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- 2021-11-01 发布
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第2章自我评价
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在下列标志中,属于轴对称图形的是(B)
2.下列四组线段能构成直角三角形的是(D)
A. a=1,b=2,c=3 B. a=2,b=3,c=4
C. a=2,b=4,c=5 D. a=3,b=4,c=5
3.有下列命题:①同位角相等,两直线平行;②全等三角形的周长相等;③直角都相等;④等边对等角.其中逆命题是真命题的有(B)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=70°,则∠2的度数是(C)
A.20° B.35°
C.40° D.70°
(第4题)
(第5题)
5.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果M是OP的中点,那么DM的长是(C)
A. 2 B.
C. D. 2
13
(第6题)
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长,交BC于点D,则下列说法中,正确的个数是(D)
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.如图,将一把含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,则三角尺的最大边长为(D)
A. 3 cm B. 6 cm
C. cm D. cm
(第7题)
(第7题解)
【解】 如解图,过点C作CD⊥AD于点D,
则CD=3 cm.
在Rt△ADC中,
∵∠CAD=30°,∴AC=2CD=2×3=6(cm).
∵该三角尺是含45°角的三角尺,
∴∠BAC=90°,AB=AC=6 cm,
∴BC===(cm).
(第8题)
13
8.如图,在△ABC中,AB=AC=BD,DA=DC,则∠B的度数为(C)
A.22.5° B.30°
C.36° D.45°
【解】 设∠B=x.
∵AB=AC,∴∠C=∠B=x.
∵DA=DC,∴∠DAC=∠C=x.
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x.
∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x.
在△ABD中,∵∠B=x,∠ADB=∠BAD=2x,
∴x+2x+2x=180°,解得x=36°,即∠B=36°.
9.如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是线段AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,当EF+CF取得最小值时,∠ECF的度数为(C)
A.20° B.25° C.30° D.45°
(第9题)
(第9题解)
【解】 如解图,过点E作EM∥BC,交AB于点M,
则∠AME=∠B,∠AEM=∠ACB.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,AB=AC=BC=4.
∴∠AME=∠AEM=60°.∴AM=AE=2.
∴BM=AB-AM=2.
∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC.
13
∵EM∥BC,∴AD⊥EM.
∴点E和点M关于AD对称.
连结CM交AD于点F,连结EF,
则此时EF+CF的值最小.
∵AC=BC,AM=BM,
∴∠ECF=∠ACB=30°.
10.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,∠ADC+∠ABC=180°,有下列结论:①CD=CB;②AD+AB=2AE;③∠ACD=∠BCE;④AB-AD=2BE.其中正确的是(C)
A. ② B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
导学号:91354016
(第10题)
(第10题解)
【解】 如解图,在EA上取点F,使EF=BE,连结CF.
∵CE⊥AB,EF=BE,
∴CF=CB,∴∠CFB=∠B.
∵∠AFC+∠CFB=180°,∠ADC+∠ABC=180°,∴∠D=∠AFC.
∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠FAC.
在△ACD和△ACF中,∵
∴△ACD≌△ACF(AAS).
∴AD=AF,CD=CF.∴CD=CB,故①正确.
13
AD+AB=AF+(BE+AE)=AF+EF+AE=AE+AE=2AE,故②正确.
根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE,
故③错误.
AB-AD=AB-AF=BF=2BE,故④正确.
综上所述,正确的是①②④.
二、填空题(每小题3分,共30分)
11.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线.若∠B=60°,则∠BAD=__30°__.
,(第11题)) ,(第12题))
12.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=10 cm,BC=12 cm,则BC边上的高AD的长是__8__ cm.
13.如图,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为E.若∠1=50°,则∠2的度数为__40°__.
,(第13题)) ,(第14题))
14.如图,在△ABC中,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,且它们相交于点O,OE∥AB,OF∥AC,BC=10,则△OEF的周长为__10__.
【解】 ∵OB,OC分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO.
∵OE∥AB,OF∥AC,
∴∠ABO=∠BOE,∠ACO=∠COF,
∴∠CBO=∠BOE,∠BCO=∠COF,
∴BE=OE,OF=FC,
∴△OEF的周长=OE+EF+OF=BE+EF+FC=BC=10.
(第15题)
15.如图,在△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=102°,则∠ADC=__52°__.
13
【解】 ∵AC=AD=DB,
∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠C.
设∠ADC=α,则∠B=∠BAD=.
∵∠BAC=102°,∴∠DAC=102°-.
∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°,
∴2α+102°-=180°,
解得α=52°,即∠ADC=52°.
16.如图,已知△ABC的周长是21,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,垂足为D,且OD=3,则△ABC的面积是____.
, (第16题)) , (第16题解))
【解】 如解图,过点O作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E,F,连结OA.
由角平分线的性质知OD=OE=OF,
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB·OE+BC·OD+AC·OF=(AB+BC+AC)·OD=×21×3=.
17.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是____.
,(第17题)) ,(第17题解))
【解】 过点A作AD⊥BC于点D,如解图.
∵AB=AC=5,BC=6,
∴BD=BC=3,∴AD==4.
易得当BP⊥AC时,BP有最小值.
13
此时AD·BC=BP·AC,
得4×6=5BP,∴BP=.
18.如图是两把完全一样的含30°角的三角尺,分别记做△ABC与△A′B′C′,现将两把三角尺重叠在一起,设较长直角边的中点为M,绕中点M转动上面的三角尺ABC,使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上.当∠A=30°,AC=10时,两直角顶点C,C′间的距离是__5__.
(第18题)
(第18题解)
【解】 如解图,连结C′C.
∵M是AC,A′C′的中点,AC=A′C′=10,
∴CM=A′M=C′M=AC=5,
∴∠A′CM=∠A′=30°,∴∠CMC′=60°.
∴△MCC′为等边三角形.∴C′C=CM=5.
(第19题)
19.按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形.若第一个正方形的边长AB=1,第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1,第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2……则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=____.
【解】 易得第一个正方形的面积为1,
第一个等腰直角三角形的面积为,
13
第二个正方形的面积为,
第二个等腰直角三角形的面积为×,
……
∴第n个正方形的面积为×1=,
第n个等腰直角三角形的面积为×=,
∴第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=+=.
(第20题)
20.如图,正方形ABDE,正方形CDFI,正方形EFGH的面积分别为25,9,16,△AEH,△BDC,△GFI的面积分别为S1,S2,S3,则S1+S2+S3=__18__.导学号:91354017
【解】 过点A作AK⊥HE,交HE的延长线于点K.
易得DE2=25,DE2=9,EF2=16,
∴DE2=DF2+EF2,
∴△DEF是直角三角形,且∠DFE=90°.
易得∠AEK+∠DEK=∠DEK+∠DEF=90°,
∴∠AEK=∠DEF.
又∵AE=DE,∠K=∠DFE=90°,
∴△AEK≌△DEF(AAS),
∴AK=DF.
又∵EH=EF,
∴S△AHE=EH·AK=EF·DF=S△DEF.
同理,S△BDC=S△GFI=S△DEF,
∴S1+S2+S3=3S△DEF.
13
易得DF=3,EF=4,
∴S△DEF=×3×4=6,
∴S1+S2+S3=3×6=18.
三、解答题(共40分)
21.(6分)如图,AD=BC,AC=BD.求证:△EAB是等腰三角形.
(第21题)
【解】 在△ADB和△BCA中,
∵
∴△ADB≌△BCA(SSS),
∴∠DBA=∠CAB,
∴△EAB是等腰三角形.
(第22题)
22.(6分)如图,△ABC为等边三角形,DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,垂足分别为E,F,D,则△DEF是等边三角形吗?请说明理由.
【解】 △DEF是等边三角形.理由如下:
∵DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,△ABC为等边三角形,
∴∠A=60°,∠ADF=∠CFE=90°,
∴∠AFD=30°,
∴∠DFE=180°-30°-90°=60°.
同理,∠FDE=∠DEF=60°.
∴△DEF是等边三角形.
13
(第23题)
23.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,∠E=∠AFE,请判断EF与BC的位置关系,并说明理由.
【解】 EF⊥BC.理由如下:
过点A作AD⊥BC于点D,延长EF交BC于点G.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAC=2∠CAD.
又∵∠BAC=∠E+∠AFE,∠E=∠AFE,
∴∠BAC=2∠E,
∴∠CAD=∠E,∴AD∥EF.
又∵∠ADC=90°,∴∠EGC=90°,即EF⊥BC.
24.(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,F为BE的中点,连结DF,CF.
(1)如图①,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF,CF的数量关系和位置关系.
(2)如图②,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断.
(3)如图③,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°,若AD=1,AC=,求此时线段CF的长(直接写出结果).
(第24题)
【解】 (1)∵∠ACB=∠ADE=90°,F为BE的中点,
∴DF=BF=BE,CF=BE,∴DF=CF.
13
∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.
∵BF=DF,∴∠DBF=∠BDF.
∵∠DFE=∠DBF+∠BDF,
∴∠DFE=2∠DBF.
同理,∠CFE=2∠CBF,
∴∠DFE+∠CFE=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°,∴DF⊥CF.
(2)(1)中的结论仍然成立.证明如下:
如解图①,延长DF交BC于点G.
∵∠ADE=∠ACB=90°,∴DE∥BC,
∴∠DEF=∠GBF,∠EDF=∠BGF.
∵F为BE的中点,∴EF=BF,
∴△DEF≌△GBF(AAS),
∴DE=GB,DF=GF.
∵AD=DE,∴AD=GB.
∵AC=BC,∴AC-AD=BC-GB,即DC=GC.
∵∠ACB=90°,∴△DCG是等腰直角三角形.
∵DF=GF,∴DF=CF,DF⊥CF.
(第24题解)
(3)如解图②,延长DF交BA于点H.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴AC=BC,AD=DE,∠AED=∠ABC=45°.
由旋转可知∠CAE=∠BAD=∠ACB=90°,
∴AE∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,∴∠DEF=∠HBF.
13
∵F是BE的中点,∴EF=BF.
又∵∠DFE=∠HFB,
∴△DEF≌△HBF(ASA),∴ED=BH.
∵BC=AC=,∠ACB=90°,∴AB=4.
∵BH=ED=AD=1,∴AH=3.
∵∠BAD=90°,∴DH=,
∴DF=,∴CF=.
25.(10分)问题探究:
(1)如图①,在锐角△ABC中,分别以AB,AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD,使AE=AB,AD=AC,∠BAE=∠CAD,连结BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由.
深入探究:
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,BC=3,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°,求BD的长.
(3)如图③,在(2)的条件下,当△ACD在线段AC的左侧时,求BD的长.
(第25题)
导学号:91354018
【解】 (1)BD=CE.理由如下:
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,
即∠EAC=∠BAD.
在△EAC和△BAD中,∵
∴△EAC≌△BAD(SAS),∴BD=CE.
(2)如解图①,在△ABC的外部作等腰直角三角形BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,连结EC.
∵∠ACD=∠ADC=45°,
∴AC=AD,∠CAD=90°,
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∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,
即∠EAC=∠BAD.
在△EAC和△BAD中,∵
∴△EAC≌△BAD(SAS),∴EC=BD.
∵AE=AB=7,∴BE==.
易知∠ABE=45°,又∵∠ABC=45°,
∴∠CBE=45°+45°=90°,
∴EC===,
∴BD=EC=.
(第25题解)
(3)如解图②,在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB,交BC的延长线于点E.
∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°.
又∵∠ABC=45°,∴∠E=∠ABC=45°,
∴AE=AB=7,∴BE==.
∵∠ACD=∠ADC=45°,
∴∠DAC=90°=∠BAE,
∴∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC,
即∠EAC=∠BAD.
在△EAC和△BAD中,∵
∴△EAC≌△BAD(SAS),∴EC=BD.
又∵BC=3,∴BD=EC=BE-BC=-3.
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