人教版八年级数学(上)全册教案+数学教学反思大全 73页

人教版八年级数学(上)全册教案+数学教学反思大全 八年级数学(上)全册教案(新人教版) 第十一章 全等三角形 11．1 全等三角形 教学目标： 1 了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质； 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉； 4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全 等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。 重点：探究全等三角形的性质 难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程： 观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？ 这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 引导学生完成课本 P3 思考： 归纳: 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、 翻折、旋转前后的图形全等。 “全等”用“≌”表示，读作“全等于” 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如⊿ABC 和⊿DEF 全 等时，点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点，记作⊿ABC≌⊿DEF。把两个全等的 三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角 思考：如课本 P3 思考图 11.1-1 中，⊿ABC≌⊿DEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 归纳: 全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 思考： （1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对 应角 o O B A C D A B C D A B C D C A B D （2）将⊿ABC 沿直线 BC 平移，得到⊿DEF，说出你得到的结论，说明理由？ B C A D F E （3）如图，⊿ABE≌⊿ACD, AB 与 AC，AD 与 AE 是对应边，已知：∠A=43°，∠B=30°，求 ∠ADC 的大小。 A B C D E 作业：P4 习题 11.1 第 1，2，3 题。 课题：11．2 三角形全等的判定(1) 教学目标 ①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． ②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点 三角形全等条件的探索过程． 一、复习过程，引入新知 多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三 条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定 全等． 二、创设情境，提出问题 根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上 述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢? 组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳． 三、建立模型，探索发现 出示探究 1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC 与△A'B'C'，满足上述条件 中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC 一定全等吗? 让学生按照下面给出的条件作出三角形． (1)三角形的两个角分别是 30°、50°． (2)三角形的两条边分别是 4cm，6cm． (3)三角形的一个角为 30°，—条边为 3cm． 再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能 保证所画出的三角形一定全等． 出示探究 2，先任意画出一个△A'B'C'，使 A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的 △A'B'C'剪下，放到△ABC 上，它们全等吗? 让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：三边对应相 等的两个三角形全等． 四、应用新知，体验成功 实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的． 鼓励学生举出生活中的实例． 给出例 l，如下图△ABC 是一个钢架，AB＝AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架，求 证△ABD≌△ACD． 让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程． 例 2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下： ①以 A 为圆心画弧，分别交角的两边于点 B 和点 C； ②分别以点 B、C 为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点 D； ③画射线 AD． AD 就是∠BAC 的平分线．你能说明该画法正确的理由吗? 例 3 如图四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形 ABCD 分成两个相互全等的三角 形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试． 五、巩固练习：课本 P8 页的练习． 六、反思小结 回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学 规律． 七、布置作业 课本 P15 习题 11．2 第 1、2 题． ． 课题：11.2 三角形全等的判定 2) 教学目标 ①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力． ②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点 指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件． 知识重点 应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等． 教学过程（师生活动） 一、情境，引入课题 多媒体出示探究 3：已知任意△ABC，画△A'B'C'，使 A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A． 教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC 上，观察这两个 三角形是否全等． 二、交流对话，探求新知 根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS) 补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边． 三、应用新知，体验成功 出示例 2，如图，有—池塘，要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB．连接 DE， 那么量出 DE 的长就是 A、B 的距离，为什么? 让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据． (若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析： 要想证 AB＝DE， 只需证△ABC≌△DEC △ABC 与△DEC 全等的条件现有……还需要……) 明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全 等来解决． 补充例题： 1、已知：如图 AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 求证： △ABD≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE（已知） ∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD 与△ACE AB=AC（已知） ∠BAD= ∠CAE （已证） AD=AE（已知） ∴△ABD≌△ACE（SAS) 思考： 求证：1.BD=CE 2. ∠B= ∠C 3. ∠ADB= ∠AEC 变式 1：已知：如图，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE. 求证： △DAC≌△EAB BE=DC ∠B= ∠ C ∠ D= ∠ E BE⊥CD 四、再次探究，释解疑惑 出示探究 4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个 三 角 形 全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定 两 个 三 角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形 不一定全等． 教师演示：方法(一)教科书 10 页图 11.2-7． 方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论． 五、巩固练习 课本 P10 页，练习 1、2． 六、小结提高 1．判定三角形全等的方法； 2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知 识系统化，以自己的方式进行建构． 七、布置作业 1．课本 P15 页，习题 11．2 第 3、4 题． 2．选作题： (1)小明做了一个如图所示的风筝，测得 DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦?并说明理由． (2)如图，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求证 BC＝DE． 课题： 11.2 三角形全等的判定(3) 教学目标 ①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等． D B E A O C ②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并 通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难． 教学重点 理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”． 教学难点 探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用． 教学过程（师生活动） 创设情境 复习： 师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些? 生：“SSS”“SAS” 师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否 也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条 件。 探究新知： 一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？ 1．师：我们先来探究第一种情况．(课件出示“探究 5……”) (1)探究 5 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使 A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使 两角和它们的夹边对应相等)．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC 上，它们全等吗? 师：怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考，动手画一画。 在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决． 生：独立探究，试着画△A'B'C'，(有问题的，可以小组内交流解决……)…… (2)全班讨论交流 我们又增加了—种判别三角形全等的方法．特别应 注意，“边”必须是“两角的夹边”． 练习：已知：如图，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C 求证：△ABE≌ △A’CD 例 1. 已知：点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和 CD 相交于点 O，AB=AC，∠B=∠C。 求证：BD=CE 2．探究 6 师：我们再看看下面的条件： 在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC 与△DEF 全等吗?能利用角边 角条件证明你的结论吗? 师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明． 师：你是怎么证明的? (根据学生的不同探究结果，进行不同的引导) 师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等．这又反映了一个什么规律? 师：生 1 很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形 全等的一个条件． 强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”． 多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力． 例 2．课本 P12 页例 3。 师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形 全等，这样，对应边也就相等了． 探究 7： (1)三角对应相等的两个三角形全等吗? 师：想想，怎样来探究这个问题? 引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大 小不同的三角板”等等方法来探究说明． 师：这一规律我们可以怎样表达? (2)师：说得非常好．现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有了哪些方法? SSS SAS ASA AAS 小结提高 师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获? 巩固练习 课本 P13 页，练习 1、2． 布置作业 1.课本 P15 页习题 11.2 第 6、11 题 2．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去， 就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以，带哪块去合适?为什么? ⑴ ⑵ 课题： 11.2 三角形全等的判定(4) 教学目标 ①探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等． ②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并 通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③提高应用数学的意识． 教学重点 理解，掌握三角形全等的条件：HL． 教学过程: 提问： 1、判定两个三角形全等方法有： ， ， ， 。 创设情境： （显示图片），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. （1）你能帮他想个办法吗？ 方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS) 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS) ⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就 肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？ 下面让我们一起来验证这个结论。 新课： 已知线段 a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个 Rt△ABC,使∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c. 想一想，怎样画呢？ 按照下面的步骤做一做： ⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ⑵ 在射线 CM 上截取线段 CB=a ⑶ 以 B 为圆心,C 为半径画弧，交射线 CN 于点 A; ⑷ 连接 AB. ⑴ △ABC 就是所求作的三角形吗？ ⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？ 直角三角形全等的条件 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. 想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般 三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS， 还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”. 练一练： 1. 如图，两根长度为 12 米的绳子，一端系在 旗杆上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩 离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。 2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的 高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾 斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？ 解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下： 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, 则 BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). 又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°. 小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流 作业：课本 P16 页第 7、8 题。 §11．3．1 角的平分线的性质（一） 教学目标 （一）教学知识点 角平分线的画法． （二）能力训练要求 1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 2．会用尺规作一个已知角的平分线． （三）情感与价值观要求 在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神． 教学重点：利用尺规作已知角的平分线． 教学难点：角的平分线的作图方法的提炼． 教学过程： 一．提出问题，创设情境 问题 1：三角形中有哪些重要线段． 问题 2：你能作出这些线段吗？ 如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？ 二．导入新课 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中 AB=AD， BC=DC．将 点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一 条射线 AE， AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 教师活动： 演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射 线 AC 的方 法． AB=AD BC=DC AC=AC 所以△ABC≌△ADC（SSS）． 所以∠CAD=∠CAB． 即射线 AC 就是∠DAB 的平分线． 老师再提出问题： 通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后 与同伴交流操作心得． （分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导， 使讲评更具有针对性） 讨论结果展示： 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB． 求作：∠AOB 的平分线． 作法： （1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 M、N． （2）分别以 M、N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点 C． （3）作射线 OC，射线 OC 即为所求． （教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数 学的兴趣）． 议一议： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于 1 2 MN 的长”这个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？ （设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好 学习习惯） 学生讨论结果总结： 1．去掉“大于 1 2 MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平 分线． 2．若分别以 M、N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内 部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，否则两弧交点与顶点连线 得到的射线就不是∠AOB 的平分线了． 3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一 不可． 4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明． 练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线． 三．随堂练习：课本 P19 练习． 练后总结： 平角∠AOB 的平分线 OC 与直线 AB 垂直．将 OC 反向延长得到直线 CD，直线 CD 与 AB也 垂直． 四．课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理， 由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法． 五．课后作业 课本 P22 习题 11．2 第 1、2 题． §11．3．2 角的平分线的性质（二） 教学目标 （一）教学知识点：角的平分线的性质 （二）能力训练要求 1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题． （三）情感与价值观要求 通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力， 激发学生学习数学的兴趣． 教学重点：角平分线的性质及其应用． 教学难点：灵活应用两个性质解决问题． 教学方法：探索、归纳的方法． 教学过程 一．创设情境，引入新课 [师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角 的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸 片展开，又看到了什么？ 二．导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论． 操作： 1．折出如图所示的折痕 PD、PE． 2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求． 画一画： 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画 PD、PE 是否等长？ 拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的． 问题 1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？ 问题 2：（出示投影片） 能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表： 学生通过讨论作出下列概括： 已知事项：OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E 为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE． 于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等． [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影） 问题 3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言 填写下表： 下面请同学们思考一个问题． 思考：如图所示，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁 路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）？ 1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问 题？ 2．比例尺为 1：20000 是什么意思？ 讨论结果展示： 1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并 且要求离角的顶点 500 米处． 2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一 个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为 1：20000，其实就是图中 1cm表示实际距离 200m 的意思．作图如下： 第一步：尺规作图法作出∠AOB 的平分线 OP． 第二步：在射线 OP 上截取 OC=2.5cm，确定 C 点，C 点就是集贸市场所建地了． 总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以 若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题． [例]如图，△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P． 求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等． [师生共析]点 P 到 AB、BC、CA 的垂线段 PD、PE、PF 的长就是 P 点到三边的距离，也就 是说要证：PD=PE=PF．而 BM、CN 分别是∠B、∠C 的平分线，根据角平分线性质和等式的传 递性可以解决这个问题． 证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为 D、E、F． 因为 BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上． 所以 PD=PE． 同理 PE=PF． 所以 PD=PE=PF． 即点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等． 三．随堂练习 1．课本 P22 练习． 2．课本 P22 习题 11．3 第 3 题． 在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等． 四．课时小结 今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等； ②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入， 解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利 用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等． 五．课后作业：课本 P22 页习题 11．3 第 4、5、6 题． 第十二章 轴对称 §12．1 轴对称（一） 教学目标 1．在生活实例中认识轴对称图． 2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念． 教学重点：轴对称图形的概念． 教学难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴． 教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往 也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称 性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图 形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐． 轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对称．今天我们 来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴． Ⅱ．导入新课 出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征． 这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合． 小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生 活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有 对称特征的例子． 结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴 对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做． 取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后 铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流． 结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合． 由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重 合． 接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的 轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。 下列各图，你能找出它们的对称轴吗？ 结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4） 有两条对称轴；图（5）有七条对称轴． (1) (2) (3) (4) (5)展示 挂图，大家想一想，你发现了什么？ 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． Ⅲ．随堂练习：课本 P30 练习和 P31 练习 Ⅳ．课时小结 这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对 称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称． Ⅴ．作业：课本 P36 习题 12．1 第 1、2、6、7、8 题． Ⅵ．活动与探究：课本 P31 思考． 成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两 个图形全等吗？这两个图形对称吗？ 过程：在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合．再 在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，再沿对称轴剪开，看两部分是否能 够完全重合． 结论：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两 个图形全等，并且也是成轴对称的． 轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形． 轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿 对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对 称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 板书设计 §12．1 轴对称（一） 一、轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图 形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． 二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重 合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． §12．1 轴对称（二） 教学目标 1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质． 2．探究线段垂直平分线的性质． 3．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察． 教学重点; 1．轴对称的性质． 2．线段垂直平分线的性质． 教学难点： 体验轴对称的特征． 教学过程： Ⅰ．创设情境，引入新课 上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非 常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？ 今天继续来研究轴对称的性质． Ⅱ．导入新课：观看投影并思考． 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线 MN 对称，点 A′、B′、C′ 分别是点 A、B、C 的对称点，线段 AA′、BB′、CC′与直线 MN 有什 么关系？ 图中 A、A′是对称点，AA′与 MN 垂直，BB′和 CC′也与 MN 垂 直． AA′、BB′和 CC′与 MN 除了垂直以外还有什么关系吗？ △ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对称，点 A′、B′、C′分别是 点 A、B、C 的对称点，设 AA′交对称轴 MN 于点 P，将△ABC 和△A′B′ C′沿 MN 对折后，点 A 与 A′重合，于是有 AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以 AA′、BB′ 和 CC′与 MN 除了垂直以外，MN 还经过线段 AA′、BB′和 CC′的中点． 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 下面我们来探究线段垂直平分线的性质． [探究 1] 如下图．木条 L 与 AB 钉在一起，L 垂直平分 AB，P1，P2，P3，… 是 L 上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，…到 A 与 B 的距离，你有 什 么 发现？ 1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段 AB，过 AB 中 点 作 AB 的垂直平分线 L，在 L 上取 P1、P2、P3…，连结 AP1、AP2、 BP1 、 BP2、CP1、CP2… 2．作好图后，用直尺量出 AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 讨 论 发现什么样的规律． 探究结果： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即 AP1=BP1，AP2=BP2，… [探究 2] 如右图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”， “箭” 通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直 呢？为 什么？ 活动：1．用平面图形将上述问题进行转化．作线段 AB，取其 中 点 P，过 P 作 L，在 L 上取点 P1、P2，连结 AP1、AP2、 BP1、BP2．会有以下两种可能． 2．讨论：要使 L 与 AB 垂直，AP1、AP2、BP1、 BP2 应满足什么条件？ 探究过程： 1．如上图甲，若 AP1≠BP1，那么沿 L 将图形折 叠后，A 与 B 不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1， 即 L 与 AB 不垂直． 2．如上图乙，若 AP1=BP1，那么沿 L 将图形折叠后，A 与 B 恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1， 即 L 与 AB 重合．当 AP2=BP2 时，亦然． 探究结论： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[探究 2] 图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直． [师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上 的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的 垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合． Ⅲ．随堂练习： 课本 P34 练习 1、2． Ⅳ．课时小结 这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学 们应灵活运用这些性质来解决问题． Ⅴ．课后作业： 课本 P36 习题 12．1 第 3、4、9 题． 板书设计 §12．1 轴对称（二） 一、复习：轴对称图形． 二、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂 直平分线． 三、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称 点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直 平分线． 四、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反 过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上． §12．2．1 作轴对称图形 教学目标 1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换． 2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形． 教学重点 1．轴对称变换的定义． 2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形． 教学难点 1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形． 2．利用轴对称进行一些图案设计． 教学过程 Ⅰ．设置情境，引入新课 在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节 课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同 学们完成的怎么样． 将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是关 于折痕成轴对称的图形． 准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对 折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，位于折痕两侧的墨迹图案也是对 称的． 这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形． Ⅱ．导入新课 由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到 美丽的图案。对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家 看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变 化在图案设计中的奇妙用途． 下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得到 了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下． 结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线 L 对称的图形，这个图形与原图形的 形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线 L 的对称点；连 结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换． 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个 轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的． 取一张长 30 厘米，宽 6 厘米的纸条，将它每 3 厘米一段，一正一反像“手风琴”那样 折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母 E，用小刀把画出的字母 E 挖去，拉开“手风琴”，你 就可以得到以字母 E 为图案的花边．回答下列问题． （1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？相间的两个图案又有什么关系？ 说说你的理由． （2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？三个图案为一组呢？ 为什么？ （3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步 骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做． 注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些． （三）回顾本节课内容，然后小结． Ⅳ．课时小结 本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴 对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和 方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案． Ⅴ．动手并思考 （一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形， 再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含 90°角的部分，拆开折叠的纸， 并将其铺平． （1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做． （2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试． （3）如果将正方形纸按上面方式折 3 次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后 结果又会怎样？为什么？ （4）当纸对折 2 次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3 次呢？ 答案：（1）得到一个有 2 条对称轴的图形． （2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的 2 条对称轴；因此（1）中的图案 一定有 2 条对称轴． （3）按题中的方式将正方形对折 3 次，相当于折出了正方形的 4 条对称轴，因此得到 的图案一定有 4 条对称轴． （4）当纸对折 2 次，剪出的图案至少有 2 条对称轴；当纸对折 3 次，剪出的图案至少 有 4 条对称轴． （二）自己设计并制作一个花边． 作业：P45 习题 12.2 第 1、5 题 板书设计 §12．2．1．1 作轴对称图形 一．如何由一个平面图形得到它的轴对称图形．二。 利用轴对称设计图案 12．2 .2 用坐标表示轴对称 教学目标 1、在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系，2、2、再 利用轴对称的性质作出成轴对称的图形 教学重点：用坐标表示轴对称 教学难点：利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点 教学过程： 一、复习轴对称图形的有关性质 二、新授： 1．学生探索： 点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标(x,－y)；点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标(－x,y)； 点(x,y)关于原点对称的点的坐标(－x,－y) 2．例 3 四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－ 5,4)，分别作出与四边形 ABCD 关于 x 轴和 y 轴对称的图形． （1）归纳：与已知点关于 y 轴或 x 轴对称的点的坐标的规律； （2）学生画图 （3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连 接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形． 3、探究问题 分别作出△PQR 关于直线 x=1(记为 m)和直线 y=－1(记为 n)对称的图形，你能发现它们的 对应点的坐标之间分别有什么关系吗？ （1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系 （2）若△P 1 Q 1 R 1 中 P 1 (x 1 ,y 1 )关于 x=1(记为 m)轴对称的点的坐标 P 2 (x 2 ,y 2 ) ， 则 mxx  2 21 ，y 1 = y 2 。 若△P 1 Q 1 R 1 中 P 1 (x 1 ,y 1 )关于 y=－1(记为 n)轴对称的点的坐标 P 2 (x 2 ,y 2 ) ， 则 x 1 = x 2 ， 2 21 yy  =n． 三、练习：课本 P44 第 1、2、3 题 四、作业：课本 P45 第 2、3、4、6 题 §12．3．1．1 等腰三角形（一） 教学目标 1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质． 3．等腰三角形的概念及性质的应用． 教学重点： 1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用． 教学难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简 单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这 节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称 图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ 有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． 问题：那什么样的三角形是轴对称图形？ 满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部 分能够完全重合的就是轴对称图形． 我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课： 要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形． A B I C A B I 作一条直线 L，在 L 上取点 A，在 L 外取点 B，作出点 B 关于直线 L 的对称点 C，连结 AB、 BC、CA，则可得到一个等腰三角形． 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一 边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三 角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． 思考： 1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？ 3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？ 结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三 角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对 称轴是顶角的平分线所在的直线． 要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么 关系． 沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三 角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． 由此可以得到等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线 合一”）． 由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的 三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）． [例 1]如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD， 求：△ABC 各角的度数． 分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC， 再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． 再由三角形内角和为 180°，就可求出△ABC 的三个内角． 把∠A 设为 x 的话，那么∠ABC、∠C 都可以用 x 来表示，这样过程就更 简捷． 解：因为 AB=AC，BD=BC=AD， 所以∠ABC=∠C=∠BDC． ∠A=∠ABD（等边对等角）． 设∠A=x，则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x． 于是在△ABC 中，有 D C A B ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得 x=36°． 在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°． [师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习：1.课本 P51 练习 1、2、3． 2．阅读课本 P49～P51，然后小结． Ⅳ．课时小结 这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴 对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且 它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高． 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．作业： 课本 P56 习题 12.3 第 1、2、3、4 题． 板书设计 12．3．1．1 等腰三角形 一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质： 1．等边对等角 2．三线合一 §12．3．1．1 等腰三角形（二） 教学目标 1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论 2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系. 教学重点：等腰三角形的判定定理及推论的运用 教学难点：正确区分等腰三角形的判定与性质，能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的 相等关系. 教学过程： 一、复习等腰三角形的性质 二、新授： I 提出问题，创设情境 出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上 一棵树(B 点)为 B 标，然后在这棵树的正南方(南岸 A 点抽一小旗作标志)沿 南偏东 60°方向走一段距离到 C 处时，测得∠ACB 为 30°，这时，地质专家 测得 AC 的长度就可知河流宽度． 学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学 生学习“等腰三角形的判定”． II 引入新课 1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC 中，苦∠B=∠C，则 AB= AC 吗？ 作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？ 2．引导学生根据图形，写出已知、求证． 2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)． 强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于 性质定理可简称“等角对等边”． 4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据． III 例题与练习 1．如图 2 其中△ABC 是等腰三角形的是 [ ] 2．①如图 3，已知△ABC 中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)． ②如图 4，已知△ABC 中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC 是______三角形(根据什么？)． ③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，判断图 5 中等腰三角形有 ______． ④若已知 AD＝4cm，则 BC______cm． 3．以问题形式引出推论 l______． 4．以问题形式引出推论 2______． 例： 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形． 分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明． 练习：5．(l)如图 6，在△ABC 中，AB=AC，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 F，过 F 作 DE//BC， 交 AB 于点 D，交 AC 于 E．问图中哪些三角形是等腰三角形？ (2)上题中，若去掉条件 AB=AC，其他条件不变，图 6 中还有等腰三角形吗？ 练习：P53 练习 1、2、3。 IV 课堂小结 1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？ 2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？ 3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？ 4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？ V 布置作业：P56 页习题 12.3 第 5、6 题 12．3．２ 等边三角形(一) 教学目的 1、使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。 2、熟识等边三角形的性质及判定． 教学重点：等腰三角形的性质及其应用。 教学难点：简洁的逻辑推理。 教学过程 一、复习巩固 1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的? 等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折，折叠两部 分是互相重合的，即 AB 与 AC 重合，点 B 与点 C 重合，线段 BD 与 CD 也重合，所以∠B＝∠C。 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。 由于 AD 为等腰三角形的对称轴，所以 BD＝ CD，AD 为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD 为 顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 又为底边上的高，因此“三线合一”。 2．若等腰三角形的两边长为 3 和 4，则其周长为多少? 二、新课 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。 我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 等边三角形具有什么性质呢? 1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。 2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的? 等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质 得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝ ∠C＝60°。 3．上面的条件和结论如何叙述? 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60°。 等边三角形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 等边三角形也称为正三角形。 例 1．在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的中点，∠B＝30°，求∠1 和∠ADC 的度数。 分析：由 AB＝AC，D 为 BC 的中点，可知 AB 为 BC 底边上的中线，由“三线合一”可 知 AD 是△ABC 的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B ＝30°，∠BAC 可求，所以∠1 可求。 问题 1：本题若将 D 是 BC 边上的中点这一条件改为 AD 为等腰三角形顶角平分线或底边 BC 上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样? 问题 2：求∠1 是否还有其它方法? 三、练习巩固 1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。 a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( ) b．有一个角是 60°的等腰三角形，其它两个内角也为 60°( ) 2．如图(2)，在△ABC 中，已知 AB＝AC，AD 为∠BAC 的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB 和∠ B 的度数。 3．P54 练习 1、2。 四、小结 由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为 60°。“三线合一”性质 在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中 一个结论成立的条件。 五、作业： 1．课本 P57 第７，９题。 2、补充：如图(3)，△ABC 是等边三角形，BD、CE 是中线，求∠CBD，∠BOE，∠BOC，∠ EOD 的度数。 §12．3．2 等边三角形（二） 教学目标 1．掌握等边三角形的性质和判定方法． 2.培养分析问题、解决问题的能力． 教学重点：等边三角形的性质和判定方法． 教学难点：等边三角形性质的应用 教学过程 I 创设情境，提出问题 回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识 1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 2．等边三角形每一个角相等，都等于 60° 3．三个角都相等的三角形是等边三角形． 4．有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 其中 1、2 是等边三角形的性质；3、4 的等边三角形的判断方法． II 例题与练习 1．△ABC 是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE 都是等边三角形吗，为什么? ①在边 AB、AC 上分别截取 AD=AE． ②作∠ADE＝60°，D、E 分别在边 AB、AC 上． ③过边 AB 上 D 点作 DE∥BC，交边 AC 于 E 点． 2． 已知：如右图，P、Q 是△ABC 的边 BC 上的两点，，并且 PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC 的 大小． 分析：由已知显然可知三角形 APQ 是等边三角形，每个角都是 60°．又知△APB 与△AQC 都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得∠PAB＝30°． 1． P56 页练习 1、2 III 课堂小结：1.等腰三角形和性质；等腰三角形的条件 V 布置作业： 1．P58 页习题 12．3 第 ll 题． 2.已知等边△ABC，求平面内一点 P，满足 A，B，C，P 四点中的任意三点连线都构成等 腰三角形．这样的点有多少个? §12．3．2 等边三角形（三） 教学过程 一、 复习等腰三角形的判定与性质 二、 新授： 1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是 60°；三边上的中线、高、角平分线相等 2．等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 注意：推论 1 是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论 2 说明在等腰三角形中， 只要有一个角是 600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推 论 3 反映的是直角三角形中边与角之间的关系. 3．由学生解答课本 148 页的例子； 4．补充：已知如图所示, 在△ABC 中, BD 是 AC 边上的中线, DB⊥BC 于 B, ∠ABC=120o, 求证: AB=2BC 分析 由已知条件可得∠ABD=30o, 如能构造有一个锐角是 30o 的直角三角形, 斜边是 AB,30o 角所对的边是与 BC 相等的线段,问题就得到解决了. 5、训练：如图所示,在等边△ABC 的边的延长 线上取一点 E,以 CE 为边作等边△CDE,使它与△ABC 位于直线 AE 的 同 一 侧, 点 M 为线段 AD 的中点,点 N 为线段 BE 的中点,求证: △CNM 是等边三 角形. 分析 由已知易证明△ADC≌△BEC,得 BE=AD,∠EBC=∠ DAE,而M、N分别为BE、AD 的中点，于是有BN=AM， 要证明△CNM 是 等边三角形，只须证 MC=CN，∠MCN=60o，所以 要证△NBC≌△ MAC，由上述已推出的结论，根据边角边公里， 可证得△NBC≌ △MAC 解题小结 1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问 题经常用这种方法进行分析 2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN 是一个含 60o 角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题 的关键. 三、小结本节知识 四、作业：课本 P58 页第 13，14 题 B ． 第十五章 整式的乘法 15.1.1 同底数幂的乘法 教学目的： 1、能归纳同底数幂的乘法法则，并正确理解其意义； 2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算，对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应 有充分的认识，并能与加减运算加以区分；了解公式的逆向运用； 教学重点：同底数幂的乘法法则 难点：底数的不同情形，尤其是底数为多项式时的变号过程 一、创设情境，激发求知欲 课本第 140 页的引例 二、复习提问 1．乘方的意义：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫乘方 2.指出下列各式的底数与指数： (1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23． 其中，(-2)3 与-23 的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4 与-24 呢？ 三、讲授新课 1．（课本 141 页 问题） 利用乘方概念计算：1014×103． 2、 计算观察，探索规律：完成课本第 141 页的“探索”，学生“概括”am×an=…=am+n； 3、 观察上式，找出其中包含的特征：左边的底数相同，进行乘法运算； 右边的底数与左边相同，指数相加 4、 归纳法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 三、实践应用，巩固创新 例 1、计算： (1)x2 ·x5 (2)a·a6 (3) 2×24×23 (4) xm ·x3m + 1 练习： 1．课本第 142 页：(学生板演过程，写出中间步骤以体现应用法则） 2．随堂巩固：下面计算否正确？若不正确请加以纠正。 ①a6·a6＝2a6 ②a2+a4＝a6 ③ a2·a4 =a8 例 2、计算： 要点指导： 底数中负号的处理；能化为同底数幂的数字底数的处理；多项式底数及符号的处 理。 例 3、 （1）填空：⑴若 xm+n×xm-n=x9；则 m= ； ⑵2m=16，2n=8，则 2m+n = 。 四、归纳小结，布置作业 小结：1、同底数幂相乘的法则； 2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形； 3、相同的底数可以是单项式，也可以是多项式； 4、要注意与加减运算的区别。 15.1.2 幂的乘方 教学目标： 1、经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义； 2、了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. 教学重点：幂的乘方的运算性质及其应用. 教学难点：幂的运算性质的灵活运用. 一：知识回顾 1．讲评作业中出现的错误 2．同底数幂的乘法的应用的练习 二：新课引入 探究：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律： （1）（32）3= 32 × 32 × 32 = 3 ﹝ ﹞ （2）（a2）3 = a2·a2·a2 = a ﹝ ﹞ （3）（am）3 = am·am ·am = a﹝ ﹞ （4）（am）n =    man mmm aaa 个  =    mn mmma 个  = amn． 观察结果，发现幂在进行乘方运算时，可以转化为指数的乘法运算． 引导学生归纳同底数幂的乘法法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：（am）n＝amn（m、n 都是正整数）． 二、知识应用 例题 ：（1）（103）5； （2）（a4）4； （3）（am）2；（4）－（x4）3； 说明：－（x4）3 表示（x4）3 的相反数 练习：课本第 143 页 （ 学生黑板演板） 补充例题： （1）（y2）3·y （2）2（a2）6－（a3）4 （3）（ab2）3 (4) - ( - 2a 2b)4 说明：（1） （y2）3·y 中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方， 再做乘法，所以，（y2）3·y = y2×3·y = y6+1 = y7； （2） 2（a2）6－（a3）4 按运算顺序应先算乘方，最后再化简．所以，2（a2）6－（a3）4=2a2 ×6－a3×4=2a12－a12=a12． 三 幂的乘方法则的逆用 mnnmmn aaa )()(  ． （1）x13·x7=x（ ）=（ ）5=（ ）4=（ ）10； （2）a2m =（ ）2 =（ ）m （m 为正整数）． 练习： 1．已知 3×9n=37，求 n 的值． 2．已知 a3n=5，b2n=3，求 a6nb4n 的值． 3．设 n 为正整数，且 x2n=2，求 9（x3n）2 的值． 四、归纳小结、布置作业 小结：幂的乘方法则． 15.1.3 积的乘方 教学目标： 1、经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义； 2、了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题． 教学重点：积的乘方的运算性质及其应用． 教学难点：积的乘方运算性质的灵活运用． 教学过程： 一．创设情境，复习导入 1 ．前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质，请同学们通过完成一组练 习，来回顾一下这两个性质： （1） （2） （3） （4） 2．探索新知，讲授新课 （1）(3×5)7 ——积的乘方 =     )53(7 )53()53()53(   个 ——幂的意义 =   37 )333( 个  ×     57 )555( 个  ——乘法交换律、结合律 =37×57； ——乘方的意义 （2） （ab）2 = (ab) · (ab) = (a·a) ·(b ·b) = a( ) b( ) (3) （a2b3）3 = (a2b3) · ( a2b3) ·( a2b3) = （a2 ·a2· a2 ) ·(b3·b3·b3) = a( ) b( ) (4) (ab)n =     abn ababab 个 )()()( ——幂的意义 =     an aaaa 个 )( ·     bn bbbb 个 )( ——乘法交换律、结合律 =anbn ． ——乘方的意义 由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质： 积的乘方，等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘． 即：(ab)n=an·bn 二、知识应用，巩固提高 例题 3 计算 （1）(2a )3； （2）(－5b)3； （3）( xy2 )2； （4）(- 2／3x3)4． （5）(－2xy)4 （6）（2×103 ）2 说明： （5）意在将(ab)n=anbn 推广，得到了(abc)n=anbncn 判断对错：下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ ① ② ③ 练习：课本第 144 页 三．综合尝试，巩固知识 补充例题： 计算： （1） （2） 四．逆用公式： baab nnn）（ ，即 ）（abba nnn  预备题：（1） （2） 例题：（1）0．12516·(－8) 17；（2） 20032004 5 3213 5 （2）已知 2m=3，2n=5，求 23m+2n 的值． （注解）：23m+2n=23m·22n=(2m)3·(2n)2=33·52=27×25=675． 四、归纳小结、布置作业 作业：习题 15.1 15．1．4 整式的乘法 （单项式乘以单项式） 教学目标：经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。 教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则的探索． 教学难点：灵活运用法则进行计算和化简． 教学过程： 一． 复习巩固： 同底数幂，幂的乘方，积的乘方三个法则的区分。 二． 提出问题，引入新课 （课本引例）：光的速度约为 3×105 千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是 5×102 秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？ （1）怎样计算（3×105）×（5×102）?计算过程中用到哪些运算律及运算性质？ （2）如果将上式中的数字改为字母，比如 ac5•bc2 怎样计算这个式子？ 说明：（3×105） ×（5×102），它们相乘是单项式与单项式相乘． ac5•bc2 是两个单项式 ac5 与 bc2 相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运 算性质来计算：ac5•bc2＝（a•b）•（c5•c2）=abc5+2=abc7． 三． 单项式乘以单项式的运算法则及应用 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有 的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例 4 （课本例题） 计算：（学生黑板演板） （1）（－5a2b）（－3a）； （2）（2x）3（－5xy2）． 练习 1（课本）计算： （1）3x25x3； （2）4y（－2xy2）； （3）（3x2y）3•（－4x）； （4）（－2a）3（－3a）2． 练习 2（课本）下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）3a3•2a2 = 6a6； （2）2x2 • 3x2 = 6x4 ； （3）3x2 • 4x2 = 12x2； （4）5y3 • y5 = 15y15． 四．巩固提高 （补充例题）： 1．（-2x2y）·(1/3xy2) 2.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2) 3.(2×105)2·(4×103) 4.(-4xy)·(-x2y2)·(1/2y3) 5.(-1/2ab2c)2·(-1/3ab3c2)3·(12a3b) 6.(-ab3)·(-a2b)3 7.(-2xn+1yn)·(-3xy)·(-1/2x2z) 8.-6m2n·(x-y)3·1/3mn2·(y-x)2 五．小结作业 方法归纳： （1） 积的系数等于各系数的积，应先确定符号。 （2） 相同字母相乘，是同底数幂的乘法。 （3） 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式丢掉。 （4） 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 （5） 单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 作业：课本 149 页 3 15．1．4 整式的乘法 （单项式乘以多项式） 教学目标：经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。 教学重点：单项式与多项式相乘的运算法则的探索． 教学难点：灵活运用法则进行计算和化简． 教学过程： 一． 复习旧知 1． 单项式乘单项式的运算法则 2． 练习：9x2y3·(-2xy2) (-3ab)3·(1/3abz) 3． 合并同类项的知识 二、问题引入，探究单项式与多项式相乘的法则 （课本内容）：三家连锁店以相同的价格 m（单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内 的销售量（单位：瓶）分别是 a、b、c．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商 品的总收入吗？ 学生独立思考，然后讨论交流．经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量， 再求总收入，为：m（a＋b＋c）． 另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入，再求它们的和，即：ma＋mb＋mc． 由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此 m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc． 学生归纳：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相 加． 引导学生体会：单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘， 三．讲解例题 1. 例题 5（课本） 计算： （1）（－4x2）（3x+1）； （2） ababab 2 1)23 2( 2  2 .补充例题 1： 化简求值: (-3x)2 － 2x ( x+3 ) + x·x +2x ·(- 4x + 3)+ 2007 其中：x = 2008 练习：课本 146 页 1、2 3.补充练习： 计算 1．2ab（5ab2+3a2b）； 2．（ 3 2 ab2－2ab）· 2 1 ab； 3．－6x（x－3y）； 4．－2a2（ 2 1 ab+b2）． 5．（-2a2）·(1/2ab + b2) 6. (2/3 x2y － 6x y)·1/2xy2 7. (-3 x2)·(4x 2－ 4/9x + 1) 8 3ab·( 6 a2b4 －3ab + 3/2ab3 ) 9. 1/3xny ·(3/4x2－1/2xy－2/3y－1/2x2y) 10. ( - ab)2 ·( -3ab)2·(2/3a2b + a3·a2·a －1/3a ) 四．小结归纳，布置作业： 作业：课本第 149 页 4 15．1．4 整式的乘法（多项式乘以多项式） 教学目标：经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算． 教学重点：多项式与多项式相乘的运算法则的探索 教学难点：灵活运用法则进行计算和化简． 教学过程： 一．复习旧知 讲评作业 二．创设情景，引入新课 （课本）如图，为了扩大街心花 园的绿地面积，把一块原长 a 米、宽 m 米的长方形绿地，增长了 b 米，加宽 了 n 米．你能用几种方法求出扩大后 的绿地面积？ 一种计算方法是先分别求出四个 长方形的面积，再求它们的和，即 （am+an+bm+bn）米 2． 另一种计算方法是先计算大长方 形的长和宽，然后利用长乘以宽得出大长方形的面积，即（a +b）（m＋n）米 2． 由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此 （a +b）（m＋n）= am+an+bm+bn． 教师根据学生讨论情况适当提醒和启发，然后对讨论结果（a +b）（m＋n）=am+an+bm+bn 进行分析，可以把 m＋n 看做一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得 （a +b）（m＋n）＝a（m＋n）＋b（m＋n）， 再利用单项式与多项式相乘的法则，得 a（m＋n）＋b（m＋n）= am+an+bm+bn． 学生归纳：多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加． 三、应用提高、拓展创新 例 6（课本）：计算 （1）（3x+1）(x+2) ; (2) (x －8y)(x－y) ; (3) (x+y)(x2－xy+y2) 进行运算时应注意：不漏不重，符号问题，合并同类项 练习：（课本）148 页 1 2 补充例题： 1. (a+b)(a－b)－(a+2b)(a－b) 2. (3x4－3x2+1)(x4+x2－2) m n a b ｂｎ ｂｍaｍ aｎ 3. (x－1)(x+1)(x2+1) 4. 当 a=-1/2 时，求代数式 (2a－b)(2a+b)+(2a－b)(b－4a)+2b(b－3a)的值 四．归纳总结，布置作业 课本 149 页 5 15.2.1 平方差公式 教学目标：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算． 教学重点：平方差公式的推导和应用． 教学难点：灵活运用平方差公式解决实际问题． 过程： 一．创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动 1 知识复习 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加． （a+b）（m+n）=am+an+bm+bn 活动 2 计算下列各题，你能发现什么规律？ （1）（x+1）（x－1）； （2）（a+2）（a－2）； （3）（3－x）（3+x）； （4）（2m+n）（2m－n）． 再计算：（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2． 得出平方差公式 （a+b）（a－b）= a2－b2．即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差． 活动 3 请用剪刀从边长为 a 的正方形纸板上，剪下一个边长为 b 的小正方形（如图 1），然 后拼成如图 2 的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？ 图 1 图 2 图 1 中剪去一个边长为 b 的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为 （a2－b2）． 在图 2 中，长方形的长和宽分别为（a+b）、（a－b），所以面积为 （a+b）（a－b）． 这两部分面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）= a2－b2． 二、知识应用，巩固提高 例 1 计算： （1）（3x＋2）（3 x－2）； （2）（－x+2y）（－x－2y） （3）（b+2a）（2a－b）； （4）(3+2a) (－3+2a) 练习：加深对平方差公式的理解 （课本 153 页练习 1 有同种题型） 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） （1）（x+1）（1+x）； （2）（ 2 1 a+b）（b－ 2 1 a）； （3）（－a+b）（a－b）； （4）（x2－y）（x+y2）； （5）（－a－b）（a－b）； （6）（c2－d2）（d 2+c2）． 例题 2：计算 （1）102×98 （2）（y+2）(y-2)－(y－1)(y+5) （3）（a+b+c）(a－b+c)（补充） (4) 20042－20032（补充） （5） （a + 3 ）(a － 3)( a2 + 9 ) （补充） 说明：（3）意在说明公式中的 a,b 可以是单项式，也可以是多项式 (4) 意在说明公式的逆用 练习：课本 153 页 2 四、归纳小结、布置作业 课本习题 156 页 习题 1 ； 5 15.2.2 完全平方公式 （第 1 课时） 教学目标：完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何背景；体会公式中字母的广 泛含义，它可以是数，也可以是整式． 教学重点：（1）完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释； （2）完全平方公式的应用． 教学难点：完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用． 教学过程： 一、 激发学生兴趣，引出本节内容 活动 1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________； （2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________； （3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________； （4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________． 答案：（1）p2+2p+1； （2）m2+4m+4； （3）p2－2p+1； （4）m2－4m+4． 活动 2 在上述活动中我们发现（a＋b）2＝ 22 2 baba  ，是否对任意的 a、b，上述式 子都成立呢？ 学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并 进行归纳，用多项式乘法法则可得 （a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． （a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2 =a2－2ab+b2． 二、问题引申，总结归纳完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍，即 （a + b）2=a2+2ab+b2， （a－b）2=a2－2ab+b2． 在交流中让学生归纳完全平方公式的特征： （1）左边为两个数的和或差的平方； （2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的 2 倍． 活动 4 你能根据教材中的图 15．2-2 和图 15．2-3 中的面积说明完全平方公式吗? 三．例题讲解，巩固新知 例 3：（课本）运用完全平方公式计算 （1） （4m+ n）2 ; (2) (y－1/2)2 补充例题：运用完全平方公式计算 （1）（－x+2y）2； （2）（－x－y）2； (3) ( x + y ）2－（x－y）2． 说明：（1）题可转化为（2y－x）2 或（x－2y）2，再运用完全平方公式； （2）题可以转化为（x+y）2，利用和的完全平方公式； （3）题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算． 例 4：（课本） 运用完全平方公式计算 （1）1022； （2）992． 思考：（a+b）2 与（－a－b）2 相等吗？为什么? （a－b）2 与（b－a）2 相等吗？为什么? （a－b）2 与 a2－b2 相等吗？为什么? 练习：课本 155 页 1 ；2 补充例题： (1) 如果 x 2 + kxy + 9y2 是一个完全平方式，求 k 的值 (2) 已知 x+y=8，xy=12，求 x2 + y2 ； （x － y ）2 的值 (3) 已知 a + 1/a = 3 ,求 a2 + 1/a2 四、归纳小结、布置作业 小结：完全平方公式． 作业：课本 156 页 习题 2 ； 6； 7 15.2.2 完全平方公式(第 2 课时) 教学目标：熟练掌握完全平方公式及其应用，理解公式中添括号的方法 重点：添括号法则及完全平方公式的灵活应用 难点：添括号法则及完全平方公式的灵活应用 内容： 一 复习旧知，引入添括号法则 去括号法则：a +(b+c) = a+b+c a －(b+c) = a － b － c 添括号法则：a+b+c = a +(b+c) a － b － c = a －(b+c) 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括 到括号里的各项都改变符号。 练习：（课本 156 页 练习 1 有同种类型题） a + b －c = a +(b － c ) = a － (- b + c ) a － b + c = a + ( - b + c ) = a － ( b － c ) 二 讲解例题，巩固新知 例题 5 运用乘法公式计算：(课本) （1）（ x + 2y － 3 ） ( x -2y + 3) （2）（a + b +c ）2． 练习 ： 课本 156 页 练习 2 三 补充例题，开阔眼界 1 利用乘法公式化简求值题 （2x + y ）2 － ( x + y )(x – y) ，其中 x = 1 ,y = - 2 2 乘法公式在解方程和不等式中的应用 ①已知(a +b )2 = 7 ,( a － b )2 = 4 求 a 2+ b 2 和 ab 的值 ②解不等式： ( 2x －5 ) (- 5 －2x) + (x + 5 )2﹥ 3x (- x + 2 ) 3 与三角形知识相结合的应用 已知三角形 ABC 的三边长 a 、b、c ，满足 a2 + b2 + c2- ab – bc - ac = 0，试判断三角形的形状。 四 总结归纳，布置作业 添括号法则 作业： 课本 157 页 3 ；4；5；8；9；（根据学生情况酌定） 15. 3. 1 同底数幂的除法 教学目标： 1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力 和有条理的表达能力。 2、了解同底数幂的除法的运算性质，并能解一些实际问题。 教学重点：公式的实际应用。 教学难点：a0＝1 中 a≠0 的规定。 教学过程： 一、 探索同底数幂的除法法则 1、根据除法的意义填空，并探索其规律 （1）5 5÷5 3＝5（ ） （2）107÷105＝10（ ） （3）a6÷a3＝a（ ） 推导公式：a m ÷a n ＝ a m － n（a≠0，m、n 为正整数，且 m＞n） 归纳：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2、比较公式 a m·an＝am + n （am）n＝ aM N （ab）m ＝ a m bm am ÷an ＝am - n 比较其异同，强调其适用条件 二、 实际应用 例 1：计算 （1）x8÷x2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2 例 2：一种数码照片的文件大小是 28 K，一个存储量为 26 M（1M＝210K）的移动存储器能 存储多少张这样的数码照片？ 解：26 M＝26×210 K＝216 K 216÷28＝28（张）＝256（张） 三、 探究 a0 的意义 根据除法的意义填空，你能得什么结论？ （1）32÷32＝ （2）103÷103＝ （3）am÷am＝ （a≠0） 由除法意义得：am÷an＝1 （a≠0） 如果依照 am÷am＝am - m＝a0 于是规定：a0＝1 （a≠0） 即任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 四、练习：P160 1、2、3 五、作业：P164 习题 15.3 1、4、5、7 15.3. 2 整式的除法（1） 教学目标：经历探索单项式除以单项式法则的过程，会进行单项式除以单项式的运算。 教学重点：运用法则计算单项式除法 教学难点：法则的探索 教学过程： 一、提出问题，引入新课］ 问题：木星的质量约是 1.90×1024 吨，地球的质量约是 5.98×1021 吨，你知道木星的质量 约为地球质量的多少倍吗？ 如何计算：（1.90×1024）÷（5.98×1021），并说明依据。 二、讨论问题，得出法则 讨论如何计算： （1）8a3÷2a （2）6x3y÷3xy （3）12a3b3x3÷3ab2 ［注：8a3÷2a 就是（8a3）÷（2a）］ 由学生完成上面练习，并得出单项式除单项式法则。 单项式除以单项式法则： 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字 母，则连同它的指数作为商的一个因式。 三、法则的应用 例 1：计算 （1）28x4y2÷7x3y （2）－5a5b3c÷15a4b 练习：P162 1、2 例 2：计算下列各题 （1）（a＋b）4÷（a＋b）2 （2）［（x－y）3］3÷［（y－x）2］4 （3）（－6x2y）3÷（－3xy）3 例 3：当 x＝－2，y＝1/4 时，求代数式： （－4x2）÷(-4x)2＋12x3y2÷(-4x2y)－24x4y3÷(-4x3y2)的值 例 4：已知 5m＝3 25m＝11，求 5 3m － 2n 的值。 四、归纳小结，布置作业 本节所学法则可与前面所学的三个法则比较，理解并记忆。 五、学校作业：P164 2、4、5、6 补充作业： 1、月球距离地球大约 3.84×105km，一架飞机的速度约为 8×102km/h，如果坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多长时间？ 2、观察下面一列式子，根据你所看到的规律进行填空： a，－2a2，4a2，－8a2，……，第 10 项为 ，第 n 项为 。 3、已知 am＝4，an＝3，ak＝2 则 am - 3k + 2n＝ 4、16m÷4n÷2 等于（ ） （A）2m-n-1 (B)22M-N-2 (C)23m-2n-1 (D)24m-2n-1 15. 3. 3 整式的除法（2） 教学目标：经历探索多项式除以单项式法则的过程，会进行多项式除以单项式的运算。 教学重点：运用法则计算多项式除以单项式。 教学难点： （1）法则的探索； （2）法则的逆应用； 教学过程: 一、复习旧知: 计算: （1）am÷m＋bm÷m （2）a2÷a＋ab÷a （3）4x2y÷2xy＋2xy2÷2xy 二、探索多项式除以单项式法则 计算：（am＋bm）÷m，并说明计算的依据 ∵（a＋b）m = am＋bm ∴（am＋bm）÷m=a＋b 又 am÷m＋bm÷m＝a＋b 故（am＋bm）÷m＝am÷m＋bm÷m 用语言描述上式，得到多项式除以单项式法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 根据法则：（a2＋ab）÷a＝ ＋ 三、实践应用 例 1：计算 （1）（4x2y＋2xy2）÷2xy （2）（12a3－6a2＋3a）÷3a （3）（21x4y3－35x3y2＋7x2y2）÷（－7x2y） （4）［（x＋y）2－y（2x＋y）－8x］÷2x 练习：P163 （1）（2）（3）（4） 例 2:计算 （1）（2/5a3x4－0.9ax3）÷3/5ax3 （2）（2/5x3y2－7xy2＋2/3y3）÷2/3y2 例 3：化简求值 （1）（x5＋3x3）÷x3－（x＋1）2 其中 x＝－1/2 （2）［（x＋y）（x－y）－（x－y）2＋2y（x－y）］÷4y 其中 x＝2，y＝1 四、归纳小结，布置作业 P164 3 8 思考题： （1） ÷（－4x2）＝－3x2＋4x－2 （ 2 ） 长 方 形 的 面 积 为 4a2 － 6ab ＋ 2a ， 若 它 的 一 个 边 长 为 2a ， 则 它 的 周 长 是 。 （3）已知 3n＋11m 能被 10 整除，求证：3n＋4＋11m＋2 能被 10 整除。 15. 4.1 提公因式法 教学目标： 1、理解因式分解的概念。 2、会确定多多项式的公因式。 3、会用提公因式法分解因式。 教学重点：用提公因式法分解因式 教学难点：公因式的确定 教学过程： 一、分解因式（因式分解）的概念 计算： （1）x（x＋1） （2）（x＋1）（x－1） （学生练习，并演板） x（x＋1）＝x2＋x （x＋1）（x－1）＝x2－1 上面二式都是整式乘法，即把整式的乘积化为多项式的形式。 反过来：x2＋x＝x（x＋1） x2－1＝（x＋1）（x－1） 即把多项式化为整式积的形式。 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解 （或分解因式）。 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。 判断下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解： （1）6＝2×3 （2）a（b＋c）＝ab＋ac （3）a2－2a＋1＝a（a－2）＋1 （4）a2－2a＝a（a－2） （5）a＋1＝a（1＋1/a） 二、提公因式法 1、公因式 多项式 ma＋mb＋mc 中，各项都有一个公共的因式 m，称为该多项式的公因式。 一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。 指出下列各多项式的公因式 （1）8a3b2＋12ab3c （2）8m2n＋2mn （3）－6abc＋3ab2－9a2b 通过以上各题，你对确定多项式的公因式有什么方法？（学生归纳、总结） 2、提公因式法 由 m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，得到 ma＋mb＋mc＋=m(a＋b＋c),其中，一个因式是公因 式 m，另一个因式（a＋b＋c）是 ma＋mb＋mc 除以 m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提 公因式法。 三、例 1：把（1）2a2b－4ab2 (2)8a3b2＋12ab3c 分解因式 解：（1）2a2b－4ab2 ＝2ab×a－2ab×2b ＝2ab（a－2b） （2）8a3b2＋12ab3c ＝4ab2×2a2＋4ab2×3bc ＝4ab2（2a2＋3bc） 练习：P167 1（1）（2） 例 2：把 2a（b＋c）－3（b＋c）分解因式 练习：P167 1（3）（4） 2 例 3：用简便方法计算 （1）9992＋999 （2）20072－2006×2007 练习：P167 3 四、归纳小结，布置作业 （1）分解因式 （2）确定公因式 （3）提公因式方法 P170 习题 15.4 1 6 补充练习： 1、分解因式： （1）m2(a－2)＋m(2－a) （2）m－n－mn＋1 （3）a2n－an （4）（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a） 2、计算：210－29－28 3、已知 a－b＝3，ab＝－1，求 a2b－ab2 4、若 a 为实数，则多项式 a2（a2－1）－a2＋1 的值（ ） A、不是负数 B、恒为正数 C、恒为负数 D、不等于 0 5、证明：817－279－913 能被 45 整除 6、若关于 x 的二次三项式 3x2－mx＋n 分解因式结果为（3x＋2）（x－1）， 则 m＝ ，n＝ 。 15. 4.2 公式法（1） 教学目标： （1）进一步理解分解因式的概念。 （2）能熟练运用平方差公式分解因式。 教学重点：把符合公式形式的多项式写成平方差的形式，并分解因式。 教学难点：（1）确定多项式中的 a、b;（2）分解彻底; 教学过程： 一、 复习巩固 1、什么叫分解因式？ 2、用提公因式法分解因式 （1）2xy－4y （2）－2x（x＋1）+（x＋1）2 二、用平方差公式分解因式 把公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2 反过来就得到 a2－b2＝（a＋b）（a－b） 该公式用语言叙述为： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积。 注：（1）使用平方差公式分解因式时，必须先把原多项式写成两“数”平方差的形式， 再分解因式，即用公式分解因式时，必须认准其中的“a”与“b”。 （2）公式中的 a、b 即可以是单项式，也可以是多项式。 三、公式的应用 例 1：分解因式 （1）4x2－9 （2）（x＋p）2－（x＋q）2 解：（1）4x2－9 ＝（2x）2－32 ＝（2x＋3）（2x－3） （2）（x＋p）2－（x＋q）2 ＝［（x＋p）＋（x＋q）］［（x＋p）－（x＋q）］ ＝（2x＋p＋q）（p－q） 练习 P168 1 2 例 2：分解因式 （1）x4－y4 （2）a3b－ab 注：分解因式，必须进行到每一个进行因式都不能再分解为止。 练习：分解因式 （1）a3－a （2）－（1＋xy）2＋（1－xy）2 （3）x2（x－y）＋y2（y－x） （4）1－x4 （5）2x2－8 （6）m2（a－2)＋m（2－a） （7）m2－n2＋2m－2n 四、小结 （1）应用平方差公式分解因式，必须认准的 a 与 b。 （2）分解因式必须彻底。］ （3）有公因式的先提公因式，再用公式分解。 五、作业：P171 2 7 15. 4. 3 公式法（2） 教学目标：熟练应用完全平方公式分解因式 教学重点：把多项式写成符合公式的形式，并分解因式。 教学难点：（1）辨认多项式中的“a”与“b”；（2）分解到底。 教学过程： 一、复习平方差公式，并练习下列各题 （1）－a2＋b2 （2）（x＋2）2－（x－2）2 （3）2a－8a2 二、用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式： （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 反过来，得到： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 注：（1）形如 a2±2ab＋b2 的式子叫做完全平方式，说出它们的特点。 （2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。 （3）上面两个公式用语言叙述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平 方。 三、例题或练习： 1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？ （1）a2－2a＋1 （2）a2－4a＋4 （3）a2＋2ab－b 2 （4）a2＋ab＋b2 （5）9a2－6a＋1 （6）a2＋a＋1/4 2、分解因式 （1）16x2＋24x＋9 （2）－x2＋4xy－4y2 解：16x2＋24x＋9 ＝（4x）2＋2·4x·3＋32 ［a2＋2·a·b＋b2］ ＝（4x＋3）2 ［（a＋b）2］ 3、分解因式 （1）3ax2＋6axy＋3ay2 （2）（a＋b）2－12（a＋b）＋36 练习：P170 2（1）――（6） 四、归纳小结，布置作业 （1）用完全平方公式分解因式时，必须认准 a 与 b。 （2）分解因式要“完全彻底”。 作业：P171 3 5 9 15. 4. 4 习题课 教学目标：综合应用提出因式法和公式法分解因式 教学重点：（1）熟练应用分解因式的两种方法分解因式； （2）两种方法的综合应用; 教学难点：（1）选择恰当的分解方法；（2）把多项式分解彻底; 教学过程： 一、分解因式有哪些方法？你认为在使用这些方法时，应注意什么？ 二、例题或练习 1、下边从左到右的变形，是因式分解的有 。 （1）x2－4y2＝（x＋2y）（x－2y） （2）a2－2ab＋b2＝（b－a）2 （3）x2－4x＋5＝（x－2）2＋1 （4）x2－4x＋5＝x（x－4）＋5 （5）（x＋3）（x－3）＝x2－9 （6）－ma＋mb－mc＝－m（a＋b＋c） 2、－m（a－x）（x－b）－mn（a－x）（b－x）的公因式是（ ） 3、下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A、x2＋4y2 B、x2－2xy＋4y 2 C、－x2－4xy＋4y2 D、（x－y）2－10（y－x）＋25 4、填空： （1）－1/9a2＋1/4＝（ ）2－（ ）2 （2）4x2＋1＋ ＝（ ＋1）2 （3）1/9x2＋ ＋1/4y2＝（9/3x－1/2y）2 （4）若 x2＋kx＋64 是完全平方式，则 k 的值为 。 （5）x2＋5x＋ ＝（ ）2 5、把下列各式分解因式： （1）a4＋3a2 （2）5（a－2）3－3（2－a）2 （3）（x－2）2－x＋2 （4）a（a－b－c）＋b（b＋c－a） （5）（a－b）2（a＋b）3－（b－a）3（b＋a）2 （6）－2xy＋6x2y2－8x2y 6、把下列各式分解因式： （1）1/2x2－2y2 （2）－6a－a2－9 （3）（1/36x－1/3）x＋1 （4）（a＋b）2－4（a＋b－1） （5）x2＋8x（x＋1）＋16（x＋1）2 （6）2（a2＋b2）（a＋b）2－（a2－b2）2 （7）x3＋x2＋0.25x （8）（x2－x）2＋1/2（x2－x）＋1/16 （9）x3－x2＋4 7、（1）求证对于任意自然数 n，2n+4 －2n 是 30 的倍数。 （2）求证：248 －1 可以被 63 和 65 整除。 作业：P 171 4 6 8 10 课外作业：P173 数学活动 1 2 15. 4. 5 十字相乘法（二次项系数为 1） 教学目标： 使学生理解并掌握二次项系数为 1 的二次三项式的因式分解。 教学重点：准确、迅速进行十字相乘分解因式。 教学难点：p 与 q 异号的情形。 教学过程： 一、复习巩固 课本：P148 练习 2，观察规律，得到 （x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq 反过来，有 x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） 它告诉我们：对于二次项系数为 1 的二次三项式，如果它的常数项能够分解成两个因数， 并且它们的和恰好等于一次项系数，那么，它就可以分解成两个一次因式的积。 如：x2＋（1＋2）x＋1×2＝（x＋1）（x＋2） X2＋（－1＋2）x＋（－1）×2＝（x－1）（x＋2） 二、例题与练习 例 1：分解因式 x2＋6x＋8 解：x2＋6x＋8＝x2＋（2＋4）x＋2×4 ＝（x＋2）（x＋4） 熟练后，中间步骤可省去。 练习：分解因式 （1）x2＋7x＋12 （2）x2＋12x＋20 例 2：分解因式 x2－8x＋15 分析：因为－8 为负数，所以 15 应分解为两个负数之积。 解：x2－8x＋15 ＝x2＋［（－3）＋（－5）］x＋（－5）×（－3） ＝［x＋（－3）］［x＋（－5）］ ＝（x－3）（x－5） 练习：分解因式：（1）x2－3x＋30 （2）x2－8x＋12 例 3：分解因式 （1）x2－3x－10 （2）x2＋9x－10 分析（由学生分析，解答） 练习：分解因式 （1）x2－3x－4 （2）x2＋10x－24 （3）a2＋a－20 （4）a2－9a－36 例 4：分解因式 （1）x2－7xy－18y2 （2）x2y2＋7xy－44 （3）x2－20xy＋96y2 （4）a4－21a2－100 例 5：分解因式 （1）－a2＋6ab－9b2 （2）－x2－3x＋4 （3）x－x2＋42 （4）x2（x2－20）＋64 （5）3x2y2－9xy－12 （6）（x2＋x）2－14（x2＋x）＋24 （7）（x2＋x）（x2＋x－1）－2 例 6：求证：四个连续自然数的乘积与 1 的和一定是某个自然数的平方。 作业：课本 P 172 （1）（2）（3）（4） 15. 4. 6 小结与复习 教学目标：把握本章知识脉络，掌握本章基础知识。 教学重点：（1）整的乘除法;（2）因式分解; 教学难点： （1）正确使用公式；（2）逆用公式解题； 教学过程： 一、本章知识结构图： 整式乘法 乘法公式 整式除法 分解因式 二、回顾与思考： 1、幂的运算性质是整式乘除法的基础，单项式的乘除是整式乘除的关键，举例说明怎样 将多项式乘（除以）单项式，多项式乘多项式转化为单项式的乘除。 2、把一些特殊形式的多项式乘法写成公式的形式，可以简化运算，本章学习了哪些乘法 公式？你能从图形角度解释公式的合理性吗？ 3、举例说明因式分解与整式乘法之间的关系，你学习了哪几种分解因式的方法？请举例 说明。 三、例题与练习： （一）1、－x2（－x）2（－x）3＝ 2、（－x5）＋（－x7）5＝ 3、已知 xn＝5，yn＝3，则（x2 y）2n 值为 4、（－x）9÷x4÷（－x）3＝ （二）计算下列各题 1、（9/4×102）×（25×103）2×（－2×106）2 2、（4x4 y）（－xy3 ）5 3、当 a＝－3/4 时，求－2a（3a2－4a－1）－a（－6a2 ＋5a－2）的值。 4、若（x＋a）（x2－6x＋b）的展开式中，不含 x2 次和 x 项，则 a＝ ， b＝ 。 5、（a＋2）2－2a（a＋2） 6、（x＋3）（x＋4）－x（x＋2）－5 7、若 x－y＝2，x2 －y2 ＝10，则 x＋y＝ 8、（2m＋1）（2m－1）（4m2＋1）＝ 9、（x＋2y－1）（x＋1－2y）＝ 10、（－x－1/2）2＝ 11、若（x＋y）2 ＝9，（x－y）2 ＝5，则 xy＝ 12、若 a2 ＋ma＋9 是完全平方式，那么 m＝ 13、a2 ＋b2 ＝（a＋b）2 － 14、（y＋3）2－（3－y）2 ＝ 15、（6×106 ）÷（－3×103 ）＝ 16、16m ÷4m ÷2＝2( ) 17、（2/5x2 y2 －7xy2 ＋2/3y3 ）÷2/3y2 18、长方形面积为 4a2 －6ab＋2a，一边长为 2a，则周长 是 三、分解因式 1、4x3 －6x2 ＝ 2、m(a－b)－n（b－a）＝ 3、m2 －36 m2 ＝ 4、（2x＋y）2 －（x＋2y）2 ＝ 5、p4 －1＝ 6、若 x2 －2（m＋3）x＋16 是完全平方式，则 m 的值为 7、a2 －2a（b＋c）＋（b＋c）2 8、1/2x2 －xy＋1/2y2 9、xy2 －2xy＋x 10、a2 b2 －a2 －b2 －1 11、（x＋y）2 －2（x2 －y2 ）＋（x－y）2 12、x2 －5x＋6 13、x2 －5x－6 14、x2 ＋5x－6 15、2x2 －20x＋50 16、（a＋2）（a－8）＋25 17、a2 ＋2ab＋b2 ＋4a＋4b＋4 18、已知 a－b＝3，ab＝－1，求 a2 b－ab2 的值。 19、证明：817 －279 －913 能被 45 整除。 20、已知：a、b 为自然数且 a2 －b2 ＝45，求 a、b 的值。 21、若 x2 ＋y2 ＋2x－8y＋17＝0，求 y/x 的值。 22、若一个三角形边长为 a、b、c，且 a2 ＋2b2 ＋c2 －2ab－2bc＝0，试判断该三 角形的形状，并说明理由。 23、若非零实数 a、b 满足 4a2 ＋b2 ＝4ab，求 b/a 的值。 24、若两个两位数的十位数字相同，而它们的个位数字之和为 10，研究它们积的 规律，并证明你的结论。 作业：P175 复习题 15 思考题： （1）设 y＝（x－1）（x－3）（x－4）（x－6）＋10 证明：不论 x 取任何实数，y 的值总大于 0。 （2）分解因式：x2＋4xy＋4y2－4x－8y＋3 （ 3 ） ① 若 a2 ＋ ba ＋ 12 能 分 解 为 两 个 一 次 因 式 的 乘 积 ， 且 b 为 整 数 ， 则 b ＝ 。 ② 若 a ＋ 12a ＋ b 能 分 解 为 两 个 一 次 因 式 的 乘 积 ， 且 b 为 正 整 数 ， 则 b ＝ 。 （4）在实数范围内分解因式 ①x2－3 ②5x2－4 （5）证明：两个相邻奇数的平方差是 8 的倍数。 人教版八年级上册数学教学反思 《三角形内角和》教学反思 三角形内角和，是在学生认识了三角形的特点和分类的基础上进一步对三角形内角之间 的关系的学习和探究。学生已经掌握了三角形的概念、分类，熟悉了钝角、锐角、平角这些 角的知识。对于三角形的内角和是多少度，学生是不陌生的，因为学生有以前认识角、三角 形分类的基础，学生也有提前预习的习惯，几乎孩子们都能回答出三角形的内角和是 180 度， 在这个过程中孩子们知道了内角的概念，但是他们却不知道怎样才能得出三角形的内角和是 180 度。因此本节课我提出的研究的重点是：验证三角形的内角和是 180 度。 本节课主要是学生在小组中合作探索，可以量一量、剪一剪、折一折。选择一种或者几 种方法来验证三角形的内角和是 180 度，并运用所得的结论解决实际生活中的一些问题！让 学生进行实验、动手操作、自主探索，使学生主动积极的参加到数学活动中来！ 创设情境，营造研究氛围。怎样提供一个良好的学习平台，使学生有兴趣去研究三角形 内角的和呢？为此我以生活中与三角形相关的例子引入课题，之后学生由课题引出疑问 “三 角形的内角指的是什么？”“三角形的内角和是多少？”然后让学生根据图形自己解答疑问。 然后通过计算三角板上三角形的内角和，引发学生的猜想：其他三角形的内角和也是 180° 吗？带着这个疑问，让学生小组合作探索，验证。小组合作的时候，学生找到了三种方法， 分别是量一量，剪一剪，折一折的方法。通过这三种方法验证了 “三角形的内角和是 180°” 的结论。然后将利用这一规律解决了刚开始的疑问。然后我给出三角形。再一次明确：不论 三角形的大小如何变化，它的内角和是不变的。 这节课上完之后，我在课后进行了小结，授课过程中有讲得好的环节也有处理得不好的 环节，下面从几个方面小结： 1、小组合作，自主探究。整节课都很注重学生自主探究，动手实验的过程，我只是一个 主导者，组织好课堂教学，放手让学生去实验、讨论、归纳，没有像之前上课那样由本人讲 完整节课而学生只是听。小组合作之前的部分处理的还算干脆利落，达到自己预想的结果。 不足之处：如果引入部分的疑问换做如果老师要想求出破损的角的度数，这个问题会和本节 课的联系更紧密一些。 2、量一量的方法说的的很好，但是剪一剪和折一折的方法学生没展示好。在学生展示时 老师的指导没跟上，虽然展示的结果基本上出来，但没达到我预想的效果。如果再让学生用 量角器量一量拼完之后的角是 180°，会更清楚。另外剪一剪方法和折一折方法时应让学生 说一说，将三个内角拼在一起后，让学生指一指三角形的三个内角在哪里，拼在一起有什么 作用，就相当于将三个内角相加，多说这么一句话可能学生对这种方法理解的更透彻了。 5、我班的一个男孩子将三个三角形的三个角拼在一起，学生的这种想法是我没有预想到 的，我让他来前面展示，这种方法是错误的。如果我再鼓励一下他很有探索精神会更好。我 向学生们解释他拼在一起的不是一个三角形的里面的三个内角。如果让学生来说一说他错在 哪里，如果学生说不出来，这时老师再说，可能会更好。另外老师把这三个三角形放在一起 看一看，确实不一样大小，学生会理解的更好。我觉得还可以补充一句，让孩子们课下做三 个一样的三角形摆一摆，亲自尝试一下，就更好了。 5、小组汇报成果的时候，我还是觉得层次不是很清楚，与自己预想的还有出入，有一个 问题，我想问学生剪一剪和折一折的方法与量一量的方法比较好在了哪里？我想通过对比加 深理解。可能当时还是有点紧张，结果我忘记问这个问题了。 3、老师的课堂调控能力还有待提高，当学生的展示方法的顺序和老师预想的不一样时， 老师不能慌，随机应变能力还有待提高。当时我虽然转变了思路，但表现可能不自然，还有 待磨练。 6、三角形的内角和不因三角形的大小而改变，或对三角形进行剪的操作还是拼的操作， 只要最后得到的是一个三角形内角和都是 180°。我给出这个结论是通过习题的形式给出的， 孩子们的表现真的很好，我很高兴，第一个孩子能够在解释原因的时候就能概括出三角形的 内角和不因三角形的大小而改变，令我很满意。后面的判断题有两道题和这个知识点有重复， 可以换别的类型的判断题。 7、我对教案进行了反复修改，创设了生活中的问题情境，激发学生想探究三角形内角和 的欲望，放手让学生小组合作自己寻求验证结论的方法。但这样的放手能完成教学任务,会不 会出现冷场吗?我的心里还是没底。正式上课时，学生自己找出了很多验证三角形内角和的方 法，很多同学的表现让我意外。许多举手的同学都是我没想到的。我也给了他们表现的机会。 课下一个小女生找到我，说老师我举了好几次手，您怎么不叫我。我听了这话心里很高兴， 不管这节课讲得怎么样，学生能这样跟我说，我心里很高兴，看来这节课他们的学习热情还 是很高的。这节课学生谈收获的时候学生说的很不错，学生的表现让我很高兴。 所以，我们要学会放手，轻松自己，发展学生。放手让学生自己去思考去做，那怕他想 错了做错了，只有这样他们才有机会知道自己错了错在哪儿，给他们更自由更广阔的发展空 间，也只有这样才能唤起他们思考的欲望，也只有这样才能扬起他们创造的风帆！ 《全等三角形（第一课时）》教学反思 教师的成长在于不断地总结教学经验和进行教学反思，下面就是我对我的这一节课的得 失分析。 本课为本章的起始课，主要是一些基础的概念和性质，本节课的设计注重学生的直观感 知和情感体验，从学生熟悉的生活中的全等现象和全等图形引入，借助直观、形象、生动的 多媒体课件演示，激发学生兴趣，充分调动学生的学习积极性。在教学过程中，增添了许多 教材中没有的一些常见图形和课例，由易到难充分展示，给学生提供一个观察、思考的平台。 通过学生的观察、思考、交流、总结归纳出概念和性质，培养了学生初步的识图能力。在整 个教学过程中，学生在自主探索和合作交流中，经历了观察、操作、思考等思维过程，而这 样的过程能够促进学生对数学的真正理解和把握，符合学生思维发展，培养了学生分析、解 决问题的能力和逻辑思维能力。通过图形的变换，让学生在不同的图形中寻找对应元素，突 破本节的重、难点。 在教学过程中，真正做到以生为本。让学生积极参与课堂活动之中，成为课堂的主体， 而教师则适时点拨，及时引导。让学生体验到数学的乐趣，让学生从中不仅获得了知识，提 高了技能，经历了数学活动，同时在情感、态度、价值观等方面也都得到了很好的发展。 当然，我的这节课还存在着许多不足之处。由于准备时间不够充分，在一些例子的设置 上没有完全注意到学生的差异。如问题三，找全等三角形的对应边和对应角时，设计的图形 较为复杂，致使一些基础较弱的同学解决此题较为吃力。另外，由于本人没有扎实系统的多 媒体技术，有时所制课件效果不甚理想，由于制作和使用课件时，所用的软件版本不同，一 些课件的效果受到影响。我将认真的总结经验，吸取教训，以便在以后的工作中力争做的更 好。 最后，感谢各位领导给予我这样一个学习、交流、展示和提高的平台，不足之处，敬请 批评指正。 《全等三角形判定》教学反思 一、 教学目标的反思 《全等三角形的判定》这一课，要求学生会通过观察几何图形识别两个三角形全等，并 能通过正确的分类动手探索出两个三角形全等的条件。具体说：（1）正确识别两个三角形全 等----会将两个三角形相等的边和角对应重叠在一起，看是否重合；（2）相信判定两个三角 形全等不一定要 3 条边和 3 个角都相等，可能一边或一角相等就足够（这个判断不一定要正 确，但要有这种想法，探索命题的真假才有可能）；（3）能正确地将三角形的 6 个元素按条 件的个数分成：①一个元素：一个边或一条角对应相等。②两个元素：两边或一边一角或两 角对应相等。③三个元素：三边或两边和一角或一边和两角或三角对应相等。或者按：①边 （一条边或两条边或三条边分别对应相等），②角（一个角或两个角或三个角分别对应相等）， ③边和角[一条边和一个角或一条边和两个角（又分为角边角和角角边两种）或两条边和一个 角（又分为边角边和边边角两种）分别对应相等]；（4）能将分好的三大类（12 小类）条件 用画图的方法进行验证，找出能判定两个三角形全等的三条公理和一条定理；（5）能用这四 个判定，直接判定两个三角形是否全等或能补充一个条件使两个三角形全等。 基于知识的完整性和分类的数学思想的渗透，我认为这个教学设计体现了知识与技能目 标。增强学生的观察、猜想和动手操作能力。 二、教学策略的反思 1、对分类的把握。对许多学生来说进行分类有困难，学生是否能准确分类，是本节课的 难点和重点之一。要找到解决难点策略，就要找到造成难点的原因，学生之所以分类有困难 是因为他们不知到从什么地方下手，以及做到不重不漏。我将这个问题分为两步：（1）提出 第一个问：“我们发现判定两个三角形全等不一定要 6 个元素（三个角和三条边）分别对应 相等，可少一些元素，那么最少．．要几个元素，我们从多少个元素开始找．．．．．．．．呢？”多数学生会从 一个元素开始，不断地增加元素。少部分学生从边开始，一条边、两条边、三条边，然后再 到角、边角（这也是一种好方法，给予肯定，但不在堂上全班探讨）。（2）提出第二个问： “从一个元素到二个元素再到三个元素……，一步一步地探索下去的思路是正确的，但不够 具体，请同学们将元素所代表的具体情况（边或角）写出，并进一步画出草图表示对应相等 的边角位置。”小组讨论，分类如下： 角角边 两边与一边对角 角边角 边角边 边角相对 边角相邻 一条边和两个角 两条边和一个角 三个角 三条边 两个角 一条边和一个角 两条边 一个角 一条边 三个元素 二个元素 一个元素 图1 B D A C 可以说，通过这样分类的学习，达到了两个目标：（1）渗透数学的分类思想；（2）明 确对应关系，使得后继学习变得顺利。 2、容量问题。“与其把学生当天津鸭儿添入一些零碎知识，不如给他们几把锁匙，使他 们可以自动去开发文化的金库和宇宙之宝藏。” 本课为了达到内容的完整性和思路的连续性 ----找两个三角形全等的判定，将“找的方法”-----分类和验证得出结论，放在一节课上， 使人觉得容量比较大。造成“容量大”的原因主要在画图验证上，而画图验证的过程中以学 生画图占用的时间最长，弄不好整节课就好像在上画图课，而学生画图并不困难。因此，我 将本课学习分为两部分完成，第一部分是画图和识图，放在课前学习，（1）要求学生按所给 的不同的 3 个条件（附上作图步骤），画出 6 个图并在图注上已知条件，剪下来备用。在课 堂上需验证时才取出与小组同学对比，是否全等。实际上，学生在上课前早已忍不住进行了 对比，正为有的三角形与同学的全等，有的三角形与同学的不全等而奇怪，不知道是同学画 错了还是自己画错了。所以我在想是不是就从小组交流结果开始更好呢？（2）对给出的两个 三角形直接判断是否全等。第二部分是在课堂上，对全等的概念进行强化复习（包括验证两 个三角形全等的方法和书写要求，使学生明确画图验证是目前唯一的可操作的方法），分类、 验证（包括举反例：对满足一个元素或两个元素对应相等的两个三角形不一定全等……）、 简单应用。 3、关于边边角。这是本节课中的又一个难点，学生在作图中难于认识到自己发现了新大 陆，96%的学生剪最大的那个三角形（即图 1 中，ΔABC），而对ΔADC 却“视而不见”。实 际上，学生们也注意到了ΔADC，也曾经为剪哪个三角形而一筹莫展，但一想小的三角形在大 的三角形中，剪大的错了还可以剪小的，于是就剪大三角形。学生对ΔABC 和ΔADC 都满足“边 边角”认识不足，主要原因是因为它们套在一起， 反 而 妨 碍 了学生的识图，但它们不全等，学生是知道的，我 用 几 何 画 板演示,将ΔADC 拖离ΔABC,让学生仔细观察，并填 空： （1）如图 1，在ΔABC 和ΔADC 中 AC＝AC CD＝ ∠CAB＝∠ 即ΔABC 和ΔABD 满足“边边角”，但它们 全等，“边边角”不能判定两个三角形 。 （2）如图 2，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠ ＝∠ ， 在ΔABD 和ΔCDB 中 AB＝ （等腰梯形的两腰 ） BD＝ （公共边） ∠ADB＝∠ 但ΔABD 和ΔCDB 全等。 这个策略是成功的，学生不但认识到“如果两个三角形有两条边和其中一边的对角对应 相等，那么这两个三角形全等”，是假命题。而且认识到不可随意放弃作图出现的点 D，以 及如何书写所举的反例。 4、在运用中巩固知识。由于本节课的重点是找出三角形全等的判定，因而本节课不必理 会如何书写“证明两个三角形全等”，所以我参考了一些同事的方法，采取了根据条件说出 两个三角形全等的理由，或者写出两个条件，让学生灵活补充一个条件使得两个三角形一定 全等。补充原设计的练习，学生们很来劲，效果显著。（注：“角角边”定理的证明留到下 节课进行严格的书写证明。） 三、成效性反思 原教学设计附有作图练习卷（按要求作三角形，使得三角形有三个元素等于所给的具体 值），要求学生在课堂上做，因考虑到内容较多，在上课时将学生分成 6 组，每组完成同一 个作图（其它为作业），每个同学独立完成作图，然后与小组成员比较所画图形的形状和大 小并汇报给全班同学。操作上可进行，但我始终有一种不踏实的感觉，可又说不出为什么。 给我的学生上课，才意识到“边边角”情况，画了图的六分之一学生说全等，而六分之五的 学生没动手画过，我不能直接点评，一急之下，我脱口说这一组的作图藏有一个秘密，我们 再仔细画一次，这才顺利解决了问题。因而，另一个班，我就将“作图练习卷”作为课前作 业，正如陶行知先生所说：“行是知之始，知是行之成。” “教学做是一件事，不是三件事。 我们要在做上教，在做上学。不在做上用功夫，教固不成为教，学也不成为学。” 这样处理 效果更好。 四、本节课“发现公理”的教学模式 1、课前准备：为目标而做的巩固练习、作品、小研究。 2、课中：（1）巩固、引入、提出问题； （2）学生实践活动：分类与验证； 图2 D C B A （3）教师点评； （4）归纳总结； （5）简单应用练习。 3、课后：（1）回顾发现过程：撰写小报告； （2）巩固练习。 《等腰三角形》教学反思 在新的课程标准中十分强调过程一词，既要重视学生的参与过程，又要重视知识的在先过程。 有了学生的参与，课堂教学才显得生机勃勃，学生才会变成课堂学习的主人。知识的再现过 程有助于让学生了解所学知识从何而来，解决何种问题，在有限的时间内探究知识，主动获 取知识。 在教学中我们常常回遇到这样一种现象，学生年龄在增长，他们的学习困难也在增多， 学生一年一年在升级，而求知的兴趣却在逐渐减弱，不少数学学得不错的学生在长大以后却 远离数学，甚至讨厌数学，原因是什么呢？ 从学生的方面来讲，这主要是部分学生在他们的整个学习过程中对一些概念，结论，判 断不是在研究事实的过程后形成的，而是听教师讲解后知道的。因此，学生在学习中缺少主 动的参与，更缺少积极的思考，确实依靠自己的实践去获取知识的过程。从教师的方面将， 可能已经将教材将明白，难点，重点归纳清楚，课堂上尽量减少学习的困难，让学生走一条 平坦的路，但这样学生就的不到积极的思考。所以教师要全面的积极准备教学过程，让学生 参与到教学果实中来，主动思考教师为他们准备的问题，让学生体会发现的乐趣，依靠自己 的分析，独立思考获取知识，这中知识才是最宝贵的。例如在等腰三角形三线合一的教学中， 两个班级出现了截然相反的效果。其中我是这样设计的： 1 画出等腰三角形底边上的高； 2 观察图中的全等三角形； 3 证明得出的全等三角形； 4 证出垂足就是底边上 的中点、角平分线上的焦点； 5 归纳结论 通过此过程学生也了解了等腰三角形的三线合一。但是学生的迁移、运用能力不是很强； 于是在三年六班上课时，考虑到学生的参与热情、理解能力，改变了教学方法，注重强调过 程，于是设计： （1） 出示不等式三角形（可用几何画板）。 （2）画出同一边上高线、中线、角平分线、观察三线位置。 （3）慢慢拖动三角形一顶角将不等边三角形转化为等腰三角形，同时观察三线位置的变化过 程，让学生自己去发现，展示汇报，可相互质疑。为此学生的积极性一下子被调动起来了， 在相互交流中掌握了知识。 教师如何去做“过程”？这是新课程改革时期我们每位教师必须思考的首要问题，在课 堂教师应设计一定情景下的数学问题，设计一些结论开放适合学生实际的问题，让学生参与 到问题的探究中去，给学生思考，动手的时间和空间，变教师“主讲”为“主学”，真正让 探究过程成为课堂教学的主旋律。 含 30 度角的直角三角形的教学反思 本节课我采用从生活中创设情景的激发学生们的学习兴趣，采用拼图形的方法创设问题 的情景，引导学生自主探究活动，培养学生类比、猜想、论证的研究方法研究问题，培养学 生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互 助，有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，细心验证。使学生在自主探索和合作 交流中理解和掌握本节课的内容。力求在整个探究学习的过程充满师生之间，生生这间的交 流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。 课堂开始通过回顾旧知识，抓信新知识的切入点，使学生进入一种“喜新不厌旧” 的境界，使他们有兴趣进入数学课堂，为学习新知识做好准备。接下来让学生动手操作，并 细心观察，大胆猜想。在这一环节上，展现给学生一个实物，使学生获得直观感受。并引导 学生给出证明，证明自己的猜想的正确性。使学生懂得，即使是通过实践得出的结论，还需 理论上给予证明。在性质证明完毕后，缺乏对学生记忆性练习。 习题 1、2 的设计是为了能让学生把理论知识付诸于实践，检验学生的学习效果， 让学生分组练习，训练学生解决实际问题的能力，让学生在合作中交流中完成任务，体会合 作学习的乐趣。由学生讲解，我做必要的指导。 在运用符号语言的过程中，学生会出现各种各样的问题与错误，因此在课堂上， 我特别重视对学生的表现及时做出评价，给予鼓励。这样既调动了学生的学习兴趣，也培养 了学生的符号语言表达能力。 “展示平台”及“拓展提高”部分给学生一个充分展示自我的舞台，在情感态度 和一般能力方面都得到充分发展，并从中了解数学的价值，增进了对数学的理解。在这一环 节，让学生起来回答问题的时候有点耽误时间。 本节课，我觉得基本上达到了教学目标，在重点的把握，难点的突破上也基本上把 握的不错。在教学过程中，学生参与的积极性较高，课堂气氛比较活跃。其中还存在不少问 题，我会在以后的教学中，努力提高教学技巧，逐步的完善自己的课堂。 《全等直角三角形的判定方法》的教学反思 一、取得的效果：一开始我分配给不同的组的学生给定不同的直角边和斜边动手画直角三角 形，然后让同组的学生把自己画出的图剪下来跟别的同学生比较，让他们把发现的结果口述 出来。再把不同组的三角形作个对比，让他们把发现的情况说出来。然后通过提出问题，为 什么不同组的三角形不管是大小还是形状都不一样，而同组的却又一样。让学生讨论明白也 即是只要有一条直角边一样，斜边也一样这样的三角形画出来的结果是能够完全互相重合的。 从而引入了“HL”定理。从授课过程中学生的参与热情很高，这样做一是可以让学生探究在 给定了一条直角边和斜边以后，怎样把一个三角形画出来，强化了他们的动手能力同时也增 强了他们的团结合作能力，二是可以让他们经历了知识的从感性认识到理性认识这么个过程。 二、存在如下的不足：从学生作业反馈的情况来看，主要存在以下的问题：一是学生在证明 直角三角形全等时，个别学生出现了以角代边的现象，也即是用一对直角相等加一对斜边相 等来代替了“HL”。二是不少的学生利用所学的知识来解决简单的问题能力欠缺。这同时也 说明了，在上课过程中存在了这或那的不足，如分组讨论时，可能有些学生不是在讨论问题， 而是在聊天或者是做其他的事。或者是我在讲解时讲得不够透要么对于学困生的关注不够， 以致学生对于定理的理解不够清楚。 三、解决方法 1.课后多布置专题练习，针对不同类型的学生布置不同的作业。 2、在上课过程中多关注学困生。 3、课后多与学生交流，以了解他们的接受程度以便改进自己的授课速度，适当调整知识拓展 的难易度。 一元一次不等式教学反思 1． 不等式与方程。不等式的一个极端状态即为方程，解集的一个极端即为方程 的解，因此，下题也可以这样做： 已知关于 x 的不等式 13 a3x   ﹤ 2 x3  的解集为 x﹤7,求 a 的值。 解：由题意可知 x=7 是方程 13 a3x   = 2 x3  的解，把 x=7 代入方程中，即得 a=5。 2． 解不等式组的方法与前面学过的解二元一次方程组的方法有所不同。在解二 元一次方程组的时候，两个方程不是孤立存在的，两者相互关联，而解不等式组是独立地 解其中每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即 在每一个不等式的解集都求出来之后，才利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解 集。因此，解一元一次不等式组通常采用“分开解，集中判”的方法。 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，最终可归结为下述四种基本类型来判 定：（不妨设 a﹤b） x﹥a x﹤a x﹥a x﹤a x﹥b x﹤b x﹤b x﹥b 可用顺口溜来帮助记忆结果：同大取大，同小取小，大（于）小（的）小（于）大（的） 取中间，大（于）大（的）小（于）小（的）解无边（即无解）。 3． 解不等式组是中考命题的要点，解不等式（组）、求不等式（组）的特殊解及 应用是中考命题的热点，关于不等式（组）的应用题也作为中考重点搬上了试卷，主要考 查对数学的应用能力，利用不等式（组）取定最佳方案、获得最大收益、确定最优工作途 径等，这类题目表现形式十分丰富，常作为压轴题。 中考中关于不等式（组）的基础题，以填空、选择、解不等式（组）及列不等式（组） 解应用题的形式出现，这也是今后中考必考的内容。 如：（04 山西）商场出 售的A型冰箱 每台售价为 2190元，每日耗 电量为1 度，而B型节能冰 箱每台售价虽 比A型冰箱高 出10％，但每日耗 电量却为 0．55度．现 将A型冰箱打折出售 (打一折 后的售价 为原价的 1/10)，问商 场至少打 几折，消费 者购买才合算(按使用期 为10年，每年 365天，每度 电0．40元计算 )? 解： 设 商 场 将 A型 冰 箱 按 x折 出 售 ， 则 由 题 意 2190x 10 x 十 365x10xlx0． 4≤ 2190x（ 1+10％ )+365x10x0． 55x0 ． 4∵ x ≤ 8， 因 此 至 少 打 8 折 。 一元一次不等式组的解法教学反思 1、教学“不等式组的解集”时，用数形结合的方法，通过借助数轴找出公共部分解出解 集，这是最容易理解的方法，也是最适用的方法。用“同大取大、同小取小、大小小大取中 间、大大小小解不了”求解不等式，我认为减轻学生的学习负担，有易于培养学生的数形结 合能力。在教学中我要求学生在解不等式（组）的时，一定要通过画数轴，求出不等式的解 集，建立数形结合的数学思想。 2、加强对实际问题中抽象出数量关系的数学建模思想教学，体现课程标准中：对重要的 概念和数学思想呈螺旋上升的原则。教学中，一方面加强训练，锻炼学生的自我解题能力。 另一方面，通过“纠错”题型的练习和学生的相互学习、剖析逐步提高解题的正确性。 3、把握教学目标,防止在利用一元一次不等式(组)解决实际问题时提出过高的要求,陷入 旧教材“繁、难、偏、旧”的模式，重点加强文字与符号的联系，利用题目中含有不等语言 的语句找出不等关系，列出一元一次不等式（组）解答问题，注意与利用方程解实际问题的 方法的区别（不等语言），防止学生应用方程解答不等关系的实际问题。 4、各种书籍出现的应用题里面文字有的自相矛盾，教学时教师要合理利用和指导学生选 取辅导书，如课本“以外”与“至少”等。 5．由于本节复习课的知识量比较大，因此在课前要求学生预习了书本上相关部分的内容。 这些知识学生都已经学过了但时间长了以后还是会忘记，而且在课堂上对知识部分只做了一 个简单的复习(利用多媒体幻灯片演示，老师和学生一起回忆一遍)。但是在课堂上发现一部 分学生由于课前预习的工作不够落实，导致课堂上简单的复习效果不好，从而影响到学生在 第二个过程的例题讲解中反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题，因此在以 后的学习中要加强对学生学习习惯的培养，特别是课前预习的好的学习习惯。 6．本节课 课堂容量(安排的例题的题量太多)偏大，而且在思维上也有比较特殊的地方， 从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后在课时的安排上要 尽可能的安排更多的课时，以减少每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提 高课堂的效果。同时还要重视思考题的作用，因为班上有一部分同学体现出基础比较扎实， 而且对数学也比较有兴趣，出一些比较难的思考题，能够让这部分学有余力的同学能有所提 高。 7．从课堂的效果来看学生对象客观题这样的题型(如：选择题、填空题)用特殊方法解 题的思维还不够，他们总是担心会出问题，特别是选择题缺乏比较和分析的能力，因为选择 题是一种比较特殊的题型，它的特殊性 的四个选择答案，实际的解题过程中对于选择题来讲能把四个答案选项分析清楚对提 高解题的速度和准确性是很有好处的。但本节课中出现的解客观题的一些特殊的方法在解与 不等式有关的题目时特别的有效，但是如果不等式的问题中出现了分类讨论的情况，特殊的 方法就有它的局限性，这时就需要学生能够灵活处理了。问题中出现了分类讨论的题目一般 来讲都是比较难的题目，教学上我的处理是在教学的过程中如果出现了这类问题，就具体跟 学生讲解，在学期末的复习时候再跟学生总结。因此要求学生在使用特殊方法用选择题的时 候一定要灵活的运用所学的基础知识，并且要把题目的已知条件和四个答案选项认真的分析 清楚，做到能准确的体现题意。今后还要加强对学生这方面能力的培养。 《平面直角坐标系 2》教学反思 《平面直角坐标系 2》是苏科版八年级上第四章第三节的第二课时，它在介绍平面直角 坐标系的有关概念之后从对称和平移两个角度继续研究了坐标的数值变化和点的位置变化的 关系，初步向学生渗透了“数形结合”思想，也为下面函数的学习奠定了一定的基础。 在这节课的教学设计中，我力求突出以下两点，一是以游戏为主线展开教学，二是以“形” 为主导贯穿始终。主要教学过程分成以下几个部分： 一、复习巩固 这个环节当中，我设计了三个问题，第一个是问学生平面直角坐标系怎样画并要求三位 学生上黑板板演，画好后请学生点评，在实际教学过程中，有一位学生的平面直角坐标系 Y 轴的正负半轴画颠倒了，下面的同学立即举手指出了这个错误，这样不仅仅给板演的学生一 个深刻地记忆，同时让下面的同学留下深刻地印象，并且满足了下面点评的学生的自豪感。 我认为在实际教学过程中，这样的环节虽然花费一定的时间，但它所起到的效果却要比教师 在黑板上干巴巴地强调要好得多。第二个问题是让学生根据点所在的象限或坐标轴填表，主 要检察学生对象限的符号特征和坐标轴上点的特征的掌握情况。第三个问题是让学生快速指 出下列各点所在的象限或坐标轴。设计的第三个问题的初衷是想以抢答的形式调动学生的积 极性，满足他们表现的欲望，调动课堂的气氛，但是实际教学中的效果不佳且耽误了一定的 教学时间，导致了最后一个练习匆匆而过。教学后，我认为可以将两小题融合起来，利用第 一题的坐标系复习象限符号和坐标轴上的点的特征，再给出几个点让学生说出它们的位置作 为巩固，同时利用坐标系还可以复习一下点的坐标的意义，为下面的环节打下基础。 二、学生活动 这节课的知识点比较多，对于刚刚接触平面直角坐标系学生来讲是比较难理解的，如果 学生不是从“形”的角度去理解，往往就会变成机械的记忆了，光靠机械地记忆那是远远不 够的，怎么样让学生更形象更值观点地理解本节课地知识点则成为了这节课设计时的难点。 本节课中，我让学生在教室中以第四排同学为 X 轴，以中间的空行为 Y 轴建立直角坐标系， 将每个学生看作是一个点，让学生说出自己的坐标，从位置之间的关系感受坐标之间的内在 联系，这样既能让知识的发现过程更直观更形象，又和学生的实际生活结合了起来。首先， 我让同一列学生报出自己的坐标，思考他们的坐标有什么样的关系，再让同一排同学报出自 己的坐标 ，思考它们的坐标之间的关系，设计这个环节主要是让学生感受到同一列的学生的 横坐标相同，同一排的学生的纵坐标相同，为后面发现对称及平移的点的坐标的关系做下铺 垫。然后以游戏的形式分别找出两个关于 x 轴、y 轴及原点对称的两个同学分别报出他们的 坐标，思考他们坐标之间的关系，实际教学中学生结合他们得位置关系很快就发现了规律。 接着通过一定的情境引入位置的前后左右平移，让学生通过位置的平移感受点平移前后坐标 的关系。学生在整个活动过程中不仅仅探究出本节课的所有知识，还能从“形”的角度理解 和解释知识。 三、例题讲解 本节课将线段的平移设计成了一个例题，将课本中的探索活动设计成了一个问题串 ，先 左右或上下单一方向的平移再到两个方向的复合平移，难度逐渐提高，难点逐渐被分解，既 达到巩固的作用又达到了提高的作用。 四、巩固练习 这个环节中设计了三个有关对称的题目和一个平移的题目，第三小题可以用两种方法解答， 可以从象限的符号特征和对称的两个角度来解答，这里主要是培养学生一题多解的能力。第 四小题主要考察学生逆向思维的能力，已知平移前后对应点的坐标，说出图形经过怎样的平 移，这里的平移过程是不定的，所以不应给出确定的答案。最后的一个题目是书上的练习题， 主要让学生从坐标之间的关系判断图形经过怎样的变换，实际教学过程中，发现学生并不是 从坐标之间的关系判断图形的变换，而是直接从图中得出了答案，那么这条题目就失去它存 在的意义，在今后的教学中可以将这条题目作一些改动，如：只给出对应点的坐标，让学生 说出图形怎样变换，也可再要求学生画出图形验证。 本节课在游戏中轻松的展开，整个教学和知识点的衔接都比较的流畅，但在很多细节的处 理还不是很到位，尤其是题目的设置，需要再斟酌。充分利用教材，适当的时候也可以将教 材内容有机的整合起来，选取适当的载体呈现，这样教学才能达到更好的效果。 《一次函数》教学反思 成为教师后才发现当好教师不容易。结合一次函数的教学谈谈自己的几点肤浅感受、几 处满意之笔、遗憾之点，以及对教材的几点不成熟的建议。 “函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次 接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在 具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教 科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一 个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。教学完后， 对新教材有了一些更深的认识。 肤浅感受： 备课过程是一种艰苦的复杂的脑力劳动过程，知识的发展、教育对象的变化、教学效益 要求的提高，使作为一种艺术创造和再创造的备课是没有止境的，一种最佳教学方案的设计 和选择，往往是难以完全使人满意的。 一：教材课时安排过紧有关。初二教材的教学时间不够，教参函数第一节 第二节二 节课，第三节一次函数节，课时太少，本节要加一个复习课 二：教学内容不好处理。 在“2. 一次函数的图象”中有平移的问题， 1.(1)将直线 y=3x 向下平移 2 个单位,得到直线_____________________; (2)将直线 y=-x-5 向上平移 5 个单位,得到直线_____________________. 与多位教师讨论后，我们用学案（下面的表）来处理，让学生更多一点感性认识，少一点理 论上的结论 2. “一次函数的性质”中无 b 对函数的图象的影响，但题中有，要补讲 环节二：概括一次函数图象的性质 一次函数 y＝kx＋b 有下列性质： （1） 当 k＞0 时，y 随 x 的增大而______，这时函数的图象从左到右_____； （2） 当 k＜0 时，y 随 x 的增大而______，这时函数的图象从左到右_____. （3）当 b＞0 时，这时函数的图象与 y 轴的交点在： （4）当 b＞0 时，这时函数的图象与 y 轴的交点在： 待定系数法的引入上用“弹簧的长度 y（厘米）”来讲的，太难，要先讲书上的“做一 做：“已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点（-1，1）和点（1，-5），” 三：难度不好处理： 如我们在讲一次函数的定义时（第一课时）补充了一个例题：已知函数 y= 当 m 取什么 值时，y 是 x 的一次函数？当 m 取什么值是，y 是 x 的正比例函数。” 学生难以理解，我个人认为太难，超出了学生的理解能力。反而对一个具体的一次函数 y=-2x+3 中 k，b 是多少强调的不多。 满意之笔 一次函数有以下令自己较满意的地方： 一. 结合生活实例，充分调动学生学习的激情，恰当的过渡，点燃其求知的欲望。 在本节课的引入部分采用班级里的真人真事（校运动会上，令全校师生兴奋不已的一幕： 八（10）某同学在男子 4×100 米的接力赛中以惊人的速度赶超了原先的第一名，为十班夺得 了冠军）。上此课是早上第三节了，再加上天气的原因，部分同学似乎精神不佳，令我非常 担心这节课不能吸引学生。 “在此跑步过程中涉及到哪些量？”“假定每位选手各自都是匀 速直线运动的，那速度、时间、路程之间有什么关系？”“路程是时间的一次函数吗？”等 过渡性的问句既复习回顾了上节课的知识又为一次函数图像的概念引出作了铺垫。 一、大胆对教材作大幅度调整、修改 ①对知识内容的完整性作了补充。 （附 一次函数的图象的知识要点：一次函数几何形状：一条直线；一次函数图象的画法； 一次函数图象与坐标轴的交点坐标。）教材对“一次函数图象的画法”阐释得不太完整、详 尽。学习函数的图象需要培养学生数形结合的思想，一次函数图象又是所有函数图象中最简 单的一种，是以后学习其他复杂函数的基础，所以整体全面地学习一次函数的图象能为学生 以后学习其他复杂函数提供思路样本、节省学习时间。虽然在课后的习题与作业本中都有涉 及到：当一次函数的自变量限制在某一范围时如何画此一次函数的图象，但在教材中似乎没 有涉及到此类问题，对于 B 班的学生需要教师对此类问题做相关示范解决。(1)求 y1 关于 x 的函数关系式 及自变量 x 的取值范围；（2）画出上述函数的图像。图像还是一条直线吗？ 此题为拓展知识点：当一次函数的自变量限制在某一范围时一次函数的图象是一条射线或线 段而特地设计的。至于如何快速地画出射线或线段呢，让学生讨论后给出总结：对于射线， 取起点与另一个异于起点的任一点画出射线；对于线段，取线段的两个端点然后连接即可。 ②对例题的处理 对例 1 作两处调整：一是对题目的设置，二是对题目的讲解次序。 遗憾之处 一、时间把握不准。由于我在原教材的基础上加宽了知识点的面，拓展了知识点的深度， 个别环节还需要小组活动或学生个别上台动手操作，而我又想将这所有的内容在一节课内完 成，似乎太高估了自己和学生的能力。所以我想这么多内容可以更宜分开两节课来上吧。 二、部分内容上处理出现失误：初探索一次函数 y=x 的画法时，我直接自己硬性规定先 取这样五个点：(-2,-2), (-1,-1) , (0,0) , (1,1) , (2,2),而没有先征求学生的意见，看 看他们是怎么取的，也没有解释为什么要取这五个点（理由应是：这五个点分布均匀，它们 的坐标较简单，有代表性） 疑惑点与对教材的不成熟的建议 函数与函数图象广泛运用到实际问题中，也是中高考的重难点，而一次函数和一次函数 图象又是其他复杂函数与函数图象的基础，将这个基础地基打得扎实显得尤为重要，探究一 次函数图象的特点的许多方法也同样适用于其他复杂函数图象。既然要学一次函数的图象， 为何不将其相关知识要点继续深入下去呢？教材中对一次函数的图象只安排了两个课时，且 第二课时讲的图象的增减性问题及其应用，而第一课时中对一次函数的图象的相关特点阐述 得不怎么全面、完整，所以我想在原第一、二课时之间是否再增一个课时的内容，以便学生 们更扎实地掌握知识。 《一次函数图象》的教学反思 这节课的主要是根据 K 的正负探究一次函数图象的性质，根据 b≠0 的一次函数的 y=kx+b 与正比函数 y=kx 的图象探究它们之间的位置关系。这两个探究内容实际上体现分类讨论的数 学思想。探究的过程中，我设计了以具体函数为研究对象通过探索得出图象的规律，体现了 从特殊到一般的数学思想，从一次函数图象上的点的横、纵坐标变化关系得到函数的图象特 征，这也体现了数形结合的思想。 本堂课，我从所给的六个函数为出发点，让学生进行讨论将这些函数分类，直接引出本 节课所要研究的内容，这样设计我认为有利于让学生主动参与学习，给学生提供充分活动的 机会，还有后面设计的画图练习，计算对应的函数值，观察函数图象得出平行的位置关系的 结论等活动，目的也在于此。新《课标》中指出：动手实践，自主探索与合作交流是当代学 生学习数学的重要方式，让学生亲自参与活动，进行探索和发现。这此，本节课我设计了四 个问题①所给六个函数有哪些分类？② K＞0，K＜0 的一次函数分别有何共同点？③K＞0 或 K＜0 图象上的点的横纵坐标有何不同的变化关系？④b≠0 的一次函数 y=kx+b 与正比函数 y=kx 的图象有何关系？前三个问题层层递进，目的是引导学生进行理性思考，给他们的思维 提供方向和原动力。提出问题，然后由学生解决问题，这样设计我自己认为有利于一堂课的 条理清晰，过程鲜明，目的是想让学生们有充分的自主探索时间，有与同学合作交流的空间， 有与老师交流表达的机会，让学生在数学活动中发现规律，体验成功。 此外本堂课探究过程较长，环节较多，因此我采用了小黑板、幻灯机、资料小卡片等， 目的是使本堂课操作起来方便，丰富课堂内容增大课堂容量。 当然有时想得到，但现实中又很难办到，通过这次活动，我感到上好一堂课真不容易， 现实与理想总是还差那么一段距离，学生的活动开展得不是很充分，课堂气氛不够活跃，数 学语言不很精练，驾驭课堂，把握学生心理和控制课堂局面的能力都还有待加强，普通话也 不标准等等，这些都是我在今后的教学中应该注意的问题。 当然本堂课可能还有许多其它问题，肯请各位领导、同仁不吝赐教，批评指正。 《一次函数图象和性质》的教学反思 “一次函数的图象和性质”是全章书的重点和难点。在学习一次函数的定义后，先研究 一次函数图象的形状，利用图象探索函数的有关性质（如直线，经过象限， ,k d 值对函数图 象的影响）；最后研究一次函数的增减性。为此我决定第一课时先学习用描点法和两点法画图 一次函数图象，再利用所画图象感知函数性质，体现函数图象与性质的关系，并在学习过程 中逐步培养学生数形结合的思想。 一、第一次授课及反思 1、主要教学环节 环节一：用描点法画函数 3y x ， 3y x  与 2 1y x  的图象，感知一次函数图象的形状； 环节二：以 y＝-x＋2 和 y＝ x2 1 ＋2 为例，学习的两点法画图. 环节三：比较 3y x 和 3y x  ， 2y x 和 2 1y x  ，y＝-x+2 与 y＝ x2 1 ＋2 各组图象的共同 点和不同点，探讨常数 k 和 b 的取值对于函数图象的影响. 环节四：归纳总结一次函数（含正比例函数）图象的相关性质. 环节五：巩固练习. 2、课后反思 一节课的时间，学生即要学习画一次函数的图象，又要探究、总结函数性质，内容太多， 特别是画前三个函数图象花去了较多时间，画完这五个函数图象，一节课只剩下 15 分钟不到。 为完成后面的教学任务，原本应由学生发现、总结的函数性质也不得不由教师讲解。课后作 业反馈，学生对性质掌握很不好，有大部分的学生相当混乱。另一方面，学生对三对函数共 同点和不同点的探究比较茫然，不知该从何入手，很多学习小组对性质的探究找不到重点。 可以说这是一节不成功的课。其根本原因是备课时，我更多地考虑了自己要教什么却没有充 分考虑学生的学习能力，导致教学容量过大，学生不能胜任，将一节本意是探究的课却上成 了一节“填鸭”课，学生忙碌却又茫然，一节课在老师的催促中结束。针对出现问题，我在 课后对设计进行了修改，将画图时间缩短，留下更多的时间给学生探究函数性质。 二、第二次授课及反思 1、修改后的主要教学环节 环节一：用描点法画函数 2y x 的图象，感知函数图象的形状；教师通过课件帮助学生感知 一次函数图象的形状，提出两点法画图。 环节二：以画 2y x  图象为例学习两点法画图。利用 2y x 和 2y x  函数图象探究正比例 函数 ( 0)y kx k  的图象特征和性质。 环节三：用两点法画 1 3y x  与 1 13y x   与 1 13y x   的图象，探讨常数 ,k d 的取值变化 对于函数图象的影响 。 环节四：应用环节三的结论画某些一次函数的大致图象，进一步理解一次函数图象的相关性 质。 2、课后反思 修改后，学生画图用时减少，研究性质的时间增加。尤其是画完 1 3y x  与 1 13y x   与 1 13y x   的这一组图象后，学生对常数 d 对于函数图象的影响有较深刻的认识，且大部分 学生能感知当 k 相同时，函数图象平行，这为后面有较充足的时间探讨一次函数的一般性起 到了较大作用，也对后期利用 k 值确定一次函数的增减性打下了良好的基础。 由于前后还是共画了 5 个函数的图象，学生画图不熟练，仍用去了较多时间，对正比例 函数的图象和性质的研究仍然比较仓促，学生对性质的探究不充分。由于所画图象不够，学 生对“ 0k  图象经过一、三象限， 0k  图象经过二、四象限”这一性质没有体会，完全由 教师讲解，即消弱了学生的兴趣又对后面的函数性质的学习造成了不良影响。 两次施教，老师学生都不轻松，而学习效果却均不尽人意，这不得不让我重新审视自己 的教学。本次修改，虽然考虑了学生的学习能力，减少了画图的任务，但是将画函数图象， 和函数性质的探究两个重要内容放在一节课中，师生压力还是很大，对一部分学生来讲“函 数性质”这一知识学成了“夹生饭”。这不禁让我想起在初三补习上课时一名学生给我讲的那 句话“函数最难学，我看见就怕”。学生的症结很多时候是性质相互混淆，解决问题时把图象 和性质孤立，既缺乏数形结合的思想，这在设计该教学内容时我就注意到了。但从教学效果 来看，我想学生避开的问题依然没有避开。 教学设计虽作修改，但并没有改变问题的实质，课堂容量依然不能让学生接受，希望学 生探究、发现的始终没能发现。归根到底，教师对学生的考虑不够，没能充分调动学生的学 习积极性，没有让他们体会到研究函数的快乐。设计不当，导致学生在课堂上只是被动学习 和接受，学生缺乏学习主动性是课堂低效的根本原因。因为我的过错，让好的学生徒增课后 的压力，让学习能力差的学生从此产生了对函数的恐惧。看来，我是课堂效率低下的罪魁祸 首。 痛定思痛，我再一次对这该部分教学内容进行了大的变动。将原本一节课完成的内容分 为两节课完成，第一课时主要研究画函数图象，感知函数图象的形状；第二课时则主要用于 函数性质的发现、归纳及应用。 三、第三次授课及反思 1、二次修改后的主要教学环节 第一课时： 环节一：用描点法画函数 2y x ， 4y x  ， 2 1y x  ，y＝-x+2 的图象，感知一次函数图象 的形状，提出两点法画图。 环节二：以画函数 ,y x y x   图象为例学习两点法画图。 环节三：用两点法画 2y x  ， 1 3y x  ， 1 13y x   ， 1 13y x   ， y＝ x2 1 ＋2 等函数图 象，并在小组中交流取点和描点的技巧。 第二课时： 环节一：用两点法画 1 1,2 2y x y x   复习用两点法画函数图象； 环节二：函数性质的探讨（小组合作）（利用课件把学生两节课中所画的函数图象分类呈现如 下，引导学生观察、总结） 环节四：巩固练习（通过性质填空和画函数大致图象加深理解）。 2、课后反思 虽然前后学习画图和研究性质都是花了两节课，但在这个班上课我感觉自己和学生都轻 松了很多，学生的学习兴趣也浓厚很多。特别是第二节课，整个班都很兴奋，学生不需要教 师的任何讲解就发现了“ k 是正数时，图象经过一、三象限； k 是负数时，图象经过二、四 象限；k 相同时，直线平行； 0d  时，图象向上平移 d 个单位， 0d  时，图象向下平移 d 个单位” 。有的学生还发现了“ k 越大，直线越贴近 y 轴； 1 1,2 2y x y x   的图象关于 y 轴 对称” 等课本没有提到的性质。从练习反馈来看，学生对函数性质的掌握比前两个班学完两 节课后的效果都要好。更让我欣喜地是由一名学生居然对我说“老师函数性质很容易学，没 有我姐姐说的那么难”。 经过两次的修改，终于上了一节令自己和学生满意的课。看来要提高课堂教的效率和学 的效率，主宰权就在教师手上。无论教学的哪个环节，都必须从学生出发，充分考虑学生的 学习能力，给他们提供有效的研究素材，让学生真正参与到学习中，数学学习才会吸引学生， 也只有这样的课堂才有“有效”。