华师版数学八年级下册同步课件-第19章 矩形、菱形与正方形-19 22页

第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形 2 矩形的判定 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 矩形的定义是什么？问题1 矩形有哪些性质？问题2 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是 矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器）， 他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这 是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 思考 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一 种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 矩形是特殊 的平行四边 形. 类似地，那我 们研究矩形的 性质的逆命题 是否成立. 1 矩形的判定定理1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是 直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立 A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？问题3 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 证一证 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D ★矩形的判定定理1 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长 木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到 矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 思考 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交 于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：在□ ABCD中，AD∥BC, ∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AE与BG分别为∠DAB、 ∠ABC的平分线, A B D C H E F G ∴四边形EFGH是矩形． 同理可证∠AED=∠EHG=90°, ∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°. ∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°. 1 2 1 2 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂 足为E，求证：四边形ADCE为矩形． 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM, ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE ＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°, ∴四边形ADCE为矩形． 1 2 1 2 1 2 例2 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动 课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下 的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 练一练 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过 来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得 对吗？ 我猜想：对 角线相等的 平行四边形 是矩形. 不对，等腰 梯形的对角 线也相等.不对，矩形 是特殊的平 行四边形， 所以它的对 角线不仅相 等且平分. 1 矩形的判定定理2 你能证明这一猜想吗？思考 已知：如图,在□ABCD中,AC 、 DB是它的两条对角 线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. A B CD 证一证 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B CD ★矩形的判定定理2 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验四边形窗 框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条 对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形， 你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 思考 　 如图，在 　ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， 且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数． 　 A　 B　 C　D　 O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC= AC，1 2 OB=OD= BD.1 2 又∵OA=OD， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°. 又∵∠OAD=50°， ∴∠OAB=40°. 例3 如图，在▱ ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面 条件能判定▱ ABCD是矩形的是 （　　） A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD A 练一练 1.下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形. （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形. （3）有一个角是直角的四边形是矩形. （5）有三个角是直角的四边形是矩形. （6）四个角都相等的四边形是矩形. （4）有三个角都相等的四边形是矩形. × × × √ √ √ √ （7）一组对角互补的平行四边形是矩形. 2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两 点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 D E F M N Q PA B C C 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°， AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩 形． 证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°， ∴∠ADC=90°. 又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13， 满足132=52+122， ∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形． A B C D 4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交 于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M， 使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB. ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB， ∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD， ∴平行四边形NDMB为矩形． 课堂小结 有一个角是直角的平行四边形 是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 运用定理进行计算和证明 矩形的 判定 定义 判定 定理