人教版八年级数学下册同步练习(含答案)+下册知识点总结，精品资料 138页

人教版八年级数学下册 同步练习(含答案)+下册知识点总结，精品资料 全册练习题 16.1 分式同步测试题 1、式子① x 2 ② 5 yx  ③ a2 1 ④ 1 x 中，是分式的有（ ） A．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④ 2、分式 13   x ax 中，当 ax  时，下列结论正确的是（ ） A．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若 3 1a 时,分式的值为零 D. 若 3 1a 时,分式的值为零 3. 若分式 1x x 无意义,则 x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. 1 4. (2008 年山西省太原市)化简 2 2 2 m n m mn   的结果是（ ） A． 2 m n m  B． m n m  C． m n m  D． m n m n   5.使分式 x 1 11 1 有意义的条件是( ) A. 0x B. 21  xx 且 C. 1x D. 1x 且 0x 6.当_____时,分式 43 12   x x 无意义. 7.当______时,分式 68 x x 有意义. 8.当_______时,分式 5 34   x x 的值为 1. 9.当______时,分式 5 1  x 的值为正. 10.当______时分式 1 4 2   x 的值为负. 11.要使分式 22 1 yx x   的值为零，x 和 y 的取值范围是什么？ 12．x 取什么值时，分式 )3)(2( 5   xx x （1）无意义？（2）有意义？ （3）值为零？ 13．2005-2007 年某地的森林面积（单位：公顷）分别是 321 ,, SSS ，2005 年与 2007 年相比， 森林面积增长率提高了多少？（用式子表示） 14．学校用一笔钱买奖品，若以 1 支钢笔和 2 本日记本为一份奖品，则可买 60 份奖品；若 以 1 支钢笔和 3 本日记本为一份奖品，则可买 50 份奖品，那么这笔钱全部用来买钢笔可以 买多少支？ 15．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用 x（ 1x ）单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的 农药量与本次清洗前残留的农药量之比为 x1 1 ． 现有 a （ 2a ）单位量的水，可以一 次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量 比较少？说明理由． 16.1 分式 第 1 课时 课前自主练 1．________________________统称为整式． 2． 2 3 表示_______÷______的商，那么（2a+b）÷（m+n）可以表示为________． 3．甲种水果每千克价格 a 元，乙种水果每千克价格 b 元，取甲种水果 m 千克，乙种水果 n 千克，混合后，平均每千克价格是_________． 课中合作练 题型 1：分式、有理式概念的理解应用 4．（辨析题）下列各式 a  ， 1 1x  ，1 5 x+y， 2 2a b a b   ，-3x2，0中，是分式的有___________； 是整式的有___________；是有理式的有_________． 题型 2：分式有无意义的条件的应用 5．（探究题）下列分式，当 x 取何值时有意义． （1） 2 1 3 2 x x   ； （2） 23 2 3 x x   ． 6．（辨析题）下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ） A． 1 2 1x  B． 2 1 x x  C． 2 3 1x x  D． 2 22 1 x x  7．（探究题）当 x______时，分式 2 1 3 4 x x   无意义． 题型 3：分式值为零的条件的应用 8．（探究题）当 x_______时，分式 2 2 1 2 x x x    的值为零． 题型 4：分式值为±1 的条件的应用 9．（探究题）当 x______时，分式 4 3 5 x x   的值为 1； 当 x_______时，分式 4 3 5 x x   的值为-1． 课后系统练 基础能力题 10．分式 2 4 x x  ，当 x_______时，分式有意义；当 x_______时，分式的值为零． 11．有理式① 2 x ，② 5 x y ，③ 1 2 a ，④ 1 x   中，是分式的有（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 12．分式 3 1 x a x   中，当 x=-a 时，下列结论正确的是（ ） A．分式的值为零； B．分式无意义 C．若 a≠- 1 3 时，分式的值为零； D．若 a≠ 1 3 时，分式的值为零 13．当 x_______时，分式 1 5x  的值为正；当 x______时，分式 2 4 1x   的值为负． 14．下列各式中，可能取值为零的是（ ） A． 2 2 1 1 m m   B． 2 1 1 m m   C． 2 1 1 m m   D． 2 1 1 m m   15．使分式 | | 1 x x  无意义，x 的取值是（ ） A．0 B．1 C．-1 D．±1 拓展创新题 16．（学科综合题）已知 y= 1 2 3 x x   ，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数； （3）y 的值是零；（4）分式无意义． 17．（跨学科综合题）若把 x 克食盐溶入 b 克水中，从其中取出 m 克食盐溶液，其中含纯盐 ________． 18．（数学与生活）李丽从家到学校的路程为 s，无风时她以平均 a 米/秒的速度骑车，便 能按时到达，当风速为 b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前_______ 出发． 19．（数学与生产）永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要 a 天完成，若甲组单独 完成需要 b 天，乙组单独完成需_______天． 20．（探究题）若分式 2 2 x x  -1 的值是正数、负数、0 时，求 x 的取值范围． 21．（妙法巧解题）已知 1 x - 1 y =3，求 5 3 5 2 x xy y x xy y     的值． 22．（2005．杭州市）当 m=________时，分式 2 ( 1)( 3) 3 2 m m m m     的值为零． 16.1 分式 第 2 课时 课前自主练 1．分数的基本性质为：______________________________________________________． 2．把下列分数化为最简分数：（1） 8 12 =________；（2）125 45 =_______；（3） 26 13 =________． 3．把下列各组分数化为同分母分数: （1） 1 2 ， 2 3 ， 1 4 ； （2） 1 5 ， 4 9 ， 7 15 ． 4．分式的基本性质为：______________________________________________________． 用字母表示为：______________________． 课中合作练 题型 1：分式基本性质的理解应用 5．（辨析题）不改变分式的值，使分式 1 1 5 10 1 1 3 9 x y x y   的各项系数化为整数，分子、分母应乘以 （ ） A．10 B．9 C．45 D．90 6．（探究题）下列等式：① ( )a b c   =- a b c  ;② x y x    = x y x  ;③ a b c   =- a b c  ; ④ m n m   =- m n m  中,成立的是（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．（探究题）不改变分式 2 3 2 3 5 2 3 x x x x      的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确 的是（ ） A． 2 3 3 2 5 2 3 x x x x     B． 2 3 3 2 5 2 3 x x x x     C． 2 3 3 2 5 2 3 x x x x     D． 2 3 3 2 5 2 3 x x x x     题型 2：分式的约分 8．（辨析题）分式 4 3 4 y x a  ， 2 4 1 1 x x   ， 2 2x xy y x y    ， 2 2 2 2 a ab ab b   中是最简分式的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．（技能题）约分： （1） 2 2 6 9 9 x x x    ； （2） 2 2 3 2m m m m    ． 题型 3：分式的通分 10．（技能题）通分： （1） 26 x ab ， 29 y a bc ； （2） 2 1 2 1 a a a    ， 2 6 1a  ． 课后系统练 基础能力题 11．根据分式的基本性质，分式 a a b   可变形为（ ） A． a a b  B． a a b C．- a a b D． a a b 12．下列各式中，正确的是（ ） A． x y x y     = x y x y   ; B． x y x y    = x y x y    ; C． x y x y     = x y x y   ; D． x y x y    = x y x y   13．下列各式中，正确的是（ ） A． a m a b m b   B． a b a b   =0 C． 1 1 1 1 ab b ac c    D． 2 2 1x y x y x y    14．（2005·天津市）若 a= 2 3 ，则 2 2 2 3 7 12 a a a a     的值等于_______． 15．（2005·广州市）计算 2 2 2 a ab a b   =_________． 16．公式 2 2 ( 1) x x   ， 3 2 3 (1 ) x x   ， 5 1x  的最简公分母为（ ） A．（x-1）2 B．（x-1）3 C．（x-1） D．（x-1）2（1-x）3 17． 2 1 ? 1 1 x x x    ，则？处应填上_________，其中条件是__________． 拓展创新题 18．（学科综合题）已知 a2-4a+9b2+6b+5=0，求 1 a - 1 b 的值． 19．（巧解题）已知 x2+3x+1=0，求 x2+ 2 1 x 的值． 20．（妙法求解题）已知 x+ 1 x =3，求 2 4 2 1 x x x  的值． 16.1 分式同步测试题 A 一、选择题（每题分，共分） 1、把分式 yx x  中的 、 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ） A、扩大 3 倍 B、不变 C、缩小 3 倍 D、缩小 9 倍 2、把分式 xy yx  中的 、 都扩大 2 倍，那么分式的值 （ ） A、扩大 2 倍 B、扩大 4 倍 C、缩小 2 倍 D 不变 3、下列等式中成立的是 （ ） A、 B、 C、 D、 4、(2008 年株洲市)若使分式 2 x x  有意义，则 x 的取值范围是（ ） A． 2x  B． 2x   C． 2x   D． 2x  5、已知 ，则 （ ） A、 B、 C、 D、 A、①③④ B、①②⑤ C、③⑤ D、①④ 二、填空题（每题分，共分） 1、分式 3 92   x x 当 x __________时分式的值为零. 2、当 x __________时分式 x x 21 21   有意义.当 ________________x 时，分式 8x3 2x   无意义. 3、①   )0(,10 5 3  aaxyxy a ②   1 4 2 2    a a . 4、约分：①  ba ab 220 5 __________，②    96 9 2 2 xx x __________. 5、已知 P= 9 99 99 9 ,Q= 9 11 90 9 ,那么 P、Q 的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿。 6、a>0>b>c,a+b+c=1,M= a cb  ,N= b ca  ,P= c ba  ，则 M、N、P 的大小关系是＿＿＿. 三、解答题（共分） 1、（分） 2、（分）已知 2 2 2 2 1 1 11 x x xy xx x x        。试说明不论 x 为何值，y 的值不变. 3、（分） 都化 为整数. 4、（分） 16.1 分式同步测试题 B 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1、 为任意实数，分式一定有意义的是（ ） A、 B、 C、 D、 2、当 时， 值为（ ） A、 B、 C、 D、 3、已知： ， 则：则 表示 的代数式为（ ） A、 B、 C、 D、 4、（2008 无锡）计算 2 2 ( )ab ab 的结果为（ ） Ａ．b B． a Ｃ．1 Ｄ． 1 b 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 1、 是____． 2、－ 92 93,1992 1993,91 92,1991 1992  四个数的大小关系是＿＿. 3、当 x=______时，分式 145 4 2 2   xx x 的值为零. 4、甲、乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与 乙做 60 个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？ 设甲每小时做 x 个零件，那么乙每小时做（x-6）个。甲做 90 个所用的时间是 90÷x（或 x 90 ）小时，乙做 60 个的用的时间是［60÷（x-6）］（或 6 60 x ）小时，根据题意列方程为＿ ＿＿＿＿＿. 三、解答题（52 分） 1 、 （ 10 分 ） . 2、（10 分）已知：a=2b， 16.1 分式同步测试题 C（人教新课标八年级下） A 卷（共 60 分） 一、选择题(每小题 3 分 ，共 18 分) 1.代数式- ,2 3 x ,1,8 7,1,,4 2 a xyxyx   中是分式的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.使分式 2x x 有意义的是（ ） A. 2x B. 2x C. 2x D. 2x 或 2x 3. 下列各式中，可能取值为零的是（ ） A． 2 2 1 1 m m   B． 2 1 1 m m   C． 2 1 1 m m   D． 2 1 1 m m   4. 分式 4 3 4 y x a  ， 2 4 1 1 x x   ， 2 2x xy y x y    ， 2 2 2 2 a ab ab b   中是最简分式的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5. 分式 3 1 x a x   中，当 x=-a 时，下列结论正确的是（ ） A．分式的值为零； B．分式无意义 C．若 a≠- 1 3 时，分式的值为零； D．若 a≠ 1 3 时，分式的值为零 6.如果把分式 yx yx   2 中的 yx, 都扩大 2 倍，则分式的值（ ） A.扩大 2 倍 B.缩小 2 倍 C.是原来的 3 2 D.不变 二、填空题(每小题 3 分 ，共 18 分) 7. 分式 2 4 x x  ，当 x 时，分式有意义. 8.当 x 时，分式 3 3   x x 的值为 0. 9.在下列各式中， ),(3 2,,1,2,2,1 22 2 bax xyx baa    分式有 . 10. 不改变分式的值，使分式 1 1 5 10 1 1 3 9 x y x y   的各项系数化为整数，分子、分母应乘以 11. 计算 2 2 2 a ab a b   = ． 12.  22 yxyx yx   . 三、解答题（每大题 8 分，共 24 分） 13. 约分： （1） 2 2 6 9 9 x x x    ； （2） 2 2 3 2m m m m    ． 14. 通分： （1） 26 x ab ， 29 y a bc ； （2） 2 1 2 1 a a a    ， 2 6 1a  ． 15.若 ,532  zyx 求 x zyx 2 32  的值. B 卷（共 40 分） 一、选择题（每小题 2 分，共 8 分） 1.如果把分式 n m 2 中的字母 m 扩大为原来的 2 倍，而 n 缩小原来的一半，则分式的值 （ ） A.不变 B.是原来的 2 倍 C.是原来的 4 倍 D.是原来的一半 2. 不改变分式 2 3 2 3 5 2 3 x x x x      的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ） A． 2 3 3 2 5 2 3 x x x x     B． 2 3 3 2 5 2 3 x x x x     C． 2 3 3 2 5 2 3 x x x x     D． 2 3 3 2 5 2 3 x x x x     3.一项工程，甲单独干，完成需要 a 天，乙单独干，完成需要b 天，若甲、乙合作，完成这 项工程所需的天数是（ ） A. ba ab  B. b a 1 1  C. ab ba  D. )( baab  4.如果 ,0432  zyx 那么 zyx zyx   的值是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 二、填空题（每小题 2 分，共 8 分） 5. 李丽从家到学校的路程为 s，无风时她以平均 a 米/秒的速度骑车，便能按时到达，当 风速为 b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前 出发． 6. 当 m= 时，分式 2 ( 1)( 3) 3 2 m m m m     的值为零． 7.已知 2+ ,,15 4415 44,8 338 33,3 223 2 222  若 10+ bab a b a ,(102  为正整 数）则 a ， b . 8. （08 江苏连云港）若一个分式含有字母 m ，且当 5m  时，它的值为 12，则这个分式 可以是 ． （写出一个．．即可） 三、解答题（每大题 8 分，共 24 分） 9. 已知 1 x - 1 y =3，求 5 3 5 2 x xy y x xy y     的值． 10.先能明白（1）小题的解答过程，再解答第（2）小题， （1）已知 ,0132  aa 求 2 2 1 aa  的值， 解，由 0132  aa 知 ,0a 31,013  aaaa 即 ∴ 72)1(1 2 2 2  aaaa ； （2）已知： ,0132  yy 求 13 48 4  yy y 的值. 11. 已知 a2-4a+9b2+6b+5=0，求 1 a - 1 b 的值． 16．2 分式的运算 第 1 课时 课前自主练 1．计算下列各题： （1） 3 2 × 1 6 =______；（2） 3 5 ÷ 4 5 =_______；（3）3a·16ab=________； （4）（a+b）·4ab2=________；（5）（2a+3b）（a-b）=_________． 2．把下列各式化为最简分式： （1） 2 2 16 8 16 a a a    =_________； （2） 2 2 2 2 ( ) ( ) x y z x y z     =_________． 3．分数的乘法法则为_____________________________________________________； 分数的除法法则为_____________________________________________________． 4．分式的乘法法则为____________________________________________________； 分式的除法法则为____________________________________________________． 课中合作练 题型 1：分式的乘法运算 5．（技能题） 2 2 3 4 xy z ·（- 28z y ）等于（ ） A．6xyz B．- 2 33 8 4 xy z yz  C．-6xyz D．6x2yz 6．（技能题）计算： 2 3 x x   · 2 2 6 9 4 x x x    ． 题型 2：分式的除法运算 7．（技能题） 2 2 ab cd ÷ 3 4 ax cd  等于（ ） A． 22 3 b x B． 3 2 b2x C．- 22 3 b x D．- 2 2 2 2 3 8 a b x c d 8．（技能题）计算： 2 3 a a   ÷ 2 2 4 6 9 a a a    ． 课后系统练 基础能力题 9．（- 3a b ）÷6ab 的结果是（ ） A．-8a2 B．- 2 a b C．- 2 18a b D．- 2 1 2b 10．-3xy÷ 22 3 y x 的值等于（ ） A．- 29 2 x y B．-2y2 C．- 2 2 9 y x D．-2x2y2 11．若 x 等于它的倒数，则 2 6 3 x x x    ÷ 2 3 5 6 x x x    的值是（ ） A．-3 B．-2 C．-1 D．0 12．计算：（xy-x2）· xy x y =________． 13．将分式 2 2 x x x 化简得 1 x x  ，则 x 应满足的条件是________． 14．下列公式中是最简分式的是（ ） A． 2 12 27 b a B． 22( )a b b a   C． 2 2x y x y   D． 2 2x y x y   15．计算 ( 1)( 2) ( 1)( 2) a a a a     ·5（a+1）2 的结果是（ ） A．5a2-1 B．5a2-5 C．5a2+10a+5 D．a2+2a+1 16．（2005·南京市）计算 2 2 1 2 1 a a a    ÷ 2 1 a a a   ． 17．已知 1 m + 1 n = 1 m n ，则 n m + m n 等于（ ） A．1 B．-1 C．0 D．2 拓展创新题 18．（巧解题）已知 x2-5x-1 997=0，则代数式 3 2( 2) ( 1) 1 2 x x x      的值是（ ） A．1 999 B．2 000 C．2 001 D．2 002 19．（学科综合题）使代数式 3 3 x x   ÷ 2 4 x x   有意义的 x 的值是（ ） A．x≠3 且 x≠-2 B．x≠3 且 x≠4 C．x≠3 且 x≠-3 D．x≠-2 且 x≠3 且 x≠4 20．（数学与生活）王强到超市买了 a 千克香蕉，用了 m 元钱，又买了 b 千克鲜橙，也用了 m 元钱，若他要买 3 千克香蕉 2 千克鲜橙，共需多少钱？（列代数式表示）． 16．2 分式的运算 第 2 课时 课前自主练 1．计算下列各题： （1） 2 a · 4 a ； （2） 2 a ÷ 4 a ； （3） 2 2 5 6 1 x x x    ÷ 2 3x x x   ； （4） 2 2 2 2x xy y xy y    · 2 2 2 2x xy y xy y    ． 2．55=____×____×_____×_____×5=_______;an=_______．（ 1 2 ）2=____×______=____; （ b a ）3=_____·______·_____= 3 3 b a ． 3．分数的乘除混合运算法则是________． 课中合作练 题型 1：分式的乘除混合运算 4．（技能题）计算： 2 2 2 3 x y mn · 2 2 5 4 m n xy ÷ 5 3 xym n ． 5．（技能题）计算： 2 2 16 16 8 m m m    ÷ 4 2 8 m m   · 2 2 m m   ． 题型 2：分式的乘方运算 6．（技能题）计算：（- 22 3 a b c ）3． 7．（辨析题）（- 2b a ）2n 的值是（ ） A． 2 2 2 n n b a  B．- 2 2 2 n n b a  C． 4 2 n n b a D．- 4 2 n n b a 题型 3：分式的乘方、乘除混合运算 8．（技能题）计算：（ 2 b a ）2÷（ b a  ）·（- 3 4 b a ）3． 9．（辨析题）计算（ 2x y ）2·（ 2y x ）3÷（- y x ）4 得（ ） A．x5 B．x5y C．y5 D．x15 课后系统练 基础能力题 10．计算（ 2x y ）·（ y x ）÷（- y x ）的结果是（ ） A． 2x y B．- 2x y C． x y D．- x y 11．（- 2b m ）2n+1 的值是（ ） A． 2 3 2 1 n n b m   B．- 2 3 2 1 n n b m   C． 4 2 2 1 n n b m   D．- 4 2 2 1 n n b m   12．化简：（ 3x y z ）2·（ xz y ）·（ 2 yz x ）3 等于（ ） A． 2 3 2 y z x B．xy4z2 C．xy4z4 D．y5z 13．计算：（1） 2 2 6 4 4 x x x    ÷（x+3）· 2 6 3 x x x    ； （2） 2 2 6 9 6 x x x x     ÷ 2 2 9 3 10 x x x    · 3 2 10 x x   ． 拓展创新题 14．（巧解题）如果（ 3 2 a b ）2÷（ 3 a b ）2=3，那么 a8b4 等于（ ） A．6 B．9 C．12 D．81 15．（学科综合题）已知│3a-b+1│+（3a- 3 2 b）2=0．求 2b a b ÷[（ b a b ）·（ ab a b ）]的 值． 16．（学科综合题）先化简，再求值： 2 3 2 2 8 2 x x x x x     ÷（ 2x x  · 4 1 x x   ）．其中 x=- 4 5 ． 17．（数学与生活）一箱苹果 a 千克，售价 b 元；一箱梨子 b 千克，售价 a 元，试问苹果的 单价是梨子单价的多少倍？（用 a、b 的代数式表示） 18．（探究题）（2004·广西）有这样一道题：“计算 2 2 2 1 1 x x x    ÷ 2 1x x x   -x 的值，其中 x=2 004”甲同学把“x=2 004”错抄成“x=2 040”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回 事？ 16.2 分式的运算同步测试题 A A 卷： 一、精心选一选 1．下列算式结果是－3 的是（ ） A. 1)3(  B. |3|  C. )3( D. 0)3( 2. （2008 黄冈市）计算 ( )a b a b b a a   的结果为（ ） A． a b b  B． a b b  C． a b a  D． a b a  3.把分式 中的 x、y 都扩大 2 倍,则分式的值( ) A.不变 B.扩大 2 倍 C.缩小 2 倍 D.扩大 4 倍 4．用科学记数法表示-0.000 0064 记为（ ） A. -64×10-7 B. -0.64×10-4 C. -6.4×10-6 D. -640×10-8 5．若 3 22   ba ba ，则 a b 等于 （ ） A． 5 4 B． 5 4 C．1 D． 5 4 6.若 0 yxxy ，则分式  xy 11 （ ） A.1 B. xy  C. xy 1 D.－1 7.一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为 U 像距为 V，凸透镜的焦距为 F，且满足 FVU 111  ， 则用 U、V 表示 F 应是（ ） A. UV VU  B. VU UV  C. V U D. U V 8．如果 x ＞ y ＞0，那么 x y x y   1 1 的值是（ ） A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 不能确定 二、细心填一填 1. (16x3-8x2+4x) ÷(-2x)= 。 2.已知 a+b=2,ab=-5,则 a b+b a ＝____________ 3.（2007 年芜湖市）如果 2a b  ，则 2 2 2 2 a ab b a b    = ____________ 4.一颗人造地球卫星的速度是 8×103/秒，一架喷气式飞机的速度是 5×102 米/秒，这颗人 造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的____________倍. 5.a 取整数 时，分式(1- 1 14   a a )· a 1 的值为正整数. 6. 已知 a＋ a 1 ＝6，则（a－ a 1 ）2 = 7.已知 25, 4n nx y  ，则 2( ) nxy  =_____________ 8.已知｜x+y-3|+(x-y-1)2=0，则 -2 21[(-x y) ]2 =______________________ 三、仔细做一做 1.计算 2 3 01( ) 2 0.125 2005 | 1|2       2. （1）化简： 1)2)(1( 3 1  xxx x ，并指出 x 的取值范围 （2）先化简，再求值已知 3a ， 2b ，求 2 2 1 1( ) 2 ab a b a ab b     的值． 3. 已知 y = ÷ － ＋ 1 ，试说明在右边代数式 有意义的条件下，不论 x 为何值，y 的值不变。 4.按下列程序计算： n n n n       平方 答案 （1）填表。 输入 n 3 1 2 2 3 … 输出答案 1 1 （2）请将题中计算程序用式子表达出来，并化简。 B 卷： 一、选择题 1.在①x·x5; ②x7y÷xy; ③(-x2)3; ④(x2y3)3÷y3 中,结果为 x6 的有( ) A. ① B. ①② C. ①②③④ D. ①②④ 2.使分式 2 5 5x=x-3 x -3x自左至右变形成立的条件是（ ） A. x<0 B,x>0 C.x  0 D.x  0 且 x  3 3.已知 ba babaabba   则且 ,0622 的值为（ ） A、 2 B、 2 C、2 D、 2 二、填空题 1. 若 1)1( 1  xx ，则 x ＝ ． 2. 如果 x+ x 1 =3，则 1xx x 24 2  的值为 . 3.若-1CD ，如果∠D>∠C， 那么 AD 和 BC 的关系是（ ） A.AD>BC B.AD=BC C.AD 2 21 1       a ∴Q1 或 x< 2 3 时，y 为负数， 当 x=1 时，y 值为零，当 x= 2 3 时，分式无意义． 17． xm x b 克 18．（ s a b - s a ）秒 19． ab b a 20．当 x>2 或 x<-2 时，分式的值为正数； 当-2P>N；提示：∵M+1= a 1 ,N+1= b 1 ,P+1= c 1 , ∴M+1>P+1>N+1, 三、1、解：要使分式的值为零，需要分式的分子为零而分母不为零，即 2、解析：对 y 进行化简，得 2 2 2 2 1 1 11 x x xy xx x x        ＝x-x+1=1。 ∴不论 x 为何值，y 的值都是 1。 3、 4、 16.1 分式同步测试题 B 参考答案 一、1、C；提示：分母为非负数加一个正数 2、B；提示：根据分式的基本性质 3、B；提示：注意到分式的变形 4、B 二、 1、解 将原不等式作如下的变形 9a＞5b，即 9a－5b＞0， 4b＞7a，即 4b－7a＞0． 当 A=1，B=1 时，b 达到最小 16，此时 a=9． 2、解：∵－ ,1991 111991 1992  － 1992 111992 1993  ，－ 91 1191 92  又 91 1 92 1 1991 1 1992 1  91 1 92 1 1991 1 1992 1  － 91 92 92 93 1991 1992 1992 1993  . 3、当 x2－4＝0，即 x=±2 时，由于 x=2 时，分母 x2+5x－14=0，因此分式无意义． 故正确答案为：x=－2 4、 x 90 = 6 60 x 三、1、解 设 S=原式，对原式括号内各项反序排列后，有 ＝1770， ∴S=885． 2、将 a=2b 代入，得原式＝ 16 3 42436 2212   . 16.1 分式同步测试题 C A 卷答案： 一、1.B，提示：根据分式的概念判断，π是常数而不是字母，所以有 2 个；2.C，提示：分 式有意义则 02 x ，则 2x ，故选 C；3.B，提示：分子为零且分母不为零即 01,012  mm 且 ，所以 ,1m 故选 B；4.C，提示：最简分式是指分子、分母都没有 公因式也就是不能约分，故选 C； 5.C，提示：把 x=-a 代入 3 1 x a x   即为 13   a aa ，从而判 断，故选 C；6.D，提示：按题意，分式变成 yx yx 22 42   ，化简后是 yx yx   2 ，此式显然不变， 故选 D； 二、7. ≠±2，0；提示：分式有意义即分母不等于零即 042 x ，解得 2x ； 8.3，提示：分式的值为零就是分子等于零且分母不等于零即 0303  xx 且 ，故 3x ； 9. ,,2,1 2 x x baa  提示：根据分式的概念判断，π是常数而不是字母，代数式 x x 2 ，只符合 分式的特征不需要化简，所以它是分式； 10.90， 提示：根据分式的基本性质都乘以 90 即寻找分子、分母的最小公倍数为 90. 11. a a b ，提示：先将分子、分母分解因式变成 ))(( )( baba baa   然后约分化成最简分式； 12. 22 2 yxyx  ，提示：分子、分母所乘的数是同一个，变形后是（ ,)2yx  应写成 22 2 yxyx  ； 三 、 13. （ 1 ） 2 2 6 9 9 x x x    =   )3)(3( )3( 2 xx x 3 3 x x   （ 2 ） 2 2 3 2m m m m    =   )1( )2)(1( mm mm 2m m  14. （1） 2 2 3 18 acx a b c ， 2 2 2 18 by a b c （2） 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) a a a    ， 2 6( 1) ( 1) ( 1) a a a    15.设 24 8 22 )5(3322 2 32,5,3,2,532   k k k kk x zyxkzkykxkzyx 所以则 16.1 分式同步测试题 C B 卷答案： 一、1.C，提示：按题意，分式变成 , 22 1 2 n m   化简后是 n m2 ，此式显然是原来分式的 4 倍， 故选 C；2.C，提示：先将分子和分母按降幂排列然后在分子和分母同乘以（-1）得到 C 的 答案； 3.A，提示：工程问题把总工作量看成“1”，甲的工作效率为 ,1 a 乙的工作效率为 ,1 b 则工作 时间为 ba ab ab ba ba   1 11 1 ，故选 A； 4. 设 ,4,3,2,432 kzkykxkzyx  zyx zyx   99 432 432   k k kkk kkk 故选 C； 二、5. （ s a b - s a ）秒 提示：顶风时风速为 )( ba  米/秒，所用时间为 ba s  秒，也就 是费时间减去无风时的时间即为提前的时间； 6.3.提示：分式的值为零就是分子等于零且分母不等于零即为 023.0)3)(1( 2  mmmm 且 ，解得 3m ； 7.10，99，提示：从前面的式子得到规律：分子是加号前面的数，分母是分子的平方减 1， 故 99110,10 2  ba ； 8. 60 m （答案不唯一）； 三、9.解：由 1 x - 1 y =3 得， xyyxxy yx 3,3  ， 原式= 5 3 5 2 x xy y x xy y     = 623 33 2)( 3)(5    xyxy xyxy xyyx xyyx 10.解：由 ,0132  yy 知 ,0y ∴ ,31,013  yyyy 即 ∴（ ,111,921)1 2 2 2 2 2  yyyyyy 即 ∴（ ,121)1 22 2  yy ∴ ,1191 4 4  yy 由 1161313 4 4 4 48  y y y yy ， ∴ 13 48 4  yy y = 116 1 11. 解 ： a2-4a+9b2+6b+5=0 得 ， 016944 22  bbaa ， 则 （ ,0)13()2 22  ba 则 3 1,2  ba ，代入得 3 1 2 . 16．2 分式的运算第 1 课时答案 1．（1） 1 4 （2） 3 4 （3）48a2b （4）4a2b2+4ab3 （5）2a2+ab-3b2 2．（1） 4 4 a a   （2） x y z x y z     3．分数与分数相乘，把分子、分母分别相乘；除以一个数等于乘以这个数的倒数 4．分式乘以分式，把分子、分母分别相乘；除以一个分式等于乘以这个分式的倒数 5．C 6． 3 2 x x   7．C 8． 3 2 a a   9．D 10．A 11．A 12．-x2y 13．x≠0 14．C 15．B 16． 1 a 17．B 18．C 19．D 20．（ 3m a + 2m b ）元 16．2 分式的运算第 2 课时答案: 1．（1） 2 8 a （2） 1 2 （3） 2 2 1 x x x   （4） 2 2 2 x y y  2．5，5，5，5，3，125； n a a a  个 ， 1 2 ， 1 2 ， b a ， b a ， b a 3．把除法统一成乘法来计算 4． 2 1 2y 5． 4 2 2 m m   6．- 6 3 3 8 27 a b c 7．C 8． 4 4 27 256 b a 9．A 10．B 11．D 12．B 13．（1）- 2 2x  （2） 1 2 14．B 15．-1 16．5 17． 2 2 b a 倍 18．因为 2 2 2 1 1 x x x    ÷ 2 1x x x   -x=x-x=0． 16.2 分式的运算同步测试题答案：A 卷： 一、1 、B 2、 A 3、B 提示 把 2x x换成 2y y换成 代入可得 4、 C 5 、D 提示 根据内项积等于外项积 6 3 2 2a b a b   4 5a b 6 、A 提示  xy 11 x y xy  整体代入得 1 7 、 B 提 示 1u v uv F   UVF U V   8 、 B 提 示     1 1 1 1 y y xy x xy y x y x x x x x x          >0 二、1. 28 4 2x x   2. 14 5  提示  2 2a b+b a a b ab ab   整体代入 3. 3 5 提示可把 a=2b 代入 也可设特殊值 a=2 b=1 代入 4.16 5.-4，-2 提示 3 1a   原式 为正整数所以 a+1<0 6.32 提示 2 2 2 1 12 36a aa a         2 2 2 1 12 34 2 32a aa a           7. 1 10000 提示 原式=  2nxy  =  2 1 n nx y 1 10000 8. 1 32 提示 列方程组 求得 x=2 y=1 在代入 三、1. 5 2. （1）解            2 3 1 2 1 1 1 2 1 2 2 x x x x x x x x x x             原式 x≠1 且 x≠ -2 （2）解 分式化简得 1 a b 当 3a ， 2b 时 原式=1 3.右边=        21 1 1 11 1 1 x x x x x x x       = 1 1 1 1x x    4.（1）1 ， 1 （2） 2 2 2 1n n n n nnn n      16.2 分式的运算同步测试题 B 卷 一、 1. B 2. C 提示 分式两边同时乘以不为 0 的数或式子 3. C 提示     22 2 8 24 a ba b ab a b aba b         二、 1.-1 提示 任何不为 0 的 0 次幂都等于 1 2. 1 8 提示 先求 4 2 2 2 2 1 11 7 1 8x x xx x         3.增大 提示 做差法比较大小 三、1.（1） 规律 商等于 2x y  （2） 15 7 x y 2.（1）①（2） 不正确 不能去分母 (3) － = + = + = 2 4 3 4 x x   4. （1）A×B＝          3 2 2 2 2 2 82 2 x x x x x x xx x x         （2）已知 A×B=2x-8 A= 3x x－2 － x x＋2 求 B 的值 （2x-8）÷（ 3x x－2 － x x＋2 ）＝（2x+8）×（    2 2 2 2 8 x x x x    ）＝x2－4 x 16.2 分式的运算同步测试题 B （A）卷答案： 一、1.C，2.A，3.C，提示：根据定义分子、分母没有公因式即可；4.A 5.C，提示：由 ),0(54  yyx 得 ,4 5 y x 2 22 y yx  化简得 16 91)4 5(1)( 22  y x ；6.D，提示：通分得 24 )4(2 4 73    yx yx yx yyxx ； 二、7. 2x ，提示：幂指数中的对底数有限制条件即为底数不等于零，即 02 x ；8. x2， 提示：通分得， 2 2 m x y = 22 2 yx x  ，根据恒等式的意义得， 2xm  ；9. 7，提示：由 a+b=3， ab=1，得 7,92,9)( 22222  baabbaba ，将 a b + b a 通分得， 7 22  ab ba ； 10.-3，提示：将 3464 1  ， 344 m ，得 3m ；11. 24.9 10 ;12.(1)1,1(2)任意输入 一个不为 0 的数，输出的结果均为 1，提示：程序为：  xx xx )( 2 1； 三、13.（1） 2 1 2y （2）． 4 2 2 m m   （3） 4 4 27 256 b a ，（4） 1 1x  14. 5， 15.解：原式 1211 )1( 1 )1( 2    aaaa aa a a ，当 0a 时，原式=2×0-1= -1. 16.2 分式的运算同步测试题 B （B）卷答案： 一、1.D，提示： 1 22 2   x x 化简得 1 2 x ，其值为整数则 21,11  xx 或 ，解得 x =2， 0，-1，3；2.D，提示：由零指数幂和负指数幂的定义得，      03 02 x x ，得      3 2 x x 故选 D； 3.B，提示：化简得 324 ba ，整体代入得 a8b4=（ 93) 2224 ba ，故选 B；4.B，提示： 将 baba  111 化 简 得 ，（ ,,) 222 abbaabba  即 再 将 b a a b  化 简 为 1 22  ab ba ； 二、5.5，1，-1，提示：分类讨论即当 505,0  aaa 即 ；当 115,1 5  aaaaa 时，为任意数，即 成 立 ； 当 为偶数5,1  aa ， 即 11 5  aaa 时， 成立；6.-1，提示：将结论化简得 120082007 11  yx ；7.1， ;40 1 8. 8 1 ，提示：∵ ,0x ∴分子分母都除以 ,2x 得 8 1 13 1 1)1( 1 11 1 1 3 2 2 2 24 2         xx x xxx x 三、9. nxnxnxnx  1 )1( 1 )]1()[( 1 ； 解： )2008)(2007( 1 )3)(2( 1 )2)(1( 1 1 1  xxxxxxx  = 2007 1 2008 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 1  xxxxxxx  = 2008 1 x 10. 解： 4 1)4 4 2 2 22   xx x x x = 1 )2)(2( )2)(2( 4 )2)(2( 1 )2)(2( 4)2( 22    xx xx x xxxx xx = 42 x 把 2008x 看成了 2008x 时，结果一样. 11. 解： 2 1)1()2( 23   x xx = 2 2)2( 2 1)12()2( 2323    x xxx x xxx = .45)2(2 )2()2( 22 3   xxxxx xxx 因为 200452  xx ，所以 2 1)1()2( 23   x xx =2004+4=2008 16.2 分式的运算同步测试题 C 参考答案： 一、1，B；2，B；3，D；4，D；5，A；6，D；7，D；8，D；9，B；10，C. 二、11，分子和分母的公因式约去、分子与分母分解因式、约去分子与分母的公因式； 12，分子的积、分母的积、除式的分子分母、相乘；13，25b2c、－ 23a b d 、1；14，x+3.； 15， ba b  4 ；16，xy；17， 2 2 2 a c d .提示：原式＝a2× 1 b ×b× 1 c × 1 c × 1 d × 1 d ＝ 2 2 2 a c d ；18， x≠－2，－3 和－4. 三、19，（1） 2 2 9 16 c z ，（2）a+b+c，（3） m m 3 ，（4） ba ba 3  ； 20，（1） yx3 2 9 ，（2） yx236 ，（3） yx zyx   ，（4）    y yyyx 11 2  ； 21 ，（ 1 ） 化 简 结 果 是 ： 1 1 x 值 为 ： 5. （ 2 ） 2 2 2 2 12 4 4 a b a b a b a ab b      ＝ 2( 2 ) 12 ( )( ) a b a b a b a b a b      ＝ 2a b a b a b a b    ＝ 2a b a b a b     ＝ b a b .答案不惟一，如，当 a＝b＝1 时，原式＝ 1 1 1 ＝ 1 2 ； 22，（1）因为－ 5 2 x y ÷ 3x y ＝ 7 3 x y ÷(－ 5 2 x y )＝－ 9 4 x y ÷(－ 7 3 x y )＝…＝－ 2x y ，所以任意一 个分式除以前面一个分式的规律是恒等于－ 2x y .（2）因为已知的一列分式可知分式的分母 的指数依次增加 1，分子的指数是分母指数的 2 倍加 1，并且分母的指数是偶数的分式带有 “－”号，所以第 7 个分式应该是 15 7 x y ； 23，（1）“丰收 2 号”小麦单位面积产量高，（2） 1 1   a a ； 24， 21 12 mm mm   ； 25，（1）A 玉米试验田面积是(a2－1)米 2，单位面积产量是 1 500 2 a 千克／米 2；B 玉米试 验田面积是(a－1)2 米 2，单位面积产量是 2 500 ( 1)a  千克／米 2；因为 a2－1－(a－1)2＝2(a－1)， 而 a－1＞0，所以 0＜(a－1)2＜a2－1，所以 1 500 2 a ＜ 2 500 ( 1)a  ，即 B 玉米的单位面积产量高. (2) 2 500 ( 1)a  ÷ 1 500 2 a ＝ 2 500 ( 1)a  × 500 12 a ＝ 2 ( 1)( 1) ( 1) a a a    ＝ 1 1   a a ，所以高的单位面积产 量是低的单位面积产量的 1 1   a a 倍. 26，（1）A·B＝( 3 2 x x  － 2 x x  )× 2 4x x  ＝ 2 ( 4) ( 2)( 2) x x x x    ×   2 2x x x   ＝2x+8.（2） 答案不惟一.如，“逆向”问题一：已知 A·B＝2x+8，B＝ 2 4x x  ，求 A . 解答 A＝(A·B) ÷B＝(2x+8)· 2 4x x  ＝ 2 2 2 8 4 x x x   .“逆向”问题二：已知 A·B＝2x+8，A＝ 3 2 x x  － 2 x x  . 求 B.解答 B＝(A·B)÷A＝(2x+8)÷( 3 2 x x  － 2 x x  )＝(2x+8)÷ 2 ( 4) ( 2)( 2) x x x x    ＝2(2x+8)× ( 2)( 2) 2 ( 4) x x x x    ＝ 2 4x x  .“逆向”问题三：已知 A·B＝2x+8，A+B＝x+10，求(A－B)2.解答 (A－B)2＝(A+B)2－4AB＝(x+10)2－4(2x+8)＝x2+12x+68. 16.3 分式方程同步测试题 A 答案 一、1.B，提示：关键方程里含有分母，分母里含有未知数 x ，故有③④⑤；2.C 3.C；4.B， 提示：把 x 2 看做整体，原方程转化为：（1- 0)2 2  x ，解得 x 2 =1；5.D，提示：A 去分母时 漏乘，B、C 去分母没变号，故选 D；6.C，提示：本题等量关系“两周内读完”，设他读前一 半时平均每天读 x 页则他读后一半时每天读（ x +21）页，他读前一半用的时间为 x 140 天， 读后一半用的时间为 21 140 x 天，又因为要在两周读完，因此列方程： 21 140140  xx =14；7.B， 提示：有增根说明 01 x 即 1x ，把 1x 代入 ,01  xm 得 2m ，故选 B；8.C， 提示：去分母得，A 1234  xBBxAx ，根据恒等的意义得，      134 2 BA BA 解得      1 1 B A ；9.B，提示：由已知可得 ,bxa  代入 ba ba   中；10.D； 二、11.0；12.3，提示：根据题意得 x x   5 1 = 2 1 解得 3x ；13. 2x ，提示：分式方程有增 根说明 02 x ，即 2x ；14. 21 2 vv tv  ；15. 3 215 3 15  xx ；提示：等量关系是汽车所用 的时间=自行车所用时间- 3 2 小时；16. 9 41 . 17. 0.5 1 x当 时， ,5 32 2 1   a a 解得 5 1a ； 18. 21 212 vv vv  ；19.6 或 12，提示：因为方程有增根，所以这个增根必使公分母 ,0)3)(3(  xx 所 以 3x ， 或 3x ， 在 原 方 程 的 两 边 都 乘 以 )3)(3(  xx ， 去 分 母 得 3)3(2  xxm . 当 3x 时 ， 33)33(2 m ， .6m 当 3x 时 ， 33)33(2 m ， 12m ；20.   2400 2400 8 1 20%x x    ； 三、21.(1)无解 （2）x= －1； （3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x2-4)=1， 化简，得 2x=-3，x= 3 2 经检验，x= 3 2 是原方程的根． 22.6 天，提示；设工程规定日期为 x 天，根据题意得， 13 2  x x x ，解得，经检验 6x 是原分式方程的根；23.解：设红方装甲部队的实际行进速度.为每小时 xkm ，由题意得， .190150 10 150  xx 解这个方程得， 60,40 21  xx ，经检验 60,40 21  xx 都是原 方程的解，但实际条件限制 ,40,50  xx 24.解；设她第一次在供销大厦买了 x 瓶酸奶，根据题意，得 2.0 5 8 40.1850.12  xx 解得 5x ，经检验， 5x 是原方程的根， 25.（1） ;, 21 c mxcx  （2）结论：方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边与左边形式完全相同， 只是其中的未知数换成了某个常数，这样左边的未知数就等于右边的常数和倒数. 1 2 1 2  aayy 可 变 形 为 1 211 21  aayy ， ∴ 1 21,11  ayay 或 ，即 1 1 21   a ayay 或 ，经检验： 1 1, 21   a ayay 都是原 方程的解，∴原方程的解为 1 1, 21   a ayay 16.3 分式方程课时练第一课时答案： 一、1.A；2.B，提示：A、C 方程尽管有分母，但都是常数；D 方程尽管含有分母，但分母中 不含有未知数，由定义知这三个都不是分式方程，只有 B 符合分式方程的条件. 3.A；4.A；5.B，提示：去分母得：6 yxyx 223  ，解得 4 5 4,5  x yyx ，故选 B； 6.C 二、7. 0，8. 2x ，提示：分式方程有增根说明 02 x ，即 2x ；9. 7； 二、10.无解 11.x= －1；12.无解 13.x= －1；（解分式方程别忘了验根） 16.3 分式方程课时练第二时答案： 一、1. D，提示：顺水速度为 ba  （千米/时），逆水速度为（ )ba  千米/时；再根据时间 = 速度 路程 ；2. C，提示：本题等量关系“两周内读完”，设他读前一半时平均每天读 x 页则他 读后一半时每天读（ x +21）页，他读前一半用的时间为 x 140 天，读后一半用的时间为 21 140 x 天，又因为要在两周读完，因此列方程： 21 140140  xx =14；3. A； 二、4. 3，提示：根据题意得 x x   5 1 = 2 1 ； 5. 21 2 vv tv  ；6. 3 215 3 15  xx ；提示：等量关系是汽车所用的时间=自行车所用时间- 3 2 小时； 三、7.由题意，得 1x x = 11 3 2 x ，解得 2x ，检验：当 2x 时（ 03)1)(1  xx ∴ 2x 是分式方程的根.因此当 2x 时 A=B. 8..解：设参加旅游的学生人数是 x 人，全票价为 a 元，又题意得， 32 31 %80)2( %75)19   ax aax ，消去 a 可得， 32 31 )2(8.0 1)1(75.0   x x 解此方程得， 8x 经检验， 8x 是原方程的解且符合题意. 9.设工程规定日期为 x 天，根据题意得， 13 2  x x x ，解得，经检验 6x 是原分式方程 的根； 10.解：设红方装甲部队的实际行进速度.为每小时 xkm ，由题意得， .190150 10 150  xx 解这个方程得， 60,40 21  xx ，经检验 60,40 21  xx 都是原方程的解，但实际条件限 制 ,40,50  xx 11. 解；设她第一次在供销大厦买了 x 瓶酸奶，根据题意，得 2.0 5 8 40.1850.12  xx 解得 5x ，经检验， 5x 是原方程的根， 16.3 分式方程同步测试题 A 卷答案： 一、1.B，提示：关键方程里含有分母，分母里含有未知数 x ，故有③④⑤；2.D，提示：先 把 x=1 代入方程得 4 3 1 32   a a ，解得 3a ，故选 D；3.C；4.B，提示：把 x 2 看做整体， 原方程转化为：（1- 0)2 2  x ，解得 x 2 =1；5.D，提示：A 去分母时漏乘，B、C 去分母没变 号，故选 D；6.C，提示：本题等量关系“两周内读完”，设他读前一半时平均每天读 x 页则 他读后一半时每天读（ x +21）页，他读前一半用的时间为 x 140 天，读后一半用的时间为 21 140 x 天，又因为要在两周读完，因此列方程： 21 140140  xx =14； 二、7.0；8.3，提示：根据题意得 x x   5 1 = 2 1 解得 3x ；9. 2x ，提示：分式方程有增根说 明 02 x ，即 2x ；10. 21 2 vv tv  ；11. 3 215 3 15  xx ；提示：等量关系是汽车所用的时 间=自行车所用时间- 3 2 小时；12. 9 41 . 三、13.(1)无解（2）)x= －1；14.6 天，提示；设工程规定日期为 x 天，根据题意得， 13 2  x x x ，解得，经检验 6x 是原分式方程的根；15.解：设红方装甲部队的实际行 进速度.为每小时 xkm ，由题意得， .190150 10 150  xx 解这个方程得， 60,40 21  xx ， 经检验 60,40 21  xx 都是原方程的解，但实际条件限制 ,40,50  xx 16.3 分式方程同步测试题 B 卷答案： 一、1.B，提示：有增根说明 01 x 即 1x ，把 1x 代入 ,01  xm 得 2m ，故选 B；2.C，提示：去分母得，A 1234  xBBxAx ，根据恒等的意义得，      134 2 BA BA 解得      1 1 B A ；3.B，提示：由已知可得 ,bxa  代入 ba ba   中；4.D； 二、5. 0.5 1 x当 时， ,5 32 2 1   a a 解得 5 1a ；6. 21 212 vv vv  ；7.6 或 12，提示：因为方程 有增根，所以这个增根必使公分母 ,0)3)(3(  xx 所以 3x ，或 3x ，在原方程的 两 边 都 乘 以 )3)(3(  xx ， 去 分 母 得 3)3(2  xxm . 当 3x 时 ， 33)33(2 m ， .6m 当 3x 时 ， 33)33(2 m ， 12m ； 8.   2400 2400 8 1 20%x x    ； 三、9. 解：方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x2-4)=1， 化简，得 2x=-3，x= 3 2 经检验，x= 3 2 是原方程的根． 10.（1）设乙工程队单独完成建校工程需 x 天，则甲工程队单独完成建校工程需1.5x ，依题 意得： 1 1 1 1.5 72x x   ． 解得 120x  ，经检验 120x  是原方程的解，1.5 180x  ， 所以甲需 180 天，乙需 120 天； （2）甲工程队需总费用为 0.8 180 0.01 180 145.8    （万元）， 设乙工程队施工时平均每天的费用为 m ，则120 120 0.01 145.8m  ≤ ， 解得 1.205m≤ ， 所以乙工程队施工时平均每天的费用最多为1.205万元． 11.（1） ;, 21 c mxcx  （2）结论：方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边与左边形式完全相同， 只是其中的未知数换成了某个常数，这样左边的未知数就等于右边的常数和倒数. 1 2 1 2  aayy 可 变 形 为 1 211 21  aayy ， ∴ 1 21,11  ayay 或 ，即 1 1 21   a ayay 或 ，经检验： 1 1, 21   a ayay 都是原 方程的解，∴原方程的解为 1 1, 21   a ayay 17.1 反比例函数课时练第一课时答案： 一、1.D，提示：直接利用定义法判断；2.C，提示：根据条件列出关系式，A 为 2 4 3 as  ， B 为 A=90  -B，C 为 x sy  ，D 为 A=180  -2B，只有选项 C 满足 kx ky ( 是常数， 0k ） 形式；3.D 4.B； 二、5.-6；6.-2；提示：根据反比例函数的定义得，      01 1132 a aa 符合条件的是 2a ； 7. xy 20 ；8. RI 36 ；9. 体积为 1 500 3cm 的圆柱底面积为 2cmx ，那么圆柱的高 (cm)y 可以表示为 1 500y x  （其它列举正确均可）； 三、11. 由 ,vts  得 vt 100 ，图略（注意 0v ，只画在第一象限即可. 12. 解：设 1 1 ky x  ， 2 2 ( 2)y k x  ，则 y = 1k x 2 ( 2)k x － 。 根据题意有： 1 2 1 2 1 53 k k k k      ，解得： 1 3k  ， 2 4k   ，∴ 3 4 8y xx    当 x＝5 时,y 3 20 85 ＝ ＋ － = 312 5 . 17.1 反比例函数课时练第二课时答案： 1. 双曲线，2，二、四，提示：因为-4＜0，所以图象位于二、四象限；2. ,1k 提示： 由图象两支分布在第二、四象限内得到 01k ，即 1k ；3.-6；4.B，提示：先求出反 比例函数的解析式为 xy 18 ，将选项代入解析式，正确的是 B；5.C，提示：又-1＜0，图 象位于二、四象限，又因为 ,0x 所以图象位于第二象限，故选 C；6. .y2＜y3＜y1，提示： 根据反比例函数的性质得到；7. 图①，理由是：粮食产量 a 必为正数，故其图象应在第一、 三象限.人口数量x也为正数,故图象必在第一象限，又xy=a,则其图象应为双曲线的一个分支， 综上，可知 y 与 x 的函数图象必为图①.；8. y=－ x3 2 ；9. y= x 6 ，提示：设 A 点的坐标（ yx, ）， 根据三角形的面积得 6,32 1  xyxy ，所以反比例函数的比例系数为 6k ，所以 xy 6 ； 10.C；11.D； 12. （1）反比例函数，y= x 6 .（2）该函数性质如下： ①图象与 x 轴、y 轴无交点； ②图象是双曲线，两分支分别位于第二、四象限； ③图象在每一个分支都朝右上方延伸，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. 13. （ 1 ） 把 1,  ymx 代 入 xy 3 ， )1,3(,3,13 Amm  ， 把 1,3  yx 代 入 xykkkxy 3 1,3 1,13,  ，（2）解方程组                  1 3,1 3 3 3 1 2 2 1 1 y x y x xy xy ，故另一交 点为（-3，-1）； 14. （1）由已知设交点 A（m，6） 3 2 6 3 6 m k k m                m k 4 3 5     y x y x1 23 10 8， （2）由方程组 3 10 8 x y x y        得 3 10 8 02x x   x x1 22 4 3    ， 由图像可知当 x x y y     2 4 3 0 1 2或 时 15.解：（1）∵点 ( 21)A  ， 在反比例函数 my x  的图象上， ( 2) 1 2m     ∴ ．∴反比例函数的表达式为 2y x   ． ∵点 (1 )B n， 也在反比例函数 2y x   的图象上， 2n  ∴ ，即 (1 2)B ， ． 把点 ( 21)A  ， ，点 (1 2)B ， 代入一次函数 y kx b  中，得 2 1 2 k b k b        ， ，解得 1 1 k b      ， ．∴一次函数的表达式为 1y x   ． （2）在 1y x   中，当 0y  时，得 1x   ．∴直线 1y x   与 x 轴的交点为 ( 1 0)C  ， ． ∵线段OC 将 AOB△ 分成 AOC△ 和 BOC△ ， 1 1 1 31 1 1 2 12 2 2 2AOB AOC BOCS S S          △ △ △∴ ． 17.1 反比例函数同步测试 A 答案： 一、1.D，提示：三个面积都等于比列系数的一半，故都相等选 D；2. B，提示：利用正比例 函数解析式求出交点的纵坐标为 2，即交点的坐标为（1，2），再代入 ky x  求得 02 k ， 图象位于一、三象限，故选 B；3. B，提示：因为 0m ，即 0,0  mm 两种情况讨论， 当 0m 时，一次函数在一、二、三象限，反比例函数在一、三象限，所以 B 正确；4.C， 提示：设 A 点的坐标为（ ,a ）（ ,0,0  a ）则 B 点的坐标为（  ,a ）AC= 2 ，BC= a2 ， 所以三角形的面积为 102222 1   aa ； 二、5.-1，提示：根据定义得 1,1,12 22  mmm ，又因为 1,01  mm ，所以 1m ；6.1，2，提示：根据题意得 ,3,03  kk 则满足该条件的正整数 k 的值是 1，2； 7.答案不唯一： ,1k ，提示：由反比例函数的性质可知， 0k ，只要符合 0k 任意 一个即可；8. 100y x  ； 三、9. 解：设 1 1 ky x  ， 2 2 ( 2)y k x  ，则 y = 1k x 2 ( 2)k x － 。 根据题意有： 1 2 1 2 1 53 k k k k      ，解得： 1 3k  ， 2 4k   ，∴ 3 4 8y xx    当 x＝5 时,y 3 20 85 ＝ ＋ － = 312 5 . 10.（1） vp 96 ；（2）当 8.0v 时， 120p （千帕）；（3）∵当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸，∴ 144p ，∴ 14496  v ， 3 2 144 96 v （ 3m ） 11. 解：（1） 点 A 横坐标为 4 ，当 4x  时， 2y  ．点 A 的坐标为 (4 2)， ．  点 A 是直线 1 2y x 与双曲线 ( 0)ky kx   的交点 4 2 8k    ． （2）解法一：如图 B-11-1，  点C 在双曲线上，当 8y  时， 1x  点C 的坐标为 (18)， ． 过点 A C， 分别做 x 轴， y 轴的垂线，垂足为 M N， ，得矩形 DMON ． 32ONDMS 矩形 ， 4ONCS △ ， 9CDAS △ ， 4OAMS △ ． 32 4 9 4 15AOC ONC CDA OAMONDMS S S S S        △ △ △ △矩形 ． 解法二：如图 B-11－2， 过点C A， 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E F， ，  点C 在双曲线 8y x  上，当 8y  时， 1x  ． 点C 的坐标为 (18)， ．点C ， A 都在双曲线 8y x  上， 4COE AOFS S  △ △ COE COA AOFCEFAS S S S   △ △ △梯形 ． COA CEFAS S △ 梯形 ． 1 (2 8) 3 152CEFAS      梯形 ， 15COAS △ ． （3） 反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形， OP OQ  ，OA OB ．四边形 APBQ 是平行四边形． 1 1 24 64 4POA APBQS S    △ 平行四边形 ． 设点 P 横坐标为 ( 0 4)m m m 且 ，得 8( )P m m ， ． B-11－2 O x A y B FE C B-11－3 O A y B F Q E P x B-11-1 O x A y D M N C 过点 P A， 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E F， ，  点 P A， 在双曲线上， 4PQE AOFS S  △ △ ． 若 0 4m  ，如图 B-11－3， POE POA AOFPEFAS S S S   △ △ △梯形 ， 6POAPEFAS S  △梯形 ． 1 82 (4 ) 62 mm       ∴ · ． 解得 2m  ， 8m   （舍去）． (2 4)P ， ． 若 4m  ，如图 B-11－4， AOF AOP POEAFEPS S S S   △ △ △梯形 ， 6POAPEFAS S  △梯形 ． 1 82 ( 4) 62 mm        ， 解得 8m  ， 2m   （舍去）． (81)P ， ． 点 P 的坐标是 (2 4)P ， 或 (81)P ， ． 17.1 反比例函数同步测试题 B 参考答案： 一、1，B；8，A；3，D；4，D；5，A；6，C. 二、7，2；8，－2；9，＜；10，4；11，2；12，2 三、13，略；14，（1）y＝－ 18 x ，（2）－6；15，y＝－ 1 9 x2+ 6 3x  （x≠－3），16，y ＝2x，y＝ 2 x ；17，y＝ 2 x ，y＝ 1 3 x－ 1 3 ；18，（1）设 P（a， a 2000 ），则 PA＝| a 2000 |，PB ＝|a|，四边形 PAOB 的面积 S＝PA·PB＝| a 2000 |·|a|＝（－ a 2000 ）（－a）＝2000，（2）面 积不变. 17.1 反比例函数同步测试题 C 答案： 一、1，A；2，A；3，C；4，C；5，D；6，C. 二、7，k＞0；8，＜ 2 3 、＞ 2 3 ；9，4；0，在一、三象限.提示：因为 m2+2m+3＞0，则 a＞0，点 P(1，a)在图象上，则 k＞0；11，答案不唯一，比例系数小于 0；12，一、二、四. 三、13，y＝－ 4 x ，二、四，在每一象限内 y 随 x 的减小而减小，略，点（－3，0），（－3， －3）都不在图象上；14，y＝－ 9 x ；15，y＝－ 6 x (x＜0)；16，（1）b＞a，（2）a＞b，（3） 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，（4）当位于同一分支上时，y1＜y2，当位于不同分支 上时，y1＞y2； 17，【答案】设 A 点的坐标为（x,y）,由题意得 2x+2y=8, B-11－4 O x A y B F EQ P 整理得 y= 4-x 即 A 的坐标为（x,4-x）,把 A 点代入 3 ( 0)y xx   中，解得 x=1 或 x=3 由此得到 A 点的坐标是（1,3）或（3,1） 又由题意可设定直线l 的解析式为 y=x+b（b≥0） 把（1,3）点代入 y=x+b，解得 b＝2 把（3,1）点代入 y=x+b，解得 b=－2，不合要求，舍去 所以直线l 的解析式为 y=x+2 18，y＝－ 6 x ，（2）x＝－3， 17.2 实际问题与反比例函数课时练 A 第一课时答案： 1.（1） ;100)3(;20)2(;400  xhxy 2.D，提示：由题意，得 )0(250  xxy ，故选 D； 3.C，提示：根据面积公式 S= x Syxy 2,2 1  ； 4.B 5.V= 3/5;5.9 mkg ，提示：设 V= 5.99.15,  kVk ，代入得，由图象得  ； 6.解：（1）由于一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y （ )m 是面条的粗细（横截面积） S（ )2mm 的反比例函数，所以可设 )0(  kS ky ，由图象知双曲线过点（4，32），可得， ,128k 即 y 与 S 的函数关系式为 . 128 Sy  （2）当面条粗 1.6 2mm 时，即当 S=1.6 时， ,806.1 128 y 当面条粗 1.6 2mm 时，面条的总 长度为 80 米. 7.（1）U=IR=4×5=20V，函数关系式是：I= .20 R （2）当 I=1.5 时，R=4  .； （3）当 R=10 时，I=2A； （4）因为电流不超过 10A，由 I= .20 R 可得 2,1020  RR ，可变电阻应该大于等于 2  .. 17.2 实际问题与反比例函数课时练 A 第二课时答案： 1.（1）∵ ,500nS ∴ Sn 500 ，∴ n 与 S 成反比例函数 （2）80×80=0.64（ )2m .当 S=0.64 时， 78225.78164.0 500500  Sn 由于蓝、白两种地板砖数相等，故需这蓝、白两种地板砖各 391 块. 2.（-1，-2）提示：A、B 两点关于原点对称.；3.2；4.2004.5，提示：点在函数图象上，点的 坐标将满足函数关系式，又点 P1，P2，P3，……，的纵坐标将满足 为正整数）nn (12  ，当 ,400912005212,2005  nn 即 P2005 的纵坐标为 4009，因为 P2005 在 xy 6 的图 象上，所以 4009= ,6 2005x 所以 ,4009 6 2005 x 即 P2005 的横坐标是 4009 6 ，因为 Q2005 是由 P2005 作 y 轴的平行线得到，可知 Q2005 的横坐标为 4009 6 ，而 Q2005 在函数 xy 3 图象上，所以 5.2004 4009 6 3 2005 y ； 5. ．解：（1） 1600w t  （2） 1600 1600 4t t  1600 1600( 4) ( 4) t t t t    2 6400 6400( ) ( 4) 4t t t t   ．或 6.解（1）画图略，由图象猜测 xy与 之间的函数关系为反比例函数，所以设 )0(  kx ky 把 30,10  yx 代入得： xyk 300,300  ，将其余各点代入验证均适应，所以 xy与 之 间的函数关系式为： y x 300 （2）把 24y 代入 y x 300 得 5.12x cm 所以当弹簧秤的示数为 24 时，弹簧秤与 0 点的距离是 12.5 cm ，随着弹簧秤与 0 点的距离 不断减小，弹簧秤上的示数不断增大 17.2 实际问题与反比例函数课时练 B 答案： 一、1.B，提示； y 将选项分别代入解析式正确的是 B；2. A，提示：根据反比例函数定义得 到 1422  mm ，解得 13  mm 或 ，由 1,01  mm 即为 ，故选 A；3.D，提示： 由当 x1＜0＜x2 时，有 y1＜y2，得到 2 1,021  mm ，故选 D；4.D，提示：根据反比例函 数的性质求得；5.D。,提示：因为 y 与 x 成反比例函数关系，三角形的底与高都必须大于 0， 所以 x＞0 的图像在第一象限。 6.C，提示：因为 m=ρV，当 V＝30 时，m＝30ρ，故为正比例函数。7.D，提示：其中 S1＝ S2＝S3＝|k|；8.C；9. D；10.C，提示：因为 ,02 k 则- ,02 k ，故在二、四象限，选 C；11.C； 12.C； 二、13. )0(100  xxy ，提示：由于 y 与 x 成反比例，则 x ky  ，当 y =400 时， x =0.25， 所以 10025.0400 k ，又焦距不能为负值，故 )0(100  xxy ；14.二、四，提示： 将点（ )2, nn  代入 x ky  得 22nk  ，又因为 02,0,0 22  nnn ，所以图象在二、 四象限；18.-2，提示：由双曲线经过 A、B 得        2 14 km k ，解得 m =2，由 baxy  经过 A、 B 得      ba ba 22 4 解得，  ba 2 -2；16. 反比例函数 vt 300 ；17. 0.5； 三、18.根据长方形的面积公式可得其解析式应为 ),0(42  xxy 用描点法画出其图象（略） 19. （1）.由△OAB 的面积为 3，可以求出反比例函数的系数为 6，所以函数解析式为 xy 6 （2）.根据这些条件不足以求出一次函数的关系式。由于点 A 的坐标并不确定，所以无法确 定一次函数中的 m，也就不能确定一次函数的关系式。实际上一次函数与反比例函数的交点 以及坐标原点所构成的三角形的面积应该是一个定值，从这点也可以看出一次函数的解析式 不是唯一的。 20. 1）反比例函数 2） xy 12 3）近似于 6 与 4 即可 21.（1）设 A、B 两地之间的路程为 s 千米，则 s =75×4=300（千米） ∴ y 与 x 之间的函数关系式是 xy 300 . （2）当 y =3 时，则有 3= 100,300 xx ，∴返回时车速至少是 100 千米/小时. 22.（1）设 R UI  ，把 R=5，I=2 代入，即可求得 U=10，即 I 与 R 之间的函数关系式 I= R 10 ； （2）当 I=0.5 时，0.5= 20,10 RR （欧姆），因此电阻 R 的值为 20 欧姆.. 23.（1）略；（2）设 x ky  ，把 20,3  yx 代入 x ky  中，得 xyk 60,60  分别把（4， 15）（5，12），（6，10）代入上式均成立；∴ y 与 x 之间的函数关系式是 xy 60 ； （3）W=（ xxxyx 1206060)2()2  ，当 10x 时，W 有最大值. 第一课时 18.1 勾股定理答案： 1.A，提示：根据勾股定理得 122  ACBC ，所以 AB 222 ACBC  =1+1=2； 2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m ，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了 4 步. 3. 13 60 ，提示：设斜边的高为 x ，根据勾股定理求斜 边为 13169512 22  ，再利用面积法得， 13 60,132 11252 1  xx ； 4. 解：依题意，AB=16 m ，AC=12 m ， 第 2 题图 在直角三角形 ABC 中,由勾股定理, 222222 201216  ACABBC ,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ), 故旗杆在断裂之前有 32 m 高. 5.8 6. 解:如图,由题意得,AC=4000 米,∠C=90°,AB=5000 米,由勾股定理得 BC= 300040005000 22  (米), 所以飞机飞行的速度为 540 3600 20 3  (千米/小时) 7. 解：将曲线沿 AB 展开，如图所示，过点 C 作 CE⊥AB 于 E. 在 R 90,  CEFCEFt ，EF=18-1-1=16（ cm ）， CE= )(3060.2 1 cm ， 由勾股定理，得 CF= )(341630 2222 cmEFCE  8. 解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得 2543 22222  ABACBC 在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13. 9. 解：延长 BC、AD 交于点 E.（如图所示） ∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8， 设 AB= x ，则 AE=2 x ，由勾股定理。得 33 8,8)2( 222  xxx 10. 如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A′，连接 A′B 交 MN 于点 P， 则 A′B 就是最短路线. 在 Rt△A′DB 中，由勾股定理求得 A′B=17km 11.解：根据勾股定理求得水平长为 m12513 22  ， 地毯的总长 为 12+5=17（m），地毯的面积为 17×2=34（ )2m ， A BD P N A′ M 第 10 题图 铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元） 12. 解：如图，甲从上午 8：00 到上午 10：00 一共走了 2 小时， 走了 12 千米，即 OA=12． 乙从上午 9：00 到上午 10：00 一共走了 1 小时， 走了 5 千米，即 OB=5． 在 Rt△OAB 中，AB2=122 十 52＝169，∴AB=13， 因此，上午 10：00 时，甲、乙两人相距 13 千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系． 18.2 勾股定理的逆定理答案： 一 、 1.C ； 2.C ； 3.C ， 提 示 ： 当 已 经 给 出 的 两 边 分 别 为 直 角 边 时 ， 第 三 边 为 斜 边 = ;10262 22  当 6 为斜边时，第三边为直角边= 2426 22  ；4. C； 二、5.90°提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为 90°.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为 .541292 1  7. 直角，提示： 2222222 864182100,1002,100)( cbaabbaba  得 ；8. 13 60 ，提 示 ： 先 根 据 勾 股 定 理 逆 定 理 判 断 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ， 再 利 用 面 积 法 求 得 AD 132 15122 1 ； 三、9. 解：连接 AC，在 Rt△ABC 中， AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5. 在△ACD 中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169， 而 AB2=132=169， ∴ AC2＋CD2=AB2，∴ ∠ACD=90°． 故 S 四边形 ABCD=S△ABC＋S△ACD= 2 1 AB·BC＋ 2 1 AC·CD= 2 1 ×3×4＋ 2 1 ×5×12=6＋30=36. 10. 解：由勾股定理得 AE2=25，EF2=5， AF2=20，∵AE2= EF2 +AF2， ∴△AEF 是直角三角形 11. 设 AD=x 米，则 AB 为（10+x）米，AC 为（15-x）米，BC 为 5 米，∴(x+10)2+52=(15-x)2， 解得 x=2，∴10+x=12（米） 12. 解：第七组， .1131112,112)17(72,15172  cba 第 n 组， 1)1(2),1(2,12  nncnnbna 19.1 平行四边形课时练 课时一答案： 一、1.B，提示：平行四边形的两邻角的和为 180°，所以它们的角平分线的夹角为 90°； 2.B，提示：设相邻两边为 ,, ycmxcm 根据题意得      2 12 yx yx ，解得      5 7 y x ；3. B，提示： O A B 根据平行四边形的性质对角相等得∠D＝∠ABC=120°，邻角互补得∠CAB+∠CAD+∠D=180°， 则∠CAB=180°-32°-120°=28°；4. D，提示：根据平行四边形的对角相等，得对角的比值相 等故选 D；5.A；6.B，由题意得∠A=60°，根据平行四边形的邻角互补，得∠B=180°-60°=120°； 二、7.3 个即四边形 ABCB′，C′BCA，ABA′C 都是平行四边形；8.24 ，CD=12；9.100°， 提示：先求出对角为100°，另一组对角为80°，所以较大的为100°；10.45°，135°，45°，135° 11.4；15.70°，提示：根据平行四边形的对角互补得∠B=∠ADC=110°，则∠FDC=70°，再根据三 角形的外角等于其不相邻的两个角的和，故为∠E+∠F=70°； 三、13. 证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°,又∵∠A＝∠C,∴∠C+∠D=180°, ∴AD∥CB, ∴四边形 ABCD 是平行四边形.. 14.解:在□ABCD 中, ∠A＝∠C, 又∵∠A+∠C=160°∴∠A＝∠C=80° ∵在□ABCD 中 AD∥CB,∴∠A+∠B=180°, ∴∠B＝∠D=180°-∠A=180°-80°=100° 15. 解：∵ ABCD,∴BC=AD=12,CD=AB=13，OB= 2 1 BD ∵BD⊥AD,∴BD= 22 ADAB  = 22 1213  =5 ∴OB= 2 5 16. AE=CF；证明∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AF∥CE，又∵AE∥CF ∴四边形 AECF 为平行四边形，AE=CF； 课时二答案： 1. 10＜x＜22，提示：根据三角形的三边关系得 112 15  x ，解得 2210  x ；2. B；3. BC=AD=4.8；4.A；提示：根据面积法求出邻边的比为 3∶2，则邻边为 7.5，5，则面积为 7.5 ×2=15 cm 2 ； 5. 证明：∵ ABCD,∴OA=OC,DF∥EB∴∠E=∠F,又∵∠EOA=∠FOC ∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF； 6. OE=OF, 在□ABCD 中，OB=OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠BEO＝∠DFO， 又∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴OE=OF. 7.D，提示：因为平行四边形的对角线把平行四边形分成面积相等的 4 个小三角形，所以平 行四边形的面积为 4；8.C，提示：根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边，若 yx  ，则        1222 1222 yx yx ，所以符合条件的 yx, 可能是 18 与 20；9.30 2cm ；10.8; 11.证明：∵DE∥AB，DF∥AC ∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴DF=AE，又∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC，又∵AB=AC,∴∠B= ∠C，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴DF+DE=AE+CE=AC=AB. 12. 解：（1）有 4 对全等三角形． 分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA． （2）证明：∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF， ∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO． 在ABCD 中，AB∥CD， ∴∠BAO=∠DCO，∴∠EAM=∠NCF． 课时三答案： 一、1.C；2.B，提示：AD∥BC，添加条件①③④能使四边形 ABCD 成为平行四边形;3.C；4.B； 二、5. AD=BC（或 AB∥CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D）；6.30°，6，9；7.对角线互相平分；8. 3； 三、9.在 ABCD 中，AD=CB,AB=CD,∠D＝∠B，∵E、F 分别为 AB、CD 的中点，∴DF=BE， 又∵AB∥CD，AB=CD，∴AE=CF，∴四边形 AECF 是平行四边形. 10. 证明：∵ ABCD ∴AB=CD,AB∥CD ∴∠1=∠2 AE⊥BD,CF⊥BD ∴∠AEB=∠CFD=90°,AE∥CF ∴△AEB≌△CFD,∴AE=CF ∴AECF 为平行四边形 11. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD 又∵AE=CF，∴OE=OF ∴四边形 BFDE 是平行四边形. 12. 猜想： BE DF∥ ， BE DF 证明： 证法一：如图第 12－1．  四边形 ABCD 是平行四边形． BC AD  1 2   又 CE AF BCE DAF△ ≌△ BE DF  3 4   BE DF ∥ 证法二：如图第 12－2． 连结 BD ，交 AC 于点 O ，连结 DE ， BF ．  四边形 ABCD 是平行四边形 BO OD  ， AO CO 又 AF CE AE CF  EO FO  四边形 BEDF 是平行四边形 BE DF ∥ A B C D E F 第 12-2 Ｏ A B C D E F 第 12-1 2 3 4 1 第 1 题图 课时四答案： 1.C;2.D，提示：根据三角形中位线的性质定理： ;2 1,2 1 DEFLMNABCDEF LLLL   3.26 或 22，提示：当两腰上的中位线长为 3 时，则底边长为 6，腰长为 10，三角形的周长为 26， 当两腰上的中位线长为 5 时，则底边长为 10，腰长为 6，三角形的周长为 22；4.平行四边形 ； 5.平行四边形； 6.证明：(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CF． ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵E 是 AD 的中点，∴ AE=DE． ∴△ABE ≌△DFE． (2)四边形 ABDF 是平行四边形．∵△ABE ≌△DFE ∴AB=DF 又 AB∥CF．∴四边形 ABDF 是平行四边形． 7.解：∵BA∥DE，BD∥AE，∴四边形 ABDE 是平行四边形 ∴AB=DE，BD=AE，又 EF=FC 且 AF∥BC，EC⊥BC，∴DE=DC， ∴EA+AE+EF=BD+DC+CF，∴二人同时到达 F 站. 8.证明：(1)∵BD=CD，∴∠BCD=∠1．∵ ∠l=∠2，∠BCD=∠2．∴CD∥AB． (2) ∵ CD∥AB ∴∠CDA=∠3． ∠BCD=∠2=∠3．且 BE=AE．且∠CDA=∠BCD．∴DE=CE． 在△BDE 和△ACE 中， DE=CE，∠DEB=∠CEA，BE=AE．∴△BDE≌△ACE (3) ∵△BDE≌△ACE ∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°． ∴∠ACH=90°一∠BCH 又 CH⊥AB，．∴ ∠2=90°一∠BCH ∴∠ACH=∠2=∠1=∠4．AF=CF ∵∠AEC=90°一∠4，∠ECF=90°一∠ACH ∠ACH=∠4 ∠AEC=∠ECF．CF=EF．∴ EF=AF O 为 AB 中点，OF 为△ABE 的中位线 ∴OF= 1 2 BE 9. 线段 AC 与 EF 互相平分.理由是：∵四边形 ABCD 是平行四边形. ∴AB∥CD,即 AE∥CF，AB=CD，∵BE=DF，∴AE=CF ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∴AC 与 EF 互相平分. 10.是平行四边形,△AOE≌△COF. 11 是平行四边形，四边形 AMCN、BMDN 是平行四边形. 19.1 平行四边形同步测试题 A (A)参考答案: 一、1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.C 8.D 二、1.125°，55°，125°，55°; 2. 5, 5; 3. 3; 4. 12cm ; 5.12, 8; 6.1; 7.20; 8. BE=DF．（或∠BAE=∠CDF 等）. 三、1. 解：因为 △ AOB 的周长为 25， 所以 OA+BO+AB=25， 又 AB=12，所以 AO+OB=25-12=13， 因为平行四边形的对角线互相平分，所以 AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26 2. 解:因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AD//BC, 因为点 E 在 AD 上,点 F 在 BC 上, 所以 AE//CF, 又因为 AE=CF, 所以四边形 AFCE 是平行四边形. 3. 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AO=CO= 2 1 AC，OB=OD． 因为 BD⊥AB，所以在 Rt△ABO 中，AB=12cm，AO=13cm． 所以 BO= 522  ABAO ．所以 BD=2B0=10cm． 所以在 Rt△ABD 中，AB=12cm，BD=10cm． 所以 AD= 61222  BDAB (cm)． 4. （1）因为 DF∥BE， 所以∠AFD＝∠CEB． 又因为 AF=CE， DF=BE， 所以 △ AFD≌⊿CEB． （2）由(1) △ AFD≌⊿CEB 知 AD=BC，∠DAF＝∠BCE ， 所以 AD∥BC ， 所以四边形 ABCD 是平行四边形． (B)参考答案: 一、1. B 2.B 3.C 4.D 二、1.8cm; 2.3; 3.2; 4.7 三、1. (1)∠DAB=∠DCB 且∠ADC=∠ABC（或两组对角分别相等）； (2)AB=CD 且 AD=BC（或两组对边分别相等）； (3)OA=OC 且 OD=OB（或 O 是 AC 和 BD 的中点；或 AC 与 BD 互相平分；或对角线互 相平分）； (4)AD//BC 且 AD=BC（或 AB//DC 且 AB=DC；或一组对边平行且相等）． (5) AB//CD 且∠DAB=∠DCB（或一组对边平行且一组对角相等） 2. 设计的方案如图所示，可分别取 AB、AC 边的中点 D、E，连接 DE，过点 C 作 CF∥AB， 交 DE 的延长线于 F，把 △ ABC 切割后，补在 △ CFE 的位置上，就可焊接成□BCFD．理由如 下： 因为 E 是 AC 的中点， 所以 AE=CE. 因为 CF∥AB， 所以∠ADF＝∠F． 又因为∠AED＝∠CEF， 所以 △ ADE≌△CFE, 所以 AD=CF． 因为 D 是 AB 的中点, 所以 AD=BD，故 BD=CF， 又因为 CF∥AB，所以四边形 BCFD 是平行四边形． 3. ①设 AE=CF,如图(1), 已知□ABCD,AE=CF(补充条件) 求证:四边形 EBFD 是平行四边形(提出结论) 证明:连结 BE、FD， 在□ABCD 中，AD//BC，AD=BC， 又 AE=CF， 所以 ED//BF，ED=BF (1) (2) 所以四边形 EBFD 是平行四边形. ②设 AE=BF.如图(2), 已知□ABFE 是平行四边形,AE=BF(补充条件) 求证:四边形 ABFE 是平行四边形. 证明:连结 EF. 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AD//BC,AE//BF, 又 AE=BF, 所以四边形 ABEF 是平行四边形 19.1 平行四边形同步测试题 B 答案： 一、填空题 1. 122°，1.5cm 2. 3, □AEDF □BDEF □DCEF 3. 边 DC,△CDA,180° 4. 平行四边 5. 平行四边形 6. 10 二、选择题 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.B 13.D 14.C 三、15. 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD∥BC, AD∥BC 又因为 AE=CF,所以 ED=FB,四边形 AFCE 是平行四边形 所以 AF∥EC．同理：BE∥FD．所以四边形 MFNE 是平行四边形． 16. 我认为她说的对．理由略． 17. 能实现．如图：□EFGH 是要求的图形 19.2 特殊的平行四边形课时练 课时一答案： 1.C；2.D，提示：由勾股定理求得斜边为： 13512 22  ，斜边的中线长为 5.62 13  ；3.18， 提示：AB=5,BC=12,AC=13, cmACABOBOAABL ABO 18513  ；4. A，提 示：DE=3,AB=AE=6,在直角三角形 ADE 中，∠DAE=30  ，由折叠的性质得∠BAF=∠EAF=30,设 BF= x ，则 AF=2 x ， 342,32,364 22  xAFxxx ；5.3；6.14； E A B C D H G F 7 证明：∵四边形 ABCD 为矩形,∴AC=BD,BO=CO, ∵ BE AC , CF BD ,∴∠BEO=∠CFO=90  ,又∵∠BOE=∠COF 则 BOE COF ∴BE=CF 8.连接 AC、BD，AC 与 BD 相交于点 O，连接 OE 在□ABCD 中，AO=OC,BO=DO. 在 DEBRt 中，OE= BD2 1 , 在 AECRt 中，OE= AC2 1 ,∴BD=AC, ∴□ABCD 为矩形. 9. 猜想结果：图 2 结论 S△PBC=S△PAC+S△PCD； 图 3 结论 S△PBC=S△PAC-S△PCD 证明：如图 2，过点 P 作 EF 垂直 AD，分别交 AD、BC 于 E、F 两点． ∵ S△PBC=1 2 BC·PF=1 2 BC·PE+1 2 BC·EF =1 2 AD·PE+1 2 BC·EF=S△PAD+1 2 S 矩形 ABCD S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+1 2 S 矩形 ABCD ∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD 10. (1)证明：∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEO 又∵∠BCE=∠ECO ∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC,同理 OC=OF，∴OE=OF (2)当 O 为 AC 中点时，AECF 为矩形，∵EO=OF(已证)，OA=OC ∴AECF 为平行四边形，又∵CE、CF 为△ABC 内外角的平分线 ∴∠EOF=90°，∴四边形 AECF 为矩形 课时二答案： 1. B；2. C; 3.答案不唯一： AB AD AC BD ， 等；4.5；5.C；6.24，提示：由已知得菱形 一 边 长 为 5 cm ， 由 菱 形 的 对 角 线 互 相 平 分 且 垂 直 ， 所 以 另 一 条 对 角 线 的 长 为 )(632452 22 cm ，∴S 菱= )(24682 1 2cm ；7.①②⑥或③④⑤或③④⑥； 8.四边形 AEDF 是菱形，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAF， ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAE＝∠DAF，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=ED. 又∵DE∥AC，DF∥AB ∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴平行四边形 AEDF 是菱形. 9. □AFCE 是菱形，△AOE≌△COF，四边形 AFCE 是平行四边形，EF⊥AC 10.. 解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ． ∵点 E 、F 分别是 AB、CD 的中点，∴AE＝ 2 1 AB ，CF＝ 2 1 CD ． ∴AE＝CF ．∴△ADE≌△CBF ． （2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC ． ∵AG∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE＝BE ．∵AE＝BE ， ∴AE＝BE＝DE ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°． ∴四边形 AGBD 是矩形． 课时三答案： 1.A；2.A; 3.∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°中的任一条件即可;4. D；5. 3 2 ； 6. 1 32 ;7.105; 8.证明：(1)∵四边形 ABCD 是正方形.∴BC=DC，∠BCD=90° 在 Rt△BCE 和 Rt△DCF 中，BC=DC，CE=CF,∴Rt△BCE≌Rt△DCF (2)∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE,∴∠CFE= 2 1 (180°－90°)=45° ∵Rt△BCE≌Rt△DCF,∴∠CFD=∠BEC=60° ∴∠EFD=∠DFC－∠EFC=15° 9. (1) 证明： 如图，∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90o， 又 ∠CDG=90o +∠ADG=∠ADE， ∴ △ ADE≌△CDG． ∴ AE=CG． （2）猜想： AE⊥CG． 证明： 如图， 设 AE 与 CG 交点为 M，AD 与 CG 交点为 N． ∵ △ ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG． 又∵ ∠ANM=∠CND， ∴ △ AMN∽△CDN． ∴ ∠AMN=∠ADC=90o．∴ AE⊥CG． 10. 解： HG HB ． 证法 1：连结 AH ， ∵四边形 ABCD ， AEFG 都是正方形． D C A B G H F E （第 10 题）  90B G    °． 由题意知 AG AB ，又 AH AH ． Rt Rt ( )AGH ABH HL △ ≌ △ ， HG HB∴ ． 证法 2：连结GB ． ∵四边形 ABCD AEFG， 都是正方形， 90ABC AGF   ∴ °． 由题意知 AB AG ． AGB ABG  ∴ ． HGB HBG  ∴ ． HG HB∴ ． 11. 解：（1）连结 DF． 因为点 E 为 CD 的中点，所以 1 2 EC EC AB DC   ． 据题意可证△FEC∽△FBA，所以 1 4 CEF ABF S S    ． （2 分） 因为 S△DEF=S△CEF，S△=S． （2 分） 所以 4 5 AEF AEF ADF DEFADEF S S S S S      四边形 ． （2）连结 DF． 与（1）同理可知， CEF ABF S S   = 4 9 ，S△DEF= 1 2 S△CEF， ADF ABFS S  ， 所以 ABF ABF ADEF DEF ADF S S S S S       = 9 11 ． （3）当 CE：ED=3：1 时，=16 19 ． 当 CE：ED=n：1 时， = 2 2 ( 1) ( 1) n n n    （= 2 2 2 1 3 1 n n n n     ）． （4）提问举例：①当点 E 运动到 CE：ED=5：1 时，△ABF 与四边形 ADEF 的面积之比是 多少？ ②当点 E 运动到 CE：ED=2：3 时，△ABF 与四边形 ADEF 的面积之比是多少？ ③当点 E 运动到 CE：ED=m：n（m，n 是正整数）时，△ABF 与四边形 ADEF的面积之比 是多少？ 19.3 梯形同步测试题答案 一、1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.D 7.B 8.D 9. A 10.B 二、11. 135°; 12. BD，∠CDA，∠ABC，等腰梯形的对角线相等，等腰梯形同一底上的 两个角相等; D C A B G H F E （第 10 题） 13. 3; 14. ∠B=∠C 等; 15.2; 16.30°; 17.15; 18.②④. 19.108°； 20. 8 5 ㎝ 三、21. 解:因为 ABCD 是等腰梯形,AD=3cm,BC=5cm,过点 A 作 AE⊥BC 于 E, 因为∠B=45°,∠BAE=45°,所以 BE=AE,BE= 2 1 (5-3)=1,所以 AE=1,所以 S 梯形 ABCD= 2 1 (5+3)×1=4(cm2). 22. 解：因为 AB//CD，DC=AD=BC，所以∠1=∠2，∠1=∠3，∠DAB=∠B， 所以∠1=∠2=∠3， 所以∠B=∠DAB=∠2+∠3=2∠2， 又 AC⊥BC，所以∠2+∠B=90°，所以∠B=60°， 所以∠DAB=60°，∠ADC=∠BCD=120°. 23. 证明:因为 AB//CD,BE=DC,且 BE 在 AB 的延长线上,所以 CD//BE,CD=BE,所以四边形 DBEC 是平行四边形,所以 CE=DB, 因为 AD=BC,所以梯形 ABCD 是等腰梯形,所以 AC=BD, 所以 AC=CE. 24.过点 A 作 AE//DC 交 BC 与 E,] ∵AD//BC，四边形 AEDC 是平行四边形． ∴EC=AD=3，DC=AE，∴BE=BC-CE=7-3=4． ∵等腰梯形两腰相等，∴AB=CD=4, ∴AE=AB=BE=4，∴ △ ABE 是等边三角形，∴∠B=60º． 25.选第一种铝板，最多能剪甲、乙两种零件 2 个，共计 4 个. 剩余边角料面积=500×300－（100+300）×200－（100+300）×150=10000 ㎜ 2 人教版八年级数学下册知识点总结 第十六章 二次根式 第一课时 (1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件. (2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当 a ≥0 时， 2 a = a ；能 运用这个性质进行一些简单的计算。 例 1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、 3 3 、 1 x 、 x （x>0）、 0 、 4 2 、- 2 、 1 x y 、 x y （x≥0，y≥0）． 解：二次根式有： 2 、 x （x>0）、 0 、- 2 、 x y （x≥0，y≥0）；不是 二次根式的有： 3 3 、 1 x 、 4 2 、 1 x y ． 例 2．当 x 是多少时， 3 1x  在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-1 ≥0， 3 1x  才能有意义． 解：由 3x-1≥0，得：x≥ 1 3 当 x≥ 1 3 时， 3 1x  在实数范围内有意义． 例 3．当 x 是多少时， 2 3x  + 1 1x  在实数范围内有意义？ 分析：要使 2 3x  + 1 1x  在实数范围内有意义，必须同时满足 2 3x  中的 ≥0 和 1 1x  中的 x+1≠0． 解：依题意，得 2 3 0 1 0 x x      由①得：x≥- 3 2 由②得：x≠-1 当 x≥- 3 2 且 x≠-1 时， 2 3x  + 1 1x  在实数范围内有意义． 例 4(1)已知 y= 2 x + 2x  +5，求 x y 的值．(答案:0.4) (2)若 1a  + 1b  =0，求 a2004+b2004 的值．(答案:2) 21.1 二次根式(2) 第二课时 1． a （a≥0）是一个非负数； 2．（ a ）2=a（a≥0）． 3、 2a ＝a（a≥0）． 例 3 在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 答 案 ：          3232)3;222)2;33)1 2  xxxxxxx 21.1 二次根式(3) 掌握      )0( )0(2 a aaaa （3）例题： 1、 4 4 2、  2)5.1( 1.5 3、  2)1(x x-1 （x≥1） 4、 2 2(3 ) ; (2) 6 9( 3)x x x     =π-3 5、  442 xx x-2 （ 2x ） （4）如果 2(x-2) =2-x 那么 x 取值范围是（ A ） A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2 （5）实数 p 在数轴上的位置如图所示： 化简： 22 )2()1( pp  =p-1+2-p=1 一、选择题 1． 2 21 1(2 ) ( 2 )3 3   的值是（ C）． A．0 B． 2 3 C．4 2 3 D．以上都不对 2．a≥0 时， 2a 、 2( )a 、- 2a ，比较它们的结果，下面四个选项中正 确的是（A ）． A． 2a = 2( )a ≥- 2a B． 2a > 2( )a >- 2a C． 2a < 2( )a <- 2a D．- 2a > 2a = 2( )a 二、填空题 1．- 0.0004 =___-0．02_____． 2．若 20m 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是____5____． 三、综合提高题 · · ·· 0 1 2p 1．先化简再求值：当 a=9 时，求 a+ 21 2a a  的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+ 2(1 )a =a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+ 2(1 )a =a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，____甲 ___的解答是错误的，错误的原因是____甲没有先判定 1-a 是正数还是负数_． 2．若│1995-a│+ 2000a  =a，求 a-19952 的值． （提示：先由 a-2000≥0，判断 1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值） 由已知得 a-2000≥0，a≥2000 所以 a-1995+ 2000a  =a， 2000a  =1995，a-2000=19952， 所以 a-19952=2000． 3. 若-3≤x≤2 时，试化简│x-2│+ 2( 3)x  + 2 10 25x x  。答案(10-x) 第三讲 二次根式的乘法 教学目标： 使学生能掌握并能运用二次根式的乘法法则 baab  = baab ( 0, 0)a b  并进行 相关计算；同时掌握积的算术平方根的性质： baab  ( 0, 0)a b  ；能熟 练应用。 利用二次根式的乘法法则，化简二次根式，使被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式。（最简二次根式） 二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变. 例 3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） ( 4) ( 9) 4 9       （2） 124 25 × 25 =4× 12 25 × 25 =4 12 25 × 25 =4 12 =8 3 解：（1）不正确． 改正： ( 4) ( 9)   = 4 9 ＝ 4 × 9 =2×3=6 （2）不正确． 改正： 124 25 × 25 = 112 25 × 25 = 112 2525  = 112 = 16 7 ＝4 7 一、选择题 1．若直角三角形两条直角边的边长分别为 15 cm 和 12 cm，那么此直角三 角形斜边长是（B ）． A．3 2 cm B．3 3 cm C．9cm D．27cm 2．化简 a 1 a  的结果是（C ）． A． a B． a C．- a D．- a 3．等式 21 1 1x x x    成立的条件是（A ） A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1 或 x≤-1 4．下列各等式成立的是（D ）． A．4 5 ×2 5 =8 5 B．5 3 ×4 2 =20 5 C．4 3 ×3 2 =7 5 D．5 3 ×4 2 =20 6 二、填空题 1． 1014 =13 6 _______． 2．自由落体的公式为 S= 1 2 gt2（g 为重力加速度，它的值为 10m/s2），若物 体下落的高度为 720m，则下落的时间是___12s ______． 第四讲 二次根式除法 一、教学目标： 1、 a b = a b （a≥0，b>0），反过来 a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 教学目标 2、二次根式运算的结果必须是最简二次根式，理解最简二次根式必须满足的条 件。 例 2．化简： （1） 3 64 （2） 2 2 64 9 b a （3） 2 9 64 x y （4） 2 5 169 x y 分析：直接利用 a b = a b （a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 解：（1） 3 64 = 3 3 864  （2） 2 2 64 9 b a = 2 2 64 8 39 b b aa  （3） 2 9 64 x y = 2 9 3 864 x x yy  （4） 2 5 169 x y = 2 5 5 13169 x x yy  1．计算 1 1 21 2 13 3 5   的结果是（ A ）． A． 2 7 5 B． 2 7 C． 2 D． 2 7 2、化去分母中的根号： （1） 5 3 （2） 8 1 （3） 312 5 a b )0,0(  ba 例 3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根 式： 1 2 1 = 1 ( 2 1) 2 1 2 1( 2 1)( 2 1)      = 2 -1， 1 3 2 = 1 ( 3 2) 3 2 3 2( 3 2)( 3 2)      = 3 - 2 ， 同理可得： 1 4 3 = 4 - 3 ，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （ 1 2 1 + 1 3 2 + 1 4 3 +…… 1 2002 2001 ）（ 2002 +1）的值． 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理 化后就可以达到化简的目的． 解：原式=（ 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 +……+ 2002 - 2001 ）×（ 2002 +1） =（ 2002 -1）（ 2002 +1） =2002-1=2001 第五讲 二次根式的加减法（1） 教学目标： (1)使学生了解同类二次根式的概念, 掌握判断同类二次根式的方法。 (2)使学生能正确合并同类二次根式,进行二次根式的加减运算。 首先要对二次根式进行化简，然后考察根号下的被开方数：被开方数相同的就是 同类二次根式；被开方数不同的就不是同类二次根式。 1、在二次根式：① 12, ② 32 ③ 2 3 ；④ 27 3和 是同类二次根式的是（ C） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2、下列说法正确的是（ C ） A、被开方数不同的两个二次根式一定不是同类二次根式； B、 3 与 33 不是同类二次根式； C、 a 1 与 a 不是同类二次根式； D、被开方数完全相同的二次根式是同 类二次根式。 3、两个正方形的面积分别为 2 和 8.则这两个正方形边长和为__ 23 ________ 5、已知最简二次根式 152 3 2 a 和 17 2  a 是同类二次根式： ①求 a 的值 ②求它们合并后的结果 (a=1 或-1,合并后结果为 62 1 ) 多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘法 （1） ))(( baba  )0,0(  ba （a-b） 例 1．计算: （1）（ 6 + 8 ）× 3 （2）（4 6 -3 2 ）÷2 2 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用 整式的运算规律． 解：（1）（ 6 + 8 ）× 3 = 6 × 3 + 8 × 3 = 18 + 24 =3 2 +2 6 解：（4 6 -3 2 ）÷2 2 =4 6 ÷2 2 -3 2 ÷2 2 =2 3 - 3 2 例 2．计算 （1）（ 5 +6）（3- 5 ） （2）（ 10 + 7 ）（ 10 - 7 ） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中 仍然成立． 解：（1）（ 5 +6）（3- 5 ） =3 5 -（ 5 ）2+18-6 5 =13-3 5 （2）（ 10 + 7 ）（ 10 - 7 ）=（ 10 ）2-（ 7 ）2 =10-7=3 第十七章 勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2=c2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三 角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另 一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90° ∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 可表示如下： ∠A=30° ∠C=90° BC= 2 1 AB （3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 可表示如下：∠ACB=90° D 为 AB 的中点  CD= 2 1 AB=BD=AD 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄 影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边 的比例中项 ∠ACB=90° BDADCD 2  ABADAC 2 CD⊥AB ABBDBC 2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC 7、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 222 cba  ，那么这个 三角形是直角三角形。 8、命题、定理、证明 1、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。 2、命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题 假命题（错误的命题） 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。 3、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。 4、定理 A C B D 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 5、证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 6、证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 9、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 10 数学口诀. 平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。 完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首 ±尾括号带平方，尾项符号随中央。 第十八章 平行四边形 平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线 互相平分。 平行四边形的判定 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。 矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是 矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。 菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角 线平分一组对角。 菱形的判定定理： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线互相垂直的平 行四边形是菱形。 3.四条边相等的四边形是菱形。S 菱形=1/2×ab（a、b 为两条对 角线） 正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，又是菱形。 正方形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正方形。 2.有一个角是直角的菱形是正方形。 梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。 等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 解梯形问题常用的辅助线：如图 线段的重心就是线段的中点。 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。 三角形的三条 中线交于疑点，这一点就是三角形的重心。 宽和长的比是 2 1-5 （约为 0.618）的矩形叫 做黄金矩形。 第十九章 一次函数 一、常量与变量 在一个变化过程中，数值保持不变的量叫常量，数值发生改变的量叫变量。 实际上，常量就是具体的数，变量就是表示数的字母。（注意“π”是常量） 二、自变量与函数 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果 x 每取一个值，y 都有唯一确定．．．．的值与它 对应，那么，把 x 叫自变量，y 叫 x 的函数。 判断两个变量是否有函数关系就是“看对于自变量的每一个确定的值，函数值是否有惟 一确定的值和它对应。” 三、函数值 如果 x=a 时，y=b，那么把“y=b 叫做 x=a 时的函数值”。 四、表示函数的方法 （一）解析式法 （二）列表法 （三）图像法 五、自变量的取值范围 在一个变化过程中，自变量允许取值的区域，叫自变量的取值范围。 六、自变量取值范围的求法 （一）对于解析式 1、解析式是整式。自变量取一切实数。 2、自变量在分母。取使分母不等于 0 的实数。 3、自变量在根号内 （1）在 内。自变量取一切实数。 （2）在 内。取使根号内的值为非负数的实数。 （二）对于实际问题 自变量的取值要符合实际意义。 在一个函数解析式中，同时有几种代数式时，函数的自变量的取值范围应是各种代数式 中自变量的取值范围的公共部分 例：求函数 中自变量 x 的取值范围。 解：要使 有意义， 必须 且 即， 。 所以 中自变量 x 的取值范围是。 说明：求使函数有意义的自变量的值，就是求函数自变量的取值范围。 七、 函数图象的画法步骤 （一）列表。 X … -2 -1 0 2 2 … Y （二）描点。以对应的 x、y 作为点（x，y），把每个点描在平面直角坐标系中。 （三）连线。把描出的点按照自变量由小到大的顺序，用平滑的线．．．．连结起来。 八、正比例函数 1、定义：形如 （k 是常数， ）的函数叫做正比例函数。 2、图象：是经过（0,0）与（1，k）的直线。 3、性质： （1） （2） 九、一次函数 （一）定义：形如 b 的函数叫做一次函数。 因为当 b=0 时，y=kx，所以“正比例函数是特殊的一次函数”。 （二）图象：是经过（ ，0）与（0，b）两点的直线。因此一次函数 y=kx＋b 的图象也称 为直线 y=kx＋b. 其中，（ ，0）是直线与 x 轴的交点坐标，（0，b）是直线与 y 轴的交点坐标。 （三）性质：（如下图） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 （四）l1：y=k1x+b1 与 l2：y=k2x+b2 的关系 1、k1=k2 l1 2 ； 说明：当 k1=k2，b1=b2 时，l1 与 l2 重合。 从 （1）b>0,向上平移，（2）b<0,向下平移。 反之，从 （1）b>0,向下平移，（2）b<0,向上平移。 2、k1 2 l1 与 l2 相交；当 k1 2=-1 时，l1 l2。 3、求 l1 与 l2 的交点坐标就是 解关于 x、y 的二元一次方程组 （五）一次函数与二元一次方程组的关系 因为二元一次方程组中的两个二元一次方程都可以化为两个一次函数解析式，所以两个 一次函数图象的交点坐标就是原二元一次方程组的解。因此，可以通过两个一次函数图象交 点坐标求出二元一次方程组的解。 （六）一次函数与一元一次方程的关系 因为 与 x 轴相交于一点，此时 y=0，得到 ，这是个一元 一次方程。所以一元一次方程的解，就是对应的一次函数图象与 x 轴交点的横坐标。即可以 通过画一次函数的图象求出对应的一元一次方程的解。 （七）一次函数与一元一次不等式的关系 因为一次函数的图象与 x 轴相交与一点，在 x 轴上方的部分，直线上的点对应的函数值 y 是正数，即 ; 在 x 轴下方的部分，直线上的点对应的函数值 y 是负数，即 ;即可以通过画一次函数的图象求出对应的一元一次不等式的解集。 （八）判定点是否在函数图象上（或函数图象是否经过点）的方法 将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，如 果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上． （九）用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； （2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数 为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. （十）点在函数图象上（或函数图象经过点）的意思是“把点的横坐标 x 和纵坐标 y 代入函 数解析式中，等号成立”。 十、一次函数的应用 在实际生活中，应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的 函数解析式，再利用方程（组）求解. 第二十章 数据的分析 1.加权平均数：加权平均数的计算公式。 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要 程度。 学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数 的方法。 2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数， 则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个 数据的平均数就是这组数据的中位数。 3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。 4.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 5.方差：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。 6. 平均数：平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算 很少不受极端值的影响。 7.数据的收集与整理的步骤：1.收集数据 2.整理数据 3.描述数据 4. 分析数据 5.撰写调查报告 6.交流 知识点： 数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差 知识点详解： 1．解统计学的几个基本概念 总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查 的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。 2.平均数 当给出的一组数据，都在某一常数 a 上下波动时，一般选用简化平均数公式 ，其中 a 是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;当所给一组数据中有重 复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。 3.众数与中位数 平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数 据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低， 用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个 别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。 4.极差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方 法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。 5.方差与标准差 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均 值的情况，这个结果叫方差，计算公式是 s2= [(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2]； 方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整 齐。 一、选择题 1．一组数据 3，5，7，m，n 的平均数是 6，则 m，n 的平均数是（ ） A.6 B.7 C. 7.5 D. 15 2．小华的数学平时成绩为 92 分，期中成绩为 90 分，期末成绩为 96 分，若按 3：3：4 的比 例计算总评成绩，则小华的数学总评成绩应为（ ） A．92 B．93 C．96 D．92.7 3.关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中正确的是（ ） A.平均数一定是这组数中的某个数 B. 中位数一定是这组数中的某个数 C.众数一定是这组数中的某个数 D.以上说法都不对 4．某小组在一次测试中的成绩为：86，92，84，92，85，85，86，94，92，83，则这个小 组本次测试成绩的中位数是（ ） A．85 B．86 C．92 D．87.9 5．某人上山的平均速度为 3km/h，沿原路下山的平均速度为 5km/h，上山用 1h，则此人上 下山的平均速度为（ ） A.4 km/h B. 3.75 km/h C. 3.5 km/h D.4.5 km/h 6．在校冬季运动会上，有 15 名选手参加了 200 米预赛，取前八名进入决赛.已知参赛选手 成绩各不相同， 某选手要想知道自己是否进入决赛，只需要了解自己的成绩以及全部成绩 的（ ） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.以上都可以 二、填空题：（每小题 6 分，共 42 分） 7．将 9 个数据从小到大排列后，第 个数是这组数据的中位数 8．如果一组数据 4，6，x，7 的平均数是 5，则 x = . 9．已知一组数据：5，3，6，5，8，6，4，11，则它的众数是 ，中位数是 . 10．一组数据 12，16，11，17，13，x 的中位数是 14，则 x = . 11．某射击选手在 10 次射击时的成绩如下表： 环数 7 8 9 10 次数 2 4 1 3 则这组数据的平均数是 ，中位数是 ，众数是 . 12．某小组 10 个人在一次数学小测试中，有 3 个人的平均成绩为 96，其余 7 个人的平均成 绩为 86，则这个小组的本次测试的平均成绩为 . 13．为了了解某立交桥段在四月份过往车辆承载情况，连续记录了 6 天的车流量(单位：千 辆/日)：3．2，3．4，3，2．8，3．4，7，则这个月该桥过往车辆的总数大约为 辆. 知识点： 选用恰当的数据分析数据 知识点详解： 一：5 个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差）的数学内涵: 平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一组数据的平 均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。 众数：在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数 中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫 做这组数据的中位数． 极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。巧计方法，极差=最大值-最小值。 方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作 s2 .巧计方法:方差是偏差的平 方的平均数。 标准差：方差的算术平方根，记作 s 。 二 教学时对五个基本统计量的分析： 1 、 算术平均数不难理解易掌握。加权平均数，关键在于理解“权”的含义，权重是一 组非负数，权重之和为 1，当各数据的重要程度不同时，一般采用加权平均数作为数据的代 表值。 学生出现的问题：对“权”的意义理解不深刻，易混淆算术平均数与加权平均数的计 算公式。 采取的措施：弄清权的含义和算术平均数与加权平均数的关系。并且提醒学生再求平 均数时注意单位。 2 、 平均数、与中位数、众数的区别于联系。联系：平均数、中位数和众数都反映了 一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛。 区别：A 平均数的大小与 这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动。B 中位数仅与 数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较 大时，可用它来描述其集中趋势。C 众数主要研究个数据出现的频数，其大小只与这 组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数。 其中众数的学习是重点。 学生出现的问题：求中位数时忘记排序。对三种数据的意义不能正确理解。 采取的措施：加强概念的分析，多做对比练习。 3 、 极差，方差和标准差。 方差是重难点，它是描述一组数据的离散程度即稳定性 的非常重要的量，离散程度小就越稳定，离散程度大就不稳定，也可称为起伏大。极差、方 差、标准差虽然都能反映数据的离散特征，但是，对两组数据来说，极差大的那一组方差不 一定大；反过来，方差大的，极差也不一定大。 学生出现的问题：由于方差，标准差的公式较麻烦，在应用时常由于粗心或公式不熟 导致错误。 采取的措施：注意方差是“偏差的平方的平均数”这一重要特征。或使用计算器计算。 这些数据经常用来解决一些“选拔”、“决策”类问题。中考中常常综合在一起考察。 14．为了培养学生的环保意识，某校组织课外小组对该市进行空气含尘调查，下面是一天中 每 2 小时测得的数据(单位：g/m3 ): 0.04 0.03 0.02 0.03 0.04 0.01 0.03 0.04 0.03 0.05 0.01 0.03 (1)求出这组数据的众数和中位数； (2)如果对大气飘尘的要求为平均值不超过 0.025 g/m3，问这天该城市的空气是否符合 要求？为什么？ 15． A、B 两班在一次百科知识对抗赛中的成绩统计如下： 分数 50 60 70 80 90 100 人数(A 班) 3 5 15 3 13 11 人数(B 班) 1 6 12 11 15 5 根据表中数据完成下列各题： (1)A 班众数为 分，B 班众数为 分，从众数看成绩较好的是 班； (2)A 班中位数为 分，B 班中位数为 分，A 班中成绩在中位数以上的(包括中位 数)学生所占的百分比是 %，B 班中成绩在中位数以上的(包括中位数)学生所占的 百分比是 %，从中位数看成绩较好的是 班； (3)若成绩在 85 分以上为优秀，则 A 班优秀率为 %，B 班优秀率为 %，从优秀 率看成绩较好的是 班. (4)A 班平均数为 分，B 班平均数为 分，从平均数看成绩较好的是 班； 16.某酒店共有 6 名员工，所有员工的工资如下表所示： 人 员 经理 会计 厨师 服务员 1 服务员 2 勤杂工 月工资(元) 4000 600 900 500 500 400 (1)酒店所有员工的平均月工资是多少元？ (2)平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？若能，请说明理由.若不能，如何 才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？谈谈你的看法.