浙教版八年级上册数学同步课件-第1章-1三角形的初步认识 15页

第4课时 角角边及角平分线的性质 1.5 全等三角形的判定 第1章 三角形的初步认识 如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块, 他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配 一块与原来一样的三角形模具? 如果可以,带哪块 去合适?你能说明其中理由吗? 情境引入 3 2 1 问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°， 且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗? 60° 45° 用“角角边”判定三角形全等 合作探究 1 60° 45° 思考： 这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？ 你能将它转化为1中的条件吗？ 75° 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”. 归纳总结 ∠A=∠A′， ∠B=∠B′ ， AC=A′C ′， 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）. A B C A ′ B ′ C ′ 例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝ ∠E， BC=EF.求证：△ABC≌△DEF． ∠B＝∠E， BC＝EF， ∠C＝∠F. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°. ∴△ABC≌△DEF（ASA ）. ∴ ∠C＝180°－∠A－∠B. 同理 ∠F＝180°－∠D－∠E. 又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E, ∴ ∠C＝∠F. 在△ABC和△DEF中， 例4 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线 m，垂足分别为点D、E. 求证：(1)△BDA≌△AEC； 证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°. ∵AB⊥AC， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∠ABD＝∠CAE. 在△BDA和△AEC中， ∠ADB=∠CEA=90°， ∠ABD＝∠CAE, AB＝AC， ∴△BDA≌△AEC(AAS). (2)DE＝BD＋CE. ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE. 证明：∵△BDA≌△AEC, 方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系， 比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是 运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 角平分线的性质定理 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且 PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你 发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. 对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE. 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ D P A C BEO 2 下面我们来证明刚才得到的结论. D P A C BEO 已知:OC平分∠AOB, P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB . 求证:PD=PE. 证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点， ∴∠DOP=∠BOP. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ， ∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE 中， ∵ ∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP, ∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.). ∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）. 由上面证明，我们得到角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 1.如图, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是E、 F, DE =DF, ∠EDB= 60°, 则 ∠EBF= ，BE= ．60° BF A B C D E F A B C D E F 2.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一 个条件 ，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可）. ∠B=∠E 或∠A=∠D 或 AC=DF （ASA） （AAS） （SAS） AB=DE可以吗？× AB∥DE 3.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证： AB=AD. A C DB 1 2证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC， ∴ ∠ B=∠D=90 °. 在△ABC和△ADC中， ∠1=∠2 ， ∠ B=∠D， AC=AC ， ∴ △ABC≌△ADC（AAS)， ∴AB=AD. 角 角 边 内 容 应 用 角平分线 的性质 性质定理：角平分线上的点 到角两边的距离相等