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- 2021-10-27 发布
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小结与复习
第十四章 整式的乘法与因式分解
人教版
·
八年级上册
要点梳理
一、幂的乘法运算
1.
同底数幂的乘法:底数
________,
指数
______.
a
m
a
n
·
=_______
a
m+n
不变
相加
2.
幂的乘方:底数
________,
指数
______.
不变
相乘
a
m
( )
n
=
____________
a
mn
3.
积的乘方:积的每一个因式分别
_____
,再把所得的幂
_____.
乘方
相乘
ab
n
( )
=
____________
a
n
b
n
(1)
将
_____________
相乘作为积的系数;
二、整式的乘法
1.
单项式乘单项式:
单项式的系数
(2)
相同字母的因式,利用
_________
的乘法
,
作为积的一个因式;
同底数幂
(3)
单独出现的字母,连同它的
______
,作为积的一个因式;
指数
注:
单项式乘单项式,积为
________.
单项式
(1)
单项式分别
______
多项式的每一项;
2.
单项式乘多项式:
(2)
将所得的积
________.
注:
单项式乘多项式,积为多项式,项数与原多项式的项数
________.
乘以
相加
相同
3.
多项式乘多项式:
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的
______
,再把所得的积
________.
每一项
相加
实质是转化为
单项式乘单项式
的运算
三、整式的除法
同底数幂相除,底数
_______,
指数
_________.
1.
同底数幂的除法:
a
m
a
n
÷
=_______
a
m
-
n
不变
相减
任何不等于
0
的数的
0
次幂都等于
________.
1
1
=a
m
a
m
÷
=_______
a
0
2.
单项式除以单项式:
单项式相除
,
把
_______
、
____________
分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连它的
_______
一起作为商的一个因式
.
系数
同底数的幂
指数
3.
多项式除以单项式:
多项式除以单项式,就是用多项式的
除以这个
,再把所得的商
.
单项式
每一项
相加
四、乘法公式
1.
平方差公式
两数
______
与这两数
______
的积
,
等于
这两数的
______
.
和
差
平方差
(
a
+
b
)(
a
-
b
)
=_________
a
2
b
2
-
2.
完全平方公式
两个数的和(或差)的平方,等于它们的
_______
,加上(或减去)它们的
______
的
2
倍
.
平方和
积
(
a
+
b
)
2
=______________
a
2
b
2
2
ab
+
+
五、因式分解
把
一个
多项式化为
几个
________
的
________
的形式
,
像这样的式子变形叫做把这个多项式
因式分解
,也叫做把这个多项式
分解因式
.
1.
因式分解的定定义
整式
乘积
2.
因式分解的方法
(1)
提公因式法
(2)
公式法
①平方差公式:
__________________
②完全平方公式:
_______________________
a
2
-
b
2
=(
a
+
b
)(
a
-
b
)
a
2
±
2
ab+b
2
=(
a
±
b
)
2
步骤:
1.
提公因式;
2.
套用公式;
3.
检查分解是否彻底;
考点讲练
考点一 幂的运算
例
1
下列计算正确的是
( )
A
.
(
a
2
)
3
=
a
5
B
.
2
a
-
a
=
2
C
.
(2
a
)
2
=
4
a
D
.
a
·
a
3
=
a
4
D
例
2
计算:
(2
a
)
3
(
b
3
)
2
÷4
a
3
b
4
.
解析:幂的混合运算中,先算乘方,再算乘除
.
解:原式
=
8
a
3
b
6
÷4
a
3
b
4
=2
a
3-3
b
6-4
=2
b
2
.
幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法
.
这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础
.
其逆向运用可以使一些计算简便,从而培养一定的计算技巧,达到学以致用的目的
.
归纳总结
针对训练
1.
下列计算不正确的是( )
A.2
a
3
÷
a
=2
a
2
B. (-
a
3
)
2
=
a
6
C.
a
4
·
a
3
=
a
7
D.
a
2
·
a
4
=
a
8
2.
计算:
0.25
2015
×
(
-
4
)
2015
-
8
100
×0.5
301
.
D
解:原式
=[0.25 ×
(
-
4
)
]
2015
-
(
2
3
)
100
×0.5
300
×0.5
=
-
1
-
(
2 ×0.5
)
300
×0.5 =
-
1
-
0.5=
-
1.5
;
3.(1)
已知
3
m
=6,9
n
=2,
求
3
m+2n
,
3
2
m
-4
n
的值
.
(2)
比较大小:
4
20
与
15
10
.
(2)
∵
4
20
=
(
4
2
)
10
=16
10
,
∵16
10
>15
10
,
∴4
20
>15
10
.
3
2
m
-4
n
=3
2
m
÷3
4
n
=(3
m
)
2
÷(3
2
n
)
2
=(3
m
)
2
÷(9
n
)
2
=6
2
÷2
2
=9.
解:
(1)
∵
3
m
=6,9
n
=2,
∴
3
m+2n
=3
m
·
3
2
n
=3
m
·
(3
2
)
n
=3
m
·
9
n
=
6
×
2
=12.
考点二 整式的运算
例
3
计算:
[
x
(
x
2
y
2
-
xy
)-
y
(
x
2
-
x
3
y
)] ÷3
x
2
y
,
其中
x
=1,
y
=3
.
解析:在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中,一要注意运算顺序;二要熟练正确地运用运算法则
.
解:原式
=
(
x
3
y
2
-
x
2
y
-
x
2
y
+
x
3
y
2
) ÷3
x
2
y
=(2
x
3
y
2
-2
x
2
y
) ÷3
x
2
y
当
x
=1,
y
=3
时,
原式
=
整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式,其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础,必须熟练掌握它们的运算法则
.
整式的混合运算,要按照
先算乘方
,
再算乘除
,
最后算加减
的顺序进行,有括号的要算括号里的
.
归纳总结
针对训练
4.
一个长方形的面积是
a
2
-2
ab
+
a
,
宽为
a
,
则长方形的长为
;
5.
已知多项式
2
x
3-
4
x
2
-1
除以一个多项式
A
,
得商为
2
x
,余式为
x
-1
,
则这个多项式是
.
a
-2
b
+1
6.
计算:
(1)(
-
2xy
2
)
2
·3x
2
y·(
-
x
3
y
4
)
.
(2)x(x
2
+
3)
+
x
2
(x
-
3)
-
3x(x
2
-
x
-
1)
(3)(
-
2a
2
)·(3ab
2
-
5ab
3
)
+
8a
3
b
2
;
(4)(2x
+
5y)(3x
-
2y)
-
2x(x
-
3y)
;
(5)[x(x
2
y
2
-
xy)
-
y(x
2
-
x
3
y)]÷x
2
y
;
解:(
1
)原式=-
12x
7
y
9
(
2
)原式=-
x
3
+
6x
(
3
)原式=
2a
3
b
2
+
10a
3
b
3
(
4
)原式=
4x
2
+
17xy
-
10y
2
(
5
)原式=
2xy
-
2
考点三 乘法公式的运用
例
4
先化简再求值:
[(
x
-
y
)
2
+(
x
+
y
)(
x
-
y
)] ÷2
x
,
其中
x
=3,
y
=1.5
.
解析:运用平方差公式和完全平方公式,先计算括号内的,再计算整式的除法运算
.
原式
=3-1.5=1.5.
解:原式
=
(
x
2
-2
xy
+
y
2
+
x
2
-
y
2
) ÷2
x
=(2
x
2
-2
xy
) ÷2
x
=
x-y
.
当
x
=3,
y
=1.5
时
,
归纳总结
整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式,在计算多项式的乘法时,对于符合这三个公式结构特征的式子,运用公式可减少运算量,提高解题速度
.
7
.下列计算中,正确的是
( )
A
.
(
a
+
b
)
2
=
a
2
-
2
ab
+
b
2
B
.
(
a
-
b
)
2
=
a
2
-
b
2
C
.
(
a
+
b
)(
-
a
+
b
)
=
b
2
-
a
2
D
.
(
a
+
b
)(
-
a
-
b
)
=
a
2
-
b
2
8
.
已知
(
x
+
m
)
2
=
x
2
+
nx
+
36
,则
n
的值为
( )
A
.
±6 B
.
±12 C
.
±18 D
.
±72
9
.若
a
+
b
=
5
,
ab
=
3
,则
2
a
2
+
2
b
2
=
________
.
针对训练
C
B
38
10
.计算:
(1)(
x
+
2
y
)(
x
2
-
4
y
2
)(
x
-
2
y
)
;
(2)(
a
+
b
-
3)(
a
-
b
+
3)
;
(3)(3
x
-
2
y
)
2
(3
x
+
2
y
)
2
.
解:
(1)
原式
=
(
x
+
2
y
)
(
x
-
2
y
)
(
x
2
-
4
y
2
)
(2)
原式
=
[
a
+
(
b
-
3)][(
a
-
(
b-
3)]
=
(
x
2
-
4
y
2
)
2
=x
4
-
8
x
2
y
2
+
16
y
4
;
=a
2
-
(
b
-
3)
2
=
a
2
-
b
2
+
6
b
-
9.
(3)
原式
=
[
(3
x
-
2
y
)(3
x
+
2
y
)]
2
=(9
x
2
-
4
y
2
)
2
=81
x
4
-
72
x
2
y
2
+
16
y
4
11.
用简便方法计算
(1)200
2
-
400×199
+
199
2
;
(2)999×1 001.
解:
(1)
原式=
(200
-
199)
2
=1;
(2)
原式=
(1000
-
1)(1000+1)
=
999999.
=
1000
2
-
1
考点四 因式分解及应用
例
5
下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是
( )
A
.
a
(
x
-
y
)
=
ax
-
ay
B
.
x
2
-
1
=
(
x
+
1)(
x
-
1)
C
.
(
x
+
1)(
x
+
3)
=
x
2
+
4
x
+
3
D
.
x
2
+
2
x
+
1
=
x
(
x
+
2)
+
1
B
点拨:
(1)
多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件,第一,等式的左边是一个多项式;其二,等式的右边要化成几个整式的乘积的形式,这里指等式的整个右边化成积的形式;
(2)
判断过程要从左到右保持恒等变形
.
例
6
把多项式2
x
2
-8分解因式,结果正确的是( )
A.2(
x
2
-8) B.2(
x
-2)
2
C.2(
x
+2)(
x
-2) D.2
x
(
x
- )
C
因式分解是把一个多项式化成几个
整式的积
的形式,它与整式乘法互为逆运算,因式分解时,一般要先提公因式,再用公式法分解,因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止
.
归纳总结
针对训练
12.
分解因式:
x
2
y
2
-
2
xy
+
1
的结果是
________
.
13.
已知
x
-
2
y
=-
5
,
xy
=-
2
,则
2
x
2
y
-
4
xy
2
=
________
.
14.
已知
a
-
b
=
3
,则
a
(
a
-
2
b
)
+
b
2
的值为
________
.
15.
已知
x
2
-
2(
m
+
3)
x
+
9
是一个完全平方式,则
m
=
________
.
(
xy
-
1)
2
20
9
-
6
或
0
16.
如图所示,在边长为
a
的正方形中剪去边长为
b
的小正方形,把剩下的部分拼成梯形,分别计算这两个图形的阴影部分的面积,验证公式是
________
.
a
2
-
b
2
=(
a
+
b
)(
a
-
b
).
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
-
b
17
.把下列各式因式分解:
(1)2
m
(
a
-
b
)
-
3
n
(
b
-
a
)
;
(2)16
x
2
-
64
;
(3)
-
4
a
2
+
24
a
-
36.
解:
(1)
原式=
(
a
-
b
)(2
m
+
3
n
)
.
(2)
原式=
16(
x
+
2)(
x
-
2)
(3)
原式=-
4(
a
-
3)
2
课堂小结
幂的运算性质
整式的乘法
整式的除法
互逆
运算
乘法公式
(平方差、完全平方公式)
特殊
形式
相反变形
因式分解
(提公因式、公式法)
相反变形
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