新版人教版八年级数学上册全册教案，异构精品2套 272页

新版人教版八年级数学上册全册教案，异构精品 2 套 新版人教版八年级数学上册全册教案 课题：§12．3．1．2 等腰三角形（二） 新授课 教学目标 （一）〔知识与技能 探索等腰三角形的判定定理． （二）〔过程与方法〕 探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念． （三）〔情感、态度与价值观〕 通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过 等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有 知识解决实际问题的能力． 教学重点 等腰三角形的判定定理及其应用． 教学难点 探索等腰三角形的判定定理． 教学方法 讲练结合法． 教具准备 三角板 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 [师]上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么 性质呢？ [生甲]等腰三角形的两底角相等． [生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． [师]同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件 就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题． Ⅱ．导入新课 [师]同学们看下面的问题并讨论：(书 P51) 思考：如图，位于在海上 A、B 两处的两艘救生船接到 O 处遇险船只的报警，当时测得 ∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不 考虑风浪因素）？ A B 0 在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ [生甲]应该能同时赶到出事地点．因为两艘救生船的速度相同，同时出发，在相同的 时间内走过的路程应该相同，也就是 OA=OB，所以两船能同时赶到出事地点． [生乙]我认为能同时赶到 O 点的位置很重要，也就是∠A 如果不等于∠B，那么同时以 同样的速度就不一定能同时赶到出事地点． [师]现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们 所对的边有什么关系？ [生丙]我想它们所对的边应该相等． [师]为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明． [生丁]我是运用三角形全等来证明的． [例 1]已知：在△ABC 中，∠B=∠C（如图）． 求证：AB=AC． 证明：作∠BAC 的平分线 AD． 在△BAD 和△CAD 中 1 2, , , B C AD AD         ∴△BAD≌△CAD（AAS）． ∴AB=AC． [师]太好了．从丁同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它 们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形．这个结论也回答了我们一开始提 出的问题．也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形． 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简写成“等角对等边”）． [师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用． [例 2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的 一边，那么这个三角形是等腰三角形． [师]这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言 转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形． 已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）． 求证：AB=AC． [师]同学们先思考，再分析． [生]要证明 AB=AC，可先证明∠B=∠C． [师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容，很好! [生]接下来，可以找∠B、∠C 与∠1、∠2 的关系． [师]我们共同证明，注意每一步证明的理论根据． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等角对等边）． [师]看小黑板，同学们试着完成这个题． 已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC． 求证：AB=AD． 证明：∵AD∥BC， 2 1 D C A B 2 1 E D C A B D C A B ∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）． 又∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD（等角对等边）． [师]下面来看另一个例题． [例 3]如图（1），标杆 AB 的高为 5 米，为了将它固定，需要由它的中点 C向地面上与 点 B 距离相等的 D、E 两点拉两条绳子，使得 D、B、E 在一条直线上，量得 DE=4 米，绳子 CD 和 CE 要多长？ (1) E D C A B (2) E D C B M N [师]这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模 型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题． 解：选取比例尺为 1：100（即为 1cm 代表 1m）． （1）作线段 DE=4cm； （2）作线段 DE 的垂直平分线 MN，与 DE 交于点 B； （3）在 MN 上截取 BC=2.5cm； （4）连接 CD、CE，△CDE 就是所求的等腰三角形，量出 CD 的长，就可以算出要求的 绳长． [师]同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少． Ⅲ．随堂练习 （一）课本 P53 1、2、3． Ⅳ．课时小结 本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作了一定的了 解．在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定 的逻辑推理能力． Ⅴ．课后作业 （一）课本 P56─2、4、5、9、13 题． （二）预习 P53～P54． Ⅵ．活动与探究 [探究 1]等腰三角形两底角的平分线相等． 过程：利用等腰三角形的性质即等边对等角，全等三角形的判定及性质． 结果： 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD、CE 是△ABC 的平分线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）． 4 2 3 1 E D C A B ∵∠1= 1 2 ∠ABC，∠2= 1 2 ∠ACB， ∴∠1=∠2． 在△BDC 和△CEB 中， ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2， ∴△BDC≌△CEB（ASA）． ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）． [探究 2]等腰三角形两腰上的高相等． 过程：同探究 1． 结果： 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BE、CF 分别是△ ABC 的高． 求证：BE=CF． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）． 又∵BE、CF 分别是△ABC 的高， ∴∠BFC=∠CEB=90°． 在△BFC 和△CEB 中， ∵∠ABC=∠ACB，∠BFC=∠CEB，BC=CB， ∴△BFC≌△CEB（AAS）． ∴BE=CF． [探究 3]等腰三角形两腰上的中线相等． 过程：同探究 1． 结果： 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD、CE 分别是两腰上的中线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）． 又∵CD= 1 2 AC，BE= 1 2 AB， ∴CD=BE． 在△BEC 和△CDB 中， ∵BE=CD，∠ABC=∠ACB，BC=CB， ∴△BEC≌△CDB（SAS）． ∴BD=CE． 教后记： E D C A B E D C A B 课题：§12．3．2．1 等边三角形（一）新授课 教学目标 （一）〔知识与技能 经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程． （二）〔过程与方法〕 1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符 号感，发展抽象思维． 2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初 步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． （三）〔情感、态度与价值观〕 1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 等边三角形判定定理的发现与证明． 教学难点 1．等边三角形判定定理的发现与证明． 2．引导学生全面、周到地思考问题． 教学方法 探索发现法． 教具准备 三角板 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 [师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角 形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个 问题． 1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？ 2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 3．你认为有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？ 把你的证明思路与同伴交流． （教师应给学生自主探索、思考的时间） [生甲]由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理 可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于 60°． [生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是 等边三角形了． [生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于 60°，我认为等腰三角形的三个内 角都等于 60°，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了． （此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，教师 可让同学代表发表自己的看法） [生丁]我不同意这个同学的看法，因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角 形．根据等角对等边，三个内角都是 60°，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已 知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费! [师]给三个角都是 60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同 学们可以在小组内交流自己的看法． Ⅱ．导入新课 探索等腰三角形成等边三角形的条件． [生]如果等腰三角形的顶角是 60°，那么这个三角形是等边三角形． [师]你能给大家陈述一下理由吗？ [生]根据三角形的内角和定理，顶角是 60°，等腰三角形的两个底角的和就是 180° -60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的，所以每个底角分别是 120°÷2=60°， 则三个内角分别相等，根据等角对等边，则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为 60°的等腰三角形为等边三角形． [生]等腰三角形的底角是 60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角 和定理和等角对等边、等边对等角的性质． [师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论底角是 60°， 还是顶角是 60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形．你能用更简洁的语言描述这个结 论吗？ [生]有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． （这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论 60°的角是 底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引 导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法） [师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？ [生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是 60°”，在等腰三角形中有两种情况： （1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到． [师]我们来看有多少同学意识到分别讨论 60°的角是底角和顶角的情况，我们鼓掌表 示对他们的鼓励． 今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于 60°的等腰三 角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件， 是什么呢？ [生]三个角都相等的三角形是等边三角形． [师]下面就请同学们来证明这个结论． 已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C． C A B 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC（等角对等边）． 又∵∠A=∠C， ∴BC=AC（等角对等边）． ∴AB=BC=AC，即△ABC 是等边三角形． [师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到． 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°； 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． [师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理． 例 4(书 P54) [例 5]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°， AP=BP=200m，他们便得出一个结论：A、B 之间距离不少于 200m， 他们的结论对吗？ 分析：我们从该问题中抽象出△APB，由已知条件∠APB=60°且 AP=BP，由本节课探究结论知△APB 为等边三角形． 解：在△APB 中，AP=BP，∠APB=60°， 所以∠PAB=∠PBA= 1 2 （180°-∠APB）= 1 2 （180°-60°）=60°． 于是∠PAB=∠PBA=∠APB． 从而△APB 为等边三角形，AB 的长是 200m，由此可以得出兴趣小组的结论是正确的． Ⅲ．随堂练习 （一）课本 P54 练习 1、2． （二）补充练习 如图，△ABC 是等边三角形，∠B 和∠C 的平分线相交于 D，BD、CD的垂直平分线分 别交 BC 于 E、F，求证：BE=CF． 2 1 E D C A B F 证明：连结 DE、DF，则 BE=DE，DF=CF． 由△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°． 同理∠DFE=60°， 故△DEF 是等边三角形． DE=DF， 因而 BE=CF． Ⅳ．课时小结 这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的 证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习 中起着非常重要的作用． Ⅴ．课后作业 （一）课本 P56─5、6、7、10 题． （二）预习 P55～P56． Ⅵ．活动与探究 探究：如图，在等边三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别截取 AD=AE．△ADE 是等边三角形吗？试说明理由． 过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性 质及判定． 结果： 已知：三角形 ABC 为等边三角形．D、E 为边 AB、AC 上两点，且 AD=AE．判断△ADE 是否是等边三角形，并说明理由． 解：△ADE 是等边三角形， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=60°． 又∵AD=AE， ∴△ADE 是等腰三角形． ∴△ADE 是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形）． 备课资料 等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定． 性质 判定的条件 等腰三角 形（含等 边三角形） 等边对等角 等角对等边 “三线合一”即等腰三角形顶角平分 线，底边上的中线、高互相重合 有一角是 60°的等腰三角形是等 边三角形 等边三角形的三个角都相等，且每个 角都是 60° 三个角都相等的三角形是等边三 角形 参考例题 1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶 A 的 立柱 AD⊥BC．屋椽 AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠ CAD 的度数． 解：在△ABC 中， ∵AB=AC（已知）， ∴∠B=∠C（等边对等角）． ∴∠B=∠C= 1 2 （180°-∠BAC）=40°（三角形内角和定理）． 又∵AD⊥BC（已知）， ∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）． ∴∠BAD=∠CAD=50°． 2．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 到 E，使 CE=CD． D C A B E D C A B 求证：DB=DE． 证明：∵△ABC 是等边三角形，且 BD 是中线， ∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CD=CE， ∴∠CDE=∠E= 1 2 ∠ACB=30°． ∴∠DBC=∠E． ∴DB=DE． 3．已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，交 AB、 AC 于 D、E． 求证：△ADE 是等边三角形． 证明：∵△ABC 是等边三角形（已知）， ∴∠A=∠B=∠C（等边三角形各角相等）． ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）． ∴∠A=∠ADE=∠AED． ∴△ADE 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）． 教后记： 课题：§12．3．2．2 等边三角形（二） 新授课 教学目标 （一）〔知识与技能 1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为 30°的性 质． 2．有一个角为 30°的直角三角形的性质的简单应用． （二）〔过程与方法〕 1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，引导学生体会合情推 理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系． 2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力． E D C A B D C A E B （三）〔情感、态度与价值观〕 1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲． 2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性． 教学重点 含 30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明． 教学难点 1．含 30°角的直角三角形性质定理的探索与证明． 2．引导学生全面、周到地思考问题． 教学方法 探索发现法． 教具准备 两个全等的含 30°角的三角尺； 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 [师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性 质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含 30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的 直角三角形的性质呢？ 问题：用两个全等的含 30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一 个等边三角形吗？说说你的理由． 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能 证明你的结论吗？ Ⅱ．导入新课 （让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索 出来的结论，还需要给予证明） [生]用含 30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形． (1) D C A B (2) D C A B 其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以 AB=AC，又因为 Rt△ABD 中， ∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． [生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C= ∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形． [师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直 角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？ [生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半． [师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？ [生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以 AB=BC=AC．而∠ADB=90°， 即 AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得 BD=DC= 1 2 BC．所以 BD= 1 2 AB， 即在 Rt△ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边 BD 是斜边 AB 的一半． [师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面 我们一同来完成这个定理的证明过程． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一 半． 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC= 1 2 AB． C A B D C A B 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD． 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°． 延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD（如下图） ∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD 是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC= 1 2 BD= 1 2 AB． [师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角 形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题． [例 5]右图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点， 立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱 BD、 DE 要多长？ 分析：观察图形可以发现在 Rt△AED 与 Rt△ACB 中，由于∠ A=30°，所以 DE= 1 2 AD，BC= 1 2 AB，又由 D 是 AB 的中点，所以 DE= 1 4 AB． 解：因为 DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知 BC= 1 2 AB，DE= 1 2 AD， 所以 BD= 1 2 ×7.4=3.7（m）． 又 AD= 1 2 AB， 所以 DE= 1 2 AD= 1 2 ×3.7=1.85（m）． D C A E B 答：立柱 BC 的长是 3.7m，DE 的长是 1.85m． [师]再看下面的例题． [例]等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ ACB=15°，CD 是腰 AB 上的高． 求：CD 的长． 分析：观察图形可以发现，在 Rt△ADC 中，AC=2a， 而∠DAC 是△ABC 的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°， 根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半， 可求出 CD． 解：∵∠ABC=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°． ∴CD= 1 2 AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 斜边的一半）． [师]下面我们来做练习． Ⅲ．随堂练习 （一）课本 P56 练习 （二）补充练习 1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD= 1 4 AB． 证明：在 Rt△ABC 中，∠A=30°， ∴BC= 1 2 AB． 在 Rt△BCD 中，∠B=60°， ∴∠BCD=30°． ∴BD= 1 2 BC． ∴BD= 1 4 AB． 2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的 2 倍，这个角的平分线把对边分成两 条线段． 求证：其中一条是另一条的 2 倍． 已知：在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD 是∠ABC 的平分线． 求证：CD=2AD． 证明：在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C， ∴∠ABC=60°，∠C=30°． 又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=30°． ∴AD= 1 2 BD，BD=CD． ∴CD=2AD． Ⅳ．课时小结 这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含 30°的直角三角形的边的关系．这个定 理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用． Ⅴ．课后作业 D C A B D C A B D C A B （一）课本 P58─11、12、13、14 题． （二）预习 P60～P61，并准备活动课． 1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字． 2．思考镜子对实物的改变． Ⅵ．活动与探究 在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°． 过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示． 结果： 已知：如图（1），在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC= 1 2 AB． 求证：∠BAC=30°． 证明：延长 BC 到 D，使 CD=BC，连结 AD． ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC， ∴△ACB≌△ACD（SAS）． ∴AB=AD． ∵CD=BC， ∴BC= 1 2 BD． 又∵BC= 1 2 AB， ∴AB=BD． ∴AB=AD=BD， 即△ABD 为等边三角形． ∴∠B=60°． 在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°． 备课资料 参考例题 1．已知，如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM、△CBN 是等边三角形． 求证：AN=BM． 证明：△ACM 与△CBN 是等边三角形． ∴∠ACM=∠BCN． ∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM， 即∠ACN=∠MCB． 在△ACN 和△MCB 中， , , , AC MC ACN MCB CN CB       ∴△ACN≌△MCB（SAS）． ∴AN=BM． 2．一个直角三角形房梁如图所示，其中 BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB， (1) C A B (2) D C A B C B A M N B1C⊥AC1，垂足分别是 B1、C1，那么 BC 的长是多少？ 解：在 Rt△ABC 中，∠CAB=30°，AB=10cm． ∴BC= 1 2 AB=5cm． ∵CB1⊥AB， ∴∠B+∠BCB1=90°． 又∵∠A+∠B=90°， ∴∠BCB1=∠A=30°． 在 Rt△ACB1 中，BB1= 1 2 BC=2.5cm． ∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）． ∴在 Rt△AB1C1 中，∠A=30°． ∴B1C1= 1 2 AB1= 1 2 ×7.5=3.75（cm）． 教后记： C 1 B 1 C B A 课题：第十二章轴对称（一）复习课 教学目标 （一）〔知识与技能 1．本章的所有基本概念. 2．本章的所有性质． 3．本章的所有基本概念及其性质的应用. （二）〔过程与方法〕 通过学生的操作和思考，使学生掌握本章的基本概念，并在运用概念及其性 质解题的过程中培养学生认真思考的习惯． 教学重点 1．本章的基本概念及性质． 2．本章性质的应用． 教学难点 本章性质的理解及其应用． 课教学过程 一、选择题： 1．下列图案是轴对称图形的有（ ）。 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 2．将写有字“B”的字条正对镜面，则镜中出现的会是（ ）。 （A）B （B） （C） （D） 3．已知直角三角形中 30°角所对的直角边为 2 ㎝，则斜边的长为（ ） （A）2 ㎝ （B）4 ㎝ （C） 6 ㎝ （D）8 ㎝ 4．点 M（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标为 （ ） （A）（—1，2） （B）（－1，－2） （C）（1，－2） （D）（2，－1） 5．下列说法正确的是( ) A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．顶角相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形一边不可以是另一边的二 D．等腰三角形的两个底角相等 6．如图（1），DE 是  ABC 中 AC 边的垂直平分线，若 BC=8 厘米，AB=10 厘米， 则  EBC 的周长为（ ）厘米 A．16 B．28 C．26 D．18 7．等腰三角形的一个角是 80°,则它的底角是（ ） E D A B C 图（1） (A) 50°或 80° (B) 80° (C) 50° (D) 20°或 80° 8.如图（2）,是屋架设计图的一部分,点 D 是斜梁 AB 的中点,立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC,AB=8m, ∠A=30°,则 DE 等于 ( ) (A)1m (B) 2m (C)3m (D) 4m 图（2） 图（3） 9.如图（3）,五角星的五个角都是顶角为 36°的等腰三角形,则∠AMB 的度数为( ) (A)144° (B)120° (C)108° (D)100° 10.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （ ） （A）75°或 15° （B）75° （C）15° （D）75°和 30° 二、填空题 1、如图（4）,△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,BD=5cm ,则 CD=____________cm . 2、等腰三角形一个底角是 30°,则它的顶角是__________度. 3、等腰三角形的腰长是 6，则底边长 3，周长为______________________。 4、等腰三角形一个外角为 50°，则此等腰三角形顶角是________度，底角是________度。 5、如图（5），△ABC 中,∠A=36°，AB=AC，BD 平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形有 _____________个. 6、如图（6）,△ABC 中,DE 是 AC 的垂直平分线,AE=3cm,△ABD 的周长为 13cm,则△ABC 的 周长为____________. 图（4） 图（5） 图（6） 7、到三角形各顶点距离相等的点是三角形 的交点。 8、在直角坐标系内有两点 A(-1，1)、B(3，3)，若 M 为 x 轴上一点，且 MA+MB 最小，则 M 的坐标是________。 三、解答题(第 1--6 每题 6 分,第 7 题 10 分，共 46 分) A B D C E A E B C D A B D C 1、如图,根据要求回答下列问题： 解：（1）点 A 关于 x 轴对称点的坐标是 ； 点 B 关于 y 轴对称点的坐标是 ； 点 C 关于原点对称点的坐标是 ； （2）作出与△ABC 关于 x 轴对称的图形（不要 求写作法） 2、等腰△ABC 中，∠A=70 度，求∠B、∠C 的度数。 3、如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD，求∠A，∠ADB 的度数. 4、如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠ADC. D C A B 5、如图，在△ABC 中，∠ACB=90，DE 是 AB 的垂直平分线，∠CAE：∠EAB=4：1．求∠B 的 度数． 教后记： A B C D A B EC D 十四章 整式的乘除与因式分解 14.1.1 同底数幂的乘法 教学目标 1．知识与技能 在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则，并掌握“法则”的 应用． 2．过程与方法 经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展 推理能力和表达能力，提高计算能力． 3．情感、态度与价值观 在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心． 重、难点与关键 1．重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用． 2．难点：同底数幂的乘法的法则的应用． 3．关键：幂的运算中的同底数幂的乘法教学，要突破这个难点， 必须引导学生，循序渐进，合作交流，获得各种运算的感性认识， 进而上各项到理性上来，提醒学生注意－a2 与（－a）2 的区别． 教学方法 采用“情境导入──探究提升”的方法，让学生从生活实际出发， 认识同底数幂的运算法则． 教学过程 一、创设情境，故事引入 【情境导入】 “盘古开天壁地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整 个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他 手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面 是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了， 他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨 头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流． 【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？ 你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？ 光的速度为 3×105 千米/秒，太阳光照射到地球大约需要 5×102 秒，你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？ 【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式： 3×105×5×102=15×105×102=15×？（引入课题） 【教师提问】到底 105×102=？同学们根据幂的意义自己推导一 下，现在分四人小组讨论． 【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示． 计算过程：105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10） =10×10×10×10×10×10×10 =107 【教师活动】下面引例． 1．请同学们计算并探索规律． （1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2( )； （2）53×54=_____________=5( )； （3）（－3）7×（－3）6=___________________=（－3）( )； （4）（ 1 10 ）3×（ 1 10 ）=___________=（ 1 10 ）( )； （5）a3·a4=________________a( )． 提出问题：①这几道题目有什么共同特点？ ②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规 律？ 【学生活动】独立完成，并在黑板上演算． 【教师拓展】计算 a·a=？请同学们想一想． 【学生总结】a·a= ( ) ( ) ( ) ( ) m a a m n a a a a a a a a a a a            个 n个 个 =am+n 这样就探究出了同底数幂的乘法法则． 二、范例学习，应用所学 【例】计算： （1）103×104；（2）a·a3；（3）a·a3·a5；（4）x·x2+x2·x 【思路点拨】（1）计算结果可以用幂的形式表示．如（1）103× 104=103+4=107，但是如果计算较简单时也可以计算出得数．（2）注意 a 是 a 的一次方，提醒学生不要漏掉这个指数 1，x3+x3 得 2x3，提醒学 生应该用合并同类项．（3）上述例题的探究，目的是使学生理解法 则，运用法则，解题时不要简化计算过程，要让学生反复叙述法则． 【教师活动】投影显示例题，指导学生学习． 【学生活动】参与教师讲例，应用所学知识解决问题． 三、随堂练习，巩固深化 课本练习题． 【探研时空】 据不完全统计，每个人每年最少要用去 106 立方米的水，1 立方 米的水中约含有 3.34×1019 个水分子，那么，每个人每年要用去多少 个水分子？ 四、课堂总结，发展潜能 1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘 关系，使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加． 2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘， 仍成立，底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，由可取单项 式或多项式． 3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆． 五、布置作业，专题突破 1．课本 P96 习题 14．1 第 1（1），（2），2（1）题． 2．选用课时作业设计． 板书设计 14.1.1 同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法法则 例： 练习： 教学反思 本节课的教学过程是探索发现性学习过程，注意同底数幂的乘法法则 的推导过程，而不单单是要求记住结论，在导出的过程中，从具体到 抽象，有层次地进行概括，归纳推理，学生不是被动地接受，而是在 已有经验的基础上创新，从而培养学生的动手能力和创新意识． 14.1.2 幂的乘方 教学目标 1．知识与技能 理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推 理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质． 2．过程与方法 经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达 能力，通过情境教学，培养学生应用能力． 3．情感、态度与价值观 培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价 值． 重、难点与关键 1．重点：幂的乘方法则． 2．难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用． 3．关键：要突破这个难点，在引导这个推导过程时，步步深入， 层层引导，要求对性质深入地理解． 教学方法 采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中， 认识幂的乘方法则． 教学过程 一、创设情境，导入新知 【情境导入】 大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告 诉你，木星的半径是地球半径的 102 倍，太阳的半径是地球半径的 103 倍，假如地球的半径为 r，那么，请同学们计算一下太阳和木星 的体积是多少？（球的体积公式为 V= 4 3  r3） 【学生活动】进行计算，并在黑板上演算． 解：设地球的半径为 1，则木星的半径就是 102，因此，木星的体 积为 V 木星= 4 3  ·（102）3=？（引入课题）． 【教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导． 【学生活动】有些同学这时无从下手． 【教师启发】请同学们思考一下 a3 代表什么？（102）3 呢？ 【学生回答】a3=a×a×a，指 3 个 a 相乘．（102）3=102×102×102， 就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变， 指数相加，102×102×102=102+2+2=106，因此（102）3=106． 【教师活动】下面有问题： 利用刚才的推导方法推导下面几个题目： （1）（a2）3；（2）（24）3；（3）（bn）3；（4）－（x2）2． 【学生活动】推导上面的问题，个别同学上讲台演示． 【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a） 的结果是多少？ 【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论： （am）n== amn． 评析：通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利 用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂 的乘方，底数不变，指数相乘． 二、范例学习，应用所学 【例】计算： （1）（103）5；（2）（b3）4；（3）（xn）3；（4）－（x7）7． 【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则，准确地运用幂的乘方法 则进行计算． 【教师活动】启发学生共同完成例题． 【学生活动】在教师启发下，完成例题的问题：并进一步理解幂 的乘方法则： 解：（1）（103）5=103×5=1015； （3）（xn）3=xn×3=x3n； （2）（b3）4=b3×4=b12； （4）－（x7）7=－x7×7=－x49． 三、随堂练习，巩固练习 课本 P97 练习． 【探研时空】 计算：－x2·x2·（x2）3+x10． 【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生，媒体显示练习题． 【学生活动】书面练习、板演． 四、课堂总结，发展潜能 1．幂的乘方（am）n=amn（m，n 都是正整数）使用范围：幂的乘 方．方法：底数不变，指数相乘． 2．知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母，也可 以是单项式或多项式． 3．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指 数相乘”，一个是“指数相加”． 五、布置作业，专题突破 课本 P104 习题 14.1 第 1、2 题． 板书设计 14.1.2 幂的乘方 1、幂的乘方的乘法法则 例： 练习： 教学反思 由于幂的乘方较抽象，引入课题时也可以从国情教育引入，搜集 关于希望工程的图片展示给学生，如：有一个棱长为 102cm 的正方体， 我们计算一下，可以装长为 20cm，宽为 15cm，厚为 2cm 的书多少本？ 14.1.3 积的乘方 教学目标 1．知识与技能 通过探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义，在 推理得出积的乘方的运算性质的过程中，领会这个性质． 2．过程与方法 经历探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达 能力，培养学生的综合能力． 3．情感、态度与价值观 通过小组合作与交流，培养学生团结协作的精神和探索精神，有 助于塑造他们挑战困难，挑战生活的勇气和信心． 重、难点与关键 1．重点：积的乘方的运算． 2．难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用． 3．关键：要突破这个难点，教师应该在引导这个推导过程时， 步步深入，层层引导，而不该强硬地死记公式，只有在理解的情况 下，才可以对积的乘方的运算性质灵活地应用． 教学方法 采用“探究──交流──合作”的方法，让学生在互动中掌握知 识． 教学过程 一、回顾交流，导入新知 【教师活动】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的 乘方运算法则的内容以及区别． 【学生活动】踊跃举手发言，解说老师的提问． 【课堂演练】 计算：（1）（x4）3 （2）a·a5 （3）x7·x9（x2）3 【学生活动】完成上面的演练题，并从中领会这两个幂的运算法 则． 【教师活动】巡视，关注学生的练习，并请 3 位学生上台演示， 然后再提出下面的问题． 同学们思考怎样计算（2a3）4，每一步的根据是什么？ 【学生活动】先独立完成上面的问题，再小组讨论． （2a3）4=（2a3）·（2a3）·（2a3）·（2a3）（乘方的含义） =（2·2·2·2）·（a3·a3·a3·a3）（乘法交换律、结合律） =24·a12（乘方的意义与同底数幂的乘法运算） =16a12 【教师活动】提出应用以上分析问题的过程，再计算（ab）4， 说出每一步的根据是什么？ 【学生活动】独立思考之后，再与同学交流． （ab）4=（ab）·（ab）·（ab）·（ab）（乘方的含义） =（aaaa）·（bbbb）（交换律、结合律） =a4·b4（乘方的含义） 【教师提问】（1）请同学们通过计算，观察乘方结果之后，你 能得出什么规律？（2）如果设 n 为正整数，将上式的指数改成 n， 即：（ab）n，其结果是什么？ 【学生活动】回答出（ab）n=anbn． 【师生共识】我们得到了积的乘方法则：（ab）n=anbn（n 为正整 数），这就是说，积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的 幂相乘． （ab）n==anbn 【教师活动】拓展训练：三个或三个以上的积的乘方，如（abc） n， 【学生活动】回答出结果是（abc）n =a n b n c n． 二、范例学习，应用所学 【例】计算： （1）（2b）3；（2）（2×a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4． 【教师活动】组织、讲例、提问． 【学生活动】踊跃抢答． 三、随堂练习，巩固深化 课本 P98 练习． 【探研时空】 计算下列各式： （1）（－ 3 5 ）2·（－ 3 5 ）3； （2）（a－b）3·（a－b）4； （3）（－a5）5； （4）（－2xy）4； （5）（3a2）n； （6）（xy3n）2－[（2x）2] 3； （7）（x4）6－（x3）8； （8）－p·（－p）4； （9）（tm）2·t； （10）（a2）3·（a3）2． 四、课堂总结，发展潜能 本节课注重课堂引入，激发学生兴趣，“良好开端等于成功一半”． 1．积的乘方（ab）n=anbn（n 是正整数），使用范围：底数是积的 乘方．方法：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 2．在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是 数，也可以是整式，对三个以上因式的积也适用． 3．要注意运算过程，注意每一步依据，还应防止符号上的错误． 4．在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和 联系． 五、布置作业，专题突破 1．课本 P104 习题 15．1 第 1、2 题． 板书设计 14.1.3 积的乘方 1、积的乘方的乘法法则 例： 练习： 教学反思 计算（－2x）3 学生易错误得出－2x3，本题错误在于：括号内应 看成－2·x 两个因式，而上述结论显然结积的乘方意义缺乏理解， －2 漏乘方，正确的应是（－2）3·x3=－8x3． 14.1.4 单项式乘以单项式 教学目标 1．知识与技能 理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算． 2．过程与方法 经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转 化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力． 3．情感、态度与价值观 培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作 精神． 重、难点与关键 1．重点：单项式乘法运算法则的推导与应用． 2．难点：单项式乘法运算法则的推导与应用． 3．关键：通过创设一定的问题情境，推导出单项式与单项式相 乘的运算法则，可以采用循序渐进的方法突破难点． 教学方法 采用“情境──探究”的教学方法，让学生在创设的情境之中自 然地领悟知识． 教学过程 一、创设情境，操作导入 【手工比赛】 让学生在课前准备一张自己最满意的照片，自己制作一个美丽的 像框．上课之后，首先来做游戏，“才艺大献”，把自己的照片加一个 美丽的像框，看谁在 10 分钟之内，可以装饰出美丽的照片，谁的最 好，老师就送他个好礼物． 【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”． 【学生活动】完成上述手工制作，与同伴交流． 【教师引导】在学生完成之后，教师拿出一张美丽的风景照片， 提出问题：你们看这幅美丽的风景图片，如何装饰它会更漂亮？ 【学生回答】加一个美丽的像框． 【引入课题】假如要加一个美丽的像框，需要知道这幅图片的大 小，现在告诉你，图片的长为 mx，宽为 x，你能计算出图片的面积吗？ 【学生活动】动手列式，图片的面积为 mx·x=？ 【教师提问】对于 mx·x=？的问题，前面我们已学习了乘法的 运算律以及幂的运算法则，现在请你运用已学知识推导出它的结果． 【学生活动】先独立思考，再与同伴交流． 实际上 mx·x=m（x·x）=m·x2=mx2． 【拓展延伸】请同学们继续计算 mx· 5 4 x=？ 【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃上台演示． mx· 5 4 x=m· 5 4 x·x=m· 5 4 x2= 5 4 mx2． 【教师活动】请部分学生上台演示，然后大家共同讨论． 【继续探究】计算：（1）x·mx；（2）2a2b·3ab3；（3）（abc）·b2c． 【学生活动】独立完成，再与同学交流． 【教师活动】总结新知：我们根据自己做的题目的原则，得到单 项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、 相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，放在积的因式 中． 二、范例学习，应用所学 【例 1】计算． （1）3x2y·（－2xy3） （2）（－5a2b3）·（－4b2c） 【思路点拨】例 1 的两个小题，可先利用乘法交换律、结合律 变形成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母 照抄． 【例 2】卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为 7.9× 103 米/秒，则卫星运行 3×102 秒所走的路程约是多少？ 【教师活动】：引导学生参与到例 1，例 2 的解决之中． 【学生活动】参与到教师的讲例之中，巩固新知． 三、问题讨论，加深理解 【问题牵引】 1．a·a 可以看作是边长为 a 的正方形的面积，a·ab 又怎样理 解呢？ 2．想一想，你会说明 a·b，3a·2a 以及 3a·5ab 的几何意义吗？ 【教师活动】问题牵引，引导学生思考，提问个别学生． 【学生活动】分四人小组，合作学习． 四、随堂练习，巩固深化 课本 P145 练习第 1、2 题． 五、课堂总结，发展潜能 本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和 应用上． 提问：（1）请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则． （2）在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么？ 六、布置作业，专题突破 1．课本 P149 习题 15．1 第 3 题． 2．选用课时作业设计． 板书设计 14.1.4 单项式乘以单项式 1、单项式乘以单项式的乘法法则 例： 练习： 教学反思 【思路点拨】对于单项式与单项式相乘的应用问题，首先要依据 题意，列出算式，含 10 的幂相乘同样用单项式与乘法法则进行计算， 还应将所得的结果用科学记数法表示． 14.1.5 单项式与多项式相乘 教学目标 1．知识与技能 让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项 式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算． 2．过程与方法 经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作 用和转化思想，发展有条理地思考及语言表达能力． 3．情感、态度与价值观 培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价 值． 重、难点与关键 1．重点：单项式与多项式相乘的法则． 2．难点：整式乘法法则的推导与应用． 3．关键：应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式 与单项式相乘上来，注意知识迁移． 教学方法 采用“情境──探究”教学方法，让学生直观地理解单项式与多 项式相乘的法则． 教学过程 一、回顾交流，课堂演练 1．口述单项式乘以单项式法则． 2．口述乘法分配律． 3．课堂演练，计算： （1）（－5x）·（3x）2 （2）（－3x）·（－x） （3）1 3 xy·2 3 xy2 （4）－5m2·（－ 1 3 mn） （5）－ 1 5 x4y6－2x2y·（－ 1 2 x2y5） 【教师活动】组织练习，关注中下水平的学生． 【学生活动】先独立完成上述“演练题”，再相互交流，部分学 生上台演示． 二、创设情境，引入新课 小明作了一幅水彩画，所用纸的大小如图 1，她在纸的左右两边 各留了 1 6 a 米的空白，请同学们列出这幅画的画面面积是多少？ 【学生活动】小组合作，讨论． 【教师活动】在学生讨论的基础上，提问个别学生． 【情境问题 2】夏天将要来临，有 3 家超市以相同价格 n（单位： 元／台）销售 A 牌空调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是 x，y，z，请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的 总收入． 【学生活动】分四人小组，与同伴交流，寻求不同的表示方法． 方法一：首先计算出这三家超市销售 A 牌空调的总量（单位：台）， 再计算出总的收入（单位：元）． 即：n（x+y+z）． 方法二：采用分别计算出三家超市销售 A 牌空调的收入，然后 再计算出他们的总收入（单位：元）． 即：nx+ny+nz． 由此可得：n（x+y+z）=nx+ny+nz． 【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项 式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的 积相加． 三、范例学习，应用所学 【例 1】计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）． 解：原式＝（－2a2）（3ab2）－（－2a2）·（5ab3） =－6a3b2+10a3b3 【例 2】化简：－3x2·（ 1 3 xy－y2）－10x·（x2y－xy2） 解：原式=－x3y+3x2y2－10x3y+10x2y2 =－11x3y+13x2y2 【例 3】解方程：8x（5－x）=19－2x（4x－3） 40x－8x2=19－8x2+6x 40x－6x=19 34x=19 x= 19 34 四、随堂练习，巩固深化 课本 P146 练习． 【探研时空】 计算：（1）5x2（2x2－3x3+8） （2）－16x（x2－3y） （3）－2a2（ 1 2 ab2+b4） （4）（ 2 3 x2y3－16xy）· 1 2 xy2 【教师活动】巡视，关注中差生． 五、课堂总结，发展潜能 1．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是用单 项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 2．单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符 号”． 六、布置作业，专题突破 课本 P104 习题 14．1 第 4、6 题． 板书设计 14.1.5 单项式乘以多项式 1、单项式乘以多项式的乘法法则 例： 练习： 教学反思 教学中，应紧扣法则，注意多项式的各项是带着前面的符号的．在实 施“情境──探究”教学过程中，注重引导学生在课堂活动过程中感 悟知识的生成、发展与变化，培养学生主动探索、敢于实践、善于发 现的科学精神． 14.1.6 多项式与多项式相乘 教学目标 1．知识与技能 让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步 骤进行简单的乘法运算． 2．过程与方法 经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运 算的算理． 3．情感、态度与价值观 通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主 动探索的习惯． 重、难点与关键 1．重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用． 2．难点：多项式与多项式的乘法法则的应用． 3．关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再 应用已学过的运算法则解决． 教学方法 采用“情境──探索”教学方法，让学生在设置的情境中，通过 操作感知多项式与多项式乘法的内涵． 教学过程 一、创设情境，操作感知 【动手操作】 首先，在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图 1所示的四部分，标上字母． 【学生活动】拿出准备好的硬纸板，画出上图 1，并标上字母． 【教师活动】要求学生根据图中的数据，求一下这个矩形的面积． 【学生活动】与同伴交流，计算出它的面积为：（m+b）×（n+a）． 【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它 剪开，分成如下图两部分，如图 2．剪开之后，分别求一下这两部分 的面积，再求一下它们的和． 【学生活动】分四人小组，合作探究，求出第一块的面积为 m （n+a），第二块的面积为 b（n+a），它们的和为 m（n+a）+b（n+a）． 【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部 分，如图 3，然后再求这四块长方形的面积． 【学生活动】分四人小组合作学习，求出 S1=mn；S2=nb；S3=am； S4=ab，它们的和为 S=mn+nb+am+ab． 【教师提问】依据上面的操作，求得的图形面积，探索（m+b） （n+a）应该等于什么？ 【学生活动】分四人小组讨论，并交流自己的看法． （m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因为我们 三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么， 两次的计算结果应该是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b （n+a）=mn+nb+am+ab． 【师生共识】多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每一项乘 以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加． 字母呈现： =ma+mb+na+nb． 二、范例学习，应用所学 【例 1】计算： （1）（x+2）（x－3） （2）（3x－1）（2x+1） 【例 2】计算： （1）（x－3y）（x+7y） （2）（2x+5y）（3x－2y） 【例 3】先化简，再求值： （a－3b）2+（3a+b）2－（a+5b）2+（a－5b）2，其中 a=－8，b=－ 6． 【教师活动】例 1～例 3，启发学生参与到例题所设置的计算问题中 去． 【学生活动】参与其中，领会多项式乘法的运用方法以及注意的问 题． 三、随堂练习，巩固新知 课本 P148 练习第 1、2 题． 【探究时空】 一块长 m 米，宽 n 米的玻璃，长宽各裁掉 a米后恰好能铺盖一 张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？ 四、课堂总结，发展潜能 1．多项式与多项式相乘，应充分结合导图中的问题来理解多项 式与多项式相乘的结果，利用乘法分配律来理解（m+n）与（a+b）相 乘的结果，导出多项式乘法的法则． 2．多项式与多项式相乘，第一步要先进行整理，在用一个多项 式的每一项去乘另一个多项式的每一项时，要“依次”进行，不重复， 不遗漏，且各个多项式中的项不能自乘，多项式是几个单项式的和， 每一项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号． 五、布置作业，专题突破 课本 P104 习题 14．1 第 5、6、7（2）、9、10 题． 板书设计 14.1.6 多项式乘以多项式 1、多项式乘以多项式的乘法法则 例： 练习： 教学反思 在实施情境探究教学过程中，应注意让学生感知问题的生成、发展与 变化，培养学生善于发现的科学精神以及合作交流的精神和创新意 识． 14.2.1 平方差公式（二） 教学目标 1．知识与技能 探究平方差公式的应用，熟练地应用于多项式乘法之中． 2．过程与方法 经历平方差公式的运用过程，体会平方差公式的内涵． 3．情感、态度与价值观 培养良好的运算能力，以及观察事物的特征的能力，感受到学习 数学知识的实际价值． 重、难点与关键 1．重点：运用平方差公式进行整式计算． 2．难点：准确把握运用平方差公式的特征． 3．关键：弄清平方差公式的结构特点，左边：（1）两个二项式 的积；（2）两个二项式中一项相同，另一项互为相反数．右边：（1） 二项式；（2）两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方． 教学方法 采用“精讲．精练”分层递推的教学方法，让学生在训练中，熟 练掌握平方差的特征． 教学过程 一、回顾交流，课堂演练 1．用平方差公式计算： （1）（－9x－2y）（－9x+2y） （2）（－0.5y+0.3x） （0.5y+0.3x） （3）（8a2b－1）（1+8a2b） （4）20082－2009×2007 2．计算：（a+ 1 2 b）（a－ 1 2 b）－（3a－2b）（3a+2b） 【教师活动】请部分学生上讲台“板演”，然后组织学生交流． 【学生活动】先独立完成课堂演练，再与同学交流． 二、范例学习，巩固深化 【例 1】计算： （1）（ 3 4 y+2 1 2 x）（2 1 2 x－ 3 4 y）； （2）（－ 5 6 x－0.7a2b）（ 5 6 x－0.7a2b）； （3）（2a－3b）（2a+3b）（4a2+9b2）（16a4+81b4）． 解：（1）原式=（ 5 2 x+ 3 4 y）（ 5 2 x－ 3 4 y）= 225 9 4 16x  y2 （2）原式=（－0.7a2b－ 5 6 x）（－0.7a2b+ 5 6 x） =（－0.7a2b）2－（ 5 6 x）2=0.4 9a4b2－ 25 36 x2 （3）原式=（4a2－9b2）（4a2+9b2）（16a4+81b4） =（16a4－81b4）（16a4+81b4） =256a8－6561b8 【例 2】运用乘法公式计算：7 3 4 ×8 1 4 【思路点拨】因为 7 3 4 可改写为 8－ 1 4 ，8 1 4 可改写成 8+ 1 4 ，这样 可用平方差公式计算． 解：7 3 4 ×8 1 4 =（8－ 1 4 ）（8+ 1 4 ）=82－（ 1 4 ）2=64－ 1 16 =6315 16 ． 【教师活动】边讲例边引导学生学会应用平方差公式． 【学生活动】参与到例 1～2 的学习中去． 三、课堂演练，拓展思维 【演练题 1】想一想：（1）计算下列各组算式，并观察它们的共 同特征． 6 8 ? 13 15 ? 61 63 ? 59 61 ? 7 7 ? 14 14 ? 62 62 ? 60 60 ?                          （2）从以上的过程中，你能寻找出什么规律？ （3）请你用字母表现你所发现的规律，并得出结论． 【演练题 2】 1．计算：（1）118×122 （2）105×95 （3）1007×993 2．求（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1 的个位数字． 【教师活动】组织学生进行课堂演练，并适时归纳． 【学生活动】先独立完成上面的演练题，再与同伴交流． 四、随堂练习，巩固提升 【探研时空】 1．计算：[2a2－（a+b）（a－b）][（－a－b）（－a+b）+2b2]； 2．解不等式：（3x+4）（3x－4）<9（x－2）（x+3）； 3．利用平方差公式计算：1.97×2.03； 4．化简求值：x4－（1－x）（1+x）（1+x2）其中 x=－2． 【教师活动】引导学生通过探究，领会平方差公式的真正意义． 【学生活动】分四人小组合作学习，互相交流． 五、课堂总结，发展潜能 提问式总结： 1．什么叫做平方差公式？它有什么特征？ 2．你在应用过程中有什么感想？ 3．在应用平方差公式时，应注意什么？举例说明． 六、布置作业，专题突破 选用补充作业． 板书设计 14.2.1 平方差公式（二） 1、平方差公式 例： （a+b）（a－b）=a2－b2 练习： 教学反思 在实施情境探究教学过程中，应注意让学生感知问题的生成、发展与 变化，培养学生善于发现的科学精神以及合作交流的精神和创新意 识． 14.2.1 平方差公式（一） 教学目标 1．知识与技能 会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算． 2．过程与方法 经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推 理能力，使学生逐渐掌握平方差公式． 3．情感、态度与价值观 通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合 性，体验数学活动充满着探索性和创造性． 重、难点与关键 1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何 背景的了解． 2．难点：平方差公式的应用． 3．关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学 生观察、总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本 质特征，是正确应用公式来计算的关键． 教学方法 采用“情境──探究”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结 出平方差公式． 教学过程 一、创设情境，故事引入 【情境设置】 教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事 【学生活动】1 位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事， 其他学生认真听着，不时补充． 【教师归纳】听了这则故事之后，同学们应该懂得这么一个道理， 学习千万不能像狗熊掰棒子一样，前面学，后面忘，那么，上节课我 们学习了什么呢？还记得吗？ 【学生回答】多项式乘以多项式． 【教师激发】大家是不是已经掌握呢？还是早扔掉了呢？和小狗 熊犯了同样的错误呢？下面我们就来做这几道题，看看你是否掌握了 以前的知识． 【问题牵引】计算： （1）（x+2）（x－2）； （2）（1+3a）（1－3a）； （3）（x+5y）（x－5y）； （4）（y+3z）（y－3z）． 做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举 两个例子验证你的发现． 【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果： （1）（x+2）（x－2）=x2－4； （2）（1+3a）（1－3a）=1－9a2； （3）（x+5y）（x－5y）=x2－25y2； （4）（y+3z）（y－3z）=y2－9z2． 【教师活动】请一位学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上 算式及其运算结果，寻找规律． 【学生活动】讨论 【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的 结果的规律，这些是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表现 刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？ 【学生回答】可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以 表示成 a2－b2 了，即（a+b）（a－b）=a2－b2． 用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差． 【教师活动】表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说 明这是一个平方差公式和公式中的字母含义． 二、范例学习，应用所学 【教师讲述】 平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的 a 和 b，只有正确 找到 a 和 b，一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子， 从中得到启发． 【例 1】运用平方差公式计算： （1）（2x+3）（2x－3）； （2）（b+3a）（3a－b）； （3）（－m+n）（－m－n）． 填表： (a+b)(a－b) a b a2－b2 结果 (2x+3)(2x－3) 2x (2x) 2－32 (b+3a)(3a－b) (－m+n)(－m－n) 【例 2】计算： （1）103×97 （2）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y） 通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作 a， 符号不同的一项作 b． 三、随堂练习，巩固新知 课本 P108 练习第 1、2 题． 四、课堂总结，发展潜能 本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关 系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公 式中的第一个数 a，第二个数 b；二是两数和乘以这两数差，这也是 判断能否运用平方差公式的方法． 五、布置作业，专题突破 课本 P112 第 1、2 题． 板书设计 14.2.1 平方差公式（一） 1、平方差公式 例： （a+b）（a－b）=a2－b2 练习： 教学反思 运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把 相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式。 14.2.2 完全平方公式（二） 教学目标 1．知识与技能 引导学生通过观察、分析使他们掌握每一个乘法公式的结构特征 及公式的含义，会正确地运用这些公式． 2．过程与方法 通过探索和理解乘法公式，感受乘法公式从一般到特殊的认知过 程，拓展思维空间． 3．情感、态度与价值观 培养良好的分析思想和与人合作的习惯，体会到数学算理的重要 价值． 重、难点与关键 1．重点：正确应用乘法公式（平方差公式，完全平方公式）． 2．难点：对乘法公式的结构特征以及内涵的理解． 3．关键：对公式的结构特征进行具体的分析，从中感悟公式的 特点并加以概括． 教学方法 采用“精讲．精练”的教学方法，增强教学的有效性． 教学过程 一、回顾交流，拓展延伸 【教师提问】 1．请同学们说一说平方差公式与完全平方公式的内容． 2．这两个公式有什么区别？如何使用？ 【学生活动】踊跃发言． 平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2 完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2 这里的字母 a、b 可以是数、单项式、多项式． 二、范例学习，拓展知识 【例 1】计算（2a－3b－4）（2a+3b+4） 该题关键在于正确的分组，一般规律是：把完全相同的项分 为一组，符合相反、绝对值相等的项分为另一组． 【例 2】例 a=－1，b=2 时，求代数式[（ 1 2 a+b）2+（ 1 2 a－b）2] （ 1 2 a2－2b2）的值． 【例 3】已知 a+b=－2，ab=－15，求 a2+b2 的值． 解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，变形后可有 a2+b2=（a+b）2－2ab． 把 a+b=－2，ab=－15 代入上式，则 a2+b2=（－2）2－2×（－15）=34． 三、随堂练习，巩固深化 【课堂演练】 演练题 1：应用乘法公式计算：19952－1994×1996． 演练题 2：已知 a+b=－6，ab=8，求（1）a2+b2；（2）（a－b）2． 四、课堂总结，发展潜能 1．本节课应理解乘法公式是一种特殊形式的乘法，注意平方差 公式与完全平方公式的区别． 2．在乘法计算中，能用公式简便计算的应该使用公式，要注意 公式的应用条件，记住公式的模样，在此前提下对具体题目进行细致 观察，想办法将题目调整或变形，使之能使用公式，当然，有些不能 使用公式的整式乘法计算就只能运用一般的多项式乘法来进行了． 五、布置作业，专题突破 课本 P112 第 5、6、7 题． 板书设计 14.2.2 完全平方公式（二） 1、完全平方公式 例： （a±b）2=a2±2ab+b2 练习： 教学反思 计算（3x+4y－3z）2 时应根据所学乘法公式括号里是两项和或差的形 式，这样的平方才能用完全平方公式来解，此题若把 4y－3z 结合成 一组，看成一个整体，就可应用完全平方公式计算了． 14.2.2 完全平方公式（一） 教学目标 1．知识与技能 会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，形成推理 能力． 2．过程与方法 利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公 式．掌握完全平方公式的计算方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性 和创造性． 重、难点与关键 1．重点：完全平方公式的推导和应用． 2．难点：完全平方公式的应用． 3．关键：从多项式与多项式相乘入手，推导出完全平方公式， 利用几何模和割补面积的方法来验证公式的正确性． 教具准备 制作边长为 a 和 b 的正方形以及长为 a 宽为 b 的纸板． 教学方法 采用“情境──探究”教学方法，让学生在所创设的情境中领会 完全平方公式的内涵． 教学过程 一、创设情境，导入新知 【激趣辅垫】 寓言故事：请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事． 【学生活动】由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事，其 他学生补充． 【教师活动】提出：你们从故事中学到了什么道理？（寓德于教） 【学生发言】比喻没有真才实学的人，混在行家里充数，或以次 货充好货． 【教师引导】对！所以我们在以后的学习和工作中，千万别滥竽 充数，一定要有真才实学．好．今天同学们喊得很响亮，我要看看有 没有南郭先生，请同学们完成下面的几道题： （1）（2x－3）2； （2）（x+y）2； （3）（m+2n）2； （4）（2x －4）2． 【学生活动】先独立完成以上练习，再争取上讲台演练， （1）（2x－3）2=4x2－12x+9； （2）（x+y）2=x2+2xy+y2； （3）（m+2n）2=m2+4mn+4n2； （4）（2x－4）2=4x2－16x+16． 【教师活动】组织学生通过上面的运算结果中的每一项，观察、 猜测它们的共同特点． 【学生活动】分四人小组，讨论．观察，探讨，发现规律如 下：（1）右边第一项是左边第一项的平方，右边最后一项是左边第 二项的平方，中间一项是它们两个乘积的 2 倍．（2）左边如果为“+” 号，右边全是“+”号，左边如果为“－”号，它们两个乘积的 2倍 就为“－”号，其余都为“＋”号． 【教师提问】那我们就利用简单的（a+b）2 与（a－b）2 进行验 证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算． 【学生活动】计算出（a+b）2=a2+2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2， 完成后，一位学生上讲台板演． 【教师活动】利用学生的板演内容，引出本节课的教学内容── 完全平方公式． 归纳：完全平方公式： （a+b）2=a2+2ab+b2； （a－b）2=a2－2ab+b2． 语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或 减）它们的积的 2 倍． 为了让学生直观理解公式，可做下面的拼图游戏． 【拼图游戏】 解释：（1）现有图 1 所示的三种规格的硬纸片各若干张，请你根 据二次三项式 a2+2ab+b2，选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个 正方形，并探究所拼出的正方形的代数意义． （2）你能根据图 2，谈一谈（a－b）2=a2－2ab+b2 吗？ 【课堂活动】第（1）题由小组合作，在互动中完成拼图游戏，比 一比，哪个四人小组快？第（2）题，可以借助多媒体课件，直观地 演示面积的变化，帮助学生联想到 （a－b）2=a2－b2－2b（a－b）=a2－2ab+b2． 二、范例学习，应用所学 【例 1】运用完全平方公式计算： （1）（－x－y）2； （2）（2y－ 1 3 ）2 （1）解法一：（－x－y）2=[（－x）+（－y）] 2 =（－x）2+2（－x）（－y）+（－y）2 =x2+2xy+y2； 解法二：（－x－y）2=[－（x+y）] 2=（x+y）2=x2+2xy+y2． （2）解法一：（2y－ 1 3 ）2=（2y）2－2·2y· 1 3 +（ 1 3 ）2 =4y2－ 4 3 y+ 1 9 ． 解法二：（2y－ 1 3 ）2=[2y+（－ 1 3 ）] 2 =（2y）2+2·2y·（－ 1 3 ）+（－ 1 3 ）2 =4y2－ 4 3 y+ 1 9 ． 【例 2】运用乘法公式计算 99992． 解：99992=（104－1）2=108－2×104+1 =100000000－20000+1 =99980001． 三、随堂练习，巩固新知 【基础训练】 （1）（ 3 a － 2 b ）2； （2）（2xy+3）2； （3）（－ab+ 1 3 ）2； （4）（7ab+2）2． 【拓展训练】 （1）（－2x－3）2； （2）（2x+3）2； （3）（2x－3）2； （4）（3－2x）2． 【教师活动】在学生完成“拓展训练”之后，让学生观察一下结 果，看看有什么规律． 【学生活动】分四人小组合作交流，寻找规律如下：把以上所有 的题目都看作两个数的和的完全平方（把减去一个数看作加上一个负 数），如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项都是正的，如果 两个数具有不同的符号，则它们乘积的 2 倍这一项就是负的． 【探研时空】 已知：x+y=－2，xy=3，求 x2+y2． 四、课堂总结，发展潜能 本节课学习了（a±b）2=a2±2ab+b2，两个乘法公式，在应用时， （1）要了解公式的结构和特征．让住每一个公式左右两边的形式特 征，记准指数和系数的符号；（2）掌握公式的几何意义；（3）弄清公 式的变化形式；（4）注意公式在应用中的条件；（5）应灵活地应用公 式来解题． 五、布置作业，专题突破 课本 P112 习题 14．2 第 3、4、8、9 题． 板书设计 14.2.2 完全平方公式（一） 1、完全平方公式 例： （a±b）2=a2±2ab+b2 练习： 教学反思 重视公式的几何背景，较直观地让学生理解代数中的某些问题． 利用拼图游戏，能调动学生的积极性，让学生关注几何与代数之间 的内在联系，增强记忆． 14.3.1 同底数幂的除法 教学目标 1．知识与技能 了解同底数幂的除法的运算性质，并会用其解决实际问题． 2．过程与方法 经历探究同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意 义，发展推理能力和有条件的表达能力． 3．情感、态度与价值观 感受数学法则、公式的简洁美、和谐美． 重、难点与关关键 1．重点：同底数幂的除法法则． 2．难点：同底数幂的除法法则的推导． 3．关键：采用数学类比的方法，引入幂的除法法则． 教学方法 采用“问题解决”教学方法． 教学过程 一、创设情境，导入新知 【情境引入】教科书 P159 问题： 一种数码照片的文件大小是 28K，一个存储量为 26M（1M=210K）的 移动存储器能存储多少张这样的数码照片？你是如何计算的？ 【教师活动】组织学生独立思考完成，然后先组内交流（4 人小 组），接着再全班交流，鼓励学生积极探索，应用数学转化的思想化 陌生为熟悉，鼓励学生算法多样化，同样强调算理的叙述． 【学生活动】完成课本 P159“问题”，踊跃发言，利用除法与乘 法的互逆关系，求出 216÷28=28=256． 【继续探究】 根据除法的意义填空，并观察计算结果，寻找规 律： （1）77÷72=7( )； （2）1012÷107=10( )； （3）x7÷x3=x( )． 【归纳法则】一般地，我们有 am÷an=am－n （a≠0，m，n 都是正整数，m>n）． 文字叙述：同底数的幂相除，底数不变，指数相减． 【教师活动】组织学生讨论为什么规定 a≠0？ 二、范例学习，应用所学 【例 1】计算： （1）x9÷x3； （2）m7÷m； （3）（xy）7÷（xy）2； （4）（m－n）8÷（m－n）4． 【特殊性质】探究课本 P160“探究”题． 根据除法的意义填空，并观察结果的规律： （1）72÷72=（ ）； （2）1005÷1005=（ ） （3）an÷an=（ ）（a≠0） 【课堂活动】在学生完成上面的填空题之后，教师引导学生观察 结论：（1）72÷72=72－2=70； （2）1005÷1005=1005－5=1000； （3）an÷an=an－n=a0（a≠0） 规定 a0=1（a≠0），文字叙述如下： 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1． 【法则拓展】一般，我们有 am÷an=am－n （a≠0，m，n 都是正整数，并且 m≥n），即文字叙述为： 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 三、随堂练习，巩固深化 课本 P104 练习第 1、2、3 题． 【探研时空】 下列计算是否正确？如果不正确，应如何改正？ （1）（－xy）6÷（－xy）2=－x4y4； （2）62m+1÷6m=63=216； （3）x10÷x2÷x=x10÷x=1010． 四、课堂总结，发展潜能 教师提问式总结： 1．同底数幂的除法法则？ 2．a0=1（a≠0）意义？ 3．到目前为止，我们学习了哪些幂的运算法则？谈谈它们的异同 点． 五、布置作业，专题突破 课本 P112 第 1 题． 板书设计 14.3.1 同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则 例： am÷an=am－n 练习： （a≠0，m，n 都是正整数，m>n） 教学反思 14.3.2 单项式除以单项式 教学目标 1．知识与技能 会进行单项式除以单项式运算，理解整式除法运算的算理，发展 有条理的思考及语言表达能力． 2．过程与方法 经历整式乘法的逆运算或约分的思想推理出单项式除以单项式 的运算法则的过程，掌握整式除法运算． 3．情感、态度与价值观 培养学生探索的勇气和信念，增强挑战困难的勇气和信心． 重、难点与关键 1．重点：单项式除以单项式的运算法则． 2．难点：理解单项式除以单项式的法则并应用其法则计算． 3．关键：运用类比数的运算方法切入到整式乘法的单项式乘以 单项式运算法则的理解之中． 教学方法 采用“引导──发现”法进行教学． 教学过程 一、创设情境，导入新知 【激趣引入】 问题提出：林宁今年刚刚 3 岁，是幼儿园里最聪明的孩子，李 老师教他做算术，告诉他 5×6=30 后，他马就知道 30÷5=6，你说他 是怎样计算的呢？ 【学生活动】回答上述问题：林宁利用了除法是乘法的逆运算得 出的结果． 【教师活动】提出话题：我们前几天学习了整式的乘法，现在， 不用老师讲解，你们能开始解决整式的除法运算吗？谁可以告诉我单 项式与单项式相除的法则？ 【学生活动】思考回答：把它们的系数先相除，然后再把相同字 母的幂相除，其他的字母连同它的指数不变，作为商的因式． 【教师活动】引入课题，引导学生运用单项式除以单项式的法则 计算下列几道题目． 【课堂演练】计算： （1）（x5y）÷x3； （2）（16m2n2）÷（2m2n）； （3）（x4y2z）÷（3x2y） 【学生活动】开始计算，然后总结归纳，上台演示，引入课题． 【归纳法则】 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只 在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 二、范例学习，应用所学 【例】计算： （1）63x7y3÷7x3y2； （2）－25a6b4c÷10a4b． 三、随堂练习，巩固深化 课本 P109 练习第 1、2 题． 【探研时空】 已知 10m=5，10n=4，求 102m－3n 的值． 四、课堂总结，发展潜能 单项式除以单项式运算时，要注意： 1．系数相除与同底数的幂相除的区别：后者运算时是将指数相 减，然而前者是有理数的除法． 2．对于单项式除以单项式，仅仅考虑整除的情况． 五、布置作业，专题突破 课本 P112 习题 14．3 第 2、4、7 题． 板书设计 14.3.2 单项式除以单项式 1、单项式除以单项式的除法法则 例： 练习： 教学反思 在独立解题和同伴的相互交流过程中，让学生自己去体会法则， 掌握法则，印象更加深刻，也有利于培养学生良好的思维习惯和主动 参与学习的习惯． 14.3.3 多项式除以单项式 教学目标 1．知识与技能 要求学生能够进行多项式除以单项式的运算，并且理解除法运算 的算理，发展思维能力和表达能力． 2．过程与方法 利用整式除法的逆运算或者约分的方法推理出多项式除以单项 式的运算法则，掌握整式除法的运算． 3．情感、态度与价值观 通过分组讨论学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的 重要性，培养学生的团结协作精神，使学生获得合作交流的学习方式． 重、难点与关键 1．重点：多项式除以单项式的运算法则的推导，以及法则的正 确使用． 2．难点：多项式除以单项式的运算法则的熟练应用． 3．关键：从逆运算入手，利用单项式与单项式相除的除法法则 和分配律总结、归纳出多项式除以单项式的法则． 教学方法 采用“激趣──导学”的教学法． 教学过程 一、小组合作，激趣导学 【课堂演练】 1．（－4a2b）2÷（2ab2） 2．－16（x3y4）3÷（－ 1 2 x4y5）2； 3．（2xy）2·（－ 1 5 x5y3z2）÷（－2x3y2z）4； 4．18xy2÷（－3xy）－4x2y÷（－2xy）． 【教师提问】 “（6xy+8y）÷（2y）”如何计算？ 【学生活动】相互讨论，大多数学生没有找到计算思路． 【教师活动】铺垫一道题目：计算（ad+bd）÷d， 计算： （1）（x3y2+4xy）÷x （2）（xy3－2xy）÷（xy） 【学生活动】分四人小组完成并讨论多项式除以单项式的法则： 多项式与单项式相除可以用分配律将它转化为单项式与单项式相除， 再利用单项式与单项式相除的法则进行计算． 【师生共识】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以 单项式，再把所得的商相加． 二、范例学习，应用所学 【例】计算： （1）（18x4－4x2－2x）÷2x （2）（36x4y3－14x3y2－7x2y2）÷（－7x2y） （3）[（m－n）2－n（2m+n）－8m]÷2m 三、随堂练习，巩固深化 课本 P109 练习题． 【探研时空】下列计算是否正确？如不正确，应怎样改正？ （1）－4ab2÷2ab=2b （2）（14a3－2a2+a）÷a=14a2－2a． 四、课堂总结，发展潜能 多项式除以单项式时应注意运算中的问题：一是所除的商要写成 省略括号的代数和，二是除式与被除式不能交换，还要注意运算顺序， 应灵活地运用有关运算公式． 五、布置作业，专题突破 课本 P114 第 3、5、6、8 题． 板书设计 14.3.3 多项式除以单项式 1、多项式除以单项式的除法法则 例： 练习： 教学反思 要求学生说出式子每一步变形的根据，并要求学生养成检验的好习 惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．培养学生耐心细致、 严谨的数学思维品质，训练学生形成一定的计算能力． 14.4.1 因式分解 教学目标 1．知识与技能 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系． 2．过程与方法 经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念， 感受因式分解在解决问题中的作用． 3．情感、态度与价值观 在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达 与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价 值． 重、难点与关键 1．重点：了解因式分解的意义，感受其作用． 2．难点：整式乘法与因式分解之间的关系． 3．关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理 解． 教学方法 采用“激趣导学”的教学方法． 教学过程 一、创设情境，激趣导入 【问题牵引】 请同学们探究下面的 2 个问题： 问题 1：720 能被哪些数整除？谈谈你的想法． 问题 2：当 a=102，b=98 时，求 a2－b2 的值． 二、丰富联想，展示思维 探索：你会做下面的填空吗？ 1．ma+mb+mc=（ ）（ ）； 2．x2－4=（ ）（ ）； 3．x2－2xy+y2=（ ）2． 【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这 个多项式因式分解，也叫做分解因式． 三、小组活动，共同探究 【问题牵引】 （1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解： ①（x+1）（x－1）=x2－1； ②a2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2； ③7x－7=7（x－1）． （2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立． ①9x2（______）+y2=（3x+y）（_______）； ②x2－4xy+（_______）=（x－_______）2． 四、随堂练习，巩固深化 课本练习． 【探研时空】计算：993－99 能被 100 整除吗？ 五、课堂总结，发展潜能 由学生自己进行小结，教师提出如下纲目： 1．什么叫因式分解？ 2．因式分解与整式运算有何区别？ 六、布置作业，专题突破 选用补充作业． 板书设计 15.4.1 因式分解 1、因式分解 例： 练习： 教学反思 在刚学多项式因式分解时，非常重要的一点是能否正确理解因式分 解与整式乘法的区别和联系．（2）判断多项式是否为因式分解，需要 注意：①因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算，而是把 多项式由一种形式变成另一种形式；②一个多项式的变形是不是因式 分解，关键要看变形后的多项式是否为几个整式的乘积．整式可以是 单项式，也可以是多项式．（3）因式分解是一种恒等变形，因式分 解与整式乘法是互为相反的一种恒等变形，检验因式分解的结果是否 正确，可以利用整式乘法运算看是否与原多项式相等，相同因式之积 应写成幂的形式． 14.4.2 提公因式法 教学目标 1．知识与技能 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因 式． 2．过程与方法 使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方 法进行因式分解． 3．情感、态度与价值观 培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识， 主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值． 重、难点与关键 1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式． 2．难点：正确地确定多项式的最大公因式． 3．关键：提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、 二看字母．公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相 同的字母，并且各字母的指数取最低次幂． 教学方法 采用“启发式”教学方法． 教学过程 一、回顾交流，导入新知 【复习交流】 下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？ （1）2x2+4=2（x2+2）； （2）2t2－3t+1=1 t （2t3－3t2+t）； （3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my； （5）x2－2xy+y2=（x－y）2． 问题： 1．多项式 mn+mb 中各项含有相同因式吗？ 2．多项式 4x2－x 和 xy2－yz－y 呢？ 请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由． 【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多 项式的公因式，如在 mn+mb 中的公因式是 m，在 4x2－x 中的公因式是 x，在 xy2－yz－y 中的公因式是 y． 概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公 因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的 方法叫做提公因式法． 二、小组合作，探究方法 【教师提问】 多项式 4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4 各项的公因 式是什么？ 【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式 除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公 因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且 各字母的指数取最低次幂． 三、范例学习，应用所学 【例 1】把－4x2yz－12xy2z+4xyz 分解因式． 解：－4x2yz－12xy2z+4xyz =－（4x2yz+12xy2z－4xyz） =－4xyz（x+3y－1） 【例 2】分解因式，3a2（x－y）3－4b2（y－x）2 【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－x）2 或（x－ y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（y－x）3 和（x－y）2=（y－x） 2，从而得到下面两种分解方法． 解法 1：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2 =－3a2（y－x）3－4b2（y－x）2 =－[（y－x）2·3a2（y－x）+4b2（y－x）2] =－（y－x）2 [3a2（y－x）+4b2] =－（y－x）2（3a2y－3a2x+4b2） 解法 2：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2 =（x－y）2·3a2（x－y）－4b2（x－y）2 =（x－y）2 [3a2（x－y）－4b2] =（x－y）2（3a2x－3a2y－4b2） 【例 3】用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12． 【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便． 解：0.84×12+12×0.6－0.44×12 =12×（0.84+0.6－0.44） =12×1=12． 【教师活动】在学生完全例 3 之后，指出例 3 是因式分解在计算 中的应用，提出比较例 1，例 2，例 3 的公因式有什么不同？ 四、随堂练习，巩固深化 课本 P115 练习第 1、2、3 题． 【探研时空】 利用提公因式法计算： 0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69 五、课堂总结，发展潜能 1．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．在找最 大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都 有的；（3）指数要找最低次幂． 2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为 止． 六、布置作业，专题突破 课本 P119 习题 14．4 第 1、4（1）、6 题． 板书设计 14.4.2 提公因式法 1、提公因式法 例： 练习： 教学反思 通过比较归纳使学生对公因式的概念有更深刻的认识，所谓公因 式通俗地说就是多项式的各项中共有的“东西”，这个“东西”应从 数、相同字母、相同字母的个数（即最低次数）这几个方面进行考虑， 这个“东西”有时还可以是一个多项式． 14.4.3 公式法（二） 教学目标 1．知识与技能 领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力． 2．过程与方法 经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维 的意义，掌握因式分解的基本步骤． 3．情感、态度与价值观 培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形 成灵活的应用能力． 重、难点与关键 1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用． 2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解． 3．关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式 上的转化，达到能应用公式法分解因式的目的． 教学方法 采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容． 教学过程 一、回顾交流，导入新知 【问题牵引】 1．分解因式： （1）－9x2+4y2； （2）（x+3y）2－（x－3y）2； （3） 9 49 x2－0.01y2． 【知识迁移】 2．计算下列各式： （1）（m－4n）2； （2）（m+4n）2； （3）（a+b）2； （4）（a－b）2． 【教师活动】引导学生完成下面两道题，并运用数学“互逆”的 思想，寻找因式分解的规律． 3．分解因式： （1）m2－8mn+16n2 （2）m2+8mn+16n2； （3）a2+2ab+b2； （4）a2－2ab+b2． 【学生活动】从逆向思维的角度入手，很快得到下面答案： 解：（1）m2－8mn+16n2=（m－4n）2； （2）m2+8mn+16n2=（m+4n） 2； （3）a2+2ab+b2=（a+b）2； （4）a2－2ab+b2=（a－b）2． 【归纳公式】完全平方公式 a2±2ab+b2=（a±b）2． 二、范例学习，应用所学 【例 1】把下列各式分解因式： （1）－4a2b+12ab2－9b3； （2）8a－4a2－4； （3）（x+y）2－14（x+y）+49； （4） 2 2 32 9 3 m n mn +n4． 【例 2】如果 x2+axy+16y2 是完全平方，求 a 的值． 【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况， 即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出 a 的值，即可求出 a3． 三、随堂练习，巩固深化 课本 P170 练习第 1、2 题． 【探研时空】 1．已知 x+y=7，xy=10，求下列各式的值． （1）x2+y2； （2）（x－y）2 2．已知 x+ 1 x =－3，求 x4+ 4 1 x 的值． 四、课堂总结，发展潜能 由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公 式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个： a2－b2=（a+b）（a－b）； a2±ab+b2=（a±b）2． 在运用公式因式分解时，要注意： （1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的 总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是， 当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时， 应考虑用完全平方公式分解；（2）在有些情况下，多项式不一定能 直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分 解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，然后 再运用公式分解． 五、布置作业，专题突破 课本 P171 习题 15．4 第 3、5、7、8 题． 板书设计 14.4.3 公式法（二） 1、完全平方公式： 例： a2±2ab+b2=（a±b）2 练习： 教学反思 14.4.3 公式法（一） 教学目标 1．知识与技能 会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力． 2．过程与方法 经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向 思维，感受数学知识的完整性． 3．情感、态度与价值观 培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用 价值． 重、难点与关键 1．重点：利用平方差公式分解因式． 2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性． 3．关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，对公式的 应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应 用公式的方面上来． 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自 己的思维． 教学过程 一、观察探讨，体验新知 【问题牵引】 请同学们计算下列各式． （1）（a+5）（a－5）； （2）（4m+3n）（4m－3n）． 【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演． （1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25； （2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2． 【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆” 的思想，寻找因式分解的规律． 1．分解因式：a2－25； 2．分解因式 16m2－9n． 【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案： （1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）． （2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）． 【教师活动】引导学生完成 a2－b2=（a+b）（a－b）的同时，导 出课题：用平方差公式因式分解． 平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）． 评析：平方差公式中的字母 a、b，教学中还要强调一下，可以 表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）． 二、范例学习，应用所学 【例 1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书） （1）x2－9y2； （2）16x4－y4； （3）12a2x2－27b2y2； （4）（x+2y）2－（x－3y）2； （5）m2（16x－y）+n2（y－16x）． 【思路点拨】在观察中发现 1～5 题均满足平方差公式的特征， 可以使用平方差公式因式分解． 【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请 5 位学生上讲台板演． 【学生活动】分四人小组，合作探究． 解：（1）x2－9y2=（x+3y）（x－3y）； （2）16x4－y4=（4x2+y2）（4x2－y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2x－y）； （3）12a2x2－27b2y2=3（4a2x2－9b2y2）=3（2ax+3by）（2ax－3by）； （4）（x+2y）2－（x－3y）2=[（x+2y）+（x－3y）][（x+2y）－ （x－3y）] =5y（2x－y）； （5）m2（16x－y）+n2（y－16x） =（16x－y）（m2－n2）=（16x－y）（m+n）（m－n）． 三、随堂练习，巩固深化 课本 P168 练习第 1、2 题． 【探研时空】 1．求证：当 n 是正整数时，n3－n 的值一定是 6 的倍数． 2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的 平方差能被一个奇数整除． 四、课堂总结，发展潜能 运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多 项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考 虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式， 而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二 是分解因式时，每个因式都要分解彻底． 五、布置作业，专题突破 课本 P171 习题 15．4 第 2、4（2）、11 题． 板书设计 14.4.3 公式法（一） 1、平方差公式： 例： a2－b2=（a+b）（a－b） 练习： 教学反思 第十四章 整式的乘除与因式分解复习 教学目标 1．知识与技能 能熟练掌握整式的概念、运算性质和因式分解的概念、分解方法， 逐步形成知识结构． 2．过程与方法 通过图形的变化，从直观认识的角度领会整式运算及因式分解的 知识，渗透数形结合的思想． 3．情感、态度与价值观 提高学生解决问题的能力，发展推理思维，体会数学的应用价值， 增强自信心． 重、难点与关键 1．重点：熟练掌握整式，因式分解的解题方法． 2．难点：灵活地应用乘法公式进行运算或因式分解． 3．关键：系统把握知识点，从互逆的思想弄清整式运算与因式 分解的关系． 教学方法 采取对知识系统“演绎”、“提升”的教学方法． 教学过程 一、数形结合，直观演绎 【解释与比较】 观察下列图形，写出相关的整式乘法公式： （1）如图 1 所示． （2）如图 2 所示． （3）如图 3 所示． （4）如下图在宽为 a 的正方形空 地上修两条互相垂直宽度为 b 的水泥 路，其余的部分种植草坪，你能计算出 草坪的面积吗？ 【教师提问】a2－2ab+b2=（a－b）2，请你用图形反映 （a－b）2 的结果，由图 5可得等式（a+b）2=（a－b）2+______． 【辨析与理解】 （1）（x－y）2=x2－y2； （2）（x+y）（y－x）=x2－y2； （3）（x+3y）（x－3y）=x2－3y2； （4）（x－3y）2=x2－3xy－3y2． （5）分解因式：x2－4=（x－2）2； （6）分解因式：a2±2ab+b2=（a±b）（ab） 【运算与方法】 1 ． 把 图 6 左 框 里 的 等 式 分 别 乘 以 （x+3y），所得的积分别写在右框相应的位 置上． 2．利用乘法公式计算： （1）102 （2）301×299 （3）（m+n）2（m－n）2 3．已知：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，利用这个等式计算： （x－3）（x+7）=_______． （x+5）（x+9）=_______． 【运用与探究】 1．一个正方体的边长为 3cm，则它的体积为多少？表面积为多 少？ 2．一块长方形花坛的面积为 2a2x－4ax3m2，长为 2axm，求它的 宽． 3．长方形花坛的宽为 m 米，长比宽多 4 米，若将长和宽分别增 加 3 米，则增加后长方形的面积为多少？如果已知增加后面积增加了 15 平方米，请计算出原来的长和宽来． 4．有一个正方形的边长为正整数，现将它的边长逐次增加 （每次增加 1），考察其面积的增加量，记录如下．（如图 7 所 示） 原边长 1 2 3 4 … 原面积 1 4 9 16 … 增加后的边长 2 3 4 5 … 增加后的面积 4 9 16 25 … 面积的增加量 3 5 7 9 … 探索面积的增加量，有怎样的规律？请你应用所学知识解释你的 发现． 5．设 a 表示一个两位数，b 表示一个三位数，把 a 放在 b 的左 边，组成一个五位数 m，把 b 放在 a 左边组成一个五位数 n，试问 m －n 能被 9 整除吗？试说明理由． 二、逆向思维，合作学习 做一做： 1．说出下列各式由左到右的变形是否是因式分解，为什么？ （1）a2－81=（a+9）（a－9）；（ ） （2）x2－9+14x=（x+3）（x－3）+14x；（ ） （3）a+a2b=a2（ 1 a +b）；（ ） （4）p（m－n）=pm－pn；（ ） （5）m2+2mn+4=（m+2）2；（ ） （6）a2+4ab+a=a（a+4b）．（ ） 【课堂演练】 演练题 1：把 49（m+n）2－（3m－n）2 分解因式． 演练题 2：分解因式：a3x4－12a3x2y+36a3y2． 三、随堂练习，系统跃进 课本 P175 复习题 15 第 1（4）、2（3）、4（4）、11 题． 【探研时空】 无论 x、y 取何值，多项式 x2+y2－4x+6y+13 的值都是非负数，你 相信吗？请你谈谈其中的原因． 四、课堂总结，发展潜能 由学生分四人小组进行总结． 五、布置作业，专题突破 课本 P176 复习题第 1（3）（5）、2（4）（6）、3．4（3）、5（3）（4）、 6、7、12 题． 板书设计 第十四章 整式的乘除与因式分解复习 知识点 例： 练习： 教学反思 第十五章分式 15.1.1 从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求 出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、教学过程 1．让学生填写[思考]，学生自己依次填出： 7 10 ， a s ， 33 200 ， s v . 2．问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江 以最大航速顺流航行 100 千米所用实践，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设江水的流速为 x 千米/时. 轮船顺流航行 100 千米所用的时间为 v20 100 小时，逆流航行 60 千米 所用时间 v20 60 小时，所以 v20 100 = v20 60 . 3. 以上的式子 v20 100 ， v20 60 ， a s ， s v ，有什么共同点？它们与分数有 什么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即 A÷B）的形式.分 数的分子 A 与分母 B 都是整数，而这些式子中的 A、B 都是整式，并 且 B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？ 由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为 零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义. 即当 B≠0 时，分式 B A 才有意义. 3、例题讲解 P5 例 1. 当 x 为何值时，分式 有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步 23 12   x x 解 出字母 x 的取值范围. (补充)例 2. 当 m 为何值时，分式的值为 0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为 0 时，必须同时．．满足两个条件：○1 分母不能 为零；○2 分子为零，这样求出的 m 的解集中的公共部分，就是这类题 目的解. 4、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 20 9 y , 5 4m , 2 38 y y  ， 9 1 x 2. 当 x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当 x 为何值时，分式的值为 0？ （1） （2） (3) 5、小结： 谈谈你的收获 6、布置作业 7、板书设计 15.1.1 从分数到分式 1、分式概念 2、分式有意义的条件 例： 3、分式的值为零的条件 练习： 四、教学反思： 分式与分数有许多类似之处，研究分式往往要类比分数，学生总 体掌握得不错。 1m m 3 2   m m 1 12   m m 4 52 2   x x x x 23 5   2 3 x x x 5 7 x x 321 7  xx x   2 2 1 15.1.2 分式的基本性质（一） 一、教学目标 1．理解分式的基本性质. 2．会用分式的基本性质将分式约分。 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点 重点: 理解分式的基本性质. 掌握约分。 难点: 灵活应用分式的基本性质将分式约分。 三、教学过程 第一步：课堂引入 1．请同学们考虑： 与 相等吗？ 与 相等吗？为什 么？ 2．说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程， 并说出变形依据？ 3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质. 分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以（或除以）同一个整 式，使分式的值不变.可用式子表示为： B A ＝ CB CA   B A ＝ CB CA   （C ≠0） 第二步：例题讲解 例 2.填空：（1) ca b  1 =   cnan  (2)  2 22 yx yx   =   yx  4 3 20 15 24 9 8 3 4 3 20 15 24 9 8 3 例 3．约分： （1） 5 32 16 4 xyz yzx （2） xy yx   3)(2 第三步：随堂练习 1．填空： (1) xx x 3 2 2 2  =   3x (2) 3 23 8 6 b ba =   33a 2．约分： （1） cab ba 2 2 6 3 （2） 2 2 2 8 mn nm 第四步：小结 谈谈你的收获 第五步：布置作业 第六步：板书设计 15.1.2 分式的基本性质（一） 1、分式的基本性质 例： 2、约分 练习： 四、教学反思： 15.1.2 分式的基本性质（二） 一、教学目标 1．理解分式的基本性质. 2．会用分式的基本性质将分式通分。 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点 重点: 理解分式的基本性质. 掌握通分。 难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形。 三、教学过程 第一步：复习引入 1．判断下列约分是否正确： （1） cb ca   = b a （2） 22 yx yx   = yx  1 （3） nm nm   =0 2．通分 和 、 和 第二步：例题讲解 4 3 6 5 12 1 8 3 3 2 例 4．通分：（1） 22 3 ab c 和 28bc a （2） 1 1 y 和 1 1 y [分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数， 以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母. 第三步：随堂练习 1．通分： （1） 32 1 ab 和 cba 225 2 （2） xy a 2 和 23x b 第四步：小结 谈谈你的收获 第五步：布置作业 四、教学反思： 15．2．1 分式的乘除(一) 一、教学目标： 1、理解分式乘除法的法则 2、会进行分式乘除运算. 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点 1．重点：会用分式乘除的法则进行运算. 2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 三、教学过程 1、课堂引入 1.出示 P13 本节的引入的问题 1 求容积的高 n m ab v  ，问题 2 求大拖 拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的       n b m a 倍. [引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们 就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入 手，类比出分式的乘除法法则. 1、 P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则. 2．[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除 法法则？ 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. 2、例题讲解 P14 例 1. （1） 3 22 5 4 2 n m m n  （2）      xx y 2 7 [分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该 注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一 样，先判断运算符号，在计算结果. P15 例 2. (1) 44 1 12 4 2 2 2 2     aa a aa a (2) )3(2 962 yy yy   [分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式 分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多 个多项式相乘是不必把它们展开. P15 例. [分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积 产量最高？先分别求出“丰收 1 号”、“丰收 2 号”小麦试验田的面积， 再分别求出“丰收 1 号”、“丰收 2 号”小麦试验田的单位面积产量， 分别是 1 500 2 a 、  21 500 a ，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大. 要根据问题的实际意义可知 a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1AB′，而 AB′=AC+CB′=AC+CB，则有 AC+CBn）． 文字叙述：同底数的幂相除，底数不变，指数相减． 【教师活动】组织学生讨论为什么规定 a≠0？ 二、范例学习，应用所学 【例 1】计算： （1）x9÷x3； （2）m7÷m； （3）（xy）7÷（xy）2； （4）（m－n）8÷（m－n）4． 【特殊性质】探究课本 P160“探究”题． 根据除法的意义填空，并观察结果的规律： （1）72÷72=（ ）； （2）1005÷1005=（ ） （3）an÷an=（ ）（a≠0） 【课堂活动】在学生完成上面的填空题之后，教师引导学生观察 结论：（1）72÷72=72－2=70； （2）1005÷1005=1005－5=1000； （3）an÷an=an－n=a0（a≠0） 规定 a0=1（a≠0），文字叙述如下： 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1． 【法则拓展】一般，我们有 am÷an=am－n （a≠0，m，n 都是正整数，并且 m≥n），即文字叙述为： 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 三、随堂练习，巩固深化 课本 P104 练习第 1、2、3 题． 【探研时空】 下列计算是否正确？如果不正确，应如何改正？ （1）（－xy）6÷（－xy）2=－x4y4； （2）62m+1÷6m=63=216； （3）x10÷x2÷x=x10÷x=1010． 四、课堂总结，发展潜能 教师提问式总结： 1．同底数幂的除法法则？ 2．a0=1（a≠0）意义？ 3．到目前为止，我们学习了哪些幂的运算法则？谈谈它们的异同 点． 五、布置作业，专题突破 课本 P112 第 1 题． 板书设计 14.3.1 同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则 例： am÷an=am－n 练习： （a≠0，m，n 都是正整数，m>n） 教学反思 14.3.2 单项式除以单项式 教学目标 1．知识与技能 会进行单项式除以单项式运算，理解整式除法运算的算理，发展 有条理的思考及语言表达能力． 2．过程与方法 经历整式乘法的逆运算或约分的思想推理出单项式除以单项式 的运算法则的过程，掌握整式除法运算． 3．情感、态度与价值观 培养学生探索的勇气和信念，增强挑战困难的勇气和信心． 重、难点与关键 1．重点：单项式除以单项式的运算法则． 2．难点：理解单项式除以单项式的法则并应用其法则计算． 3．关键：运用类比数的运算方法切入到整式乘法的单项式乘以 单项式运算法则的理解之中． 教学方法 采用“引导──发现”法进行教学． 教学过程 一、创设情境，导入新知 【激趣引入】 问题提出：林宁今年刚刚 3 岁，是幼儿园里最聪明的孩子，李 老师教他做算术，告诉他 5×6=30 后，他马就知道 30÷5=6，你说他 是怎样计算的呢？ 【学生活动】回答上述问题：林宁利用了除法是乘法的逆运算得 出的结果． 【教师活动】提出话题：我们前几天学习了整式的乘法，现在， 不用老师讲解，你们能开始解决整式的除法运算吗？谁可以告诉我单 项式与单项式相除的法则？ 【学生活动】思考回答：把它们的系数先相除，然后再把相同字 母的幂相除，其他的字母连同它的指数不变，作为商的因式． 【教师活动】引入课题，引导学生运用单项式除以单项式的法则 计算下列几道题目． 【课堂演练】计算： （1）（x5y）÷x3； （2）（16m2n2）÷（2m2n）； （3）（x4y2z）÷（3x2y） 【学生活动】开始计算，然后总结归纳，上台演示，引入课题． 【归纳法则】 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只 在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 二、范例学习，应用所学 【例】计算： （1）63x7y3÷7x3y2； （2）－25a6b4c÷10a4b． 三、随堂练习，巩固深化 课本 P109 练习第 1、2 题． 【探研时空】 已知 10m=5，10n=4，求 102m－3n 的值． 四、课堂总结，发展潜能 单项式除以单项式运算时，要注意： 1．系数相除与同底数的幂相除的区别：后者运算时是将指数相 减，然而前者是有理数的除法． 2．对于单项式除以单项式，仅仅考虑整除的情况． 五、布置作业，专题突破 课本 P112 习题 14．3 第 2、4、7 题． 板书设计 14.3.2 单项式除以单项式 1、单项式除以单项式的除法法则 例： 练习： 教学反思 在独立解题和同伴的相互交流过程中，让学生自己去体会法则， 掌握法则，印象更加深刻，也有利于培养学生良好的思维习惯和主动 参与学习的习惯． 14.3.3 多项式除以单项式 教学目标 1．知识与技能 要求学生能够进行多项式除以单项式的运算，并且理解除法运算 的算理，发展思维能力和表达能力． 2．过程与方法 利用整式除法的逆运算或者约分的方法推理出多项式除以单项 式的运算法则，掌握整式除法的运算． 3．情感、态度与价值观 通过分组讨论学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的 重要性，培养学生的团结协作精神，使学生获得合作交流的学习方式． 重、难点与关键 1．重点：多项式除以单项式的运算法则的推导，以及法则的正 确使用． 2．难点：多项式除以单项式的运算法则的熟练应用． 3．关键：从逆运算入手，利用单项式与单项式相除的除法法则 和分配律总结、归纳出多项式除以单项式的法则． 教学方法 采用“激趣──导学”的教学法． 教学过程 一、小组合作，激趣导学 【课堂演练】 1．（－4a2b）2÷（2ab2） 2．－16（x3y4）3÷（－ 1 2 x4y5）2； 3．（2xy）2·（－ 1 5 x5y3z2）÷（－2x3y2z）4； 4．18xy2÷（－3xy）－4x2y÷（－2xy）． 【教师提问】 “（6xy+8y）÷（2y）”如何计算？ 【学生活动】相互讨论，大多数学生没有找到计算思路． 【教师活动】铺垫一道题目：计算（ad+bd）÷d， 计算： （1）（x3y2+4xy）÷x （2）（xy3－2xy）÷（xy） 【学生活动】分四人小组完成并讨论多项式除以单项式的法则： 多项式与单项式相除可以用分配律将它转化为单项式与单项式相除， 再利用单项式与单项式相除的法则进行计算． 【师生共识】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以 单项式，再把所得的商相加． 二、范例学习，应用所学 【例】计算： （1）（18x4－4x2－2x）÷2x （2）（36x4y3－14x3y2－7x2y2）÷（－7x2y） （3）[（m－n）2－n（2m+n）－8m]÷2m 三、随堂练习，巩固深化 课本 P109 练习题． 【探研时空】下列计算是否正确？如不正确，应怎样改正？ （1）－4ab2÷2ab=2b （2）（14a3－2a2+a）÷a=14a2－2a． 四、课堂总结，发展潜能 多项式除以单项式时应注意运算中的问题：一是所除的商要写成 省略括号的代数和，二是除式与被除式不能交换，还要注意运算顺序， 应灵活地运用有关运算公式． 五、布置作业，专题突破 课本 P114 第 3、5、6、8 题． 板书设计 14.3.3 多项式除以单项式 1、多项式除以单项式的除法法则 例： 练习： 教学反思 要求学生说出式子每一步变形的根据，并要求学生养成检验的好习 惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．培养学生耐心细致、 严谨的数学思维品质，训练学生形成一定的计算能力． 14.4.1 因式分解 教学目标 1．知识与技能 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系． 2．过程与方法 经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念， 感受因式分解在解决问题中的作用． 3．情感、态度与价值观 在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达 与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价 值． 重、难点与关键 1．重点：了解因式分解的意义，感受其作用． 2．难点：整式乘法与因式分解之间的关系． 3．关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理 解． 教学方法 采用“激趣导学”的教学方法． 教学过程 一、创设情境，激趣导入 【问题牵引】 请同学们探究下面的 2 个问题： 问题 1：720 能被哪些数整除？谈谈你的想法． 问题 2：当 a=102，b=98 时，求 a2－b2 的值． 二、丰富联想，展示思维 探索：你会做下面的填空吗？ 1．ma+mb+mc=（ ）（ ）； 2．x2－4=（ ）（ ）； 3．x2－2xy+y2=（ ）2． 【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这 个多项式因式分解，也叫做分解因式． 三、小组活动，共同探究 【问题牵引】 （1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解： ①（x+1）（x－1）=x2－1； ②a2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2； ③7x－7=7（x－1）． （2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立． ①9x2（______）+y2=（3x+y）（_______）； ②x2－4xy+（_______）=（x－_______）2． 四、随堂练习，巩固深化 课本练习． 【探研时空】计算：993－99 能被 100 整除吗？ 五、课堂总结，发展潜能 由学生自己进行小结，教师提出如下纲目： 1．什么叫因式分解？ 2．因式分解与整式运算有何区别？ 六、布置作业，专题突破 选用补充作业． 板书设计 15.4.1 因式分解 1、因式分解 例： 练习： 教学反思 在刚学多项式因式分解时，非常重要的一点是能否正确理解因式分 解与整式乘法的区别和联系．（2）判断多项式是否为因式分解，需要 注意：①因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算，而是把 多项式由一种形式变成另一种形式；②一个多项式的变形是不是因式 分解，关键要看变形后的多项式是否为几个整式的乘积．整式可以是 单项式，也可以是多项式．（3）因式分解是一种恒等变形，因式分 解与整式乘法是互为相反的一种恒等变形，检验因式分解的结果是否 正确，可以利用整式乘法运算看是否与原多项式相等，相同因式之积 应写成幂的形式． 14.4.2 提公因式法 教学目标 1．知识与技能 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因 式． 2．过程与方法 使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方 法进行因式分解． 3．情感、态度与价值观 培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识， 主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值． 重、难点与关键 1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式． 2．难点：正确地确定多项式的最大公因式． 3．关键：提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、 二看字母．公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相 同的字母，并且各字母的指数取最低次幂． 教学方法 采用“启发式”教学方法． 教学过程 一、回顾交流，导入新知 【复习交流】 下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？ （1）2x2+4=2（x2+2）； （2）2t2－3t+1=1 t （2t3－3t2+t）； （3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my； （5）x2－2xy+y2=（x－y）2． 问题： 1．多项式 mn+mb 中各项含有相同因式吗？ 2．多项式 4x2－x 和 xy2－yz－y 呢？ 请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由． 【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多 项式的公因式，如在 mn+mb 中的公因式是 m，在 4x2－x 中的公因式是 x，在 xy2－yz－y 中的公因式是 y． 概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公 因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的 方法叫做提公因式法． 二、小组合作，探究方法 【教师提问】 多项式 4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4 各项的公因 式是什么？ 【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式 除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公 因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且 各字母的指数取最低次幂． 三、范例学习，应用所学 【例 1】把－4x2yz－12xy2z+4xyz 分解因式． 解：－4x2yz－12xy2z+4xyz =－（4x2yz+12xy2z－4xyz） =－4xyz（x+3y－1） 【例 2】分解因式，3a2（x－y）3－4b2（y－x）2 【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－x）2 或（x－ y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（y－x）3 和（x－y）2=（y－x） 2，从而得到下面两种分解方法． 解法 1：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2 =－3a2（y－x）3－4b2（y－x）2 =－[（y－x）2·3a2（y－x）+4b2（y－x）2] =－（y－x）2 [3a2（y－x）+4b2] =－（y－x）2（3a2y－3a2x+4b2） 解法 2：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2 =（x－y）2·3a2（x－y）－4b2（x－y）2 =（x－y）2 [3a2（x－y）－4b2] =（x－y）2（3a2x－3a2y－4b2） 【例 3】用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12． 【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便． 解：0.84×12+12×0.6－0.44×12 =12×（0.84+0.6－0.44） =12×1=12． 【教师活动】在学生完全例 3 之后，指出例 3 是因式分解在计算 中的应用，提出比较例 1，例 2，例 3 的公因式有什么不同？ 四、随堂练习，巩固深化 课本 P115 练习第 1、2、3 题． 【探研时空】 利用提公因式法计算： 0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69 五、课堂总结，发展潜能 1．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．在找最 大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都 有的；（3）指数要找最低次幂． 2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为 止． 六、布置作业，专题突破 课本 P119 习题 14．4 第 1、4（1）、6 题． 板书设计 14.4.2 提公因式法 1、提公因式法 例： 练习： 教学反思 通过比较归纳使学生对公因式的概念有更深刻的认识，所谓公因 式通俗地说就是多项式的各项中共有的“东西”，这个“东西”应从 数、相同字母、相同字母的个数（即最低次数）这几个方面进行考虑， 这个“东西”有时还可以是一个多项式． 14.4.3 公式法（二） 教学目标 1．知识与技能 领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力． 2．过程与方法 经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维 的意义，掌握因式分解的基本步骤． 3．情感、态度与价值观 培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形 成灵活的应用能力． 重、难点与关键 1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用． 2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解． 3．关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式 上的转化，达到能应用公式法分解因式的目的． 教学方法 采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容． 教学过程 一、回顾交流，导入新知 【问题牵引】 1．分解因式： （1）－9x2+4y2； （2）（x+3y）2－（x－3y）2； （3） 9 49 x2－0.01y2． 【知识迁移】 2．计算下列各式： （1）（m－4n）2； （2）（m+4n）2； （3）（a+b）2； （4）（a－b）2． 【教师活动】引导学生完成下面两道题，并运用数学“互逆”的 思想，寻找因式分解的规律． 3．分解因式： （1）m2－8mn+16n2 （2）m2+8mn+16n2； （3）a2+2ab+b2； （4）a2－2ab+b2． 【学生活动】从逆向思维的角度入手，很快得到下面答案： 解：（1）m2－8mn+16n2=（m－4n）2； （2）m2+8mn+16n2=（m+4n） 2； （3）a2+2ab+b2=（a+b）2； （4）a2－2ab+b2=（a－b）2． 【归纳公式】完全平方公式 a2±2ab+b2=（a±b）2． 二、范例学习，应用所学 【例 1】把下列各式分解因式： （1）－4a2b+12ab2－9b3； （2）8a－4a2－4； （3）（x+y）2－14（x+y）+49； （4） 2 2 32 9 3 m n mn +n4． 【例 2】如果 x2+axy+16y2 是完全平方，求 a 的值． 【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况， 即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出 a 的值，即可求出 a3． 三、随堂练习，巩固深化 课本 P170 练习第 1、2 题． 【探研时空】 1．已知 x+y=7，xy=10，求下列各式的值． （1）x2+y2； （2）（x－y）2 2．已知 x+ 1 x =－3，求 x4+ 4 1 x 的值． 四、课堂总结，发展潜能 由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公 式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个： a2－b2=（a+b）（a－b）； a2±ab+b2=（a±b）2． 在运用公式因式分解时，要注意： （1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的 总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是， 当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时， 应考虑用完全平方公式分解；（2）在有些情况下，多项式不一定能 直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分 解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，然后 再运用公式分解． 五、布置作业，专题突破 课本 P171 习题 15．4 第 3、5、7、8 题． 板书设计 14.4.3 公式法（二） 1、完全平方公式： 例： a2±2ab+b2=（a±b）2 练习： 教学反思 14.4.3 公式法（一） 教学目标 1．知识与技能 会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力． 2．过程与方法 经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向 思维，感受数学知识的完整性． 3．情感、态度与价值观 培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用 价值． 重、难点与关键 1．重点：利用平方差公式分解因式． 2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性． 3．关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，对公式的 应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应 用公式的方面上来． 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自 己的思维． 教学过程 一、观察探讨，体验新知 【问题牵引】 请同学们计算下列各式． （1）（a+5）（a－5）； （2）（4m+3n）（4m－3n）． 【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演． （1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25； （2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2． 【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆” 的思想，寻找因式分解的规律． 1．分解因式：a2－25； 2．分解因式 16m2－9n． 【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案： （1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）． （2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）． 【教师活动】引导学生完成 a2－b2=（a+b）（a－b）的同时，导 出课题：用平方差公式因式分解． 平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）． 评析：平方差公式中的字母 a、b，教学中还要强调一下，可以 表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）． 二、范例学习，应用所学 【例 1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书） （1）x2－9y2； （2）16x4－y4； （3）12a2x2－27b2y2； （4）（x+2y）2－（x－3y）2； （5）m2（16x－y）+n2（y－16x）． 【思路点拨】在观察中发现 1～5 题均满足平方差公式的特征， 可以使用平方差公式因式分解． 【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请 5 位学生上讲台板演． 【学生活动】分四人小组，合作探究． 解：（1）x2－9y2=（x+3y）（x－3y）； （2）16x4－y4=（4x2+y2）（4x2－y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2x－y）； （3）12a2x2－27b2y2=3（4a2x2－9b2y2）=3（2ax+3by）（2ax－3by）； （4）（x+2y）2－（x－3y）2=[（x+2y）+（x－3y）][（x+2y）－ （x－3y）] =5y（2x－y）； （5）m2（16x－y）+n2（y－16x） =（16x－y）（m2－n2）=（16x－y）（m+n）（m－n）． 三、随堂练习，巩固深化 课本 P168 练习第 1、2 题． 【探研时空】 1．求证：当 n 是正整数时，n3－n 的值一定是 6 的倍数． 2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的 平方差能被一个奇数整除． 四、课堂总结，发展潜能 运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多 项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考 虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式， 而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二 是分解因式时，每个因式都要分解彻底． 五、布置作业，专题突破 课本 P171 习题 15．4 第 2、4（2）、11 题． 板书设计 14.4.3 公式法（一） 1、平方差公式： 例： a2－b2=（a+b）（a－b） 练习： 教学反思 第十四章 整式的乘除与因式分解复习 教学目标 1．知识与技能 能熟练掌握整式的概念、运算性质和因式分解的概念、分解方法， 逐步形成知识结构． 2．过程与方法 通过图形的变化，从直观认识的角度领会整式运算及因式分解的 知识，渗透数形结合的思想． 3．情感、态度与价值观 提高学生解决问题的能力，发展推理思维，体会数学的应用价值， 增强自信心． 重、难点与关键 1．重点：熟练掌握整式，因式分解的解题方法． 2．难点：灵活地应用乘法公式进行运算或因式分解． 3．关键：系统把握知识点，从互逆的思想弄清整式运算与因式 分解的关系． 教学方法 采取对知识系统“演绎”、“提升”的教学方法． 教学过程 一、数形结合，直观演绎 【解释与比较】 观察下列图形，写出相关的整式乘法公式： （1）如图 1 所示． （2）如图 2 所示． （3）如图 3 所示． （4）如下图在宽为 a 的正方形空 地上修两条互相垂直宽度为 b 的水泥 路，其余的部分种植草坪，你能计算出 草坪的面积吗？ 【教师提问】a2－2ab+b2=（a－b）2，请你用图形反映 （a－b）2 的结果，由图 5可得等式（a+b）2=（a－b）2+______． 【辨析与理解】 （1）（x－y）2=x2－y2； （2）（x+y）（y－x）=x2－y2； （3）（x+3y）（x－3y）=x2－3y2； （4）（x－3y）2=x2－3xy－3y2． （5）分解因式：x2－4=（x－2）2； （6）分解因式：a2±2ab+b2=（a±b）（ab） 【运算与方法】 1 ． 把 图 6 左 框 里 的 等 式 分 别 乘 以 （x+3y），所得的积分别写在右框相应的位 置上． 2．利用乘法公式计算： （1）102 （2）301×299 （3）（m+n）2（m－n）2 3．已知：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，利用这个等式计算： （x－3）（x+7）=_______． （x+5）（x+9）=_______． 【运用与探究】 1．一个正方体的边长为 3cm，则它的体积为多少？表面积为多 少？ 2．一块长方形花坛的面积为 2a2x－4ax3m2，长为 2axm，求它的 宽． 3．长方形花坛的宽为 m 米，长比宽多 4 米，若将长和宽分别增 加 3 米，则增加后长方形的面积为多少？如果已知增加后面积增加了 15 平方米，请计算出原来的长和宽来． 4．有一个正方形的边长为正整数，现将它的边长逐次增加 （每次增加 1），考察其面积的增加量，记录如下．（如图 7 所 示） 原边长 1 2 3 4 … 原面积 1 4 9 16 … 增加后的边长 2 3 4 5 … 增加后的面积 4 9 16 25 … 面积的增加量 3 5 7 9 … 探索面积的增加量，有怎样的规律？请你应用所学知识解释你的 发现． 5．设 a 表示一个两位数，b 表示一个三位数，把 a 放在 b 的左 边，组成一个五位数 m，把 b 放在 a 左边组成一个五位数 n，试问 m －n 能被 9 整除吗？试说明理由． 二、逆向思维，合作学习 做一做： 1．说出下列各式由左到右的变形是否是因式分解，为什么？ （1）a2－81=（a+9）（a－9）；（ ） （2）x2－9+14x=（x+3）（x－3）+14x；（ ） （3）a+a2b=a2（ 1 a +b）；（ ） （4）p（m－n）=pm－pn；（ ） （5）m2+2mn+4=（m+2）2；（ ） （6）a2+4ab+a=a（a+4b）．（ ） 【课堂演练】 演练题 1：把 49（m+n）2－（3m－n）2 分解因式． 演练题 2：分解因式：a3x4－12a3x2y+36a3y2． 三、随堂练习，系统跃进 课本 P175 复习题 15 第 1（4）、2（3）、4（4）、11 题． 【探研时空】 无论 x、y 取何值，多项式 x2+y2－4x+6y+13 的值都是非负数，你 相信吗？请你谈谈其中的原因． 四、课堂总结，发展潜能 由学生分四人小组进行总结． 五、布置作业，专题突破 课本 P176 复习题第 1（3）（5）、2（4）（6）、3．4（3）、5（3）（4）、 6、7、12 题． 板书设计 第十四章 整式的乘除与因式分解复习 知识点 例： 练习： 教学反思 第十五章分式 15.1.1 从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求 出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、教学过程 1．让学生填写[思考]，学生自己依次填出： 7 10 ， a s ， 33 200 ， s v . 2．问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江 以最大航速顺流航行 100 千米所用实践，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设江水的流速为 x 千米/时. 轮船顺流航行 100 千米所用的时间为 v20 100 小时，逆流航行 60 千米 所用时间 v20 60 小时，所以 v20 100 = v20 60 . 3. 以上的式子 v20 100 ， v20 60 ， a s ， s v ，有什么共同点？它们与分数有 什么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即 A÷B）的形式.分 数的分子 A 与分母 B 都是整数，而这些式子中的 A、B 都是整式，并 且 B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？ 由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为 零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义. 即当 B≠0 时，分式 B A 才有意义. 3、例题讲解 P5 例 1. 当 x 为何值时，分式 有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步 解 出字母 x 的取值范围. (补充)例 2. 当 m 为何值时，分式的值为 0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为 0 时，必须同时．．满足两个条件：○1 分母不能 为零；○2 分子为零，这样求出的 m 的解集中的公共部分，就是这类题 目的解. 4、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 20 9 y , 5 4m , 2 38 y y  ， 9 1 x 2. 当 x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当 x 为何值时，分式的值为 0？ （1） （2） (3) 5、小结： 1m m 3 2   m m 1 12   m m 4 52 2   x x x x 23 5   2 3 x x x 5 7 x x 321 7  xx x   2 2 1 23 12   x x 谈谈你的收获 6、布置作业 7、板书设计 15.1.1 从分数到分式 1、分式概念 2、分式有意义的条件 例： 3、分式的值为零的条件 练习： 四、教学反思： 分式与分数有许多类似之处，研究分式往往要类比分数，学生总 体掌握得不错。 15.1.2 分式的基本性质（一） 一、教学目标 1．理解分式的基本性质. 2．会用分式的基本性质将分式约分。 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点 重点: 理解分式的基本性质. 掌握约分。 难点: 灵活应用分式的基本性质将分式约分。 三、教学过程 第一步：课堂引入 1．请同学们考虑： 与 相等吗？ 与 相等吗？为什 么？ 2．说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程， 并说出变形依据？ 3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质. 分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以（或除以）同一个整 式，使分式的值不变.可用式子表示为： B A ＝ CB CA   B A ＝ CB CA   （C ≠0） 第二步：例题讲解 例 2.填空：（1) ca b  1 =   cnan  (2)  2 22 yx yx   =   yx  例 3．约分： （1） 5 32 16 4 xyz yzx （2） xy yx   3)(2 第三步：随堂练习 1．填空： (1) xx x 3 2 2 2  =   3x (2) 3 23 8 6 b ba =   33a 2．约分： （1） cab ba 2 2 6 3 （2） 2 2 2 8 mn nm 第四步：小结 谈谈你的收获 第五步：布置作业 第六步：板书设计 15.1.2 分式的基本性质（一） 1、分式的基本性质 例： 4 3 20 15 24 9 8 3 4 3 20 15 24 9 8 3 2、约分 练习： 四、教学反思： 15.1.2 分式的基本性质（二） 一、教学目标 1．理解分式的基本性质. 2．会用分式的基本性质将分式通分。 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点 重点: 理解分式的基本性质. 掌握通分。 难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形。 三、教学过程 第一步：复习引入 1．判断下列约分是否正确： （1） cb ca   = b a （2） 22 yx yx   = yx  1 （3） nm nm   =0 2．通分 和 、 和 第二步：例题讲解 例 4．通分：（1） 22 3 ab c 和 28bc a （2） 1 1 y 和 1 1 y [分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数， 以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母. 第三步：随堂练习 1．通分： （1） 32 1 ab 和 cba 225 2 （2） xy a 2 和 23x b 第四步：小结 谈谈你的收获 第五步：布置作业 四、教学反思： 15．2．1 分式的乘除(一) 一、教学目标： 4 3 6 5 12 1 8 3 3 2 1、理解分式乘除法的法则 2、会进行分式乘除运算. 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点 1．重点：会用分式乘除的法则进行运算. 2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 三、教学过程 1、课堂引入 1.出示 P13 本节的引入的问题 1 求容积的高 n m ab v  ，问题 2 求大拖 拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的       n b m a 倍. [引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们 就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入 手，类比出分式的乘除法法则. 2、 P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则. 2．[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除 法法则？ 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. 2、例题讲解 P14 例 1. （1） 3 22 5 4 2 n m m n  （2）      xx y 2 7 [分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该 注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一 样，先判断运算符号，在计算结果. P15 例 2. (1) 44 1 12 4 2 2 2 2     aa a aa a (2) )3(2 962 yy yy   [分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式 分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多 个多项式相乘是不必把它们展开. P15 例. [分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积 产量最高？先分别求出“丰收 1 号”、“丰收 2 号”小麦试验田的面积， 再分别求出“丰收 1 号”、“丰收 2 号”小麦试验田的单位面积产量， 分别是 1 500 2 a 、  21 500 a ，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大. 要根据问题的实际意义可知 a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1