浙教版八年级上册数学同步课件-第2章-2直角三角形全等的判定 33页

第2章 特殊三角形 2.8 直角三角形全等的判定 旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法 C B A AC BC AB 思考： 前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角 形是否适用？ A B C A′ B′ C′ 1.两个直角三角形中，斜 边和一个锐角对应相等， 这两个直角三角形全等吗？ 为什么？ 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相 等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直 角三角形全等吗？为什么？ 口答： 动脑想一想 如图，已知AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？ 我们知道，证明三角形全等不存 在SSA定理. A B C D E F 问题： 如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠B=∠E=90°， 且AC=DF，BC=EF，现在能 判定△ABC≌△DEF吗？ A B C D E F 直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”）1 任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′， 使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ A B C 作图探究 画图思路 （1）先画∠M C′ N=90° A B C M C′ N （2）在射线C′M上截取B′C′=BC M C′ A B C N B′M C′ 画图思路 （3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′ M C′ A B C N B′ A′ 画图思路 （4）连接A′B′ M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 画图思路 知识要点 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). “SSA”可以判定两个直 角三角形全等，但是“边 边”指的是斜边和一直角 边，而“角”指的是直角. AB=A′B′, BC=B′C′, 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不 全等的画“×”，全等的注明理由. （1）一个锐角和这个角的对边对应相等.（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等.（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等. （ ） （4）两直角边对应相等. （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）HL × SAS AAS AAS 判一判 典例精析 例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证： BC﹦AD. 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. AB=BA, AC=BD ， 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C 应用“HL”的前提条 件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判 定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段 相等，这是常见的思路. 变式1： 如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明 △ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件 都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等 的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ）A B D C AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS 如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分 别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD. 变式2 HL AC=BD Rt△ABD≌Rt△BAC 如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置 关系. 变式3 HL ∠ADB=∠CBD Rt△ABD≌Rt△CDB AD∥BC 例2 如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和 △ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：∵AD、AF分别是两个钝 角△ABC和△ABE的高，且AD＝ AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解 决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方 法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该 抓住“直角”这个隐含的已知条件． 例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的 高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个 滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF， AC=DF ， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF. ∵ ∠DEF+∠F=90°， ∴∠B+∠F=90°. 角平分线性质定理的逆定理 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得 到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB , ∴ PD= PE. 几何语言： 猜想: 思考：这个结 论正确吗？ 2 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明：作射线OP， ∴点P在∠AOB 的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP， PD= PE， B AD O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识总结 典例精析 例4：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路 和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这 个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20 000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得 它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N D A 2.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB， BD=CE.求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD, BC=CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 4.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则 △ADB与△ADC （填“全等”或“不 全等”），根据 （用简写法）. 全等 HL A F CE D B 5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF. 即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD, AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴BF=DE. 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平 分EF. A F C E D B G 变式训练1 AB=CD, AF=CE. Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). BF=DE Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE FG=EG BD平分EF 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平 分EF吗? 变式训练2 C AB=CD, AF=CE. Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). BF=DE Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE FG=EG BD平分EF 6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝ 10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别 在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点 运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 分析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌ Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可 据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌ Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合． 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm. 能力拓展 (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm. 故当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等． 方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和 对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和 对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 直角三 角形全 等的判 定 内 容 斜边和一条直角边对应相 等的两个直角三角形全等 前 提 条 件 在直角三角形中 角平分线 性质定理的 逆定理 角的内部到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上