2018年达利教育卓越奖初中学科竞赛八年级数学参考答案 6页

‎2018年“达利教育卓越奖”初中学科竞赛 八年级数学参考答案 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 C B D A D C 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎7. 8073 8. 36 9. 4或或或 10. 11. 324 12. 144‎ 三、解答题（本大题共5小题，共52分）‎ ‎（13）解法一：‎ 证明：假设ABCD不是平行四边形，即AB≠CD， ……………………………… 1分 不妨设AB＞CD．在AB边上取点E，使AE=CD，则AECD是平行四边形， ……… 3分 ‎∴AD=CE，………………………………………………… 5分 由AB+BC=CD+AD，‎ 即（AE+EB）+BC=CD+AD，……………………………… 7分 ‎∴EB+BC=CE，与三角形三边关系EB+BC＞CE矛盾，… 9分 因此，ABCD必是平行四边形 ………………………… 10分 解法二：‎ 延长AB，在AB延长线上截取BE=BC，延长DC，在DC延长线上截取CF= AD， ……1分 ‎1‎ ‎2‎ ‎∵AB+BC= DC+AD，‎ ‎∴AE=DF， …………………… 2分 ‎∵AB∥DC，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形，…… 3分 ‎∴AD=EF， ‎ ‎∴AD=EF=CF， …………… 4分 ‎∵AE∥DF，‎ 6‎ ‎∴∠1=∠2， …………… 5分 ‎∵EF=CF，BE=BC，‎ ‎∴∠FEC =∠1，∠2=∠BCE，…………… 6分 ‎∴∠FEC=∠BCE 在△BEC和△FCE中 ‎ ，‎ ‎∴△BEC≌△FCE（ASA），…………… 8分 ‎∴BC=EF， …………… 9分 ‎∴BC=AD，‎ ‎∴AB=CD， ‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴四边形ABCD的是平行四边形．… 10分 ‎(14) ‎ 解：∵ a2+3b2+6＜2ab﹣8b ‎ ∴ a2﹣2ab+b2+2b2+8b+6＜0 ………………………………………………… 1分 ‎ 配方得：（a﹣b）2+2（b+2）2＜2 ………………………………………… 4分 ‎ ∵ a，b均为整数，‎ ‎ ∴ 只有（a﹣b）2=0，2（b+2）2=0或（a﹣b）2=1，2（b+2）2=0两种情况． ‎ ‎ （1）当（a﹣b）2=0，2（b+2）2=0时， ……………………………… 6分 ‎ （2）当（a﹣b）2=1，2（b+2）2=0时，， ……………… 10分 ‎ 综上所述，当，，时，原不等式成立． ‎ 6‎ ‎(15) ‎ 解：如图，过F作FM⊥DC，交DC的延长线于M，连结GE. ……………………… 1分 ‎∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，‎ ‎∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，‎ ‎∴∠AEH=∠MGF， ………………………………………………………………… 2分 又∵∠A=∠M=90°，HE=FG， …………………………………………………… 3分 ‎∴△AHE≌△MFG，∴FM=HA=2， ………………………………………………… 4分 即点F到直线DC的距离为2.‎ ‎ =＝GC×FM＝×(7−)×2＝-+7， …………………… 5分 ‎∵AE≤AB=7，‎ ‎∴在Rt△AHE中，， ……………… 6分 在Rt△DHG中，， ……………… 7分 ‎∴≤， ………………………………………………………………… 8分 ‎∵=-+7，‎ ‎∴随的增大而减小， …………………………………………………… 9分 ‎∴当时，. ……………………………………… 10分 D G A B E F C H M 即当DG=时，的最小为．‎ 6‎ ‎(16) ‎ 证明：作EF⊥AB于点F， ……………………… 1分 ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠1=∠2，∠3=∠4， ……………………… 2分 在△ABE和△CDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CDE， ……………………… 3分 ‎∴AE=CE， ‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，…………………… 4分 ‎∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相同，‎ ‎∴AB∥CD∥x轴， ‎ ‎∴m﹣2=4，m=6， …………………… 5分 将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，‎ ‎∴B（6，4）， …………………… 6分 ‎∵CD=4=AB，△AEB的面积是2，‎ ‎∴EF=1， …………………… 7分 ‎∵D（p，q），‎ ‎∴E（，），F（，4），…………… 8分 ‎∴+1=4，‎ ‎∴q=2，p=2，……………………………………… 9分 ‎∴DA⊥AB，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形． ……………………… 10分 6‎ ‎(17) ‎ 解： （1）过点P作PH⊥x轴于H，如图1．‎ B（4，1），则反比例函数解析式为y=， ……………………… 1分 设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，‎ 联立， ‎ 解得直线PA的方程为y=x+﹣1， ……… 2分 联立， ‎ 解得直线PB的方程为y=﹣x++1，……… 3分 ‎（图1）‎ ‎∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），‎ ‎∴H（m，0）， ……………………… 4分 ‎∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，‎ ‎∴MH=NH， ……………………… 5分 ‎∴PH垂直平分MN， ‎ ‎∴PM=PN，‎ ‎∴△PMN是等腰三角形；……………………… 6分 ‎（3）∠PAQ=∠PBQ．理由如下：……………………… 7分 过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图2．‎ 可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线AQ的解析式为y=x+﹣1． ………… 8分 6‎ 当y=0时，x+﹣1=0，‎ 解得：x=c﹣4，‎ ‎∴D（c﹣4，0）． ……………………… 9分 同理可得E（c+4，0），‎ ‎∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，‎ ‎∴DT=ET，‎ ‎∴QT垂直平分DE，‎ ‎（图2）‎ ‎∴QD=QE， ……………………… 10分 ‎∴∠QDE=∠QED．‎ ‎∵∠MDA=∠QDE，‎ ‎∴∠MDA=∠QED． ……………………… 11分 ‎∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．‎ ‎∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，‎ ‎∴∠PAQ=∠PBQ． ……………………… 12分 6‎