华东师大版八年级数学上册全册精品教案（共97页） 97页

1 第 11 章 数的开方 11.1 平方根与立方根 1.平方根 【基本目标】 1.理解并掌握平方根与算术平方根的概念. 2.理解平方运算与开平方的互逆关系. 3.理解算术平方根的非负性，会用计算器求一个数的算术平方根. 【教学重点】 理解平方根与算术平方根概念；会求一个正数的平方根. 【教学难点】 算术平方根的非负性与算术平方根的特征. 一、创设情景，导入新课 同学们，2013 年 6 月 17 时 38 分神十成功发射，其飞行速度大于第一宇宙速度 v1，而 小于第二宇宙速度 v2,v1,v2 满足 v1 2=gR，v2 2=2gR，要求 v1 与 v2 就要用到平方根的概念. 多媒体展示教科书导图提出的问题，( )2=25. 二、师生互动，探究新知 1.用平方运算求平方根. 【教师活动】自学课本 P2 到例 1 止，什么是平方根？我们是根据什么求 25 的平方根的？ 【学生活动】小组交流讨论后，代表发言. 【教学说明】教师板书平方根概念 并强调：弄清楚“谁”是“谁”的平方根，且正数有两个平方根，它们互为相反数，负 数没有平方根.在此基础上完成例 1，并注意学生利用平方运算求一个数的平方根时语言的 规范性. 2.算术平方根 【教师活动】正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作 a a，正数 a 的平方根 记作± a ,0 的平方根是 0，0 的算术平方根是 0. 【学生活动】完成例 2. 【教学说明】教师强调用平方运算求平方根，并用数学符号± 表示平方根，用 表 示算术平方根. 3.利用计算器求算术平方根 2 【学生活动】用计算器操作. 【教学说明】教师强调：正确的操作程序与精确度. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课堂练习部分，教师根据完成情况指导小组进行点评，特别 是平方根与算术平方根的区别. 四、典例精析，拓展新知 例 三角形的三边长为 a、b、c 且 2a  +|b-3|=0，c 为偶数，求△ABC 的周长. 【分析】 2a  表示 a-2 的算术平方根，故 a-2≥0，即 2a  ≥0，而|b-3|≥0，利 用非负数和为 0，则分别为 0，求出 a、b,再由三边关系求解. 【答案】△ABC 的周长为 7 或 9. 【教师点拨】a 表示 a 的算术平方根，具有双重非负性，非负数和为 0，则各非负数为 0. 五、运用新知，深化理解 1.3a-2 的平方根是它的本身，b+1 的算术平方根是它本身，则 a= ，b= . 2. 16 的平方根是. 3.n 为整数， 3 3 1m n n     ，则 m+n= . 【答案】1. 2 3 -1 或 0 2.±2 3.3 或 4 【教学说明】从跟踪练习中，查漏补缺、并注意审题准确.如 16 先转化为 4，再求 4 的平方根. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？并与同伴交流，在学生交流发言的基础上 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课概念较多，从神十飞天入手导入新课，抓住了学生的兴趣点.从正方形的面积为 25，求它的边长，进行平方根与算术平方根的教学.整堂课师生互动，以学生为主体，考虑 到概念课的特殊性，呈现教师引导、学生表达，教师归纳、学生理解模式. 求平方根时，利用平方运算，并适时进行用± 或 表示平方根或算术平方根.典例 精析对 a 的双重非负性，学生可能有困难，教师给予适当的关注. 3 2.立方根 【基本目标】 1.了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根. 2.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根. 3.让学生体会一个数的立方根的惟一性 . 4.分清一个数的立方根与平方根的区别，并会用计算器求一个数的立方根. 【教学重点】 立方根的概念，并会求一个数的立方根. 【教学难点】 立方根与平方根的区别. 一、创设情景，导入新课 （出示电热水器图片） 问题（1）：同学们在家里或者商场里都见过电热水器，像一般家庭常用的是容积 50L 的.如果要生产这种容积为 50L 的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的 2 倍，这种容器 的底面直径应取多少？ （学生小组讨论，并推选代表发言，教师板演.） 解：设容积的底面直径为 xdm，则 2·( ) ·2 2 =50x x 可得，x3=100  ≈31.84 问题是什么数的立方会等于 31.84 呢？学生百思不得其解，教师可在此处设置一个台阶. 再设问：要制作一种容积为 27m3 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 二、师生互动,探究新知 1.立方根的概念 在学生充分讨论的基础上教师给出解决问题的过程： 设这种包装箱的边长为 xm，则 x3=27. 这就是求一个数，使它的立方等于 27. 因为 33=27， 所以 x=3. 即这种包装箱的边长应为 3m. 归纳：如果一个数的立方等于 a，那么这个数是 a 的立方根. 4 例 1 根据立方根的意义，求下列各数的立方根：125/8，-64，-1/27，1，-1. （1）对于 23=8，可以进一步追问学生，除了 2 以外是否有其他的数，它的立方也等于 8 呢？对于下面几个问题可以类似设问. （2）思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？并追问一个正数有几个立方根？一个 负数有几个立方根？零的立方根是什么？（学生独立探究，再小组合作交流，给出立方根的 性质.） 即：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0. 2.用数学符号表示立方根 例 2 见教材 P6 解略. 【教学说明】注意立方根定义及用 3 表示一个数的立方根，教师可设问 3a 中 a 取什么 数？a 中 a 取什么数以引起学生对平方根、立方根区别的认识. 3.用计算器求一个数的立方根. 【教学说明】教师提醒学生注意操作的程序与精确度的要求. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师及时点评. 四、典例精析，拓展新知 例 3 求下列各式的值： 【教学说明】通过以上求值让学生能熟练运用与 3 求平方根与立方根，进一步区分平方 根与立方根. 五、运用新知，深化理解 1.-64 的立方根是 . 2. 3 35 5   成立吗？ . 3.（x+1）3=-64 的解是 . 5 4.立方根是本身的数有 . 5. 3 8 的立方根是 . 6.一个正方体的体积是 0.512m3，则它的边长是 m. 【答案】1.-4； 2.成立； 3.x=-5； 4.0、±1；5. 3 2 ；6.0.8 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么?有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课的教学设计是以课程标准为依据，在教学上体现了创设情景——提出问题——建 立模型——解决问题思路，在教学中体现了自主学习思路. 在导入新课时，创设了一个学生生活实际中常常见到的热水器制造问题，让学生从实际 问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用，体会学习立方根的必要性，激发学 生的学习兴趣.“平方根”“立方根”在内容安排上也有很多类似的地方，因此在教学中利用 类比方法，让学生通过类比旧知识学习新知识.教学中突出立方根与平方根的对比，分析它 们之间的联系与区别，这样新旧知识联系起来，既有利于复习巩固平方根，又有利于立方根 的理解和掌握.通过独立思考，小组讨论，合作交流，学生在“自主探索，合作交流”中充 分发挥了他们的主观能动性，感受了立方运算与开立方运算之间的互逆关系，并学会了从立 方根与立方的互逆运算中寻找解题途径. 11.2 实数 第 1 课时 实数的有关概念 【基本目标】 1.理解无理数与实数的概念. 2.知道实数与数轴上的点的一一对应关系，进一步培养数形结合的思想. 3.会比较两个实数的大小. 【教学重点】 实数的概念. 【教学难点】 实数与数轴上的点一一对应的关系. 6 一、创设情景，导入新课 如图，将两个边长为 1 的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼 成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是 2，所以大正方形的边长为 2.通过观察 教材 P8 的计算你发现了什么？它是一个什么数？ 二、师生互动，探究新知 1.无理数与实数的概念 教师启发归纳，任何一个有理数都可以写成有限小数，或无限循环小数，而 2 是无限不 循环小数，是无理数. 无理数与有理数统称实数. (1)概念反馈： 3 3228, 4 97 ， ， ， 中是无理数的是 3 9、 ，它们全部都属于实数. （2）判断：无限小数是无理数.（×） 无理数是无限小数.（√） 【教学说明】无理数、实数的概念由 2 引出用无限不循环小数进行定义，进而辨析无理 数时不能只看形式，还要看结果，即带根号的数不一定是无理数. 2.实数与数轴上的点一一对应 利用边长为 1 的正方形的对角线为 2 ，进而在数轴上画出表示 2 的点，- 2 的点. 教师在学生操作的基础上归纳：实数与数轴上的点一一对应. 【教学说明】无理数在数轴上表示目前较为困难,利用课前操作方法作出 2 .让学生亲 身经历数轴上表示 2 的点的方法，进而建立实数与数轴一一对应的关系. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 四、典例精析，拓展新知 7 【教学说明】在完成上述例题中，引导学生掌握有理数比较大小的方法，有理数运算法 则，进而让学生很自然的迁移实数的大小比较与运算，并体会到一种重要的数学思想“类比”. 五、运用新知，深化理解 1.在数 221.44 2 3 3 3.14 817  、 、 、 、 、 中，无理数有（ ）个. A.1 B.2 C.3 D.4 2.与数轴上的点一一对应的数是（ ） A.有理数 B.无理数 C.实数 D.整数 3.实数 a 在数轴上的位置如图： 化简：|a-1|+（a-2）2= 【答案】1.B 2.C 3.1 【教学说明】跟踪练习中暴露的问题及时分析原因. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 波利亚认为，“头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的东西”、 “学东西最好的途径是亲自去发现它”、“学生在学习中寻求欢乐”.在本节课的教学设计中 注意从学生的认知水平和亲身感受出发，创设学习情境，提高学生教学的积极性和学习兴趣， 8 设计系列活动让学生经历不同的学习过程.在活动过程中让学生动手试一试，说说自己的发 现并与同学交流结论，从而得出数轴上的点与实数是一一对应的关系.注意类比思考，以旧 迎新. 第 2 课时 实数的性质及运算 【基本目标】 1.了解有理数的相反数、绝对值等概念、运算法则、运算律在实数范围内仍然适用. 2.能对实数进行大小比较和四则混合运算. 【教学重点】 实数的性质、实数的大小比较及运算. 【教学难点】 实数的大小比较. 一、复习回顾 1.用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律. 2.用字母表示有理数的加法交换律和结合律. 3.平方差公式、完全平方公式. 4.有理数的相反数是什么？不为 0 的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？ 二、师生互动，探究新知 1.填空 3 2 与 互为相反数， 5 与 互为倒数，|- 3 3 |= . 2.概括 在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运 算律仍然适用． 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师及时点评. 四、典例精析，拓展新知 例 试估计 3 ＋ 2 与π的大小关系． 解:用计算器求得 3 ＋ 2 ≈3.14626437， 而π≈3.141592654， 9 因此 3 ＋ 2 ＞π. 五、运用新知，深化理解 1.请你试着计算下列各题. 2.比较下列各组数中两个实数的大小： 3.试解答下列问题： （1）指出 5 在数轴上位于哪两个整数之间； （2）写出绝对值小于 4 的所有整数. 【答案】1.(1)1 (2)2 2 (3)0 2.(1)＜ (2)＞ 3.(1)2 和 3 (2)0，1，2，3，-1，-2，-3 【教学说明】跟踪练习中暴露的问题及时分析原因. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 1.比较两个实数的大小的方法：（1）比较被开方数的大小；（2）平方法；（3）近似取值 法. 2.实数的运算包括加减、乘除、乘方、开方三级（6 种）运算，以前的运算法则、运算 律仍然适用. 本章复习 【基本目标】 10 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示. 2.了解平方与开平方，立方与开立方互为逆运算，会用平方与立方的运算求某些数的平 方根与立方根. 3.了解无理数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应. 4.能进行实数的运算，会估算无理数的大小. 【教学重点】 平方根与立方根，实数及运算. 【教学难点】 实数的估算，平方根的性质. 一、知识框图，整体建构 二、知识梳理，快乐晋级 本章通过问题的形式来梳理知识，以加深学生对基础知识的理解. 问题 1：平方根与立方根的定义是什么？它们有什么性质？ 问题 2：有理数与实数的定义是什么？ 问题 3：数轴上的点与实数有什么关系？你是怎么理解的？ 问题 4：实数的相反数、绝对值、倒数与有理数相同吗？ 问题 5：实数运算法则、运算律与有理数相同吗？ 【教学说明】教师提出问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，进行必要的 讲解与说明，做到切中要害、言简意赅. 三、典例精析，升华旧知 例 1（1）（-2）2 的平方根是（ ） A.-2 B.2 C.±2 11 D.±4 （2）下列说法中，正确的是（ ） A.正数的立方根是正数 B.负数的平方根是负数 C.无理数是开方开不尽的数 D.数轴上的点只能表示有理数 （3）- 61164 的立方根是 . （4）81 的算术平方根是 . （5）实数 a、b 满足 1a  +(b-2)2=0，则 ab= . 【答案】（1）C （2）A （3）-5/4 （4）3 （5）-2. 【教学说明】这四道小题学生小组内自评自改.教师指出（4）中应转化为 9 的算术平方 根，应将间接条件直接化. 例 2 14 +1 的小数部分为 a，整数部分为 b，求 a-b 的值. 【分析】∵3＜ 14 ＜4，4＜ 14 +1＜5， ∴ 14 +1 的整数部分 b=4，小数部分 b= 14 +1-4= 14 -3，∴a-b=（ 14 -3）-4= 14 -7. 【教学说明】本题包含无理数的估算和无理数的运算，关键是确定 14 +1 的整数部分 b 的值.特别估算能力数学课程标准较重视. 例 3 已知实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示. 化简： 2b -|c-a|+|a+c|. 【分析】由数轴知道 b＜0,c-a＜0，a+c＞0, 2b 表示 b2 的算术平方根，故原式=-b+ （c-a）+（a+c）=2c-b. 【教学说明】利用数形结合，判断绝对值里面的数的正负性，其中 b2 的意义是解题的 关键. 四、师生互动，课堂小结 这节课你有什么收获？有何疑惑？复习了哪些数学思想方法？与同伴交流.在学生交流 发言的基础上，教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节复习课从知识构建到知识梳理应让学生积极自主的完成，在完成知识构建（梳理） 过程中寻找薄弱环节，从而抓住复习的针对性. 12 典例精析部分，教师应注意根据教学的实际动态进行及时归纳，点评，让知识类化，形 成能力. 在复习的过程中，学生难免有遗漏的地方，教师应以激励为主. 第 12 章 整式的乘除 12.1 幂的运算 1.同底数幂的乘法 【基本目标】 1.掌握同底数幂的乘法法则，并能运用它进行熟练的计算. 2.能利用同底数幂的乘法法则解决简单实际的问题. 【教学重点】 同底数幂乘法法则的推导与运用. 【教学难点】 同底数幂乘法法则的运用. 一、创设情景，导入新课 【情境导入】 “盘古开天辟地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团， 突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成 两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了， 他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原， 肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流. 【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太 阳到地球的距离是多少？ 光的速度为 3×105 千米/秒，太阳光照射到地球大约需要 5×102 秒，你能计算出地球距 离太阳大约有多远呢？ 【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式： 3×105×5×102=15×105×102=15×？（引入课题） 二、师生互动，探究新知 同底数幂的乘法法则. 13 【教师活动】到底 105×102=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨 论. 【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示. 计算过程：105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10）=10×10×10×10×10×10 ×10=107. 【教师活动】下面引例. 请同学们计算并探索规律. （1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2（ ）； （2）53×54= =5（ ）； （3）（-3）7×（-3）6= =（-3）（ ）； （4）（ 1 10 ）3×（ 1 10 ）= =（ 1 10 ）( ); （5）a3·a4= =a（ ）. 提出问题：①这几道题目有什么共同特点？ ②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？ 【学生活动】独立完成，并在黑板上演算. 【教师总结】 从而得出同底数幂的乘法法则 am·an=am+n（m、n 为正整数）即同底数幂相乘，底数不变, 指数相加. 【教学说明】通过以上 5 个计算，让学生根据乘方的意义从特殊到一般探索同底数幂的 乘法法则，水到渠成. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 四、典例精析，拓展新知 例 如果 xm-n·x2n+1=x11，且 ym-1·y4-n=y5，求 m、n 的值. 【分析】根据同底数幂的乘法法则得：（m-n）+(2n+1)=11,(m-1)+(4-n)=5,用方程组解 决. 【答案】m=6，n=4 14 【教学说明】教师提问：由两个等式我们想到了什么知识？如何建立 m 与 n 之间的等量 关系？教师深入强化数学中的转化思想. 五、运用新知，深化理解 【教学说明】注意同底数幂乘法可以推广到多个因式相乘，遇到形如（-a）6·a9 转化为 a6·a9. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习到什么？有什么收获？有何疑问与困惑与同伴交流，在学生交流发言的基 础上教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课从故事引入为激发学生探究同底数幂乘法法则的兴趣，探究同底数幂乘法法则 时，注意用乘方的意义让学生自己发现归纳.始终遵循从特殊到一般的认知规律.在同底数幂 乘法法则的运用中，不断渗透转化方程的数学思想. 2.幂的乘方 【基本目标】 1.理解幂的乘方法则. 2.运用幂的乘方法则计算. 【教学重点】三 理解幂的乘方法则. 【教学难点】 幂的乘方法则的灵活运用. 一、创设情景，导入新课 15 大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半 径的 102 倍，太阳的半径是地球半径的 103 倍，假如地球的半径为 r，那么，请同学们计算一 下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为 V= 4 3 πr3） 【学生活动】进行计算，并在黑板上演算. 解：设地球的半径为 1，则木星的半径就是 102，因此，木星的体积为 V 木星= 4 3 π（102） 3. 二、师生互动，探究新知 【教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导. 【学生活动】有些同学这时无从下手. 【教师启发】请同学们思考一下 a3 代表什么？（102）3 呢？ 【学生回答】a3=a×a×a,指 3 个 a 相乘.（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘 法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106， 因此（102）3=106. 【教师活动】利用上面推导方法求 （1）（a3）2；（2）（24）3；（3）（bn）+. 【学生活动】推导上面几个算式并板演. 【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（am）n 的结果是多少？ 【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论： 【教学说明】通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和 幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 四、典例精析，拓展新知 【教学说明】教师提问 x6m 与 x2m 在指数上有何关系，你想到了如何变形，化未知为已知 （逆用幂的乘方法则）. 五、运用新知,深化理解 16 【教学说明】从跟踪练习中捕捉学生知识上、思维上的不足并及时跟进. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课在熟悉乘方的意义与同底数幂的法则的前提下推导幂的乘方法则，在教学过程中 注意引导学生运用转化思想来解决新问题.在拓展新知时，注意联想与逆向思维能力的培养. 3.积的乘方 【基础目标】 1.理解积的乘方法则. 2.运用积的乘方法则计算. 【教学重点】 理解并掌握积的乘方法则. 【教师难点】 积的乘方法则的灵活运用. 一、回顾交流，导入新课 【教学说明】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的乘方运算法则的内容以 及区别. 【学生活动】踊跃举手发言，解说老师的提问. 【课堂演练】 17 计算：（1）（x4）3；（2）a·a5； （3）x7·x9（x2）3. 【学生活动】完成上面的演练题，并从中领会这两个幂的运算法则. 【教师活动】巡视，关注学生的练习，并请 3 位学生上台演示，然后再提出下面的问题. 二、师生互动，探究新知 【教师活动】请同学们完成教材 P20 填空，并注意每步变形的依据. 【学生活动】完成书本填空并回答教师问题. 【教师活动】你发现了什么规律？如何解释这个规律？ 【学生活动】分组讨论，解释. 【师生互动】教师在学生发言的基础上板书. 即积的乘方，把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 四、典例精析，拓展新知 例 1 计算：（1）［（-x2y）3·（-x2y）2］3； （2）a3·a4·a+（a2）4+（-2a4）2. 【分析】（1）按积的乘方法则先算括号里面的； （2）第一项是同底数幂的乘法，第二项是幂的乘方，第三项是积的乘方. 【答案】（１）－ｘ３０ｙ１５； （2）6a8 例 2 用简便方法计算： 【分析】先将指数化为相同的再逆用积的乘方法则. 【答案】13/5 【教学说明】例 1 由小组讨论交流解题思路，小组活动后，展示计算结果.教师根据反 馈的情况总评.如（-2a4）2 中的负号处理.例 2 在教师引导下，由小组合作完成，并强调遇 到高指数时化成同指数,再利用积的乘方法则. 五、运用新知,深化理解 1.计算：（-3a3）2·a3+（-4a）2·a7-（5a3）3. 2.已知：（a-2）2+ 2 1b  =0,求 a2014·b2013 的值. 18 【答案】1.-100a9; 2.-2 【教学说明】由跟踪练习情况及时点评，如第一题中符号问题引起重视. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教 师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课釆用探究与自主学习相结合的模式完成的，探究的目的是让学生会推导积的乘方 法则.通过小组合作学习增强学习的主动性，突出学生的主体地位.并注意在其中的及时引 导，发挥教师主导作用.教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用. 4.同底数幂的除法 【基本目标】 1.理解同底数幂的除法法则. 2.运用同底数幂的除法法则计算. 【教学重点】 掌握同底数幂的除法法则. 【教学难点】 同底数幂除法的应用. 一、创设情景，导入新课 【教师活动】地球的体积是 1.1×1012km3，月球的体积 2.2×1010km3，求地球的体积是月 球的多少倍？如何列式？ 【学生活动】学生代表发言：（1.1×1012）÷（2.2×1010） 【教师活动】1012÷1010=？下面我们一起探究. 二、师生互动，探究新知 【教师活动】完成教材 P22 填空，由填空你得出了什么规律？ 【学生活动】经小组交流后，汇报结果. 【教学说明】板书：am÷an=am-n，（a≠0，m＞n,且 m、n 为正整数） 同底数相除，底数不变，指数相减. 19 【教师活动】乘法与除法互为逆运算，我们能由同底数幂乘法法则来推导它吗？教师引 导 an·（ ）=am.设（ ）=ak. 【学生活动】由小组讨论交流后汇报推导结果. 【教学说明】我们的认知规律：猜测——归纳——证明. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 【教学说明】根据反馈情况及时订正，并与法则对比，找准错因. 四、典例精析，拓展新知 例 1 一张数码照片的文件大小是 28K，一个存储量为 26M（1M=210K）的移动存储器能存 储多少张这样的照片？ 【分析】用储量 26M 除以每张照片的存储量的大小. 【答案】28 张 【教学说明】教师可将此问题类比成总价、单价与数量关系，从而化为同底数幂的除法. 例 2 若 32×92a+1÷27a+1=81，求 a 的值. 【分析】将左右都化成 3 的指数幂再比较对应. 【答案】a=3 【教学说明】左右两边能否化成同底数幂的运算，如何使用幂的运算法则，强调转化思 想.小组活动时注意对学困生的辅导. 五、运用新知，深化理解 1.一种计算机每秒可进行 1012 运算，它工作 1015 次运算需要秒时间. 2.若 y2m-1÷y=y2，求 m+2 的值. 【答案】1.103 2.4 【教学说明】由跟踪练习情况及时点评，如 y 的指数不是 0 等. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何疑惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教 师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课探究新知部分，注意如何使学生从特殊中发现规律，得到一般性结论，再由同底 数幂的乘法法则（同底数幂除法法则）证明规律.积极鼓励学生主动地探究数学问题，加深 对数学问题的理解,养成良好思维习惯，提高学生的数学素养. 20 12.2 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘 【基本目标】 1.通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则. 2.掌握单项式相乘的几何意义. 3.会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题. 4.培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯. 【教学重点】 单项式与单项式相乘的法则. 【教学难点】 单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义. 一、复习旧知，导入新课 我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗？ 【教师活动】 我们刚才已经复习了幂的运算性质.从本节开始，我们学习整式的乘法.我们知道，整式 包括什么？（包括单项式和多项式.）因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘 以多项式、多项式乘以多项式.这节课我们就来学习最简单的一种：单项式与单项式相乘. 二、师生互动，探究新知 1.一个长方体的底面积是 4xy，高度是 3x，那么这个长方体的体积是多少？ 【学生活动】小组合作完成，在小组交流讨论后由代表发言. 【教师活动】每一步的依据是什么？（乘法交换律） 因此 4xy·3x=4·xy·3·x=（4·3）·（x·x）·y=12x2y.（要强调解题的步骤和格式） 21 2.仿照刚才的作法，你能解出下面的题目吗？ 【教师活动】第（2）题中在第二个单项式-4b2c 中出现的 c 怎么办？ 【学生活动】由小组讨论归纳单项式乘单项式的法则. 【教学说明】教师板书：单项式和单项式相乘，系数与系数相乘,相同字母的幂分别相 乘；对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分。 教师巡视，针对同学问题及时纠正. 四、典例精析，拓展新知 例 1 边长是 a 的正方形面积是 a·a，反过来说，a·a 也可以看作是边长为 a 的正方形 的面积. 探讨：3a·5ab 的几何意义. 【答案】可以看作是长为 a，宽为 5b，高为 3a 的长方体的体积，也可以看作是长为 5a， 宽为 b，高为 3a 的长方体的体积. 例 2 纳米是一种长度单位，1 米=109 纳米，试计算长为 5 米，宽为 4 米，高为 3 米的长 方体体积是多少立方纳米？ 【分析】 长方体体积=长×宽×高 【答案】6×1028（立方纳米） 【教学说明】注意单位换算. 五、运用新知，深化理解 1.边长分别比 2a 和 a 的两个正方形按如图形式摆放，则图中阴影部分的面积是（ ） A.2a2 B.2 C.5a2-3a D. 7 2 a2 2.光速约为 3×105km/s，太阳光照射到地球所需的时间为 5×102s，则太阳与地球间的 22 距离是 km. 【答案】1.A 2.1.5×108 【教学说明】第 1 题若学生思维受阻时，引导阴影部分可以转化成哪些图形的积和差？ 直角三角形的底和高各是多少？ 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教 师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 这节课内容较为简单，在探索单项式乘单项式法则时，注意让学生自己归纳，以提高学 生使用数学语言的能力，在推导的过程中，注意每步依据为后面几何证明服务，从而培养逻 辑思维能力，变式训练中表达阴影部分面积，旨在培养学生直观图感，将图形语言向数学符 号语言转化能力，同时注意转化数学思想的应用. 2.单项式与多项式相乘 【基本目标】 1.能说出单项式与多项式相乘的法则，并且知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项 式. 2.会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算. 3.通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力. 【教学重点】 本节课的教学重点是掌握单项式乘以多项式的法则. 【教学难点】 熟练地运用法则，准确地进行计算. 一、复习旧知，导入新课 1.单项式与单项式相乘法则. 2.完成下列各题. （1）2x2·（-4xy）=（ ）； （2）（-2x2）·（-3xy）=（ ）； 23 （3）（-ab）·（ab2）=( ). 二、师生互动，探究新知 1.5×（7-2+3）=5× +5× +5× ,依据是什么？将题中数转换成字母 a、 b、c、d，则 a·（b+c+d）= . 2.你能将算出的结果用长方形的面积验证吗？如图 【教师活动】在教师引导下，学生总结法则，并用语言叙述，教师订正语言准确性. 【教学说明】板书：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将 所得的积相加.即 a（b+c+d）=ab+ac+ad. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视并及时反馈. 四、典例精讲，拓展新知 例 先化简，再求值. （1）3x2（2x2-x+1）-x（3x3-4x2+2x），其中 x=-1； （2）x2（3-x）+x（x2-2x）+1,其中 x= 3 . 【分析】先利用单项式乘多项式的法则化简，再代入求值. 【答案】（1）化简得 3x4+x3+x2，当 x=-1 时，原式=3. （2）化简得 x2+1,当 x= 3 时，原式=4. 【教学说明】教师强调运用法则做到一步一查确保计算准确无误，这类题应先化简，再 求值. 五、运用新知，深化理解 先化简，再求值： （1）3x（2x+y）-2x（x-y），其中 x=1,y=15； （2）已知 x2-3=0,求 x（x2-x）-x2（5+x）-9 的值. 【答案】（1）4x2+5xy,5;(2)-6x2-9,-27. 【教师说明】（2）中宜将 x2 视为一个整体. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教 师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 24 本节课法则推导利用乘法的分配律，从数类比到字母，学生亲切易懂，体现用字母代替 数的思想，再让学生用长方形面积验证，培养思维严谨性，注重数形结合思想. 运用新知中，第（2）题将 x2 看作一个整体，提高计算灵活性.本课计算量有所加大，如何 让学生计算更准确，除熟练运用法则外，还应对学生计算作心理指导.如做一步查一步，不 要做完再检查，可通过演算比赛调动计算情绪. 3.多项式与多项式相乘 【基本目标】 1.能说出多项式与多项式相乘的法则，并且知道多项式乘以多项式的结果仍然是多项式. 会进行多项式乘以多项式的计算及混合运算. 2.培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力. 3.培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望及能力. 【教学重点】 掌握多项式乘以多项式的法则. 【教学难点】 运用法则进行混合运算时，不要漏项. 一、复习旧知，导入新课 指名学生说出单项式与多项式相乘的法则.（单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项 式中的每一项，再把所得的的积相加.） 式子 p（a+b）=pa+pb 中的 p，可以是单项式，也可以是多项式.如果 p=m+n，那么 p（a+b） 就成了（m+n）（a+b），这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题.（由此引出课 题） 你会计算这个式子吗？你是怎样计算的？ 二、师生互动，探究新知 【教师活动】（教师引导学生由繁化简，把（m+n）看作一个整体，使之转化为单项式乘 以多项式，即：［（m+n）（a+b）］=（m+n）a+（m+n）b=ma+mb+na+nb. 【教师活动】教材 P28 例图你会验证吗？ 【教师活动】问题：（1）如何表示扩大后的林区的面积？ （2）用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢？ 【学生活动】学生分组讨论，相互交流得出答案. 【教师活动】观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来 25 的多项式各项之间相乘直接得到？如果能得到，又是怎样相乘得到的？（教师示范） 1.你能用语言叙述这个式子吗？ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加. 即：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb. 2.两个多项式相乘，不先计算能知道结果中（合并同类项前）有几项吗？ 3.在计算中怎样才能不重不漏？ 这个法则，对于三个或三个以上的多项式相乘，是否适用？若适用，应怎样计算？ 【学生活动】学生小组讨论、交流、发言汇报. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并及时反馈，特别是漏乘现象. 四、典例精析，拓展新知 例甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）·（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中 a 的符号，得到的结果为 6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果 为 2x2-9x+10. （1）你能知道式子中 a、b 的值各是多少吗？ （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果. 【分析】甲抄错了 a 的符号，即甲的计算式为（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab.对 比得到的结果可得-（3a-2b）=11；乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数，即乙的计算式为（2x+a） （x+b）=2x2+（a+2b）x+ab.对比得到的结果可得出 a,b 的值. 解：（1）（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab=6x2+11x-10. （2）（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab=2x2-9x+10. ∴-（3a-2b）=11, a+2b=-9,解得 a=-5, b=-2. （2）原式=（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10. 五、运用新知，深化理解 若多项式（x2+mx+n）（x2-3x+4）展开后不含 x3 项和 x2 项，试求 m、n 的值. 解：原式=x4+mx3+nx2-3x3-3mx2-3nx+4x2+4mx+4n=x4+（m-3）x3+（n-3m+4）x2+（4m-3n） x+4n，由题意得： m-3=0,且 n-3m+4=0 ∴m=3,n=5. 【教学说明】教师提示各项系数对应，即待定系数法. 六、师生互动，课堂小结 26 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教 师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课推导多项式乘多项式法则时，从单项式乘多项式法则入手，用换元思想直接推导， 思维有根基，为防止本节课中最大错误——漏乘现象，教师设置了一个探究关于多项式相乘 后（没合并同类项前）的项数问题，很好的避免了这个错误.典例精析中的待定系数法初次 接触，注意对学习困难的学生进行及时指导. 12.3 乘法公式 1.两数和乘以这两数的差 【基本目标】 1.能说出平方差公式的特点，并会用式子表示. 2.能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法. 3.通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想. 【教学重点】 掌握平方差公式的特点，牢记公式. 【教学难点】 具体问题要具体分析，会运用公式进行计算. 一、创设情景，导入新课 街心花园有一块边长为 a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长 2 米，而东 西方向要缩短 2 米.问改造后的长方形草坪的面积是多少？ 【学生活动】（a+2）（a-2）=a2-4 二、师生互动，探究新知 【教师活动】你观察式子左边有什么特征？右边的结果又有什么特征？这种发现具有一 般性吗？请同学们再列举几个验证一下.你能得出什么规律性结论？请用字母表示. 【教学说明】在学生发言基础上归纳：（a+b）（a-b）=a2-b2 这就是说，两数之和与两数 之差的积，等于这两数的平方差.简称平方差公式.请同学们结合教材 P31 图形进行面积验 证. 27 【教师活动】请同学们给出几个平方差的式子，并让同伴计算. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视及时点评.注意运用公式时应具有 平方差公式的特征. 四、典例精析，拓展新知 例利用平方差公式计算： （1）59.8×60.2; （2）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+1/4 【分析】（1）可转化为（60-0.2）（60+0.2）; （2）先将前面部分乘以（5-1）构造平方差公式，再除以 4. 【答案】（1）3599.96（2）532/4 【教学说明】第（2）小题可能大多数同学不会做，教师抓住这困惑，是思维的起点， 帮助分析如何构造平方差公式.（52+1）与谁构成平方差，同时注意代数式恒等的要求. 五、运用新知，深化理解 1.计算（y+x）（y-x）（x2+y2）（x4+y4）. 2.计算（1）20132-2012×2014； （2）3×（4+1）（42+1）+1. 【答案】1.y8-x8;2.(1)1;(2)256. 【教学说明】如何转化构造平方差公式，教师巡视并对学习困难的学生给予指导. 六、师生互动，课堂小结 这一节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课重在应用平方差公式计算，而应用公式的关键是掌握平方差公式的特征，在学生 合作探索平方差公式后，教师要求学生构造具有平方差公式的习题，并计算，具有开放性， 大大调动了学生的积极性与学习激情.在典例精析中第（2）小题学生思维受阻时，让学生由 式子特征联想知识模型、构造平方差公式，再解决相应数学问题是数学创造性表现！ 2.两数和（差）的平方 28 【基本目标】 1.能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示. 2.能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法. 3.通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想. 【教学重点】 掌握公式的特点，牢记公式. 【教学难点】 具体问题，具体分析，灵活运用完全平方公式. 一、创设情景，导入新课 王老汉开辟了一个正方形的菜园，它的边长是（a+b），则它的面积是多少？ 【学生活动】（a+b）2=a2+2ab+b2（用多项式乘以多项式算得） 【教师活动】有没有更简洁的方法?回答是有的，今天将给大家一个满意的回答. 二、师生互动，探究新知 【教师活动】请同学们自学教材 P32~P33 内容.回答下列问题： 1.计算（a+b）2= . 2.这个公式的左边和右边各有什么特点？用文字叙述. 3.你会用（a+b）2=a2+2ab+b2 计算（a-b）2 吗？ 4.你会结合教材 P33 图形验证吗？ 【学生活动】学生小组内合作、交流、并汇报探究结果，回答上述问题. 【教学说明】在学生发言的基础上归纳：两个乘法公式 （a+b）2=a2+2ab+b2， （a-b）2=a2-2ab+b2 文字叙述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方，加上（减去）这两数的积的 2 倍.口诀“首平方，尾平方，二倍乘积中间放”. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并及时点评与指导，特别是公式 运用中错误及时纠正. 四、典例精析，拓展新知 例 已知 x+y=4,xy=2，求（1）x2+y2;（2）3x2-xy+3y2; （3）x-y 【分析】（1）x2+y2=（x+y）2-2xy; (2)3x2-xy+3y2=3（x+y）2-7xy； (3)（x-y）2＝（x+y）2-4xy. 29 【答案】（1）12； （2）34； （3）x-y=± 8 . 【教学说明】x+y、xy、x2+y2 是一组典型对称式，注意指导学生灵活进行公式变形.（x+y） 2=（x-y）2+4xy. 五、运用新知，深化理解 1.已知：x2+y2=6,xy=5.求 x+y; 2.已知 a、b 满足，（a+b）2=1,（a-b）2=25,试求 a2+b2+ab 的值. 【答案】1.x+y=±4；2.a2+b2+ab=7. 【教学说明】本题是结合典例精析中公式变形后的变式训练，对公式变形不熟练学生给 予有效指导. 六、师生互动、课堂小结 这节课你学到了什么？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总 结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课在初中数学中占有重要地位，特别是公式应完全掌握，教学时为防止类比平方差 公式，出现（a+b）2=a2+b2 的错误，教师给出了口诀，相信同学们都能掌握该公式的结构 特征.教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导，本节课考虑到换元思想将两数和与 两数差的平方用两数和来推导，进一步体现转化思想，也加深了对两数和的平方公式的理解. 本节课中的公式恒等变形较灵活，逻辑性较强，对学习困难的学生以更多指导与关心. 12.4 整式的除法 1.单项式除以单项式 【基本目标】 1.理解掌握单项式除以单项式的法则. 2.会进行单项式除以单项式的运算. 【教学重点】 运用单项式除以单项式的法则进行计算. 【教学难点】 探求单项式除以单项式的方法. 30 一、创设情景，导入新课 我们知道“先看见闪电，后听到雷声”，那是因为在空气中光的传播速度是 3×108m/s， 而声音在空气中的传播速度是 3.4×102m/s.在空气中光速是声速的多少倍？ 【教师活动】如何列式？ 【学生活动】（3×108）÷（3.4×102）？ 【教师活动】引导：∵（3.4×102）× =3×108， ∴（3×108）÷（3.4×102）= . 下面讲学习单项式除以单项式. 二、师生互动，探究新知 【教师活动】观察并填空： 1.问题的提出. ∵3x2y·2xy3=6x3y4 ∴6x3y4÷3x2y= ① 6x3y4÷2xy3= ② 分析观察得出：两个单项式相除，只需得 及 分别相除. 2.再思考：-21a2b3c÷3ab. 大家分析一下此题中对 c 该怎么办? 【学生活动】完成填空并及时思考单项式除以单项式的法则，讨论交流并选代表发言. 【教学说明】在同学们发言基础上归纳：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为 商的因式，对于只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并结合出现的错误及时点评，特 别是符号，以及仅在被除式中出现的字母的处理问题. 四、典例精析，拓展新知 例 1 计算下列各题： （1）（x2y）·（ 1 2 x3y4）÷（ 1 4 x4y3）; （2）（4xn+2yn）2÷［（-xy）2］n（n 为正整数）. 【分析】单项式的乘除混合运算从左到右，按法则计算，有乘方先算乘方. 【答案】（1）2xy2；（2）16x4. 【教学说明】通过单项式的乘除混合运算进一步巩固单项式乘除的法则，提高基本运算 能力. 例 2 若等式（ ）÷4n=62n 成立，则括号内的代数式是. 【分析】根据除法是乘法的逆运算，得（ ）=62n·4n=62n·22n=122n. 31 【教学说明】提高逆向思维能力. 五、运用新知，深化理解 1.若 a2m+nbn÷a2b2·anb=a4b,求 m、n 的值； 2.计算（2x2y）3·（-7xy2）÷（14x4y3）. 【答案】1.m=1,n=2;2.-4x3y2. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言基础上教师 归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课重点是如何运用单项式除以单项式法则，难点是单项式除以单项式法则的推导. 在法则推导过程中利用乘法与除法的互逆运算关系，让学生自己发现、归纳，让学生自己知 其所以然.为强化重点，通过典例互动探究提高学生运用法则，熟练计算的能力，本节课另 外要注意转化的数学思想方法在解题中的运用. 2.多项式除以单项式 【基本目标】 理解多项式除以单项式的运算法则；会进行多项式除以单项式的运算. 【教学重点】 运用多项式除以单项式的法则进行计算. 【教学难点】 多项式除以单项式法则的探求. 一、创设情景，导入新课 计算下列各式，说说你是怎么想的？ （1）（am+bm）÷m; （2）（a2+ab）÷a. 【教学说明】学生有困难时，可提示如（am+bm）÷m，就是要求一个多项式它与 m 的积 是 am+bm，∵（a+b）m=am+bm，∴（am+bm）÷m=a+b，又∵am÷m+bm÷m=a+b，∴（am+bm） ÷m=am÷m+bm÷m. 32 二、师生互动，探究新知 【教师活动】am+bm 是一个多项式，m 是一个单项式，由此你得出了什么法则？ 【教学说明】在学生分组讨论交流的基础上，教师归纳：多项式除以单项式，先把多项 式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 练一练（1）（6xy+5x）÷x； （2）（15x2y-10xy2）÷5xy 【答案】（1）6y+5；（2）3x-2y 【教学说明】（1）明确解题步骤，步步有据；（2）注意商的符号，防止符号错误；（3） 注意化简合并，使计算简便. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评，使学生熟练运用法则， 准确计算. 四、典例精析，拓展新知 例计算：（1）［（x+2y）（x-2y）+4（x-y）2］÷6x; （2）［2（a+b）5-3（a+b）4+（-a-b）3］÷［2（a+b）3］. 【分析】（1）先将被除式化简，再进行除法运算；（2）将（a+b）视为一个整体. 【答案】（1） 5 6 x- 4 3 y;（2）a2+b2+2ab- 3 2 a- 3 2 b- 1 2 . 【教学说明】（1）注意整式乘法，特别是乘法公式的灵活运用；（2）整体思想可化繁为 简. 五、运用新知，深化理解 已知 2x-y=10，求代数式［（x2+y2）-（x-y）2+2y（x-y）］÷4y 的值. 【答案】化简得：x- 1 2 y，值为 5. 【教学说明】对于化简求值题，一般先化简后，再代入求值，本题条件式为一个等式， 化简后往往与之有关，再变形后整体代入. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课学习多项式除以单项式的法则，在多项式乘以单项式的基础上归纳多项式除以单 33 项式的法则，注意引导学生积极有效的探索. 符号的确定是这一单元极为重要的问题，应引起学生的重视，反复强调，及时反思.另 外多项式除以单项式后商的项数与多项式的项数相同；多项式的某一项与单项式相同时，商 为 1.化简求值问题有时要用整体代入方法. 12.5 因式分解 第 1 课时 因式分解（1） 【基本目标】 1.理解因式分解与整式乘法之间的互逆关系. 2.用提公因式法进行因式分解. 【教学重点】 用提公因式法分解因式. 【教学难点】 将多项式适当地变形并用提公因式法分解因式. 一、创设情景，导入新课 1.完成下列各题： (1)m(a＋b＋c)＝ ； (2)(a＋b)(a－b)＝ ； (3)(a＋b)2＝ . 2.根据上面的计算，你会做下面的填空吗? (1)ma＋mb＋mc＝（ ）（ ）； (2)a2－b2＝（ ）（ ）； (3)a2＋2ab＋b2＝（ ）2. 观察讨论以上两组题目有什么不同点?又有什么联系? 3.你能根据上面的分析说出什么是因式分解吗? 像 ma+mb+mc=m(a+b+c) 这种因式分解的方法叫（ ）法.其中 m 叫（ ）. 小组讨论总结公因式有什么特征. 二、师生互动，探究新知 1.判断下列各题是否为因式分解： （1）m(a+b+c)=ma+mb+mc；（2)a2-b2=(a+b)(a-b)；（3)a2-b2 +1=(a+b)(a-b)+1. 34 2.试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式（公因式） （1） 3a+3b 的公因式是：； （2）-24m2x+16n2x 公因式是：； （3）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是：； (4) 4ab-2a2b2 的公因式是：. 3. 把下列多项式分解因式. （1）3a+3b； （2）5x-5x+5x. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评，注意找公因式的准确 性，注意符号、多项式的恒等变形. 四、典例精析，拓展新知 例将下列多项式因式分解. （1）x5-16x; （2）（a-1）+b2（1-a）; （3）x2y2+ 2 3 xy3+ 1 9 y4； （4）4x2-y2-z2+2yz. 【分析】（1）先提公因式 x，再用平方差公式； （2）先变形为（a-1）-b2（a-1），再提公因式（a-1），再用平方差公式； （3）先提取 y2 后再用完全平方公式； （4）先将后三项提出一个符号，是完全平方公式，再与前项构造平方差公式. 【答案】（1）x（x2+4）（x+2）（x-2）; （2）（a-1）（1+b）（1-b）; （3）y2（x+13y）2； （4）（2x+y-z）（2x-y+z）. 【教学说明】1.因式分解时遵循“一提（公因式）”、“二套（公式）”、“三查（是否分解 彻底）” 2.公因式符号不同时，先变号. （a-b）2=（b-a）2,（a-b）3=-（b-a）3. 3.多项式有两项时，符号相反考虑平方差，有三项时，考虑完全平方公式，有四项时可 考虑适当组合，再因式分解. 五、运用新知，深化理解 1.把下列多项式分解因式. 35 （1）2p3q2+p2q3； （2）xn-xny； （3）a(x-y)-b(x-y); （4） 4a3b-2a2b2. 2.已知 a+b=5,ab=3, 求 a2b+ab2 的值. 【答案】1.（1）p2q2(2p+q);（2）xn(1-y);(3)(x-y)(a-b);(4)2a2b(2a-b). 2.15. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课内容量较大，因式分解的概念，将多项式变形选择适当的方法进行因式分解是本 节课的难点，教学过程中，要及时关注学生，在代数变形方向给予指导与提示，让他们知道 为什么要这样变形，怎样灵活变形. 第 2 课时 因式分解（2） 【基本目标】 1.能熟练运用公式将多项式进行因式分解. 2.能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 3.提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力. 【教学重点】 掌握公式法进行因式分解. 【教学难点】 找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 一、创设情景，导入新课 1.我们学过哪些乘法公式？请把公式表示出来. 2.乘法公式如果反过来用，它们的结果都是什么形式?能够成为什么公式呢? 这些公式用语言可以怎样叙述？ 36 3.用这种对多项式进行因式分解的方法叫（ ）. 二、师生互动，探究新知 下列各式能否用公式来分解因式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，请说明 理由. (1)x2-4x+4；(2)1+16a2; (3)4x2+4x-1；(4)x2+6x+9. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评，注意找公因式的准确 性，注意符号、多项式的恒等变形. 四、典例精析，拓展新知 例 1 对下列多项式进行因式分解： （1）25x2-16y2；（2）-z2+(x-y)2. 【分析】以上各式均满足使用( )公式分解因式的条件，所以可直接利用（ ） 公式进行因式分解. 【答案】（1）（5x-4y）(5x+4y) (2)(x-y-z)(x-y+z) 例 2 把多项式 x2+4xy+4y2 分解因式． 【分析】1.判断左边是否为完全平方式． 2.判断中间一项是哪两个数积的二倍． 3.看清中间一项的符号，写出因式分解结果. 【答案】（x+2y）2 五、运用新知，深化理解 1.把下列各式分解因式： （1）-492+x2； （2）4(x+m)2 -(x-m)2. 2.把下列各式分解因式： (1)x2-12xy+36y2； (2)a2-14ab+49b2； (3)16a4+24a2b2+9b4； (4)49a2-112ab+64b2． 3.把下列各式分解因式. (1) a3-14a2+49a； (2) 3a3-27ab2； (3) 2am+an+2bm+bn ； (4) -20xy+25x2+4y2. 37 【答案】1.（1）(x-49)(x+49) (2)(3x+m)(x+3m) 2.(1)(x-6y)2 （2）(a-7b)2 (3)(4a2+3b2)2 （4）（7a-8b）2 3.（1）a(a-7)2 (2)3a(a-3b)(a+3b) (3)（2m+n）(a+b) (4)(5x-2y)2 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课中公式法与提公因式法常综合使用，注意通过适当地训练与归纳使之熟练化，对 于复杂变形后的因式分解，课标不做要求，不必加重学生负担. 本章复习 【基本目标】 1.会进行整式的乘法运算. 2.会进行整式的除法运算. 3.会将一个多项式因式分解. 【教学重点】 整式的乘法与因式分解. 【教学难点】 各种运算法则推导. 一、知识框图，整体建构 38 二、知识梳理，快乐晋级 本章通过问题的形式来梳理知识，以加深学生对基础知识的理解. 问题 1 同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方法则是什么？ 问题 2 单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则是什么？ 问题 3 单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则是什么？ 问题 4 因式分解的方法有哪些？因式分解的步骤是什么？ 问题 5 本章你学到哪几个乘法公式？你会用吗？ 【教学说明】教师出示问题，由学生小组竞赛的形式回答，教师根据学生的回答，对有 误区，不深刻的地方作出系统的说明. 三、典例精析，升华旧知 例 1 下列运算正确的是（ ） A.a7·a7=2a7 B.（a2）3=a8 C.a6÷a3=a2 D.a4b8=（ab2）4 【答案】D 【教学说明】通过本例复习幂的运算法则，应根据每个式子的类型，根据法则得出相应 的结果.注意幂的运算的逆向运用，必须熟练掌握. 例 2 下列运算正确的是（ ） A.a4+a4=2a8 B.（-a）3·（-a5）=-a8 C.（-2a2b）3·4a=-24a6b3 D.（- 1 3 a-4b）（ 1 3 a-4b）=16b2- 1 9 a2 【答案】D 【教学说明】通过本例复习各类整式的运算与乘法公式.对整式运算时，首先看清运算 种类，然后严格按各自法则运算，同时还要注意适当的变形与符号. 39 例 3（a- 1 2 ）2（a+ 1 2 ）2（a2+ 1 4 ）2 解：原式=［（a- 1 2 ）（a+ 1 2 ）（a2+ 1 4 ）］2= ［（a2- 1 4 ）（a2+ 1 4 ）］2=（a4- 1 16 ）2=a8- 1 8 a4+ 1 256 . 【教学说明】本例复习了平方差公式与完全平方公式的灵活运用，并注意逆用（ab）n=anbn. 并将结果写成降幂排列的形式，并提醒学生遇到直接运算不易操作的问题先转化较易操作状 态，再计算. 例 4 先化简，再求值： （a-2b）·（a+2b）+ab3÷（-ab）,其中 a= 2 ,b=- 3 . 解：原式=［a2-（2b）2］+（-b2）=a2-5b2, 若 a= 2 ,b=- 3 时，原式=（ 2 ）2-5（- 3 ）2＝2-15=-13. 【教学说明】计算时应先乘方，再乘除，最后算加减.化简时能够运用乘法公式的应优 先考虑，要自觉养成这种良好的习惯，这样计算才会简便，正确率高. 例 5 将下列各式因式分解: （1）9a-a3; （2）x3y-6x2y2+9xy3 【答案】（1）a（3+a）（3-a） （2）xy（x-3y）2 【教学说明】因式分解步骤：一“提”、二“套”、三“查”，注意提公因式法与公式法 综合运用. 四、师生互动，课堂小结 这节复习课你有什么收获？还有什么疑问？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在 学生交流发言的基础上，教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节通过框架图复习，力求让学生对本章的知识脉络清晰，层次清楚，以问题竞赛的形 式梳理知识，让同学们对这些知识了然于胸，教师典例精析中应针对学生薄弱的地方举一反 第 13 章 全等三角形 13.1 命题、定理与证明 1.命题 40 【基本目标】 1.了解命题的概念，理解命题的结构. 2.会识别命题的真假，会说明一个命题是假命题. 【教学重点】 命题的结构，真命题与假命题识别. 【教学难点】 识别命题的真假. 一、创设情景，导入新课 我们已经学习了哪些图形的特性？看哪个小组回答得最多？根据学生的回答，选取一个 导入新课.如“对顶角相等”这个句子，表示判断一件事情的语句就是今天学习的内容.板书 课题：命题. 二、师生互动，探究新知 1.命题的定义与结构 【教师讲解】以上所举例子都是判断某一件事情的语句.表示判断的语句叫做命题. 辨一辨下面的语句是命题的是：①你很美. ②你的奶奶身体好吗？ ③直角都互补； ④平行于同一直线的两直线平行. 【教学说明】命题的形式是陈述句，且作了判断. 将你所列举的命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出条件与结论. 【教学说明】“如果……”的部分是条件，“那么……”部分是结论，寻找命题的条件与 结论即将命题写成“如果……那么”的形式，注意改写后语句应通顺. 2.真命题与假命题. 【教学说明】条件成立、结论也成立的命题叫做真命题，条件成立，不能保证结论是正 确的命题叫做假命题，让学生一对一给出命题，并辨别真假. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视并及时评价. 四、典例精析，拓展能力 例指出下列命题的条件和结论，并判断命题的真假，如果是假命题请举一个反例. （1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）两个无理数之和仍是无理数. 41 【答案】（1）真命题，条件是经过一点画已知直线的垂线，结论：有且是只有一条. （2）假命题，条件是：两个数都是无理数，结论是：它们的和是无理数.如 2 与-2 都 是无理数，但和为 0，是有理数. 【教学说明】找命题条件与结论时，关键将命题改写成“如果……那么……”的形式， 说明假命题举出一个反例即可，辨别命题的真假应思维全面. 五、运用新知，深化理解 命题“一个角的补角一定大于这个角”的条件是 ，结论 是 ，它是一个 ，反例 为 . 【教学说明】使学生掌握寻找命题条件与结论的方法，说明一个命题为假命题，应举出 一个反例. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？你有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础 上，教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节内容，较少，比较简单，但命题的概念比较抽象，应从形式到内容帮助学生分析. 命题的条件与结论是辨别命题真假的关键，又是后面学习逆命题的基础，应掌握.针对学习 情况对理解不深刻的同学给予单独的辅导. 2.定理与证明 【基本目标】 1.理解已学的 5 个基本事实；理解定理的概念. 2.理解证明概念，体会证明的必要性. 【教学重点】 证明的过程与步骤. 【教学难点】 证明的必要性. 一、复习旧知，导入新课 42 1.什么是命题？命题的结构是什么？ 2.命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？ 今天我们将学习说明一个命题是真命题的方法. 二、师生互动，探究新知 （一）基本事实 教师讲解，并板书： （1）两点确定一条直线； （2）两点之间，线段最短； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，两直线平行. 上述五个命题是被公认的真命题，我们将它们当作基本事实，是我们用来判断其他命题 真假的原始依据，即出发点. （二）定理与证明 教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明证明的重 要性. 1.教师讲解：请大家看下面的例子： 当 n=1 时，（n2-5n+5）2=1； 当 n=2 时，（n2-5n+5）2=1； 当 n=3 时，（n2-5n+5）2=1. 我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5）2 的值都是 1 呢？实际上 我们的猜测是错误的，因为当 n=5 时，（n2-5n+5）2=25. 2.教师再提出一个问题让学生回答：如果 a=b，那么 a2=b2.由此我们猜想：当 a＞b 时， a2＞b2.这个命题是真命题. 【答案】上面的说法不正确，举一个反例来看，因为 3＞-5，但 32＜（-5）2. 【教师总结】在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很 多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就 是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题. 【教师讲解】数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并 且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. （三）定理的证明 直角三角形两锐角互余. 【教师引导】将文字语言转化为几何语言，注意推理步步有据，并在后面的括号里写上 每步的依据. 43 【教师讲解】此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理. 定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题 真假的依据. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视、及时点评. 四、典例精析，拓展新知 例试证明：如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直. 【教学说明】教师引导文字命题证明步骤，先画图写出已知求证，再分析找出思路，最 后写出证明过程，注意步步有据. 五、运用新知，深化理解 如图，AD∥BC,∠A=∠C,求证：AB∥CD. 【教学说明】教师启发由 AD∥BC，得到了什么？要证明 AB∥CD，需要证明什么？与 AD ∥BC 相关的信息是什么？如何书写使条理清晰，层次分明. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课从同学们已学的五个性质入手，讲解了基本事实的概念作用与地位，从发现命题 的结论不具有一般性让学生理解证明的必要性，从直角三角形两锐角互余的证明让学生感知 证明的步骤与要求.本节课有很多理性认识，学生不可能一蹴而就，而是在学习中及时完善 与提升. 对证明的条理问题应提出更高的要求，以培养学生更严谨的逻辑思维能力. 13.2 三角形全等的判定 1.全等三角形 2.全等三角形的判定条件 44 【基本目标】 1.理解全等三角形、对应边、对应角的概念. 2.理解全等三角形的性质. 3.初步感知全等三角形三种变换方式. 【教学重点】 1.全等三角形的对应边，对应角. 2.全等三角形的性质. 【教学难点】 全等三角形的变换方式. 一、创设情景，导入课题 1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？ 2.重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？ 二、师生互动，探究新知 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论、得出结论. 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形. 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注 意整个过程要细心. 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合.这 样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示. 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【教师活动】在纸板上任意剪下一个三角形，要求各小组选派学生拿一个三角形做如下 运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形是否全等. 【学生活动】要求学生实践感知、得出结论：两个三角形全等. 【教师活动】要求学生将剪下的两个三角形顶点标上字母，看重合的边角有何关系？ 【学生活动】将两个三角形按要求标上字母，并注意放置，与同桌交流何时可重合. 【教学说明】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范. １.概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做 对应边，重合的角叫做对应角. ２.证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如果本图 1 △ABC 和△DB′C′全等，点 A 和点 D，点 B 和点 B′，点 C 和点 C′是对应顶点，记作△ABC ≌△DB′C′. 45 图 1 3.全等三角形的对应边相等，对应角相等. 4.一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平 移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，注意及时点评找对应角、对应边 的方法. 四、典例精析，拓展新知. 例如图所示，已知△ACE≌△DBF，点 A、B、C、D 在同一条直线上，且 AE=DF， CE=BF,AD=8,BC=2. （1）求 AC 的长； （2）求证：CE∥BF. 【分析】由全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质来求解. 【教学说明】根据符号及图形寻找对应边，从而找出待求量与已知量之间关系.既训练 了如何找对应边，对应角，又灵活运用全等三角形性质解决问题. 五、运用新知，深化理解 如图所示，△ABC≌△DEF.AB=DE,∠A=∠D,找出图中的所有相等的线段与角. 【答案】相等的线段：AB=DE,AC=DF,BC=EF,BE=CF. 相等的角：∠A=∠D,∠B=∠DEF,∠ACB=∠DFB,∠AOE=∠DOC,∠A=∠EOC=∠D=∠AOD. 【教学说明】找等角等边时应充分利用全等三角形的性质，不要忽视间接相等的线段和 46 角. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学了什么？有何收获？有什么困惑？与同伴交流,在学生交流发言的基础上, 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课通过动手剪出两个完全相同的三角形，通过比较、运动，如平移、翻折、旋转来 学习全等三角形、对应角、对应边的概念，进而归纳出全等三角形的性质.教师应结合刚开 始学习的学生不注意将对应的顶点写在对应的位置的特点并不断强化，因此如何找对应边、 对应角是本节的难点，教师应结合例题习题归纳：有公共边（角）的，公共边（角）为对应 边（角）；有相等边（角）的，相等的边（角）为对应边（角）；有对顶角的，对顶角是对应 角，对应边对的是对应角，对应角对的是对应边. 13.2 三角形全等的判定 1.全等三角形 2.全等三角形的判定条件 【基本目标】 1.理解全等三角形、对应边、对应角的概念. 2.理解全等三角形的性质. 3.初步感知全等三角形三种变换方式. 【教学重点】 1.全等三角形的对应边，对应角. 2.全等三角形的性质. 【教学难点】 全等三角形的变换方式. 一、创设情景，导入课题 1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？ 2.重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？ 二、师生互动，探究新知 47 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论、得出结论. 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形. 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注 意整个过程要细心. 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合.这 样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示. 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【教师活动】在纸板上任意剪下一个三角形，要求各小组选派学生拿一个三角形做如下 运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形是否全等. 【学生活动】要求学生实践感知、得出结论：两个三角形全等. 【教师活动】要求学生将剪下的两个三角形顶点标上字母，看重合的边角有何关系？ 【学生活动】将两个三角形按要求标上字母，并注意放置，与同桌交流何时可重合. 【教学说明】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范. １.概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做 对应边，重合的角叫做对应角. ２.证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如果本图 1 △ABC 和△DB′C′全等，点 A 和点 D，点 B 和点 B′，点 C 和点 C′是对应顶点，记作△ABC ≌△DB′C′. 图 1 3.全等三角形的对应边相等，对应角相等. 4.一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平 移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，注意及时点评找对应角、对应边 的方法. 四、典例精析，拓展新知. 例如图所示，已知△ACE≌△DBF，点 A、B、C、D 在同一条直线上，且 AE=DF， CE=BF,AD=8,BC=2. （1）求 AC 的长； 48 （2）求证：CE∥BF. 【分析】由全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质来求解. 【教学说明】根据符号及图形寻找对应边，从而找出待求量与已知量之间关系.既训练 了如何找对应边，对应角，又灵活运用全等三角形性质解决问题. 五、运用新知，深化理解 如图所示，△ABC≌△DEF.AB=DE,∠A=∠D,找出图中的所有相等的线段与角. 【答案】相等的线段：AB=DE,AC=DF,BC=EF,BE=CF. 相等的角：∠A=∠D,∠B=∠DEF,∠ACB=∠DFB,∠AOE=∠DOC,∠A=∠EOC=∠D=∠AOD. 【教学说明】找等角等边时应充分利用全等三角形的性质，不要忽视间接相等的线段和 角. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学了什么？有何收获？有什么困惑？与同伴交流,在学生交流发言的基础上, 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课通过动手剪出两个完全相同的三角形，通过比较、运动，如平移、翻折、旋转来 学习全等三角形、对应角、对应边的概念，进而归纳出全等三角形的性质.教师应结合刚开 始学习的学生不注意将对应的顶点写在对应的位置的特点并不断强化，因此如何找对应边、 对应角是本节的难点，教师应结合例题习题归纳：有公共边（角）的，公共边（角）为对应 边（角）；有相等边（角）的，相等的边（角）为对应边（角）；有对顶角的，对顶角是对应 角，对应边对的是对应角，对应角对的是对应边. 3.边角边 49 【基本目标】 掌握全等三角形的判定（S.A.S.），会进行全等的简单推理. 【教学重点】 会用 S.A.S.证明两个三角形全等. 【教学难点】 应用综合法的格式证明三角形全等. 一、动手操作，导入新课 【教师活动】按教材 P63 要求同排两个同学各画一个三角形，再放在一起判断它们是否 全等. 【学生活动】操作结果：全等. 二、师生互动，探究新知 【教师活动】在刚才的操作中，两个三角形满足什么条件？这个基本事实如何叙述？ 【教学说明】在学生发言基础上，板书：基本事实两边及其夹角分别相等的两个三角形 全等，简记为 S.A.S.（或边角边）.这个基本事实中，角有什么特殊的要求？学生回答：夹 角. 例 1 如图所示，△ABC 中，AB=AC,AD 平分∠BAC,求证：△ABD≌△ACD. 【分析】在△ABD 和△ACD 中，由已知 AB=AC，AD=AD，因而只需要一条边对应相等或夹 角对应相等即可，再由条件可得∠BAD=∠CAD,因此可以证得. 证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD, 在△ABD 和△ACD 中， , , , AB AC BAD CAD AD AD        ∴△ABD≌△ACD（S.A.S.）. 【教学说明】证明时分析两个待证三角形已具备的元素，间接条件应转化为直接条件， 且注意格式，夹角得放在两对应边之间. 50 例 2 见书本 P64 例 2 【教师活动】说出本题中的道理应如何用几何语言表达?有待证的两个全等三角形吗？ 条件是否具备？ 【学生活动】写出已知求证，自己完成. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分、教师巡视，及时点评，特别是证明的格式， 补充条件时，不能出现边边角. 四、典例精析，拓展新知 例 3 如图所示，AB=AC,AD=AE，∠1=∠2. 求证：△ABD≌△ACE. 【分析】此题要证明全等的两个三角形中有一个顶点是公共顶点，这时我们可仔细从中 找出获得全等的条件. 证明：∵∠1=∠2, ∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中， , , , AB AC BAD CAE AD AE        ∴△ABD≌△ACE（S.A.S）. 【教学说明】在寻找全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中隐含的公共边、公共角、 对顶角等，为证明全等提供依据. 五、运用新知，深化理解 如图，AB∥CD,AB=CD,求证：AD∥BC. 【教学说明】本题是用全等三角形证明两直线平行，实际上是证明∠3=∠4，另外本题 中先由 AB∥CD，得出∠1=∠2. 六、师生互动，课堂小结 51 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 这节课学习全等三角形的判定方法，通过学生画一画，比一比.得出基本事实 S.A.S.， 再利用 S.A.S.证明两个三角形全等，教师应着重强调角应为夹角，防止学生任意找两边及 一角证明两个三角形全等.学生刚学严格证明，应注意强化，条理要清，说理有据，因果关 系分明. 4.角边角 【基本目标】 理解和掌握全等三角形的判定方法 A.S.A.和 A.A.S. 【教学重点】 用 A.S.A.和 A.A.S.证明两个三角形全等. 【教学难点】 用综合法解决几何推理. 一、回顾交流，巩固学习 【知识回顾】（投影显示） 情景思考： 1.小菁做了一个如图 1 所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH,ED=FD，将上述条件注在图中， 小明不用测量就能知道 EH=FH 吗？与同伴交流. 2.如果两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形一定会全等吗？试举例说明. 52 【教师活动】操作投影仪，提出问题，组织学生思考和提问. 【学生活动】通过情境思考，复习前面学过的知识，学会正确选择三角形全等的判定方 法，小组交流，踊跃发言. 【教学说明】用问题牵引，辨析、巩固已学知识，在师生互动交流过程中，激发求知欲. 二、师生互动，探究新知 【动手动脑】（投影显示） 问题探究：先任意画一个△ABC,再画出一个△A′B′C′，使 A′B′=AB,∠A′=∠A,∠ B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等），把画出的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上， 它们全等吗？ 【学生活动】动手操作，感知问题的规律，画图如下： 画一个△A′B′C′，使 A′B′=AB， ∠A′=∠A,∠B′=∠B： 1.画 A′B′=AB; 2.在 A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A, ∠EB′A′=∠B,A′D,B′E 交于点 C′. 板书：基本事实 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“A.S.A.”或“角边角”） 【知识铺垫】课本图 13.2.12 中，∠A′=∠A,∠B′=∠B，那么∠C=∠A′C′B′吗?为 什么？ 【学生回答】根据三角形内角和定理，∠C′=180°-∠A′-∠B′，∠C=180°-∠A-∠B, 由于∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴∠C=∠C′. 【教师提问】你能得到△A′B′C′≌△ABC 吗？是什么根据？ 板书定理:两角分别相等且其中一角对边对应相等的两个三角形全等. 简记为：“A.A.S.”（或“角角边”） 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并及时点评与引导.注意哪时使 用“A.S.A.”，哪时使用“A.A.S.”，并注意摆放理由时与之对应. 四、典例精析，拓展新知 例如图所示，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°,E 是 BC 的中点，EF⊥AB 于 F， 且 AB=DE. 53 （1）求证：BD=BC； （2）若 BD=8cm,求 AC 的长. 【分析】（1）BD=BC△BDE≌△CBA∠1=∠2.（A.A.S.）；（2）AC=12BE=12BC. （1）证明：∵∠EBD=90°（已知）， ∴∠1+∠3=90°（垂直的定义）， 又∵DE⊥AB（已知）， ∴∠2+∠3=90°（垂直的定义）， ∴∠1=∠2（同角的余角相等）. 在△BDE 与△CBA 中， 1 2 ACB DBC AB DE          （已知）， （已证）， （已知）， ∴△BDE≌△CBA（A.A.S.），∴BD=BC（全等三角形对应边相等）. （2）由（1）知 AC=BE，E 为 BC 中点，∴BE= 1 2 BC, ∴AC= 1 2 BC= 1 2 BD=4（cm） 【教学说明】本题有一定的综合性，注意让学生分析待证的目标是什么？已经具备了什 么条件？需要转化的是什么条件？ 五、运用新知，深化理解 如图所示，∠1=∠2=∠3，AB=AD，求证：BC=DE. 证明：∵∠2=∠1, 54 ∴∠2+∠DAC=∠1+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE， ∵∠2=∠3， ∠DOC=∠AOE, ∴∠C=∠E. 在△ABC 与△ADE 中， ∠E=∠C,∠BAC=∠DAE,AB=AD. ∴△ABC≌△ADE（A.A.S.）, ∴BC=DE. 【教学说明】让学生体会两角相等时，找夹边或一边的对角，判定这两个三角形全等. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学了什么？有什么收获？有何困惑?与同伴交流，在学生发言的基础上，教师 归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课从复习 S.A.S.入手，导入新课，让学生动手操作得出基本事实“A.S.A.”，进而 由三角形的内角和得“A.A.S.”，整个数学过程以学生为主体，教师是引线人，注重学生获 得知识的过程. 在运用“A.S.A.”或“A.A.S.”时，注重引导学生分析已有条件，寻找需要转化的条件， 提升了学生逆向思维能力，与分析问题能力，本节课内容较多，注意对学习困难的学生给予 适当的辅导. 5.边边边 【基本目标】 掌握 S.S.S.判定两个三角形全等，会用 S.A.S.、A.S.A.、A.A.S.、S.S.S.判定三角形 全等. 【教学重点】 会用 S.S.S.判定两个三角形全等. 【教学难点】 证明全等时，判定方法的选择. 55 一、创设情景，导入新课 【教师活动】（出示教具） 提出问题：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图 1 所示的残片，你对图中的残片作哪 些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流. 【学生活动】观察，思考，回答教师的问题.方法如下：可以将图 1 的玻璃碎片放在一 块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形.如图 2，剪下模板就可去割玻 璃了. 【教师活动】其中的教学道理，让我们一起来探究！ 二、师生互动，探究新知 【教师活动】同排两个同学用尺规画底边为 3cm，4cm,4.8cm 的三角形，再把这两个三 角形放在一起看它们是否全等. 【学生活动】（1）画一段线段 AB 使它的长度等于 c（4.8cm）.（2）以点 A 为圆心，以 线段 b（3cm）的长为半径画圆弧；以点 B 为圆心，以线段 a（4cm）的长为半径画圆弧；两 弧交于点 C.（3）连结 AC、BC，得到△ABC. 【教师活动】巡视、指导，引入课题：“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么 规律？” 【学生活动】在观察实践的基础上，学生回答：三边分别相等的两个三角形全等. 【教学说明】教师板书：S.S.S.（边边边）. 【教师活动】多媒体呈现练习题. 已知△ABC 中，AB=AC,AD 是中线，求证：∠B=∠C. 证明：∵AD 是中线，∴BD=CD， 在△ABD 与△ACD 中，AB=AC，AD=AD,BD=CD. ∴△ABD≌△ACD（S.S.S.）， 56 ∴∠B=∠C. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视、及时点评. 四、典例精析，拓展新知 例 如图，在△ABC 与△DCB 中，AB=DC,AC=BD,AC 与 BD 交于 M.求证:BM=CM. 证明：在△ABC 与△DCB 中，AC=BD，AB=CD，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB（S.S.S.）， ∴∠A=∠D，在△ABM 与△DCM 中, AB=CD,∠A=∠D,∠amB=∠DMC, ∴△ABM≌△DCM（A.A.S.）， ∴BM=CM. 【教学说明】本题涉及到两次证全等三角形的问题，注意从证明的需要寻找要转化的条 件. 五、运用新知，深化理解 已知四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，求证：AD∥BC. 【教学说明】本题没有两个三角形，可通过连结 AC 构成两个全等的三角形来证明∠DAC= ∠BCA，从而证明 AD∥BC.应启发学生如何证明 AD∥BC？没有全等三角形怎么办？ 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？并与同伴交流，在学生交流发言的基础上 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 这节课探索 S.S.S.时，学生通过全过程的画图、观察、比较、交流，逐步得出基本事 实 S.S.S..在这个过程中不仅得到了全等三角形全等的判定方法，同时增加了学生的数学体 验，在探索过程中体验了数学的乐趣. 57 基于课程标准，让不同的学生得到不同的发展，典例精析中两次用到全等三角形，可能 有少数学生还不很适应，教师应引导他们如何逆向分析，寻找证明条件，提升解题能力. 6.斜边直角边 【基本目标】 1.会用“H.L.”判定两个直角三角形全等. 2.会综合用各种方法判定两个直角三角形全等. 【教学重点】 用“H.L.”判定两个直角三角形全等. 【教学难点】 用综合法证明两直角三角形全等. 一、创设情景，导入新课 问题：证明一般三角形全等有哪些方法？ 我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边 边边”分别对应相当，那么这两个三角形一定全等.如果有“边边角”分别对应相等，那么 能不能保证这两个三角形全等呢？（出示课件） 思考：一般三角形不一定全等，对于特殊三角形中的直角三角形呢？让我们一起研究这 个问题吧！ 二、师生互动,探究新知 【教师活动】那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有 “边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等呢？大家一起动手画一画. 如图所示，已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一 条直角边，画一个直角三角形. 大家一起动手来画一画，好吗？画好后与同排比较，它们全等吗？ 【学生活动】动手操作，并用语言叙述这个基本事实. 【教学说明】在同学发言基础上归纳： 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. 58 简记 H.L.（或斜边直角边）.此公理的前提是两个三角形是直角三角形，同时满足两个条件 （1）斜边相等（2）一条直角边对应相等.斜边直角边公理（H.L.）推理格式（图略）∵∠ C=∠C'=90°，∴在 Rt△ABC 和 Rt△ABC 中，AB=AB,BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△ABC（H.L.）. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视并及时点评.特别注意推理的规范 性. 四、典例精析，拓展新知 例 如图，AC⊥AD,BC⊥BD,OE⊥CD，AC=BD，求证：DE=CE. 证明：∵AC⊥AD,BC⊥BD, ∴∠A=∠B=90°， 在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中，AC=BD， DC=CD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD（H.L.）, ∴∠OCD=∠ODC， ∵OE⊥DC, ∴∠OEC=∠OED，在△DOE 和△COE 中,∠ODE=∠OCE,∠OED=∠OEC,OE=OE，∴△ODE≌△ OCE（A.A.S.）,∴DE=CE. 【教学说明】本例主要是灵活选择各种方法证明两个直角三角形全等，教学中应引导学 生用分析法寻找证明 DE=CE 的思路，即 DE=CE→△DOE≌△COE→∠ODC=∠OCE→Rt△ADC≌Rt △BCD. 五、运用新知，深化理解 如图，AC⊥BC,AD⊥BD,CE⊥AB 于 E，DF⊥AB 于 F，求证：CE=DF. 【教学说明】先让学生独立思考，寻找解题思路，再全班交流由学生独立完成. 六、师生互动，课堂小结 这节课，你学习了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在同学们交流的基础上 教师进行归纳与总结. 59 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课是在前面已经学习一般三角形的五种判定方法的基础上，研究直角三角形独有判 定方法：“H.L.”，整节课按“操作—发现—归纳—运用”程序展开.教学中应将五种一般方 法与“H.L.”综合运用，提高学生综合运用知识能力，到此有时证明题中会涉及到两次用全 等的方法证明线段（或角）相等，及时帮助同学们归纳总结，提升思维能力. 13.3 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 【基本目标】 1.使学生掌握等腰三角形的性质（等边对等角和三线合一）. 2.使学生掌握等边三角形的性质. 【教学重点】 等腰三角形的性质. 【教学难点】 等腰三角形性质的探索. 一、创设情景，导入新课 1.复习提问：向学生们出示几张精美的建筑物图片；问题：轴对称图形的概念是什么？ 这些图片中有轴对称图形吗？ 2.引入新课：再次通过精美的建筑物图片，找出里面的等腰三角形. 二、师生互动，探究新知 1.相关概念 等腰三角形、腰、底边、底角、顶角. 【教学说明】以多媒体图片中的等腰三角形让学生找出概念中的相关元素. 2.探究等腰三角形的性质 【教师活动】动动手：让同学们做出一张等腰三角形的半透明的纸片，每个人的等腰三 角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰重合在一起，你能发现什么现象？请你 尽可能多的写出结论. 【学生活动】操作、交流、选代表发言. 【教学说明】在学生发言基础上归纳板书. 60 重要性质性质 1：等腰三角形的两底角相等.（简写成“等边对等角”） 性质 2：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合.（简称“三 线合一”） 【教师活动】完成下面的练习： （1）等腰△ABC 中，AB=3，AC=7，则△ABC 的周长是_____. （2）△ABC 中,AB=AC,∠A=50°，则∠B=_____. （3）等腰△ABC 中，∠A=40°，则∠B=_____. （4）等腰△ABC 中,D 为 BC 中点，∠B=40°,求∠BAD 的度数. 【学生活动】独立完成，交流讲解. 【教学说明】（1）巩固定义，考虑三边关系；（2）巩固等角对等边；（3）同（2），注意 分类，可能学生会写出两种结果，教师讲解，两种情况，三种结果,即 70°，40°，100°. 强调需要自己画图解题时，一定要三思而后行！（4）巩固三线合一，注意其表达规范准确. 3.探究等边三角形的性质 【教师活动】利用等腰三角形的性质，推理等边三角形内角有何关系？是多少度？. 【学生活动】独立完成，交流发言. 【教师活动】板书：等边三角形三个角都相等并且每个角都是 60°. 【教学说明】较简单，但可巩固等腰三角形性质，教师可提问等边三角形三线有何关系？ 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，说等腰三角形在没有指明腰底时， 应分类. 四、典例精析，拓展新知 例 如图，五边形 ABCDE 中，AB=AE,BC=DE,∠ABC=∠AED,点 F 为 CD 的 中点，求证：AF⊥CD. 证明:连结 AC、AD，在△ABC 与△AED 中，∵AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=DE, ∴△ABC≌△AED（S.A.S.），∴AC=AD， ∵F 为 CD 的中点， ∴AF⊥CD（三线合一）. 【教学说明】要引导学生，由 CF=FD，要证明 AF⊥CD，你想到它具备等腰三角形哪个性 质的特征？怎么办？ 五、运用新知，深化理解 △ABC 中，AB=AC，D 是 BA 延长线上的一点，E 在 AC 上，且 AD=AE，求 证：DE⊥BC. 证明：作 AF⊥BC 于 F， ∵AD=AE, 61 ∴∠D=∠1, ∵AB=AC, ∴∠2=∠3, ∵∠2+∠3=∠D+∠1=2∠D, ∴∠1=∠2，∴AF∥DE,∴DE⊥BC. 【教学说明】让学生体会作辅助线是构造“三线合一”的基本图形的方法. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上 教师进行归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课知识结构的安排以“问题情景——获取新知——应用与拓展”的模式展开，符合 八年级学生的认知规律.本节课力求体现“学会学习，为终身学习做准备”的理念，努力实 现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，让学生在活动中获得知识，形成能力. 整堂课以问题为思维主线，引导学生观察、探索、归纳、论证，充分体现探索的快乐与成功 的乐趣. 2.等腰三角形的判定 【基本目标】 1.等腰三角形的判定. 2.等边三角形的判定. 3.等腰三角形的性质与判定的综合运用. 【教学重点】 等腰三角形（含等边三角形）的判定. 【教学难点】 等腰三角形的性质与判定的综合运用. 一、创设情景，导入新课 我们学过等腰三角形两底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？同 学们画一画，量一量，你有什么结论，请表达. 62 二、师生互动，探究新知 1.等腰三角形的判定 【教师活动】如何证明 AB=AC→AB、AC 所在的两个三角形全等→作 AD⊥BC. 【学生活动】完成证明过程. 【教学说明】可作 AD⊥BC，AD 平分 ∠BAC.目的：构造两个三角形全等，可顺便问一下：可取 AB 的中点吗？（不行，边边 角） 【教师活动】教师归纳：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.（简 写成“等角对等边”）.那么证明一个三角形是等腰三角形有几条途径？ 【学生活动】证边所在三角形有两个角相等；证边所在的两个三角形全等. 2.等边三角形的判定 【教师活动】由等腰三角形的判定方法可以直接得到等边三角形的判定吗？ 【学生活动】探索——交流——发言. 【教学说明】归纳：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60°的等腰三角 形是等边三角形（分两种情况分析）. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评. 四、典例精析，拓展新知 例 如图，OB=OC,∠ABO=∠ACO,求证：AB=AC. 【分析】连结 BC,BO=OC ∠OBC=∠OCB ∠ABC=∠ACB AB=AC 证明：连结 BC,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,又∵∠ABO=∠ACO，∴∠ ABC=∠ACB，∴AB=AC. 【教学说明】可能会出现连结 OA，证明△ABO≌△ACO,教师指出犯了“边边角”错误. 灵活作辅助线构造等腰三角形的基本图形，教师强调构造等腰三角形几种情况“角平分线” +“平行线” 等腰三角形；“角平分线”+“垂线” 等腰三角形 五、运用新知，深化理解 △ABC 中，AD 平分∠FAC,AD∥BC,AE 是中线，求证：AE⊥AD. 【答案】略 【教学说明】本题是典例探索的变式训练，旨在强化等腰三角形判 定与性质的综合运用，注意运用两头凑的解题思想. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，教师在学生发言的基础上 归纳总结. 63 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课通过学生操作、观察、发现、论证得出等腰三角形的判定方法，进而利用等腰三 角形的判定方法研究得出等边三角形的判定方法，知识上层层推进，方法上相互映衬，符合 学生的认知规律，提高了课堂效率. 本节课中等腰三角形的基本图形是学生解题的关键，教师积极引导学生归纳，不断升华 学生的认知层次，提升解题能力，让学生感受解题成功的喜悦. 13.4 尺规作图 第 1 课时 尺规作图（1） 【基本目标】 1.掌握五种基本作图的方法. 2.会用五种基本作图的方法来解决简单的作图问题. 【教学重点】 五种基本作图的方法. 【教学难点】 作图语言的叙述. 一、自学教材，领悟新知 自学教材 P85~88,体会前三种基本作图的方法.学生自学教材，交流归纳作一条线等于 已知线段，作一个角等于已知角，作已知角的角平分线的方法. 二、师生互动，探究新知 教师演示作图过程. 1.作一条线段等于已知线段. 已知：线段 AB.求作：线段 A′B′，使 A′B′=AB. 作法：（1）作射线 A′C′； （2）以点 A′为圆心，以 AB 的长为半径画弧，交射线 A′C′于点 B′，A′B′就是所 求作的线段. 2.作一个角等于已知角. 如图，已知∠AOB 和射线 O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′=∠AOB. 64 ①以 O 为圆心，任意长为半径作弧交 OA 于 C，交 OB 于 D； ②以 O′为圆心，以 OC 长为半径作弧，交 O′B 于 C′； ③以 C′为圆心，CD 长为半径作弧交前弧于 A′； ④以 O′为顶点作射线 O′A′，则∠A′O′B′为所求. 3.作已知角的平分线 已知：∠AOB，求作∠AOB 的平分线.作法：①以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N.②分别以 M、N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部 交于点 C.③画射线 OC，射线 OC 即为所求. 【教师活动】同排两个同学互相交流尺规作图注意事项，并实际动手操作. 【学生活动】组织积极讨论，小组交流，代表发言. 【教师总结】尺规作图注意事项：①尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺；②几何 作图必须保留作图痕迹. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师及时点评. 四、典例精析，拓展新知 例 如图，已知∠AOB，（1）求作∠EDF,使∠EDF=∠AOB;（2）求作∠ EDF 的角平分线 DG. 【教学说明】通过本例旨在基本作图在几何作图题中的运用，注意先 画草图，找出作图顺序再操作. 五、运用新知，深化理解 完成教材 P91 第 1~3 题. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言基础上教师 归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 这节课内容较多，前三个基本作图较简单，主要是学生自学后独立操作，教师演示的目 65 的是规范作图语言，搞清其中的几何道理.后两个作图实际上用到了转化思想，较为复杂， 要让学生搞明白作图的原理，是掌握作图步骤的关键. 运用基本作图方法解作图题时，应让学生先分析作图顺序后，再完成.对于作图语言应 逐步规范. 第 2 课时尺规作图（2） 【基本目标】 1.进一步掌握并熟练尺规作图的方法及一般步骤； 2.介绍另两种基本作图，明确尺规作图的意义； 3.熟练掌握基本作图语言． 【教学重点】 掌握过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线，掌握画一个角的角平分线. 【教学难点】 理解作图的理论依据以及利用基本作图画一些其他图形. 一、创设情景，引入新课 复习提问： (1)什么是尺规作图？基本作图？ (2)我们已经学习了哪两种基本作图？ (3)在练习本上画出这两个基本作图，并准确写出作法. 圆规和直尺除了可以画出上述两个图形外,还可以画出哪些图形呢，这节课我们再介绍 两个基本作图. 二、师生互动，突破难点 画线段的垂直平分线． 分析：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离 相等的点在线段的垂直平分线上.因此如果能找到两个到线段两端点的距离相等的点，那么 过这两点就可以画出线段的垂直平分线. 已知：线段 AB. 求作：线段 AB 的垂直平分线. 作法：1.分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 1 2 AB 的长为半径画弧,两弧相交与点 M 和 N. 2.画直线 MN. 66 所以直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线. 注：1.若半径等于或小于 1 2 AB,两弧就没有交点. 2.直线 MN 与线段 AB 的交点,就是 AB 的中点,所以我们也可以用这种方法 作线段的中点. 引导学生思考：（1）已知直线上的一点作这条直线的垂线；（2）已知直 线外的一点作这条直线的垂线. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师及时点评. 四、典例精析，拓展新知 例如图，过点 P 画∠O 两边的垂线. 【分析】角的两边可看作两条直线,点在直线外,故可归结为经过 直线外一点作这条直线的垂线. 解： 【教学说明】通过本例旨在基本作图在几何作图题中的运用，注意先画草图，找出作图 顺序再操作. 五、运用新知，深化理解 完成教材 P91 第 4、5 题. 六、师生互动，课堂小结 通过对基本作图的学习,掌握作图的一般步骤，熟练叙述一些作图的规范语句，主要有： (1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××； (2)连结两点×、×；或连结××； (3)在××上截取××＝××； (4)以点×为圆心，××为半径画弧（或圆）； (5)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×； (6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径画弧，两弧相交于点×、×. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 这节课内容较多，前三个基本作图较简单，主要是学生自学后独立操作，教师演示的目 67 的是规范作图语言，搞清其中的几何道理.后两个作图实际上用到了转化思想，较为复杂， 要让学生搞明白作图的原理，是掌握作图步骤的关键. 运用基本作图解作图题时，应让学生先分析作图顺序后，再完成.对于作图语言应逐步 规范. 13.5 逆命题与逆定理 1.互逆命题与互逆定理 【基本目标】 1.理解逆命题的概念，并会判断一个命题、逆命题的真假. 2.理解逆定理与互逆定理的概念. 【教学重点】 逆命题与逆定理的概念. 【教学难点】 判断逆命题的真假. 一、创设情景，导入新课 观察下列两个命题：（1）“两直线平行，内错角相等”；（2）“内错角相等，两直线平行”. 你能分别说出它们的条件与结论吗？两者的条件与结论位置上有什么关系？从而导入新课. 二、师生互动，探究新知 1.原命题、逆命题、互逆命题 教师讲解并板书：在两个命题中，第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命 题的结论，又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中的一个叫做原命题， 另一个叫做它的逆命题. 教师启发如何构造一个命题的逆命题，并与同排同学做一个游戏：一个出示命题，一个 构造它的逆命题. 学生活动、交流，教师选几组代表展示.教师强调互逆命题是相对的，而不能说××× 命题是逆命题. 2.互逆命题与逆定理 教师选取交流代表中的例子，分析互逆命题的真假. 板书：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫 做另一个定理的逆定理.教师强调：不能说×××定理是逆定理. 【教师提问】你能说出我们已经学过的互逆定理的例子吗？ 68 学生交流、讨论、回答，教师点评. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 四、典例精析，拓展新知 例下列命题的逆命题是真命题的是（） A.对顶角相等 B.若 a=b，则｜a｜=｜b｜ C.两直线平行，同位角相等 D.全等三角形的对应角相等 【答案】C 【教学说明】先写出命题的逆命题，再判断真假，而不是判断原命题的真假.教师强调： 假命题的逆命题可能是真命题，真命题的逆命题很有可能是假命题. 五、运用新知，深化理解 完成教材 P93 第 1、2 题，教师及时点评. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 这节课内容较少，学生搞懂互逆命题、互逆定理的概念是教学的关键，判断逆命题的真 假是本节的难点，应在教学中让学生多构造互逆命题，并判断其真假，让他们自己去感知命 题与逆命题、定理与逆定理之间的关系. 2.线段垂直平分线 【基本目标】 理解线段的垂直平分线的性质定理与逆定理. 【教学重点】 线段垂直平分线的性质定理与逆定理. 69 【教学难点】 线段垂直平分线的性质定理与逆定理的运用. 一、创设情景，导入新课 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 如图，l 是线段 AB 的垂直平分线，点 C 在直线 l 上，CA 与 CB 有什么 关系？写出你的证明过程. 二、师生互动，探究新知 在学生交流发言基础上，教师板书：线段垂直平分线的性质定理，即 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 巩固练习教材 P96 第 1、2 题. 教师提问：你能写出这个性质定理的逆命题吗？它是不是真命题? 学生完成并回答. 下面我们一起来证明它，见教材 P95. 教师提问：这个命题与线段垂直平分线的性质定理有何关系？ 学生回答，教师板书.线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点，在线段 的垂直平分线上. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，并提醒每一步推理的 依据是用的性质定理还是判定定理. 四、典例精析,拓展新知 见书本 P95 的“试一试”. 【教学说明】任意三角形的三边垂直平分线都相交于一点，在后面将学习这一点是三角 形的外心，锐角三角形的各边垂直平分线的交点在三角形内，直角三角形各边垂直平分线的 交点在斜边的中点，钝角三角形各边垂直平分线的交点在三角形外；要证明某直线是某线段 的垂直平分线，可证明这条直线有两点到线段两端的距离相等. 五、运用新知，深化理解 完成教材 P99 第 2、3 题. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教 师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 70 本节课在教学过程中，首先提出问题，让学生回答，通过观察、发现、论证得出线段的 垂直平分线的性质定理，接着写出性质定理的逆命题.教师与学生一起证明这个定理，并在 习题中运用这两个定理，得出三角形各边的垂直平分线相交于同一点的重要结论. 在教学过程中，应注意让学生搞清两个定理的条件与结论，并充分调动学生的积极性， 体会成功解决问题的乐趣. 3.角平分线 【基本目标】 掌握角平分线的性质定理与逆定理. 【教学重点】 角平分线的性质定理与逆定理. 【教学难点】 角平分线的性质定理与逆定理的运用. 一、创设情景，导入新课 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？如图，点 P 是∠AOB 的角 平分线 OC 上的任一点，且 PD⊥OA 于 D,PE⊥OB 于 E，将∠AOB 沿 OC 对折 你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. 二、师生互动,探究新知 在学生交流发言的基础上，教师板书：角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两 边的距离相等.几何推理为：∵OP 平分∠AOB,PD⊥OA 于 D,PE⊥OB 于 E，∴PD=PE.教师指出 条件中不能漏掉 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E. 巩固练习教材 P98 第 1 题. 教师提问：你能写出这个性质定理的逆命题吗？它是不是真命题？ 学生完成并回答. 下面我们一起来证明这个定理，见教材 P97. 教师指出：角平分线是一条射线，那么这个逆定理应如何表述？学生讨论并发言.在学 生发言基础上教师归纳总结，并板书：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上. 巩固练习教材 P98 第 2 题. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视并及时点评，并提醒每一步推理的 71 依据是用的性质定理还是判定定理. 四、典例精析，拓展新知 见教材 P98 的“试一试”. 【教学说明】任意三角形三个角平分线都交于同一点，在后面将学习这 一点叫做三角形的内心，设△ABC 的内心为 I,则∠BIC=90°+12∠A;如图， 三条直线 l1、l2、l3 相交于 A、B、C 三点，到三条直线距离都相等的点应 有 4 个，即两对角平分线的交点，以及相邻外角平分线的交点. 五、运用新知，深化理解 完成教材 P99 第 4、5 题. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教 师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课的教学类比线段垂直平分线的教学，本课时的教学应突出学生的主体性原则，指 引学生自己操作、观察、发现、归纳、论证，相互交流或课堂展示，让学生分享学习的收获， 从而激发学生参与的热情，体验成功的快乐. 本章复习 【基本目标】 1.理解命题与定理，逆命题与逆定理. 2.掌握全等三角形的判定方法. 3.掌握等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定. 4.掌握五种基本作图. 5.理解线段的垂直平分线的性质定理及逆定理. 6.理解角平分线的性质定理及逆定理. 【教学重点】通过复习回顾掌握本章重要知识，能够用本章知识熟练解决相关问题. 【教学难点】 灵活用全等三角形证明几何问题. 一、知识框图，整体建构 72 二、知识梳理，快乐晋级 填空比赛 1.命题的结构包括_____和_____，将一个命题的_____与_____颠倒就转化成了它的逆命 题，定理的逆命题也正确，二者互为_____. 2.判断全等三角形的方法有_____.直角三角形除了上述方法外还可用_____来判断. 3.全等三角形的性质是对应边_____，对应角_____.全等三角形常见的变换方式有 _____、_____和_____三种. 4.线段垂直平分线上的点到线段两端的_____，到线段两端_____的点在线段的垂直平分 线上；角平分线上的点到角两边的_____，在角的内部到角两边距离相等的点在角的_____. 三角形的_____交点到三边距离相等，三角形_____交点到三个顶点的距离相等. 5.等腰三角形的两底角_____，顶角的_____，底边上的，底边上的_____互相重合；有 _____的三角形是等腰三角形，等边三角形的三个角都_____，并且都为_____.三个角_____ 的三角形是等边三角形，有一个角_____是的等腰三角形是等边三角形. 【教学说明】以填空比赛的形式激发了学生的复习热情，提高了复习知识的效率. 三、典例精析，升华旧知 例 1（1）下列命题中正确的有（） ①只有真命题才有逆命题；②假命题的逆命题是真命题；③有两边及其中一边对角对应 相等的两个三角形全等；④一边一角分别相等的两个直角三角形全等. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 （2）等腰△ABC 的两边长是 4 和 8，则它的第三边的边长是_____. （3）等腰△ABC 的一个外角为 150°，则它的顶角是_____. 73 （4）等边三角形两条中线所成锐角是_____. 答案：(1)A (2)8 (3)30°或 120°(4)60° 【教学说明】（1）④中的角可能为直角；（2）分类讨论腰为 4 或 8，但为 4 时不满足三 边关系；（3）当外角为顶角的外角，则顶角为 30°，当为底角的外角，则顶角为 120°；（4） 中由等腰三角形的三线合一得两中线即为两角平分线，故所夹锐角为 60°. 例 2 如图 A、E、F、B 四点在一条直线上，AC⊥CE,BD⊥DF,AE=BF,AC=BD,求证：△ACF ≌△BDE. 证明：∵AC⊥CE,BD⊥DF, ∴∠ACE=∠BDF=90°， 在 Rt△ACE 和 Rt△BDF 中，AE=BF,AC=BD, ∴Rt△ACE≌Rt△BDF(H.L.),∴∠A=∠B,∵AE=BF, ∴AF=BE,在△ACF 与△BDE 中，AF=BE,∠A=∠B,AC=BD,∴ △ACF≌△BDE（S.A.S.） 【教学说明】本题的方法实际上是“两头凑”思想方法，一方面从问题（结论）入手， 看还需什么条件，另一方面从条件入手，看可以得出什么结论，再对比“所需条件”与“所 得结论”是否吻合或明显联系，从而找出解题思路. 例 3 如图,△ABC 中，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,求证： EF∥BC. 证明：∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∠1=∠2,又∵DE⊥AB,DF⊥AC. ∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°，∴∠3=∠4， ∴AD⊥EF,∴EF∥BC. 【教学说明】在具有等腰三角形背景中既要联想两底角相等，又要想到三线合一定理， 有角平分线与线段的垂直平分线时应联想其性质定理，不要总用全等. 例 4 如图,在△ABC 中，BE 是角平分线，AD⊥BE 于 D,求证： ∠2=∠1+∠C. 证明：延长 AD 交 BC 于 F，在△ABD 与△FBD 中,∠ADB=∠ FDB,BD=DB,∠ABD=∠FBD,∴△ABD≌△FBD（A.S.A.）.∴∠2=∠DFB, 又∵∠DFB=∠C+∠1，∴∠2=∠C+∠1. 【教学说明】有角平分线时，可以从角平分线为轴翻折构造全等三角形. 例 5 如图,点 D 是△ABC 边上的点，且 CD=AB, AB=BD,AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE. 证明：延长 AE 至点 F，使 EF=EA, 连结 DF,在△ABE 与△FDE 中,AE=EF,∠AEB=∠FED,BE=DE, 74 ∴△ABE≌△FDE（S.A.S.）∴∠B=∠FDE,AB=DF,∠ADF=∠ADB+∠FDE, ∠ADC=∠DAB+∠B,又∵AB=BD,AB=CD, ∴CD=DF,∴∠BAD=∠BDA， ∴∠ADC=∠ADF, 在△ADF 与△ADC 中，AD=AD,∠ADF=∠ADC,DF=DC, ∴△ADF≌△ADC（S.A.S.）,∴AC=AF, ∴AC=2AE. 【教学说明】要证明 AC=2AE，关键先构造 2AE，即 AF.再证明 AF=AC，进而转化为证明 两个三角形全等，本题有中点条件,可考虑将三角形绕中点旋转 180°，构造全等三角形. 四、师生互动，课堂小结 这节课你有什么收获？有什么疑惑？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在同学发 言的基础上，教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 为建构知识网络，先由师生共同回顾本章知识，建立本章知识框架图.然后对基本知识 以填空比赛形式抢答，旨在调动复习积极性，打牢基础知识.最后设置的四道典型例题旨在 进一步帮助学生加深理解.由于本章知识是中考重点考查内容之一，故思维深度、知识的深 度、能力的层次有所提高，例题复习时，应关键从思路的取得过程进行分析，帮助学生建立 规律性，认知体系，大力提升其思维能力，同时对学习困难的学生给予帮助，重树学习信心. 第 14 章 勾股定理 14.1 勾股定理 1.直角三角形三边的关系 【基本目标】 1.体验勾股定理的探索. 2.会用勾股定理求直角三角形的边长. 【教学重点】 用勾股定理求直角三角形的边长. 【教学难点】 用拼图法证明勾股定理. 75 一、创设情景，导入新课 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号， 如地球上人类的语言、音乐、各类图形等.我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定 理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾 股定理的重大意义.尤其是在两千年前，是非常了不起的成就. 让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ABC，用刻度尺量出 AB 的长. 以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折 成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角 三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5. 再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ABC，用刻度尺量出 AB 的长. 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 二、师生互动，探究新知 1.勾股定理的证明. 【活动】 方法一： 如图，让学生剪 4 个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明. 【分析】左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等. 76 【教学说明】以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师 归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.求直角三角形的边长. 【活动】出示习题： （1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则 AB=____； （2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则 BC=____； （3）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，它的两边是 6 和 8，则它的第三边长是____. 【答案】（1）13（2）15（3）10 或 2 7 【教学说明】先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，按 8 为直角边或 斜边.最后教师板书：在 Rt△ABC 中，∠C=90°， 三、随堂练习,巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评. 四、典例精析，拓展新知 例如图，△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求 BC 边上的高. 解：设 BD=x，则 DC=14-x, 由勾股定理得：AB2-BD2=AC2-CD2, 即 132-x2=152-(14-x)2, 解得 x=5, ∴AD=132-52=12. 【教学说明】引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边，也可以为建立三边之间 联系提供依据.设 BD=x，可否建立方程关系. 五、运用新知，深化理解 完成教材 P112 习题第 1、2 题. 77 【教学说明】第 2 题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上，教师 归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这 部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课 教师从引导构造的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到， 基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐. 2.直角三角形的判定 【基本目标】 1.理解勾股定理的逆定理的证明方法. 2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形. 【教学重点】 用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形. 【教学难点】 勾股定理逆定理的证明. 一、创设情景，导入新课 【实验观察】 实验方法：用一根打上 13 个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上， 再钉在第 4 个结上，再钉在第 8 个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起，然后用角 尺量出最大角的度数.（90°），可以发现这个三角形是直角三角形. 【显示投影片 1】 二、师生互动，探究新知 【教师活动】古埃及人曾经用过这种方法来得到直角，这个三角形三边长分别为多少？ （3,4,5）.这三边满足了怎样的条件呢？（32+42=52），是不是只有三边长为 3,4,5 的三角形 才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画，如果三角形的三边分别为 2.5cm,6cm,6.5cm, 78 满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为 5cm,12cm,13cm 或 8cm,15cm,17cm 呢？ 【学生活动】动手画图，体验发现，得到猜想. 【教师活动】操作投影仪，提出探究的问题，引导学生思考，然后再提问个别学生. 【学生活动】拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：（1）它们完全重合； （2）理由是在△A′B′C′中，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2，因为 a2+b2=c2，因此， A′B′=c,从△ABC 和△A′B′C′中，BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′，推出△ABC ≌△A′B′C′，所以∠C=∠C′=90°，可见△ABC 是直角三角形. 【教师归纳】如果一个三角形的三边长 a、b、c 有关系式 a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形，且边 c 所对的角是直角. 【教学说明】采用实验、观察、比较的教学方法，突破难点. 出示习题：（投影显示） 1.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（） A.5,6,7 B.10,8,4 C.7,25,24 D.9,17,15 2.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（） 【教学说明】引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等 于第三边的平方. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评. 四、典例精析，拓展新知 例 某港口位于东西方向的海岸线上，“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口，各自 沿固定的方向航行，“远航号”每小时行 16 海里，“海天号”每小时行 12 海里，它们离开港 口 1.5 小时后相距 30 海里，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪 个方向航行吗？ 79 解：由题意画出示意图，如图， 由“远航号”沿东北方向，知道“海天号”沿西北方向航行. 【教学说明】引导学生画出正确的示意图，体现数学建模思想. 五、运用新知，深化理解 若△ABC 的三边 a,b,c 满足条件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC 的形状. 【教学说明】根据所给条件，只有从关于 a,b,c 的等式入手，找出 a,b,c 三边之间的关 系，应用分解因式可得（a-5）2+(b-12)2+(c-13)2=0，求出 a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ ABC 是直角三角形. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 这节课在勾股定理的基础上，让学生学会如何从三边的关系来判定一个三角形是直角三 角形，即“勾股定理的逆定理”.在证明它时，学生可能有些困难，因此课堂教学时先动手 操作观察，进而得出用勾股定理证明 A′B′=AB. 教案中设计题型前呼后应，使知识有序推进，有助于学生理解与掌握；通过合作、交流、 反思、感悟的过程，激发学生探究的兴趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的 主人. 3.反证法 【基本目标】 1.理解反证法. 2.会用反证法证明较简单的题. 80 【教学重点】 用反证法证明几何命题. 【教学难点】 反证法中渗透“正难则反”的思想. 一、创设情景，导入新课 出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题. 二、师生互动，探究新知 活动 1 反证法的步骤. 教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为 他的判断正确吗？ 学生讨论交流，选代表发言. 如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子. 教师出示，若 a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC 不是直角三角形，你能按照刚才五戎的方 法推理吗？ 学生活动，代表展示.若∠C 是直角，则 a2+b2=c2，而 a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC 不是直角三角形. 【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证 定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设； 二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确. 活动 2 用反证法证明. 教材 P116 例 5. 【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？ 【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示. 教材 P116 例 6. 【教师活动】△ABC 至少有一个内角小于或等于 60°的反向是什么？按照假设可以推出 矛盾吗？ 【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示. 【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时，直接不易证明，可考 虑反证法. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否 规范. 81 四、典例精析，拓展新知 例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平 行. 【教师活动】（1）你首选的是哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？ 结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？ 要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选 择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）. 【学生活动】讨论交流后独立完成. 五、运用新知，深化理解. 完成教材 P117 练习第 1、2 题. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更 好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍：1.思维方向的转换， 不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并 掌握反证法，应积极引导学生克服上述思维上的障碍，并通过有关题目训练，使学生掌握反 证法. 教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时，应穷举；“归谬”这一步应包含“归 导”与“揭谬”两个层次. 14.2 勾股定理的应用 第 1 课时 勾股定理的应用（1） 【基本目标】 1.会用勾股定理解决较综合的问题. 2.树立数形结合的思想. 【教学重点】 勾股定理的综合应用. 82 【教学难点】 勾股定理的综合应用. 一、创设情景，导入新课 如图，在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在给定网格中按下列 要求画出图形： （1） 从点 A 出发画一条线段 AB，使它的另一个端点 B 在格点（即小正方形的顶点） 上，且长度为 22； （2） 画出所有的以（1）中的 AB 为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另 两边的长度都是无理数. 二、师生互动，探究新知 如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑竿 AB 长 2.5 米，顶点 A 在 AC 上运动，量的滑竿下端 B 距 C 点的距离为 1.5 米，当 端点 B 向右移动 0.5 米时，求滑竿顶端 A 下滑多少米？ 【分析】滑竿在下滑中它的长度是不变的，先在直角三角形 ACB 中利用勾股定理求出 AC 的长，然后再在直角三角形 ECD 中利用勾股定理求出 CE 的长，即可 求出 AE 的长. 【教师点拨】勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，他的前提是直角三角形，在求解 时常运用题目中的条件构造直角三角形，而构造直角三角形方式有两种：一是根据已知条件 中的直角构造，二是作垂线构造. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 四、典例精析，拓展新知 例 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中 的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心 A 和 B 的距离. 【分析】显然△ABC 是直角三角形，根据示意图可求出 AC 和 BC 83 的长，从而根据勾股定理可以求出 AB 的长. 解：由示意图可知 AC=150－60=90(mm)，BC=180-60=120(mm) 答：两圆孔中心 A 和 B 的距离为 150mm. 五、运用新知，深化理解. 完成教材 P123 习题 14.2 中的第 5 题. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很 多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造 直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量， 或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建 立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意 化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系. 第 2 课时 勾股定理的应用（2） 【基本目标】 1.会用勾股定理解决简单的实际问题. 2.树立数形结合的思想. 【教学重点】 勾股定理的应用. 【教学难点】 实际问题向数学问题的转化. 一、创设情景，导入新课 从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过 84 程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不同条 件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨， 积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性. 二、师生互动，探究新知 例 1 如右图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高 AB 为 4cm，BC 是上 底面的直径．一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求 出爬行的最短路程． 【分析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧 面展开（如图），得到矩形 ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面 展开图矩形对角线 AC 之长．（精确到 0.01cm） 解：如下图，在 Rt△ABC 中，BC＝底面周长的一半＝10cm， ∴ AC＝Ab2+Bc2＝42+102＝116≈10.77（cm）（勾股定理）. 答：最短路程约为 10.77cm． 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 四、典例精析，拓展新知 例 2 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形 状如右图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【分析】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂 门正中间时其高度是否小于 CH．如图所示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD⊥AB， 与地面交于 H． 解：在 Rt△OCD 中，由勾股定理得 CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）． 因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门. 五、运用新知，深化理解. 完成教材 P123 习题 14.2 中的第 5 题. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 85 教师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很 多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造 直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量， 或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建 立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意 化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系. 本章复习 【基本目标】 进一步理解勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题. 【教学重点】 用勾股定理及逆定理解决问题. 【教学难点】 用勾股定理的逆命题证明几何问题. 一、知识框图，整体建构 二、知识梳理，快乐晋级 本章通过问题的形式来梳理知识，以加深对基础知识的理解，对基本方法的把握. 问题 1：勾股定理与逆定理的内容是什么？ 问题 2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是 怎样理解的？ 问题 3：如何判定一个三角形是直角三角形？ 问题 4：反证法的步骤是什么？ 【教学说明】教师提出的问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，做必要的 86 讲解与说明. 三、典例精析，升华旧知 例 1（1）下列命题中正确的是（） A.1.5, 2, 2.5 是勾股数 B.至少有一个角大于 60°的反面是至多有一个角大于 60° C.边长为 3a,4a,5a 的三角形是直角三角形 D.直角三角形的两边是 3 和 4，它的面积是 6 （2）如图，每个小正方形的边长为 1，点 A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC=_________. （3）如图，长方形 ABCD 中，AB=15cm,点 E 在 AD 上，且 AE=9cm,连结 EC 将长方形沿 BE 翻折，点 A 恰好落在 EC 上的点 A′处，则 A′C=____cm. 【答案】（1）C （2）45°提示：连结 AC，由勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，AB=BC=5 即可. （3）8 由条件知△BA′C≌△CDE,∴A′C=DE，在 Rt△CDE 中，设 A′C=x，∵A′E=AE， ∴CE=9+x，∵CE2=CD2+DE2，∴（9+x）2=x2+152，解得 x=8(cm). 例 2 如图圆柱形的玻璃杯，高为 12cm,底面周长为 18cm,在杯内离杯底 4cm 的 C 处有一 滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离是多少厘米？ 解：画出全半侧面的展开图，如图，则 EF=9cm,AE=4cm,CM=4cm,取点 A 关于直线 EF 的 对称点 A′，则 A′E=4cm,连结 A′C 交 EF 于 P，则 PA+PC 最短，作 GC⊥EN 于 G，在 Rt△A′ GC 中，AP+PC= 2 29 12 =15(cm). 【教学说明】本例是“将军饮马”的数学模型与用勾股定理求立体图形表面两点间最短 距离的有机融合.注意以处理这两个数学模型的方法讲解. 例 3 在 Rt△ABC 中，已知两直角边 a 与 b 的和为 pcm，斜边长为 qcm，求这个三角形的 87 面积. 【教学说明】因为 Rt△ABC 的面积等于 1 2 ab，所以只要求出 ab 就可以完成本道题.分 析已知条件可知 a+b=p,c=q,再联想到勾股定理 a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数 问题上解决，由 a+b=p,a2+b2=q2，求出 ab. 例 4 如图所示，有一个正方形水池，每边长 4 米，池中央长了一棵芦苇，露出水面 1 米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？ 【教学说明】对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形， 建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为 x 米，BC=x 米， AC=(x+1)米，因为池边长为 4 米，所以 BA′=2 米，在 Rt△A′BC 中，根据勾股定理得 x2+22=(x+1)2 解得 x=1.5. 例 5 如图所示，△ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边上的中线 AD=24，求 AC. 解：因为 AD 是边 BC 上的中线，且 BC=20， 所以∠ADB=90°，即 AD⊥BC.(勾股逆定理) 【教学说明】要求 AC 的长度，首先确定 AC 所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC 是 直角三角形，由于 AB=26，BC=20，可得 BD=10，而又知中线 AD=24，所以可以先通过勾股定 88 理判断出△ABD 是 Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，从而再应用勾股定理求出 AC 的长. 例 6 已知，如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，CD⊥AD 于点 D,且 CD2+AD2=2AB2. (1)求证 AB=BC; (2)当 BE⊥AD 于点 E 时，试证明：BE=AE+CD. 解：由条件 CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有 CD2+AD2=AC2，又 AC2=AB2+BC2（连结 AC），从 而 2AB2=AB2+BC2，有 BC=AB（勾股定理功不可没）；（2）过 C 作 CF⊥BE 于 F,由 AB=BC,∠ABE= ∠BCF,∠AEB=∠CFB,知△ABE≌△BCF，有 BF=AE，且 CD=FE,∴BE=BF+EF=AE+CD. 【教学说明】本题将全等三角形与勾股定理有机结合，注意由其平方条件联想勾股定理. 四、师生互动，课堂小结 这节课你有什么收获？还有什么疑惑？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在学生 交流发言的基础上，教师总结归纳. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本章复习应紧紧围绕“勾股定理”为中心，师生共同建构知识网络，回顾各个知识考点、 落实四基.在教学过程中发现的疑惑应及时解答.此外教案中的六个例题应试着让学生解答， 教师再予以点拨，以达到复习提升的效果. 第 15 章数据的收集与表示 15.1 数据的收集 1.数据有用吗 2.数据的收集 【基本目标】 通过组织学生讨论解决实际问题，帮助学生经历收集数据的过程，概括数据收集的步骤， 理解频数与频率. 【教学重点】 数据收集的步骤、频数与频率. 【教学难点】 数据收集的意义、频数与频率的意义. 89 一、创设情景，导入新课 同学们，中国共产党的“十八”大已胜利召开.你知道代表是怎样产生的吗？ 二、师生互动，探究新知 1.数据有用吗？ 从 2010—2011 年赛季 CBA 总决赛数据统计表得知新疆队以 118∶85 战胜对方，新疆队 有哪些优势？（用数据说明），生活离不开数据. 我们班推荐谁当学生会委员的候选人? 最喜欢哪一项体育活动？ 哪个新教学楼的方案最好？ 班里有同月同日生的同学吗？ 请从上述问题当中挑选一个，对班级里每一位同学做一次小调查，记录下调查中收集到 的数据. 2.数据的收集. 从所做的调查中我们能感受到，要解决以上问题离不开调查中得到的数据.数据有助于 我们做出民主的决策，也有助于我们发现一些有趣的现象或者事实. 假如我们对推荐候选人问题有兴趣，让我们回顾一下这个通过民意调查收集数据的过 程. 第一步：明确调查问题——谁当候选人最合适. 第二步：确定调查对象——全班每个同学. 第三步：选择调查方法——采用投票选举的方法. 第四步：展开调查——每位同学将自己心目中认为最合适的候选人的名字写在纸上，投 入选举箱. 第五步：记录结果——一同学唱票，一同学计票（以画“正”字的方法记录每位候选人 的得票数），一同学在旁监督. 第六步：得出结论——宣布得票数最多的那个同学当选班长.假如得票数较高的四位同 学各自的得票数如下表所示： 根据最后一行，小丽的得票数最高，老师宣布：“经民主投票选举，小丽当选班长，让 我们全班鼓掌祝贺她.” 在记录数据时，我们发现有的对象（比如选班长问题中小丽的名字）出现的次数很多， 90 很频繁，而有的对象（如小明的名字）则相对较少，不太频繁.今后，我们用频数（frequency） 这个词来表示每个对象出现的次数，用频率（relative frequency）这个词来表示每个对象 出现的次数与总次数的比值（或者百分比），频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程 度. 你能计算出小华、小明、小丽三人得票的频数和频率各是多少吗？ 思考： 推荐候选人问题中每个得票的频数就是每个人的___；每个人得票的频率就是每人的___ 与____的比值. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视并及时点评. 四、典例精析，拓展新知 教材 P133 的“试一试”. 【教学说明】让学生在活动中进一步体会频数与频率的意义. 五、运用新知，深化理解 完成教材 P135 习题 15.1 中的第 5 题. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，教师在学生发言的基础上归 纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课以活动为中心，让学生参与到课堂上谁当候选人的数据收集中，在活动中理解频 数与频率的概念，体会其意义.课堂形式开放，学生参与程度高，但教师要整体布控，体现 教师主导地位，及时调整学生活动的时间，注意教学的高效性. 15.2 数据的表示 1.扇形统计图 【基本目标】 体会数据在现实生活中的作用，理解扇形统计图所反映出来的整体与部分的关系，从中 尽可能多的获取有用的信息. 【教学重点】 91 理解扇形统计图的特点，会制作扇形统计图. 【教学难点】 能够根据统计图中提供的信息作出合理的判断，并能用自己的语言清楚的表达出来. 一、创设情景,导入新课 某班委会决定用勤工俭学所得的班费购买一些有意义的书，为了满足大部分同学的需 求，决定购买科技类，中外名著，课程辅导类等书籍.但有多少同学喜欢科技类？有多少同 学喜欢中外名著？有多少同学喜欢课程辅导类或其他读物？如果老师安排你去购买书籍，为 满足同学们的需求，你该怎样完成这一任务呢？（学生经过充分的思考后进行讨论和交流， 并达成共识） 二、师生互动，探究新知 请同学们看教育软件需求分布图，回答下列问题. 1.量一量每部分的圆心角是多少度？ 2.各部分的百分比之和是多少？ 3.你量出的圆心角度数与百分比有何关系？ 在学生活动回答的基础上，教师归纳板书. 扇形统计图表示的是总体和部分的关系，其中圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总 体中的不同部分，扇形的大小反映的是部分占总体的百分比的大小. 解决问题：在学生发言的基础上，归纳出制作扇形统计图的步骤：①求各部分百分比； ②求各部分圆心角=360°×百分比；③画扇形统计图. 三、随堂练习,巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评. 四、典例精析，拓展新知 例根据某中学同学们最喜爱的体育活动扇形统计图，回答下列问题. (1)同学们最喜欢哪种课外活动？ （2）最受欢迎的两类课外活动是什么，它们的百分比之和是多少？ （3）图中的各个扇形分别代表什么？ （4）图中所有百分比之和是多少？ （5）假如你是校长，为了尽可能多地满足同学们的需求，你会增添哪种体育设施？ 【答案】（1）羽毛球（2）羽毛球、足球 92 （3）代表同学们最喜爱的某体育活动的人数占总人数的比例 （4）100% （5）羽毛球网 【教学说明】从扇形统计图中获取信息，进行决策. 五、运用新知，深化理解 完成教材 P138 第 1、2 题. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上教师归 纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 在学生自学后，交流学习效果.在讲到扇形统计图是把什么图形分成若干份和用什么线 来分的时候，趁机介绍扇形的知识，让学生感知扇形是圆的一部分.对于扇形统计图部分与 整体的关系，学生比较容易掌握.我在教学的过程中让他们自己分组交流讨论，凭着自己的 发现、自己的想法来探索扇形统计图的特点，我在这里面只是起到一个引导作用，不再是绝 对的主体的作用.在教学中，切实从学生的生活经验和已有知识背景出发，联系生活讲数学， 把生活经验数学化，体现“数学源于生活，寓于生活，用于生活”的思想，以此来激发学生 学习数学的兴趣. 通过这节课的学习，我更加坚信，娴熟的知识储备和教材体系的熟练程度对于教学所起 到的作用.对于教材版本不断更换和教材不断修订的教育现状，我们教师只有厚积薄发，才 能有备无患. 2.利用统计图表传递信息 【基本目标】 根据图表提取信息，处理实际生活问题. 【教学重点】 会识别各种图表所提供的信息. 【教学难点】 从图表中获取信息，进行决策. 93 一、创设情景，导入新课 多媒体展示三种类型的统计图表，可以帮助我们直观得出有意思的结论. 二、师生互动，探究新知 2016 年第 31 届奥运会在巴西举行，为了帮助中国代表团分析夺牌形式，我们可以将第 30 届伦敦奥运会美、中、俄、英等国家奖牌以统计表和统计图呈现，见教材（多媒体展示）， 和我国自第 24 届——第 30 届总计奖牌数回眸. 如何评价中国奥运代表团在历届奥运会上的表现呢？ 生 1：“我看奖牌总数最好.” 生 2：“我以为金牌数最好.” 生 3：“我看将金银铜牌换成分数比较总分最为合适.” 明确：引导学生全方位思考问题，让他们明白综合评价的意义. 师：“刚才同学们都绘制了自己本学期以来数学单元小测验成绩的统计表，同桌的同学 相互交换一下去读，看看都有哪些收获.” 生 1：“王华一直在进步，他的单元小测验的成绩一次比一次高.” 生 2：“李明的成绩不够稳定，看他的成绩统计表就知道，忽高忽低.” 师：“你们再看看，分别设计运用了哪些统计图表.” 生：“统计表不大一样，可是大家几乎都选用了折线统计图.” 师：“为什么选择折线统计图呢？” 生：“折线统计图更能直观地反映成绩的变化.” 明确：先对数据进行定性、定量分析，选用合理的统计图表. 【教师归纳】三种统计图各自的特点，见教材 P142. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评. 四、典例精析，拓展新知 例学期结束前，学校想知道学生对本期学校工作的满意程度，特向全体学生（1000 人） 做问卷调查，结果如下： （1）根据以上调查结果，作出条形统计图. （2）计算每一种反馈意见所占总人数的比，并作出扇形统计图. （3）你认为本次调查结果对校领导总结本学期工作，制定下学期工作计划有影响吗？ 94 为什么？ 【教学说明】熟练掌握三种统计图的制作，会对实际生活进行决策. 五、运用新知，深化理解 完成教材 P143 的第 2 题. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教 师归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 本节课以学生参与、合作绘制各种统计图表，结合统计图表呈现的信息，用所得的信息 进行生活决策.整节课教师对学生绘制统计图表的规范性作好指导，让学生养成在统计中用 数据说话的好习惯.信息的理解具有开放性，对学生不同的想法，给予指导、鼓励，提高学 生参与学习活动的主动性与积极性. 本章复习 【基本目标】 1.通过实例使学生进一步体会数据的作用，学会用数据说话. 2.熟悉收集、整理、描述和分析数据的活动过程. 3.理解频数、频率的概念. 4.能根据统计图表，得到比较明显的结论并简单地说明理由. 【教学重点】 通过收集、整理、描述和分析数据的活动，感受不确定现象背后表现出的规律性，学会 用数据解决实际问题，学会制作统计图表以及从实践中得出的数据来定性地描述可能性的大 小. 【教学难点】 1.科学地收集数据及表示数据. 2.能根据统计图表，得到比较明显的结论并简单地说明理由. 一、知识框图，整体建构 95 二、知识梳理，快乐晋级 本章通过问题的形式来梳理知识，以加深对基础知识的理解，对基本方法的把握. 问题 1：调查收集数据的过程是什么？ 问题 2：三种统计图各有什么特点？如何绘制？ 问题 3：什么是频率，什么是频数？二者有何关系？ 问题 4：从统计图表中获取信息应注意什么问题？ 【教学说明】教师提出问题由小组竞赛的形式回答，对学生有疑问的地方重点讲解与强 调. 三、典例精析，升华旧知 例 1 为了了解班里同学上学方式的情况，请你对本班同学进行一次调查，回答下列问题： （1）调查的问题：________________________. （2）调查的对象：________________________. （3）调查的方法：________________________. （4）调查的过程：________________________. （5）记录和分析结果的方法：_______________. （6）若已知全班有 40 位学生，他们有的步行，有的骑车，还有的乘车上学，请根据已 知信息，完成统计表： (7)根据上图的信息你得出什么结论？并画出扇形统计图. 【教学说明】可以在班上开展适时调查，收集相应数据并用扇形统计图表示. 例 2（1）想清晰地表示出每个项目的具体数目，应选择_________统计图. （2）想清晰地表示出事物的变化情况，应选择_______统计图. （3）想清晰地表示出各部分在总体中所占的比例，应选择_______统计图. 【答案】；（1）条形；（2）折线；（3）扇形. 例 3 根据下表制作扇形统计图，表示各大洲陆地面积的百分比，并回答下列问题. 世界七大洲陆地面积 96 （1）哪个洲的陆地面积最大？ （2）所有百分比之和是多少？ （3）你能从扇形统计图上知道陆地的面积吗？ 【答案】 (1)亚洲的陆地面积最大； (2)所有百分比之和为 1； (3)不能从扇形统计图上知道陆地的面积. 例 4 下图是 A 品牌奶粉的广告，看图思考回答： （1）A 品牌的销售额是否真的比 B 品牌多？要作判定还需什么资料？ （2）图中两条折线所能真正说明的是 A 品牌在什么方面领先？ 【答案】（1）A 品牌的销售额不一定真比 B 品牌多，要作判定还要知道 2010 年两种品 牌的基数；（2）图中信息表明 A 品牌的销售额相对自己增长较快. 【教学说明】从统计图中提取信息时，应特别注意纵轴表示的含义或纵轴是否从 0 开始， 减少误导. 四、师生互动，课堂小结. 97 这节课你复习到什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上教师 归纳总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 通过本节的复习，要求达到一要了解，二要掌握，三要会用的目的.即进一步了解各种 统计图表的意义和用途，比较熟练掌握数据收集与表示的基础知识，会看、会制、会用统计 图表.复习的过程中应扎实组织好训练，帮助学生建立良好的认知结构.