . 7 .下列计算中,正确的是 ( ) A . ( a + b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2 B . ( a - b ) 2 = a 2 - b 2 C . ( a + b )( - a + b ) = b 2 - a 2 D . ( a + b )( - a - b ) = a 2 - b 2 8 . 已知 ( x + m ) 2 = x 2 + nx + 36 ,则 n 的值为 ( ) A . ±6 B . ±12 C . ±18 D . ±72 9 .若 a + b = 5 , ab = 3 ,则 2 a 2 + 2 b 2 = ________ . 针对训练 C B 38 10 .计算: (1)( x + 2 y )( x 2 - 4 y 2 )( x - 2 y ) ; (2)( a + b - 3)( a - b + 3) ; (3)(3 x - 2 y ) 2 (3 x + 2 y ) 2 . 解: (1) 原式 = ( x + 2 y ) ( x - 2 y ) ( x 2 - 4 y 2 ) (2) 原式 = [ a + ( b - 3)][( a - ( b- 3)] = ( x 2 - 4 y 2 ) 2 =x 4 - 8 x 2 y 2 + 16 y 4 ; =a 2 - ( b - 3) 2 = a 2 - b 2 + 6 b - 9. (3) 原式 = [ (3 x - 2 y )(3 x + 2 y )] 2 =(9 x 2 - 4 y 2 ) 2 =81 x 4 - 72 x 2 y 2 + 16 y 4 11. 用简便方法计算 (1)200 2 - 400×199 + 199 2 ; (2)999×1 001. 解: (1) 原式= (200 - 199) 2 =1; (2) 原式= (1000 - 1)(1000+1) = 999999. = 1000 2 - 1 考点四 因式分解及应用 例 5 下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是 ( ) A . a ( x - y ) = ax - ay B . x 2 - 1 = ( x + 1)( x - 1) C . ( x + 1)( x + 3) = x 2 + 4 x + 3 D . x 2 + 2 x + 1 = x ( x + 2) + 1 B 点拨: (1) 多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件,第一,等式的左边是一个多项式;其二,等式的右边要化成几个整式的乘积的形式,这里指等式的整个右边化成积的形式; (2) 判断过程要从左到右保持恒等变形 . 例 6 把多项式2 x 2 -8分解因式,结果正确的是( ) A.2( x 2 -8) B.2( x -2) 2 C.2( x +2)( x -2) D.2 x ( x - ) C 因式分解是把一个多项式化成几个 整式的积 的形式,它与整式乘法互为逆运算,因式分解时,一般要先提公因式,再用公式法分解,因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止 . 归纳总结 针对训练 12. 分解因式: x 2 y 2 - 2 xy + 1 的结果是 ________ . 13. 已知 x - 2 y =- 5 , xy =- 2 ,则 2 x 2 y - 4 xy 2 = ________ . 14. 已知 a - b = 3 ,则 a ( a - 2 b ) + b 2 的值为 ________ . 15. 已知 x 2 - 2( m + 3) x + 9 是一个完全平方式,则 m = ________ . ( xy - 1) 2 20 9 - 6 或 0 16. 如图所示,在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形,把剩下的部分拼成梯形,分别计算这两个图形的阴影部分的面积,验证公式是 ________ . a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ). b a a a a b b b b b a - b 17 .把下列各式因式分解: (1)2 m ( a - b ) - 3 n ( b - a ) ; (2)16 x 2 - 64 ; (3) - 4 a 2 + 24 a - 36. 解: (1) 原式= ( a - b )(2 m + 3 n ) . (2) 原式= 16( x + 2)( x - 2) (3) 原式=- 4( a - 3) 2 课堂小结 幂的运算性质 整式的乘法 整式的除法 互逆 运算 乘法公式 (平方差、完全平方公式) 特殊 形式 相反变形 因式分解 (提公因式、公式法) 相反变形