2020八年级数学上册 专题突破讲练 剖析等腰三角形性质与判定及多解的应用试题 （新版）青岛版 12页

剖析等腰三角形性质与判定及多解的应用 一、等腰三角形的性质 ‎1. 性质：‎ 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等 注意：是两底角相等而不是两个角相等。‎ 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。‎ 注意：说清三条线的位置，不是任意的三线都重合。‎ ‎2. 拓展推论：‎ ‎（1）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，如图：∠A=2∠1；‎ ‎（2）等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，如图：AD是三角形ABC的对称轴。‎ 二、等腰三角形的判定 ‎1. 两边相等的三角形；‎ ‎2. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。注意：“等角对等边”必须在同一个三角形中使用。‎ 等腰三角形的性质与判定有区别：‎ 性质是：等边 → 等角；‎ 12‎ 判定是：等角 → 等边。‎ 三、关于等腰三角形的多解问题 角的多解 等腰三角形中至少有两个角是相等的，已知一角求另两个角时，多解。‎ 如：等腰三角形一个角为30度，求另两个角的度数。‎ 边的多解 已知边求周长的问题，或求面积的问题时，多解。‎ 如：等腰三角形两条边分别为3和5，求周长。‎ 例题1 在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）。由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的。马彪同学的结论是____________的。（填“正确”或“错误”）‎ 解析：分别把已知角看做等腰三角形的顶角和底角，分两种情况考虑，利用三角形内角和是180度计算即可。如已知一个角是70°，当70°为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2=55°，当70°为底角时，另外一个底角也是70°，顶角是180°－140°=40°。‎ 答案：错误 点拨：主要考查了等腰三角形的性质。要注意分两种情况考虑，不要漏掉任何一种情况。‎ 例题2 如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（ ）‎ A. 70° B. 110° C. 140° D. 150°‎ 解析：由已知及四边形内角和知∠DAB+∠DCB=220°，由等腰三角形的性质知∠OAB+∠OCB=70°，所以即可求得∠DAO+∠DCO的度数。‎ 12‎ 根据四边形的内角和定理可得：∠DAB+∠DCB=220°，‎ ‎∵OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，∴∠OAB+∠OCB=70°，∴∠DAO+∠DCO=220°－70°=150°。故选D。‎ 答案：D 点拨：利用四边形内角和的定理及等腰三角形的性质求解，解题时要将二者有机地结合在一起。‎ ‎1. 多点共存 用几何作图的方法寻找满足条件的多个点是基本找点方法，可以保证不重不漏。但要注意是否符合题目要求，注意理解题目中所要求的点，进而有所取舍。‎ 拓展 如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个，写出其中一个点P的坐标是 。‎ 解析：如图所示，满足条件的点P有8个，目前我们可求的分别为（5，0），（8，0），（0，5），（0，6），（－5，0），（0，－5），（0，），（，0）。‎ 答案：根据等腰三角形的性质，画图可知，点P有8个，可求的分别为（5，0），（8，0），（0，5），（0，6），（－5，0），（0，－5），（0，），（，0）。‎ 故答案为：8；（5，0）（答案不唯一，写出8个中的一个即可）。‎ 12‎ ‎2. 运动中形成等腰三角形 在点的运动中寻找满足条件的等腰三角形，应充分理解运动变化对于图形形状的影响，同时对动点运动时相关线段、图形大小的变化情况要清楚，这些对于今后学习函数中的运动问题非常有帮助。‎ 拓展 如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=‎10cm，动点P从点C出发沿CB以‎2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以‎1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t= 时，△POQ是等腰三角形。‎ 解析：根据等腰三角形的判定，分两种情况讨论：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时。分别列式计算即可求。‎ ‎（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP=OC－CP=OQ，即10－2x=x，解得，x=s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用了5s，有OQ=OP，即2（x－5）=x，解得，x=10s，故填s或10s。‎ 答案：s或10s ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 如图所示，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E使CE=CA。连接AD，AE，则∠DAE=（ ）‎ A. 100° B. 105° C. 115° D. 125°‎ ‎2. 等腰三角形ABC的周长为‎18cm，BC=‎8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（ ）‎ A. ‎7cm B. ‎2cm或‎7cm C. ‎5cm D. ‎2cm或‎5cm ‎*3. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（ ）‎ 12‎ A. 32.5° B. 57.5° C. 65°或57.5° D. 32.5°或57.5°‎ ‎*4. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）‎ A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD ‎**5. 如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB=AC，CD=DE。若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=（ ）‎ A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°‎ ‎**6. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，∠B=40°，若将△ABC分割成两个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（ ）‎ A. 100°、140°或100°、20° B. 100°、140° C. 100°、20° D. 140°、20°‎ 二、填空题 ‎*7. 如图，做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D。将△ABD做关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合。对于下列结论：①在同一个三角形中，等角对等边；②在同一个三角形中，等边对等角；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。由上述操作可得出的正确结论是 （将正确结论的序号都填上）。‎ 12‎ ‎**8. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P‎14A，则∠A的度数是 。‎ ‎**9. 如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB+AC=BE。则∠B= 。‎ 三、解答题 ‎*10. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，过点D作DP⊥BC，分别交BA，CA或它们的延长线于点P，Q。求证：DP+DQ是定值。‎ ‎**11. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E。‎ 12‎ ‎（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；‎ ‎（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；‎ ‎（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形。‎ ‎**12. 如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°。（1）直接写出∠ABC的度数；‎ ‎（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线。①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程；‎ ‎②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由。‎ ‎**13. 已知：在锐角△ABC中，AB=AC。D为底边BC上一点，E为线段AD上一点，且∠BED=∠BAC=2∠DEC，连接CE。‎ ‎（1）求证：∠ABE=∠DAC；‎ ‎（2）若∠BAC=60°，试判断BD与CD有怎样的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）若∠BAC=α，那么（2）中的结论是否还成立。若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由。‎ 12‎ 12‎ ‎1. C 解析：∵DB=BA，∠ABC=50°，∴∠D=∠DAB=25°，∵DB=BA，∠ACB=80°，∴∠E=∠EAC=40°，∴∠BAC=180°－50°－80°=50°，∴∠DAE=∠DAB+∠EAC+∠BAC=25° +40°+50°=115°。故选C。‎ ‎2. D 解析：（1）在等腰△ABC中，若BC=‎8cm为底边，根据三角形周长计算公式可得腰长=‎5cm；（2）在等腰△ABC中，若BC=‎8cm为腰，根据三角形周长计算公式可得底边长18－2×8=‎2cm，∵△ABC≌△A′B′C′，∴△A′B′C′与△ABC的边长及腰长相等，即△A′B′C′中一定有一条边等于‎2cm或‎5cm。故选D。‎ ‎3. D 解析：当高在三角形内部时底角是57.5°，当高在三角形外部时底角是32.5°，故选D。‎ ‎4. C 解析：A. 添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；B. 添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；C. 添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；D. 添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误。故选C。‎ ‎5. B 解析：∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C= ∠DEC=∠ABC==70°，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°。故选B。‎ ‎6. A 解析：分两种情况：①如图1，把120°的角分为100°和20°，则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，140°；②如图2，把120°的角分为40°和80°，则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，20°。故选A。‎ ‎7. ②③ 解析：操作过程中没有体现角相等，边就相等，故①不符合；因为AB=AC，操作之后得到∠B与∠C重合，即等边对等角，故②符合；根据所得的图像与△ACD重合，所以AD⊥BC，BD=CD，又AD平分∠BAC，所以③符合。故操作可以得出的正确结论是②③。‎ ‎8. 12° 解析：设∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P‎14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°。‎ 12‎ ‎9. 48° 解析：延长BA到F，使AF=AC，连接EF，如图所示：‎ ‎∵AB+AC=BE，∴AB+AF=BF，即BF=BE，∴∠F=∠BEF=180°−，∵∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，即∠DAE=90°，∴∠FAE=180°－（∠BAD+∠DAE）=180°－（9°+90°）=81°，‎ ‎∠CAE=∠DAE－∠DAC=90°－9°=81°，∴∠FAE=∠CAE，在△AFE和△ACE中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AFE≌△ACE（SAS），‎ ‎∴∠F=∠ACE，又∵∠ACE为△ABC的外角，∴∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+18°，∴∠F=∠B+18°，∴∠B+18°=180°−，则∠B=48°。‎ ‎10. 证明：如图，过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥DQ于点N，∴四边形AMDN为矩形。∴AM=DN。∵DP⊥BC，∴∠B+∠P=90°。∴∠C+∠DQC=90°。又∵∠C=∠B，∠DQC=∠PQA，∴∠AQM=∠P。∴△AQP为等腰三角形。∴PN=QN。‎ ‎∴DP+DQ=DN+NP+DQ=DN+NQ+DQ=2AM，即DP+DQ是定值。‎ ‎11. 解：（1）∠BAD=180°－∠ABD－∠BDA=180°－40°－115°=25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小。‎ ‎（2）当△ABD≌△DCE时。DC=AB，∵AB=2，∴DC=2，∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；‎ 12‎ ‎（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°－40°）=70°，‎ ‎∵∠BAC=180°－40°－40°=100°，∴∠BAD=100°－70°=30°；∴∠BDA=180°－30°－40°=110°；③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°－40°=60°，∴∠BDA=180°－60°－40°=80°；∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形。 ‎ ‎12. 解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC===72°；（2）①如图（2），△ADB、△BCD是等腰三角形。说明△ADB是等腰三角形，理由如下：由（1）得∠ABC=72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°，又∵∠A=36°，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD，即△ADB是等腰三角形。[若说明△BCD是等腰三角形，理由为：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=（180°－36°）=72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°－∠C－∠DBC=180°－72°－36°=72°，∴∠C=∠BDC，∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形。]②存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形。等腰△CDP中，当以∠CDP为顶角，CD为一腰时，∠CPD=72°；当以∠DCP为顶角，CD为一腰时，存在两点P：一点在线段BC延长线上，此时∠CPD=36°；一点在线段BC上，此时∠CPD=54°。‎ ‎13. （1）证明：∵∠BED=∠ABE+∠BAE，∠BED=∠BAC，∴∠ABE+∠BAE=∠BAC，∵∠BAC=∠BAE+∠DAC，∴∠DAC=∠ABE；‎ ‎（2）解：在AD上截取AF=BE，连接CF，作CG∥BE交直线AD于G，∠BED=∠BAC，∵∠FAC=∠ABE，∴在△ACF和△BAE中，CA＝AB，∠AFC＝∠AEB，AF＝BE，∴△ACF≌△BAE（SAS），∴CF=AE，∠ACF=∠BAE，∠AFC=∠AEB。∵∠ACF=∠BAE，∠AFC=∠BEA，∴∠CFG=180°－∠AFC=180°－∠BEA=∠BED，∵CG∥BE，∴∠CGF= ∠BED，∴∠CFG=∠CGF，∴CG=CF，∵∠BED=2∠DEC，∵∠CFG=∠DEC+∠ECF，∠CFG=∠BED，∴∠ECF=∠DEC，∴CF=EF，∴BE=AF=2CF，∵CG∥BE，‎ ‎∴BD：CD=BE：CG，∴BD：CD=2CF：CF=2，∴BD=2DC，∴BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关；‎ 12‎ ‎（3）证明：∵BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关，∴若∠BAC=α，那么（2）中的结论仍然还成立。‎ 12‎