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- 2021-11-01 发布
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第13章 全等三角形
13.4 尺规作图
1 经过一已知点作已知直线的垂线
2 作已知线段的垂直平分线
1.回顾已经学过的基本作图有哪几种?
2.点与直线的位置关系有几种情况?
(1)点在直线上;(2)点在直线外.
3.经过一已知点作已知直线的垂线有可以分为几种情况?
两种.
【基本作图】
(1)作一条线段等于已知线段;
(2)作一个角等于已知角;
(3)作已知角的平分线.
经过一已知点作已知直线的垂线
基本作图4: 经过一已知点作已知直线的垂线.
可分为两种情况来讨论:
1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线.
2.经过已知直线外一点作已知直线的垂线.
1
1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线
已知直线AB和AB上一点C,试按下列步骤用直尺
和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
如图,由于点C在直线AB上,因此所求作
的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线.
第一步:作平角ACB的平分线CD;
第二步:反向延长射线CD.
D
CA B
A BC
2.经过已知直线外一点作已知直线的垂线.
已知直线AB和AB外一点C,试按下列步骤用直尺
和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
A B
C步骤:
(1)以点C为圆心,作弧与直线AB相交于点
D、点E;
(2)作∠DCE的平分线CF.
直线CF就是所要求作的垂线.
D E
F
【例1】 利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
作法:
1.作直线AB;
2.过点A作直线AB的垂线AC;
3.作∠CAB的平分线AD.
∠DAB就是所要求作的角.
作已知线段的垂直平分线
步骤:
第一步:分别以点A和点B为圆心、
大于AB一半的长为半径作圆弧,两弧
相交于点C和点D;
第二步:作直线CD.
直线CD就是所要求作的线段AB
的垂直平分线.
C
A B
D
如图,已知线段AB,试按下列步骤用直尺和圆规准确
地作出线段AB的垂直平分线.
2
【想一想】为什么CD是线段AB的垂直平分线呢?你能给出
证明吗?
证明:如图,连结CA、CB、DA、DB.
∵AC=BC,AD=BD,CD=CD,
∴△ACD≌△BCD(S.S.S.).
∴∠ACD=∠BCD(全等三角形的对应角
相等).
∴CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线
合一”).
C
A B
D
通过上面的作图,你还能发现什么?你会作任意
一个三角形的三条中线吗?
通过作图,知道直线CD与线段AB的交点就是AB
的中点,因此我们可以用这种方法作出线段AB的中点,
从而可以作出任意一个三角形的的三条中线
【探究讨论】
【例2】 如图,A、B是路边两个新建小区,要在公路边增设
一个公共汽车站,使两个小区到车站的路程一样长,该公共
汽车站应建在什么地方?
A
B
分析:增设的公共汽车站要
满足到两个小区的路程一样
长,应在线段AB的垂直平
分线上,又要在公路边上,
所以找到AB的垂直平分线
与公路的交点便是.
公共汽车站
1.如图,点P在∠O的一边上,试过点P作∠O两边的垂线.
(第 1 题)
P
2.如图,作△ABC边BC上的高.
(第 2 题)
3.四等分已知线段AB.
4.作△ABC 的三边的垂直平分线
(第 2 题)
A B
5. 如图,八(1)班与八(2)班两个班的学生分别在M,N两处
参加植树劳动,现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供
应点P,使P到两条道路的距离相等,且PM=PN,请你用折纸的
方法找出P点并说明理由.
M
N
B
A
P
C
经过一已知
点作已知直
线的垂线
经过已知直线上一点作已知直线
的垂线,实质是作一个平角的平分线,
并将角的平分线反向延长
经过已知直线外一点作已知直
线的垂线,实质是作以直线外这一
点为顶点,底在直线上的等腰三角
形的顶角的平分线
线段垂直平
分线的尺规
作图
作已知线段的垂直平分线理论依据
是:判定三角形全等的“边边边”
对于语言叙述类的画图问题,应先画
草图,再写已知、求作、作法.