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  • 2021-11-01 发布

2020八年级数学上册第13章全等三角形13

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‎ [13.2 6.斜边直角边]‎ ‎        ‎ 一、选择题 ‎1.在下列条件中不能判定直角三角形全等的是(  )‎ A.两条直角边分别相等 B.斜边和一个锐角分别相等 C.两个锐角分别相等 D.斜边和一条直角边分别相等 ‎2.如图K-28-1,∠A=∠D=90°,AC=DB,则判定△ABC≌△DCB的依据是(  )‎ A.H.L. B.A.S.A.‎ C.A.A.S. D.S.A.S.‎ 图K-28-1‎ ‎3.如图K-28-2,若要用“H.L.”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件(  )‎ ‎   ‎ 图K-28-2‎ A.∠BAC=∠BAD B.AC=AD或BC=BD C.∠ABC=∠ABD D.以上都不正确 10‎ ‎4.如图K-28-3,已知BC⊥CA,ED⊥AB,BD=BC,AE=‎8 cm,DE=‎6 cm,则AC等于(  )‎ A.‎10 cm B.‎‎12 cm C.‎14 cm D.‎‎16 cm 图K-28-3‎ ‎5.如图K-28-4,在△ABC中,P是BC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R,S,若PR=PS,下面三个结论:①AS=AR;②RB=SC;③PB=PC.其中正确的有(  )‎ ‎   ‎ 图K-28-4‎ A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 二、填空题 ‎6.在△ABC与△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,BC=B′C′,再添加一个条件,使△ABC≌△A′B′C′,写出所有可能添加的条件:________________________________.‎ ‎7.如图K-28-5,在四边形ABCD中,AD=CB,DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,且DE=BF,则图中的全等三角形共有________对,其中可根据“H.L.”推出的全等三角形有________对.‎ 图K-28-5‎ ‎8.如图K-28-6所示,有一个直角三角形ABC,∠C=90°,AC=‎10 cm,BC=‎5 cm,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动,线段PQ=AB,当AP=________cm时,才能使△ABC≌△QPA 10‎ 图K-28-6‎ 三、解答题 ‎9.如图K-28-7所示,已知△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.试说明EB=FC. 图K-28-7‎ ‎10.如图K-28-8,点E,A,D,B在同一条直线上,CA⊥EB,FD⊥EB,CA=FD,CE=FB.‎ 求证:BC=EF.‎ 图K-28-8‎ ‎11.如图K-28-9,已知AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,如果AD=AF,AC=AE,求证:BC=BE.‎ 图K-28-9‎ 10‎ ‎12.如图K-28-10,已知在△ABC和△A′B′C′中,CD,C′D′分别是边AB,A′B′上的高,并且AC=A′C′,CD=C′D′,∠ACB=∠A′C′B′.‎ 求证:△ABC≌△A′B′C′.‎ 图K-28-10‎ ‎            ‎ ‎【拓展运用】2017·河南期中学习了三角形全等的判定方法(“S.A.S.” “A.S.A.”“A.A.S.”“S.S.S.”)和直角三角形全等的判定方法(“H.L.”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.‎ ‎【初步思考】‎ 10‎ 我们不妨将问题用符号语言表示:△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后对∠B进行分类,可分为∠B是“直角、钝角、锐角”三种情况探究.‎ ‎【深入探究】‎ 第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.‎ ‎(1)如图K-28-11,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据________可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.‎ 图K-28-11‎ 第二种情况,当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.‎ ‎(2)如图K-28-12,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是钝角.‎ 求证:△ABC≌△DEF.‎ 图K-28-12‎ 第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.‎ ‎(3)△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,请你用尺规作图法在图K-28-13中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)‎ 图K-28-13‎ ‎(4)∠B还满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?请你写出结论:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,若____________,则△ABC≌△DEF.‎ 10‎ 10‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1.C ‎2.A ‎3.[解析] B 从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,也是公共边,根据“H.L.”定理证明Rt△ABC≌Rt△ABD,还需补充一对相等的直角边,即AC=AD或BC=BD.故选B.‎ ‎4.[解析] C 在Rt△DEB和Rt△CEB中,‎ ‎∵BE=BE,BD=BC,∴Rt△DEB≌Rt△CEB,∴DE=CE,∴AC=AE+CE=AE+DE=8+6=14(cm).‎ ‎5.[全品导学号:90702263] C ‎6.AC=A′C′或∠B=∠B′或∠A=∠A′或AB=A′B′‎ ‎7.3 2‎ ‎8.5‎ ‎9.解:因为AD是∠BAC的平分线,‎ 所以∠DAE=∠DAF.‎ 因为DE⊥AB,DF⊥AC,‎ 所以∠AED=∠AFD=90°.‎ 又因为AD=AD,所以△AED≌△AFD,‎ 所以DE=DF.‎ 在Rt△DEB和Rt△DFC中,‎ 因为BD=CD,∠DEB=∠DFC=90°,DE=DF,‎ 所以Rt△DEB≌Rt△DFC(H.L.),‎ 所以EB=FC.‎ ‎10.证明:∵CA⊥EB,FD⊥EB,‎ 10‎ ‎∴∠CAB=∠FDE=90°,‎ ‎∠CAE=∠FDB=90°.‎ 在Rt△ACE和Rt△DFB中,‎ ‎∵CA=FD,CE=FB,‎ ‎∴Rt△ACE≌Rt△DFB,‎ ‎∴AE=DB,‎ ‎∴AE+AD=DB+AD,‎ 即DE=AB.‎ 又∵CA=FD,∠BAC=∠EDF,‎ ‎∴△ACB≌△DFE,‎ ‎∴BC=EF.‎ ‎11.证明:∵AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,‎ ‎∴∠ADB=∠AFE=90°.‎ 在Rt△ADC和Rt△AFE中,‎ ‎∵AD=AF,AC=AE,‎ ‎∴Rt△ADC≌Rt△AFE(H.L.),‎ ‎∴CD=EF.‎ 在Rt△ABD和Rt△ABF中,‎ ‎∵AB=AB,AD=AF,‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△ABF(H.L.)‎ ‎∴BD=BF,‎ ‎∴BD-CD=BF-EF,‎ 即BC=BE.‎ ‎12.证明:在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中,‎ 10‎ ‎∵AC=A′C′,CD=C′D′,‎ ‎∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′(H.L.),‎ ‎∴∠CAD=∠C′A′D′.‎ 在△ABC和△A′B′C′中,‎ ‎∵∠BAC=∠B′A′C′,AC=A′C′,∠ACB=∠A′C′B′,‎ ‎∴△ABC≌△A′B′C′(A.S.A.).‎ ‎[素养提升]‎ 解:(1)H.L.‎ ‎(2)证明:如图①,过点C作CG⊥AB,交AB的延长线于点G,过点F作FH⊥DE,交DE的延长线于点H.‎ ‎∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC,∠DEF都是钝角,‎ ‎∴180°-∠ABC=180°-∠DEF,‎ 即∠CBG=∠FEH.‎ 在△CBG和△FEH中,‎ ‎∵∠CBG=∠FEH,∠G=∠H=90°,BC=EF,‎ ‎∴△CBG≌△FEH(A.A.S.),‎ ‎∴CG=FH.‎ 在Rt△ACG和Rt△DFH中,‎ ‎∵AC=DF,CG=FH,‎ ‎∴Rt△ACG≌Rt△DFH(H.L.),‎ ‎∴∠A=∠D,‎ 在△ABC和△DEF中,‎ ‎∵∠A=∠D,∠ABC=∠DEF,AC=DF,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(A.A.S.).‎ 10‎ ‎(3)如图②所示,△DEF和△ABC不全等.‎ ‎(4)∠B≥∠A 10‎