华师版数学八年级上册同步练习课件-第13章-专项训练5角平分线与线段的垂直平分线的应用 19页

第13章　全等三角形 专项训练五　角的平分线与线段的垂直平分线的应用 § 类型1　运用角的平分线与线段的垂直平分线 求边角 § 1．如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED 是BC的垂直平分线，CE＝4，△ABD的周长 为12，则△ABC的周长为 (　　) § A．12 § B．16 § C．20 § D．24 2 重难突破 C　 § 2．如图，△ABC中，∠B＝40°，AC的垂 直平分线交AC于点D，交BC于点E，且 ∠EAB∶ ∠CAE＝3∶ 1，则∠C等于 (　　) § A．28° B．25° § C．22.5° D．20° 3 A　 § 3．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝ 7，则AC长为 (　　) § A．3 B．4 § C．6 D．5 4 D　 § 4．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC 的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D.∠B ＝75°，∠FAE＝15°，则∠C为(　　) § A．25° § B．30° § C．32.5° § D．40° 5 A　 § 5．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分 线分别交BC于点E、F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为______ cm. 6 10　 6．若点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠BAC＝60°，则 ∠BOC的度数为_________.120°　 § 7．如图，在△ABC中，点D是边AB、BC边 的垂直平分线交点，连结AD并延长交BC于 点E，若∠AEC＝3∠BAE＝3α，则∠CAE＝ _____________(用含α的式子表示)． 7 90°－2α　 § 8．如图所示，在△ABC中，AB＝ AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线 交AB于点E，D为垂足，连结EC. § (1)求∠ECD的度数； § (2)若CE＝5，求BC的长． 8 解：(1)∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°. (2)∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.又∵∠BEC＝∠A＋ ∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5. § 9．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E. § (1)求∠EDA的度数； § (2)AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC. 9 10 § 类型2　运用角的平分线与线段的垂直平分线 进行证明 § 10．如图所示，点P在线段AB的垂直平分线 上，PC⊥PA，PD⊥PB，AC＝BD.求证：点 P在线段CD的垂直平分线上． § 证明：∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA＝ PB.∵PC⊥PA，PD⊥PB，∴∠BPD＝ ∠APC＝90°.又AC＝BD， ∴Rt△APC≌Rt△BPD(H.L.)，∴PD＝PC， ∴点P在线段CD的垂直平分线上． 11 § 11．已知：如图，AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.求 证：AD垂直平分EF. § 证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，∴DE＝DF，∴∠1＝ ∠2.∵∠AED＝∠AFD＝90°，∴∠3＝∠4， ∴AE＝AF.∵AD是等腰三角形AEF的顶角平 分线，∴AD垂直平分EF(三线合一)． 12 § 12．如图所示，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于 点F，BE、CF相交于点D，连结AD，BD＝ CD.求证：AD平分∠BAC. § 证明：在△BDF和△CDE中，∵∠BFD＝ ∠CED＝90°，∠BDF＝∠CDE，BD＝CD， ∴△BDF≌ △CDE，∴DF＝DE.∵DF⊥AB， DE⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上，即 AD是∠BAC的平分线． 13 § 13．如图所示，PM⊥BD于点M，PN⊥AD 于点N，BD＝AD，PM＝PN.求证：OB＝OA. § 证明：∵PM⊥BD，PN⊥AD，且PM＝PN， ∴DO平分∠BDA，即∠BDO＝∠ADO.在 △OBD和△OAD中，∵BD＝AD，∠BDO＝ ∠ADO，OD＝OD， ∴△OBD≌ △OAD(S.A.S.)．∴OB＝OA. 14 § 13．如图所示，PM⊥BD于点M， PN⊥AD于点N，BD＝AD，PM ＝PN.求证：OB＝OA. § 证明：∵PM⊥BD，PN⊥AD， 且PM＝PN，∴DO平分∠BDA， 即∠BDO＝∠ADO.在△OBD和 △OAD中，∵BD＝AD，∠BDO ＝∠ADO，OD＝OD， ∴△OBD≌ △OAD(S.A.S.)．∴OB＝OA. 15 § 类型3　角的平分线与线段的垂直平分线中的 探究性问题 § 15．已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直 平分AD，垂足为E，CF上有一点P，连结PB 交线段AF相交于点M. § (1)求证：AB∥CD； § (2)若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与 ∠MCD的数量关系，并说明理由． 16 § (1)证明：∵BC垂直平分AD，∴AC＝CD， ∠CAD＝∠CDA.∵AF平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CDA＝∠BAD， ∴AB∥CD. § (2)解：∠F＝∠MCD.理由如下：∵∠DAC＝ ∠CDA，∠DAC＝∠MPC，∴∠CDA＝ ∠MPC.∵BC垂直平分AD，∴AE＝DE， ∠AEB＝∠DEC＝90°.由(1)知∠CDE＝ ∠BAE，∴△ABE≌ △DCE(A.S.A.)，∴AB ＝DC，∵AC＝DC，∴AB＝AC.又∠CAM＝ ∠BAM，AM＝AM， ∴△ABM≌△ACM(S.A.S.)，∴∠AMC＝ ∠AMB.∵∠PMF＝∠AMD，∴∠AMC＝ ∠PMF.∵∠CDA＝∠AMC＋∠MCD， ∠MPC＝∠PMF＋∠F.∵∠CDA＝ ∠MPC.∴∠F＝∠MCD. 17 § 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交 CE于点F，DF的延长线交AC于点G.试问： § (1)DF与BC有何位置关系？请说明理由； § (2)FG与FE有何数量关系？请证明你的结 论． 18 19