华师版数学八年级上册课件-第13章-复习课 52页

第13章 全等三角形 复习课 1．命题 判断某一件事情的语句叫做　 　. 注意两点“判断”和“语句”．所谓判断就是要作出肯定或否 定的回答，一般形式：“如果……，那么……”“若……， 则……”“……是……”等，但是，如“连结A、B两点”就不是 命题；所谓语句，要求完整，且是陈述句，不是疑问句、祈使句 等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题． 2．命题的组成 每个命题都是由　 　和　 　两部分组成的． 条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般 写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条 件，“那么”引出的部分是结论． 条件 结论 命题 3．命题的真假 命题有真有假，其中正确的命题叫做　 　；错误的命题叫 做　 　. 事实上，要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子， 使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反 例．要说明一个命题是真命题需根据基本事实和定理证明． 4．基本事实与定理 经过长期的实践总结出来，并把它们作为判断其他的命题真假 的原始依据，这样的真命题叫做　 　. 从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是 正确的，并可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的 真命题叫做　 　. 真命题 假命题 基本事实 定理 5．判定三角形全等 主要有五种方法：(1)全等三角形的定义：三边对应相等， 三角对应相等的两个三角形　 　；(2)三边对应相等的 两个三角形　 　(简记为：S.S.S.)；(3)两角和它们的夹 边对应相等的两个三角形　 　(简记为：A.S.A.)；(4)两 角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为： A.A.S.)；(5)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (简记为：S.A.S.)．若是直角三角形，则除了上述五种方法 外，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等(简记为：H.L.)． 全等 全等 全等 6．证全等三角形的思路 7．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边相等，对应角相等； (2)全等三角形的面积相等，周长相等； (3)全等三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)相等． 8．等腰三角形的性质和判定 (1)性质：等腰三角形的两底角相等，简写成“等边对等角”． (2)判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 边也相等,简称“等角对等边”. 9．等边三角形 (1)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的 等腰三角形是等边三角形． 10．尺规作图 把只能使用　 　这两种工具作几何图形的 方法称为尺规作图． 没有刻度的直尺和圆规 11．常见的基本作图 (1)作　 　等于已知线段；(2)作一个角等于　　角；(3) 作已知角的平分线；(4)过已知点作已知直线的　 　；(5)作已 知线段的垂直　 　线． 12．互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的　 　， 而第一个命题的结论是第二个命题的　 　，那么这两个命题 叫做互逆命题． 13．逆命题 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成　 　，并 将结论改成　 　，便可以得到原命题的逆命题． 一条线段 已知 垂线 平分 结论 条件 结论 条件 注意: 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结 论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题．但原命 题正确，它的逆命题未必正确． 14．逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一 个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的　 　定理． 注意: 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定 理．如“对顶角相等”就没有逆定理． 逆 15．垂直平分线 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的　 　. 它的逆定理是： 线段垂直平分线上的点到　 . 注意: 前面是线段垂直平分线的判定，后面是线段垂直平 分线的性质． 16．角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 它的逆定理是： 到角的两边距离相等的点在　 　. 注意: 前面是角平分线的性质，后面是角平分线的判定． 垂直平分线上 线段两端点的距离相等　 角的平分线上 【例1 】 下列命题中是假命题的是(　　) A．三角形的内角和是180° B．多边形的外角和都等于360° C．五边形的内角和是900° D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 解析:要说明一个命题是真命题，需要经过证明它是正确 的．对于A、B、D来说，都是经过证明，被认为是正确的，而 五边形的内角和是540°，所以C不正确，故选C. C 判定命题真假1 命题这部分内容的概念多、理论性强，看似杂乱无章，其 实只要抓住三点，一切问题也就迎刃而解．主要是识别命题、 找出命题的条件和结论、会判断命题的真假． 1.下列命题：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短； ③对顶角相等；④内错角相等.其中真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　 【练习】 DF DE EF ∠D ∠E ∠F角 角 角 边 边 边 AC= AB= BC= ∠A= ∠B= ∠C= 【例2】如图，已知△ABC≌△DEF， 请指出图中对应边和对应角. A B C F D E 提示：根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”解题. 全等三角形的性质2 两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边， 大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶 角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公 共角的，公共角一定是对应角. A B C E D 2.如图，已知△ABC≌△AED，若AB＝6，AC＝2, ∠B＝25°， 你还能说出△ADE中其他角的大小和边的长度吗？ 解：∵△ABC≌△AED， 　　 ∴∠E＝∠B＝25° （全等三角形对应角相等）， AC=AD=2，AB=AE=6 （全等三角形对应边相等）. 【练习】 【例3】已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB． ∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知）， 证明：在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（A.S.A. ）. B C A D 解析：运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进 行判定． 全等三角形的判定3 3.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF 全等的是( ) A.AB=DE，AC=DF，BC=EF B.∠A= ∠ D，∠ B= ∠ E，AC=DF C.AB=DE，AC=DF，∠A= ∠D D.AB=DE，BC=EF，∠ C= ∠ F D 【练习】 4.如图所示，AB与CD相交于点O, ∠A=∠B， OA=OB 添加条件 ， 所以 △AOC≌△BOD 理由是 . A O D C B ∠C=∠D 或∠AOC=∠BOD A.A.S.或A.S.A. 【练习】 【例4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交 AB于点E,EF∥BC交AC于点F, 求证：∠DEC=∠FEC. A B CD FE G 解析： 欲证∠DEC=∠FEC 由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE 只需要证明△DEG ≌ △DCG. 全等三角形的性质与判断的综合应用4 A B CD FE G 证明： ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °. 在△AGE和△AGC中， ∠AGE=∠AGC， AG=AG， ∠EAG=∠CAG， ∴ △AGE ≌ △AGC(A.S.A.). ∴ GE =GC. 【方法总结】利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个 角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到 等角转换，等角转换的途径很式，如：余角，补角的性质、平 行线的性质等，必要时要想到添加辅助线. 在△DGE和△DGC中， EG=CG， ∠ EGD= ∠ CGD=90 °， DG=DG， ∴ △DGE ≌ △DGC(S.A.S.).∴∠DEG = ∠ DCG. ∵EF//BC, ∴ ∠FEC= ∠ECD，∴ ∠DEG = ∠ FEC. 5.如图，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足为B，C，OB=OC， ∠BAO=∠CAO吗？为什么？ O C B A 解： AO平分∠BAC. 理由如下： ∵ OB⊥AB,OC⊥AC， ∴ ∠B=∠C=90°. 在Rt△ABO和Rt△ACO中， OB=OC，AO=AO， ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO （H.L.）. ∴ ∠BAO=∠CAO. 【练习】 【例5 】 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上， 旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两 根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ A B CD 解析：将本题中实际问题转化为数学问 题就是证明BD=CD.由已知条件可知 AB=AC，AD⊥BC. 利用全等三角形解决问题5 解：相等，理由如下： ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中， AD=AD， AB=AC， ∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(H.L.). ∴BD=CD. 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离，长度，还可 对某些因素作出判断，一般采用以下步骤： （1）先明确实际问题； （2）根据实际抽象出几何图形； （3）经过分析，找出证明途径； （4）书写证明过程. 6.小明想设计一种方案，测一下沼泽地的宽度AB的长度，如 图所示，他在AB的垂线BM上分别取出C，D两点，使CD＝BC ，再过D点作出BM的垂线DN，并在DN上找一点E，使A，C， E三点共线，这时所测得DE的长就是这块沼泽地的宽AB的长度 ，你能说明理由吗？ 解：在△ABC和△EDC中， ∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝DC， ∠ACB＝∠ECD，根据“A.S.A.”的判定定理可以 判定△ABC≌△EDC，再由全等三角形的对应边相等， 可得AB＝DE. 【练习】 【例6】 如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D.求证： ∠BAC=2∠DBC. A B C D )) 1 2 E 解析:根据等腰三角形“三线合一”的性质， 可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数 量关系. 证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E, 如图，则 11= 2= .2 BAC   ∵AB=AC, ∴AE⊥BC. ∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °. ∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °. ∴ ∠ 2= ∠DBC. ∴ ∠BAC= 2∠DBC. 等腰三角形的性质与判断6 等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明 线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边 三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三 角形的性质是证明线段之间的倍分关系的重要手段. 7.如图，在△ABC中，AC=BC, ∠ACB=90°,点D是AC上的一点，AE垂直 BD的延长线于点E,且AE= BD. 求证：BD平分∠ABC. 1 2 A B DE ) ) 1 2 【练习】 C CF A B DE ) ) 1 2 证明：延长AE交BC的延长线于点F,如图所示. ∵∠ACB=90°, ∴∠ACF=∠ACB=90°. ∵∠F+∠FAC=90°, ∴∠F+∠EBF=90°. ∵∠FAC=∠EBF. 在△ACF和△BCD中， ∠FAC=∠DBC, AC=BC, ∠ACF=∠BCD, ∴ △ACF≌△BCD(ASA). ∴ AF=BD. F A B DE ) ) 1 2 在△AEB和△FEB中， AE=FE, EB=EB, ∠AEB=∠FEB, ∴ △AEB≌△FEB(S.A.S.). C ∵AE= BD, 1 2 ∴ ∠ABE=∠FBE, 即BD平分∠ABC. ∴AE=EF. 【例7 】如图，等边△ABC中，点D，E，F分别同时从点A， B，C出发，以相同的速度在AB，BC，CA上运动，连结DE， EF，DF．求证：△DEF是等边三角形. 解析：根据等边三角形的性质得出 ∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA， AD=BE=CF，进一步证得BD=EC=AF， 即可证得△ADF≌△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质 得出DE=EF=FD，即可证得△DEF是等边三角形. 等边三角形的性质与判定7 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA. ∵AD=BE=CF， ∴BD=EC=AF. 在△ADF，△BED和△CFE中， AD＝BE＝CF, ∠A＝∠B＝∠C, BD＝CE＝AF, ∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴DE=EF=FD， ∴△DEF是等边三角形. 8.如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边 作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE.求 证：△DBC≌△EAC. 证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中， BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC， ∴△DBC≌△EAC. 【练习】 【例8】用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则 能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　　) A．S.S.S. B．A.S.A. C．A.A.S. D．角平分线上的点到角两边的距离相等 A 解析： 由作法可得OM＝ON，MC＝NC.∵OC＝OC， ∴△ONC≌△OMC(S.S.S.)．故选A. 尺规作图8 作角的平分线，实际上就是平分已知角．作已知角的平分 线的理论依据是判定三角形全等的“S.S.S.”. 9.如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图， 则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　） A．S.A.S. B．S.S.S. C．A.A.S. D．A.S.A. B 【练习】 【例9】 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判 断它们的真假． (1)如果a＝0，那么ab＝0； (2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的 垂直平分线上． 解析：写一个命题的逆命题，将命题的条件和结论交换 位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅． 命题与逆命题9 【方法归纳】（1）写出一个命题的逆命题关键是分清它 的条件和结论，然后将条件和结论互换.将命题的条件和结 论交换位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅．（2） 原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命 题，其逆命题不一定是假命题.要判断一个命题是假命题， 只要举出一个反例即可；而要判断一个命题是真命题，则需 通过推理论证得出. 解：(1)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果ab＝0， 那么a＝0.逆命题为假． (2)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果P在线段AB 的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．逆 命题是真命题． 10.写出下列命题的逆命题，并判断其真假： （1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b. 解：（1）逆命题：若x2=1，则x=1．是假命题. （2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题. 【练习】 【例10】 如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4.5,分别以A 、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于 点D，连结BD，则△BCD的周长是________．10.5 解析：由题意可知过这两点的直线其实是AB 边的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可 以得BD＝AD. ∵AC＝6，BC＝4.5， ∴△BCD的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC ＝6＋4.5＝10.5. 线段的垂直平分线10 本题集垂直平分线的画法、垂直平分线的性 质、整体的思想、转化的思想于一题求线段的长， 是中考的一个新的题型，希望引起读者注意． 11. 如图，已知△ABC，直线PM是线段AC的垂直平分线，射线 AP是∠BAC的平分线，P是两线的交点，且CP＝3 cm，PM＝2 cm，求点P到直线AB的距离及到点A的距离． 解：∵点P在线段AC的垂直平分线上，∴PA＝PC. ∵CP＝3 cm，∴PA＝3 cm. ∵AP是∠BAC的平分线， ∴点P到AB的距离等于PM的长． ∴点P到AB的距离等于2 cm，到点A的距离为3 cm. 【练习】 【例11】 如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+ ∠BAP=180 °，求证:PA=PC. B A C N )) 1 2 P 解析：由角平分线的性质易想到过点P 向∠ABC的两边作垂线段PE，PF，构 造角平分线的基本图形. E F 角平分线11 证明:过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. B A C N )) 1 2 P E F ∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °. ∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,又知∠BAP+∠EAP=180 °. ∴ ∠EAP=∠PCB. 在△APE和△CPF中， ∠PEA=∠PFC=90 °， ∠EAP=∠FCP， PE=PF， ∴ △APE ≌ △CPF(AAS)， ∴ AP=CP. 角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时 要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路是作垂线 段构造角平分线性质基本图. 12.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点， PA=PC ，求 证:∠PCB+ ∠BAP=180 °. B A C N )) 1 2 P E F 证明：过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °. PA=PC， PE=PF， 在Rt△APE和Rt△CPF中， ∴ Rt△PAE ≌ Rt△PCF(H.L.). ∴ ∠ EAP= ∠ FCP. ∵ ∠BAP+∠EAP=180 °， ∴ ∠PCB+ ∠BAP=180 °. 想一想：本题如果不给图，条 件不变，请问∠PCB与∠PAB有 怎样的数量关系呢？ 【练习】 分类讨论思想 【例12 】 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这 个等腰三角形各边的长. 解析：要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况. 本章的数学思想与解题方法12 【方法归纳】根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已 知条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰还是底 边时，要分两种情况才能使答案不致缺漏，同时，求出答案后 要和三角形的内角和定理及三角形三边关系对照，若不符合， 则答案不成立，要舍去，这样才能保证答案准确. 解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，根据 题意得 2x+x-8=20, 解得 x= , ∴x-8= ; 若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得 2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合题意. 故此等腰三角形的三边长分别为 28 3 4 3 28 cm ,3 28 cm ,3 4 cm.3 13.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长. 解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16； ②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14. 故这个三角形的周长为14或16. 【练习】 命题、定理 等腰三角形 全 等 三 角 形 等腰三角形的性质与判定 线段的垂直平分线的 性质定理及逆定理 作线段、作角、作角平分线、 作垂线、作线段的垂直平分线 三角形的全等 全等三角形的判定：S.A.S.、 A.S.A.、A.A.S.、S.S.S.、H.L. 尺规作图 全等三角形的性质：对 应边相等，对应角相等 逆命题与逆定理 等边三角形的性质与判定 角平分线性质定理 及逆定理