2020八年级数学上册第13章全等三角形13 10页

‎ [13.2　6.斜边直角边]‎ ‎　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．在下列条件中不能判定直角三角形全等的是(　　)‎ A．两条直角边分别相等 B．斜边和一个锐角分别相等 C．两个锐角分别相等 D．斜边和一条直角边分别相等 ‎2．如图K－28－1，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则判定△ABC≌△DCB的依据是(　　)‎ A．H.L. B．A.S.A.‎ C．A.A.S. D．S.A.S.‎ 图K－28－1‎ ‎3．如图K－28－2，若要用“H.L.”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件(　　)‎ ‎　　　‎ 图K－28－2‎ A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确 10‎ ‎4．如图K－28－3，已知BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝‎8 cm，DE＝‎6 cm，则AC等于(　　)‎ A．‎10 cm B．‎‎12 cm C．‎14 cm D．‎‎16 cm 图K－28－3‎ ‎5．如图K－28－4，在△ABC中，P是BC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②RB＝SC；③PB＝PC.其中正确的有(　　)‎ ‎　　　‎ 图K－28－4‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 ‎6．在△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，BC＝B′C′，再添加一个条件，使△ABC≌△A′B′C′，写出所有可能添加的条件：________________________________．‎ ‎7．如图K－28－5，在四边形ABCD中，AD＝CB，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE＝BF，则图中的全等三角形共有________对，其中可根据“H.L.”推出的全等三角形有________对．‎ 图K－28－5‎ ‎8．如图K－28－6所示，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝‎10 cm，BC＝‎5 cm，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，线段PQ＝AB，当AP＝________cm时，才能使△ABC≌△QPA 10‎ 图K－28－6‎ 三、解答题 ‎9．如图K－28－7所示，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.试说明EB＝FC. 图K－28－7‎ ‎10．如图K－28－8，点E，A，D，B在同一条直线上，CA⊥EB，FD⊥EB，CA＝FD，CE＝FB.‎ 求证：BC＝EF.‎ 图K－28－8‎ ‎11．如图K－28－9，已知AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.‎ 图K－28－9‎ 10‎ ‎12．如图K－28－10，已知在△ABC和△A′B′C′中，CD，C′D′分别是边AB，A′B′上的高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′.‎ 求证：△ABC≌△A′B′C′.‎ 图K－28－10‎ ‎　　　　　　　　　　　　‎ ‎【拓展运用】2017·河南期中学习了三角形全等的判定方法(“S.A.S.” “A.S.A.”“A.A.S.”“S.S.S.”)和直角三角形全等的判定方法(“H.L.”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．‎ ‎【初步思考】‎ 10‎ 我们不妨将问题用符号语言表示：△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后对∠B进行分类，可分为∠B是“直角、钝角、锐角”三种情况探究．‎ ‎【深入探究】‎ 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF.‎ ‎(1)如图K－28－11，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.‎ 图K－28－11‎ 第二种情况，当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF.‎ ‎(2)如图K－28－12，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角．‎ 求证：△ABC≌△DEF.‎ 图K－28－12‎ 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．‎ ‎(3)△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规作图法在图K－28－13中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)‎ 图K－28－13‎ ‎(4)∠B还满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请你写出结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，若____________，则△ABC≌△DEF.‎ 10‎ 10‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．C ‎2．A ‎3．[解析] B　从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边，根据“H.L.”定理证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对相等的直角边，即AC＝AD或BC＝BD.故选B.‎ ‎4．[解析] C　在Rt△DEB和Rt△CEB中，‎ ‎∵BE＝BE，BD＝BC，∴Rt△DEB≌Rt△CEB，∴DE＝CE，∴AC＝AE＋CE＝AE＋DE＝8＋6＝14(cm)．‎ ‎5．[全品导学号：90702263]　C ‎6．AC＝A′C′或∠B＝∠B′或∠A＝∠A′或AB＝A′B′‎ ‎7．3　2‎ ‎8．5‎ ‎9．解：因为AD是∠BAC的平分线，‎ 所以∠DAE＝∠DAF.‎ 因为DE⊥AB，DF⊥AC，‎ 所以∠AED＝∠AFD＝90°.‎ 又因为AD＝AD，所以△AED≌△AFD，‎ 所以DE＝DF.‎ 在Rt△DEB和Rt△DFC中，‎ 因为BD＝CD，∠DEB＝∠DFC＝90°，DE＝DF，‎ 所以Rt△DEB≌Rt△DFC(H.L.)，‎ 所以EB＝FC.‎ ‎10．证明：∵CA⊥EB，FD⊥EB，‎ 10‎ ‎∴∠CAB＝∠FDE＝90°，‎ ‎∠CAE＝∠FDB＝90°.‎ 在Rt△ACE和Rt△DFB中，‎ ‎∵CA＝FD，CE＝FB，‎ ‎∴Rt△ACE≌Rt△DFB，‎ ‎∴AE＝DB，‎ ‎∴AE＋AD＝DB＋AD，‎ 即DE＝AB.‎ 又∵CA＝FD，∠BAC＝∠EDF，‎ ‎∴△ACB≌△DFE，‎ ‎∴BC＝EF.‎ ‎11．证明：∵AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，‎ ‎∴∠ADB＝∠AFE＝90°.‎ 在Rt△ADC和Rt△AFE中，‎ ‎∵AD＝AF，AC＝AE，‎ ‎∴Rt△ADC≌Rt△AFE(H.L.)，‎ ‎∴CD＝EF.‎ 在Rt△ABD和Rt△ABF中，‎ ‎∵AB＝AB，AD＝AF，‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△ABF(H.L.)‎ ‎∴BD＝BF，‎ ‎∴BD－CD＝BF－EF，‎ 即BC＝BE.‎ ‎12．证明：在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，‎ 10‎ ‎∵AC＝A′C′，CD＝C′D′，‎ ‎∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′(H.L.)，‎ ‎∴∠CAD＝∠C′A′D′.‎ 在△ABC和△A′B′C′中，‎ ‎∵∠BAC＝∠B′A′C′，AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，‎ ‎∴△ABC≌△A′B′C′(A.S.A.)．‎ ‎[素养提升]‎ 解：(1)H.L.‎ ‎(2)证明：如图①，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE，交DE的延长线于点H.‎ ‎∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC，∠DEF都是钝角，‎ ‎∴180°－∠ABC＝180°－∠DEF，‎ 即∠CBG＝∠FEH.‎ 在△CBG和△FEH中，‎ ‎∵∠CBG＝∠FEH，∠G＝∠H＝90°，BC＝EF，‎ ‎∴△CBG≌△FEH(A.A.S.)，‎ ‎∴CG＝FH.‎ 在Rt△ACG和Rt△DFH中，‎ ‎∵AC＝DF，CG＝FH，‎ ‎∴Rt△ACG≌Rt△DFH(H.L.)，‎ ‎∴∠A＝∠D，‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠DEF，AC＝DF，‎ ‎∴△ABC≌△DEF(A.A.S.)．‎ 10‎ ‎(3)如图②所示，△DEF和△ABC不全等．‎ ‎(4)∠B≥∠A 10‎