北师大版数学初中八年级上册课件-第7章-7平行线的性质 26页

第七章 平行线的证明 7.4 平行线的性质 学习目标 1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点） 2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证 明．（难点） 两直线平行 1.同位角相等 2.内错角相等 3.同旁内角互补 【问题】 平行线的判定方法是什么？ 【思考】 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错 角、同旁内角各有什么关系呢? 平行线的性质 【问题1】根据“两条平行线被第三条直线所截，同 位角相等”.你能作出相关的图形吗？ A B C D E F M N 1 2 【问题2】你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 两条平行线被第三条 直线所截，同位角相等. 已知，如图，直线 AB∥CD,∠1和∠2是直线 AB、CD被直线EF截出的 同位角. 求证：∠1=∠2. 文字语言 符号语言 A B C D E F M N 1 2 【问题3】你能说说证明的思路吗？ A B C D E F M N G H 1 2 证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们 可以过点M作直线GH，使 ∠EMH= ∠2，如图所示. 根据“同位角相等，两直线平 行”，可知GH ∥ CD. 又因为AB ∥ CD，这样经过点M 存在两条直线AB和GH都与直线 CD平行.这与基本事实“过直线外 一点有且只有一条直线与这条直 线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立， 所以∠1 =∠2. 如果∠1 ≠ ∠2， AB与CD的位置 关系会怎样呢？ 一般地，平行线具有如下性质： ★定理1：两条平行线被第三条直线所截， 同位角相等. ▼简单说成：两直线平行，同位角相等. b 1 2 a c ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） ∵a∥b（已知） ▼应用格式: 【思考】利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结 论？ 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 尝试来证明一下 定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等. 1 2b c 3a 已知：直线a∥b，∠1和∠2是 直线a，b被直线c截出的内错角. 求证： ∠1=∠2. 证明：∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等). ∵∠1＝∠3(对顶角相等)， ∴∠1=∠2(等量代换) . 定理3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 1 2b c 3a 已知：直线a∥b，∠1和∠2是直 线a，b被直线c截出的同旁内角. 求证： ∠1+∠2=180°. 证明：∵a∥b (已知), ∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等). ∵∠1+∠3 =180° (平角等于180°), ∴∠1+∠2=180 ° (等量代换) . 证明：∵a∥b，∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥c. 定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这 两条直线也互相平行. 已知：如图，直线a,b,c被直线d所截，且 a∥b,c∥b. 求证：a∥c. 平行线的性质 【公理】 两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 【性质定理1】 两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 【性质定理2】 两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 . a b c 2 1 a b c 1 2 a b c 1 2 这里的结论,以后可以直接运用. ★证明一个命题的一般步骤： (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知,求证； (4)分析证明思路,写出证明过程. A D CB 【例1】如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD， AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何？ 解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D. 理由：∵AB∥CD （已知 ）, ∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）. 又 ∵ AD∥BC （已知）, ∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）, ∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）. 同理 ∠A=∠C. A D CB 【例2】已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D， 求证：AD∥BC. 证法一： ∵AB∥DC（已知）, ∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠B=∠D（已知）, ∴∠D+∠C=180°（等量代换）, ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）. A D CB 【例2】已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D， 求证：AD∥BC. 证法二： 如图，延长BA（构造一组同位角）, ∵AB∥CD（已知）, ∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）. ∵∠B=∠D（已知）, ∴∠1=∠B（等量代换）, ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）. 1 A D CB 【例2】：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D， 求证：AD∥BC. 证法三： 如图，连接BD（构造一组内错角）, ∵AB∥CD（已知）, ∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）. ∵∠B=∠D（已知）, ∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）, ∴∠2=∠3, ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）. 1 2 3 4 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的性质 线的关系 角的关系性质 角的关系线的关系 判定 【讨论】平行线三个性质的条件是什么？结论 是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论） 平行线的判定与性质 1.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( )B 【解析】 选项A中∠1与∠2是同旁内角，∠1+∠2=180°，错误; 选项B中，∠1与∠2是相等的，正确; 选项C中，∠1与∠2是AC与BD被AD所截而得的内错角， 错误; 选项D中，∠1与∠2是AC与BD被CD所截而得的同旁内 角，错误. 2.如图所示,下列推理不正确的是( ) A.∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180° B.∵∠1=∠2，∴AD∥BC C.∵AD∥BC，∴∠3=∠4 D.∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD C 【解析】A选项的根据是两直线平行，同旁内角互补；B 选项的根据是内错角相等，两直线平行；D选项的根据 是同旁内角互补，两直线平行；C选项中，AD∥BC，而 ∠3与∠4是AB与CD被BD所截的内错角. 解: ∠A =∠D.理由： ∵ AB∥DE( 　) ∴∠A=_______ ( ) ∵AC∥DF( ) ∴∠D=______ ( ) ∴∠A=∠D ( ) 4.如图1,若AB∥DE ,　AC∥DF，请说出∠A和∠D之 间的数量关系，并说明理由. P F C E BA D 图１ 已知 ∠CPE 两直线平行,同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行,同位角相等 等量代换 解: ∠A+∠D=180o. 理由： ∵ AB∥DE( 　) ∴∠A= ______ ( ) ∵AC∥DF( ) ∴∠D+ _______=180o ( ) ∴∠A+∠D=180o（ ） 如图2,若AB∥DE ,　AC∥DF，请说出∠A和∠D之 间的数量关系，并说明理由. 图2 F C E B A D P 已知 ∠CPD 两直线平行,同位角相等 已知 ∠CPD 两直线平行,同旁内角互补 等量代换 5.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°， ∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？ A B CD 解：因为梯形上、下底互相平行，所以 ∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补. 所以梯形的另外两个角分别是80° 、 65°. 于是∠D=180 °-∠A =180°-100°=80°, ∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°. 6.如图，在∆ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F， AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则∠EDF=∠BDF， 请说明理由. 解：因为CE⊥AB， DF⊥AB, 所以DF//EC, 所以∠BDF=∠1，∠EDF=∠3. 因为ED//AC，所以∠3=∠2, 所以∠EDF=∠2. 又CE平分∠ACB, 所以∠1=∠2, 所以∠BDF=∠EDF. 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 判定 性质 已知 得到 得到 已知