华师版数学八年级下册同步课件-第19章 矩形、菱形与正方形-19正方形 32页

第19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形， 在生活中无处不在. 你还能举 出其他的 例子吗？ 矩 形 〃 〃 矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什 么发现？ 正方形 1 正方形的性质 问题1 正方形 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什 么发现？ 问题2 邻边相等矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边 形叫正方形. ★正方形的定义 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形， ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 证一证 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD 相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 证一证 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是 特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. ★正方形的性质 ★平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 由于正方形既是菱形，又是矩形，因此： 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它 的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在 直线，以及过每一组对边中点的直线都是它 的对称轴. A B C D ★正方形的对称性 A D CB O 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的 等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. 例1 D A B C E 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形. 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE、△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°. 例2 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 B D 练一练 2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD 相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 ∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8. 2 2 2 2,AD AO OD   8 2 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开， 折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方 形 一组邻边相等 对角线互相垂直 2 正方形的判定 活动1 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO . ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴矩形ABCD是正方形. A B CD O 求证：对角线互相垂直的矩形是正方形. 证一证 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观 察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想 ：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方 形 一个角是直角 对角线相等 活动2 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴菱形ABCD是正方形. A B CD O 求证：对角线相等的菱形是正方形. 证一证 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角或 一组邻边相等 对角线相等 或对角线垂直 平行四 边形 正方形一组邻边相等 且一内角是直角 ★正方形的判定 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判 定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC C A B CD O 练一练 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边 上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗? 为什么? 解答：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可. 例3 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 .  证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 °， ∴四边形EDFC是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE=DG. 同理得DG=DF，∴ED=DF， ∴矩形EDFC是正方形. 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的 平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB. 求证:四边形CEDF为正方形. A B C D E F G 例4 如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC， 垂足为A，AF=AE． （1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)， 问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． （1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°， ∴∠BAF=∠EAD， 在△ADE和△ABF中， AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF , ∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE. 例5 （2）解：当点E运动到AC的中点时四边 形AFBE是正方形， 理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC， ∴BE⊥AC，BE=AE= AC， ∵AF=AE， ∴BE=AF=AE. 又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°， ∴BE∥AF， ∵BE=AF， ∴四边形AFBE为平行四边形， ∵∠FAE=90°，AF=AE， ∴平行四边形AFBE是正方形． 1 2 2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　　） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 3．在正方形ABCD中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . 4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB， 则∠EBC的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第3题 第4题 45° 5.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA =90°，请添加一个条件____________________， 可得出该四边形是正方形． AB=BC(答案不唯一) A B CD O 6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC， ②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中， 选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形， 其中错误的是_________________（只填写序号）．②③(答案不唯一) 7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线， AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE. 在Rt△ABC中， ∴FC＝AC－AF＝( －1)cm， ∴BE＝( －1)cm． 2 2 2cm,AC AB BC   2 2 8. 如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边 延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关 系？请说明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . ∴∠DCF=180°-∠BCE=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF. A B D C F E 延长BE交DF于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°, ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. A B D F E C M 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形 的性质 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是 直角的平行四边形叫做正方形. 5种判 定方法 三个角是直角 四条边相等 一 个 角 是 直 角 或 对 角 线 相 等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 ★平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结