华师版数学八年级上册同步课件-第12章-12 因式分解 17页

第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 第2课时 公式法 1.什么叫多项式的因式分解? 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的 因式分解. 2.下列式子从左到右的变形，哪个是因式分解？哪个是 整式乘法？它们有什么关系？ （1） a(x+y)=ax+ay； （2） ax+ay=a(x+y). 整式乘法 因式分解 它们是方向相反的变形. 还记得前面学过的乘法公式吗？ 平方差公式： 两数和（差）的平方公式： 2 2 2= 2a b a ab b  （ ）    2 2- =a b a b a b  运用平方差公式因式分解 【想一想】多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式. ))(( b a ba -+=22 ba - ))(( 22baba ba-+ = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 1 √ √ × × 【辨一辨】下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式 的多项式才能用平方 差公式进行因式分解， 即能写成： ( ) 2 - ( )2的形式. 两数是平方， 减号在中央． （1）x2+y2； （2）x2-y2； （3）-x2-y2； -(x2+y2) y2-x2（4）-x2+y2； （5）x2-25y2； (x+5y)(x-5y) （6）m2-1. (m+1)(m-1) 2(1) 4 9;x  【例1】 分解因式： 2 2(2 ) 3x  (2 3)(2 3).x x   2 2(2) ( ) ( ) .x p x q   解：(1)原式=    ( ) ( ) ( ) ( )x p x q x p x q      (2)原式 (2 )( ).x p q p q    公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就 能用平方差公式分解因式. 【例2】 分解因式： 4 4 3(1 ) ; ( 2 ) .x y a b a b  解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) 分解因式后，一定要 检查是否还有能继续 分解的因式，若有， 则需继续分解.＝(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)原式＝ab(a2-1) 分解因式时，一般先 用提公因式法进行分 解，然后再用公式法， 最后进行检查. ＝ab(a+1)(a-1). 运用完全平方公式因式分解 完全平方公式: 2 22a ab b  完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. =（a ± b）2 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解. 2 2 a b +b2± =(a ± b)²a2 首2 +尾2±2×首×尾 (首±尾)2 3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1.x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²x 2 x + 2 a a 2b a + 2b2b 对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？ m m - 33 x 2 m 3 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）ab不是a与b的积的2倍. 【例3 】分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2. 分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3²，24x=2·4x·3，所以 16x2+24x+9是一个完全平 方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2. 2 a b b2a2 (2)中，首项有负号， 一般先利用添括号法 则将其变形为-(x2- 4xy+4y2),然后再利用 公式分解因式. 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2. = (4x)2 + 2·4x·3 + 32 (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. =-[x2-2·x·2y+(2y)2] 【例4】 分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36. 解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2. 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解； (2)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化 为完全平方式m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 【例5】 把下列完全平方公式分解因式： 1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)² =1. 本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确. (4a+3b)(4a-3b) 4ab 9xy(y+2x)(y-2x) (4+a2)(2+a)(2-a) 1.多项式4a²+ma+9是完全平方式，那么m的值是（ ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12 D ( 1 )( 1 ).    y x y x 2(2018 2017)  1 . 2 22018 2 2018 2017 2017    解：原式 2 22 0 1 8 2 0 1 8 4 0 3 4 2 0 1 7 .  4.计算： 5.分解因式： 2 22 1 .  y y x 2 2( 1)y x  解：原式 3.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36； （2）4a2-4a+1. 解：(1)原式 =x2－2·x·6+62=（x－6）2. (2)原式=（2a）² － 2·2a·1+1²=（2a － 1）2. 公式法 因式分解 公 式 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 步 骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2