8年级数学教案第5讲：特殊三角形的性质 9页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 特殊三角形的性质 教学内容 ‎1．掌握直角三角形的性质，并会运用它们解决有关的推理和计算问题；‎ ‎2．掌握等腰（直角）三角形的性质，并会运用它们解决有关的推理和计算问题。‎ ‎（此环节设计时间在10－15分钟）‎ 说明：要求学生之间相互讨论，通过图1和图2的特殊情况，猜想图3的结论，并证明图3中的结论，最后要求推选一位同学来和大家分享。‎ 一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝4．‎ ‎（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ；‎ ‎（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为 ；‎ ‎（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为 ；并验证上述猜想．‎ 答案：（1）4；（2）4；（3）4，证明如下：联结CM，易证△CGM≌△ADM， ‎ S四边形DCGM ＝S△DCM ＋ S△CGM ＝S△DCM ＋S△DAM ＝S△ACM＝4 ‎ ‎（此环节设计时间在50－60分钟）‎ 案例1：等腰直角三角形的应用 如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，联结OA；‎ 问题1：如图1，OA＝OB＝OC成立吗？请说明理由；‎ 问题2：如图2，如果点M、N分别在边AB、AC上移动，且保持AN＝BM；请判断△OMN的形状，并说明理由；‎ 问题3：如图3，若点M，N分别在线段BA、AC的延长线上移动，仍保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并说明理由。‎ 答案：问题1：成立．‎ 理由：∵点O是BC的中点 ∴BO＝CO＝BC，‎ ‎∵∠BAC＝90° ∴AO＝BC， ∴OA＝OB＝OC；‎ 问题2：△OMN为等腰直角三角形 ‎ 理由：∵O是BC的中点 ∴AO是Rt△ABC的BC边上的中线 又∵AB＝AC， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∴∠B＝∠OAN＝45°，AO＝BO， ∵在△OAN和△OBM中，AN＝BM，∠NAO＝∠B，AO＝BO， ∴△OAN≌△OBM（SAS）； ∴OM＝ON，∠AON＝BOM， ∴∠MON＝∠MOA＋∠AON＝∠MOA＋∠BOM＝∠AOB＝90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．‎ 问题3：△OMN是等腰直角三角形； 理由：∵O是BC的中点 ∴AO是Rt△ABC的BC边上的中线 又∵AB＝AC， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∴∠B＝∠OAN＝45°，AO＝BO， ∵在△OAN和△OBM中，AN＝BM, ∠NAO＝∠B, AO＝BO， ∴△OAN≌△OBM（SAS）； ∴OM＝ON，∠AOM＝CON， ∴∠MON＝∠MOC＋∠CON＝∠MOC＋∠AOM＝∠AOC＝90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．‎ 试一试：已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上一点，AE⊥AB，且AE＝BD，DE与AC相交于点F。‎ ‎（1）若点D是AB的中点（如图1），那么△CDE是___________三角形，并证明你的结论； ‎ ‎（2）若点D不是AB的中点（如图2），那么（1）中的结论是否仍然成立，如果一定成立，请加以说明，如果不一定成立，请说明理由；‎ ‎（3）若AD＝AC，那么△AEF是___________三角形。（不需证明）‎ ‎ ‎ 答案：（1）△CDE是等腰直角三角形． 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点， ∴AD＝BD＝CD，且CD⊥AB， 又AE＝BD，∴AE＝CD， ∵AE⊥AB，∴∠EAD＝∠CDB＝90° 在△AED与△DCB中，AE＝CD，∠EAD＝∠CDB，AD＝BD， ∴△AED≌△DCB（SAS），∴DE＝CB，∠ADE＝∠B＝45° ∴∠CDE＝90°－45°＝45° 在△CED与△DCB中CD＝BD，∠CDE＝∠B，DE＝BC， ∴△CED≌△DCB（SAS）， ∵△CDB是等腰直角三角形； ∴△CDE是等腰直角三角形； （2）（1）中的结论仍然成立，即△CDE是等腰直角三角形  ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°， ∵AE⊥AB，∴∠CAE＝90°－45°＝45°， ∴∠CAE＝∠CBD， 在△AEC与△BDC中，AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，AC＝AC， ∴△AEC≌△BDC（SAS），∴CE＝CD，∠ACE＝∠BCD 又∵∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠90°， ∴∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠90°， ∴△CDE是等腰直角三角形； （3）△AEF是等腰三角形． ‎ 案例2：含30°角的直角三角形的性质 如图，在等边△ABC中，AB＝4，点P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P作PE⊥BC于E；过E作EF⊥AC于F；过F作FQ⊥AB于Q．‎ 问题1：设BP＝x，AQ＝y，用含x的式子填空，EC＝ ， AF＝ ，写出求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；‎ 问题2：当AQ＝1.2时，求BP的长度；‎ 问题3：当BP的长度等于多少时，点P与点Q重合？ ‎ 答案：问题1： EC＝4－x，AF＝2＋x， ‎ y与x之间的函数关系式为y＝1＋x；（0