2019年宁波市各区县八下数学期末试题——四边形题型汇总 35页

‎2019年宁波市各区县八下数学期末试题——四边形题型汇总 题型：求四边形长度或面积 ‎1.（2019鄞州八下期末15题）如图,菱形ABCD中,∠ABC=30∘，点E是直线BC上的一点。已知△ADE的面积为6，则线段AB的长是 .‎ 解答：‎ 作AF⊥BC于F，如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=AD,AD∥BC，‎ ‎∵∠ABC=30∘，‎ ‎∴AF=，‎ ‎∵△ADE的面积=AD×AF=6，‎ 即，‎ 解得：AB=；‎ 故答案为：。‎ ‎2.（2019慈溪八下期末17题）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，若PE=1，PF=3，则AP=________ . ‎ 36‎ ‎ ‎ 答案：‎ 连结PC，‎ 由PE⊥BC，PF⊥CD，∠C=90°可得矩形PECF，‎ ‎∴PC=EF=，‎ ‎∴AP=PC=。‎ ‎3.（2019江北八下期末17题）如图,在周长为20cm的▱ABCD中,AB≠AD,对角线AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为________ . ‎ 答案：‎ ‎∵EO⊥BD，‎ ‎∴EO为BD的垂直平分线，‎ 根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，‎ ‎∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=12×20=10cm.‎ ‎4.（2019南三县八下期末17题）已知图2是由图1七巧板拼成的数字“0”，己知正方形ABCD的边长为4，则六边形EFGHMN的周长为_________.‎ 36‎ ‎ ‎ 答案：六边形EFGHMN的周长为。‎ ‎4.（2019海曙八下期末17题）如图是由9个边长为1的小正方形组成的网格图,在这个网格图中画一个以格点为顶点且内角不是90∘的菱形，则此菱形的面积为___.‎ 解答：‎ 所作菱形如图：‎ ‎∵如图是由9个边长为1的小正方形组成的网格图，‎ ‎∴BD=，AC=，‎ ‎∴菱形的面积为：.‎ ‎5.（2019南三县八下期末12题）如图，点B在线段AC上，且BC=2AB，点D，E分别是AB，BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在线段AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）．其面积分别记作S1，S2，S3，若S1+S3=15，则S2的值是（ ）‎ 36‎ ‎ ‎ A.4 B.6 C.8 D.10‎ 答案：设DB=x 则S1=x2，S2=x×2x=2x2，S3=2x×2x=4x2‎ 由题意得，S1+S3=15，即x2+4x2=15，‎ 解得x2=3‎ 所以S2=2x2=6，‎ 故答案为：B ‎6.（2019镇海八下期末12题）如图，E,F,G分别为矩形ABCD的边AD,AB,CD上一点，且满足BF=AE=2DE=2DG，则已知下列选项中哪个三角形的面积就可以求出矩形ABCD的面积（ ）‎ A.△EFB B.△GFB C.△EGB D.△EFG 答案：D 几何转换法：在BC上取BH=BF，易得EG∥FH，四边形CDEH为矩形。‎ S△EFG=S△EHG=S矩形DEHC=S矩形ABCD。‎ 36‎ ‎ ‎ 题型：中位线 ‎1.（2019鄞州八下期末9题）如图,在四边形ABCD中,AB=3,BC=5,∠A=130∘,∠D=100∘,AD=CD.若点E,F分别是边AD,CD的中点,则EF的长是( )‎ ‎ A.  B.  C. 2 D. ‎ 解答：‎ 连接AC,‎ ‎∵∠D=100∘，AD=CD，‎ ‎∴∠DAC=∠DCA=40∘，‎ ‎∴∠BAC=∠BAD−∠DAC=90∘，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∵点E，F分别是边AD，CD的中点，‎ ‎∴EF=1/2AC=2，‎ 故选：C.‎ 36‎ ‎ ‎ ‎2.（2019镇海八下期末11题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，AC=5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE=2，连结BE、CD, P、Q分别是BE、DC的中点，连结PQ，则PQ长为( )‎ A.6 B. C. D.6.5‎ 答案： ‎ 解：∵∠ACB=90°，AB=13，AC=5， ∴BC=‎ 取BD中点F，连接PF、QF，如图所示： ∵P、Q分别是BE、DC的中点， ∴PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线， ∴PF∥ED，PF=DE=1，FQ∥BC，FQ=BC=6， ∵DE∥AC，AC⊥BC， ∴PF⊥FQ， ∴PQ=‎ 36‎ ‎ ‎ 故选：C．‎ ‎3.（2019慈溪八下期末24题）如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE． （1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F． ①求证：CF=CE； ②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长； （2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示． （3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值．‎ ‎【答案】 （1）解：①证明:∵正方形ABCD ‎ ‎∴BC=CD，∠DCB=∠CBE=90°，‎ ‎∵CF⊥CE，∠FCE=90°‎ ‎∴∠DCF=∠BCE，‎ ‎∴△DCF≌△BCE(ASA)‎ ‎∴CE=CF.‎ ‎②∵△DCF≌△BCE，‎ ‎∴DF=BE=m，‎ 36‎ ‎ ‎ ‎∴AF=4-m， AE=4+m，‎ 由四边形ABCD是正方形得∠A=90°，‎ ‎∴EF= （2）解：在直线AB上取一点G，使BG=BE， ‎ ‎∵M为EF的中点，‎ ‎∴FG=2BM，‎ 由(1)知，DF=BE，又AD=AB ‎∴AF=AG ‎∵∠A=90°，‎ ‎∴FG= AF，‎ ‎∴2BM=AF，‎ ‎∴BM= AF （3）解：在AB的延长线上取点R，使BR=AB=2，连结PR和CR， ‎ ‎∵Q为AP的中点，‎ ‎∴BQ= PR 36‎ ‎ ‎ ‎∴BQ的最小值为。‎ 题型：四边形动点 ‎1.（2019江北八下期末12题）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F是BE的中点，△CEF的面积记为a，周长记为b，则点E从点A到点D运动过程中（ ）‎ A.a逐渐变大，b保持不变 B.a保持不变，b逐渐变小 C.a保持不变，b先变小再变大 D.a逐渐变大，b先变大再变小 答案：B S△CEF=S△BCE=S矩形ABCD，∴a保持不变；‎ 连结AF，AC，BD，则AF=BE=EF，AC=BD ‎∵EF+FC=AF+FC＞AC=BD，CE＞CD ‎∴EF+FC+CE＞BD+CD ‎∴b逐渐变小。‎ 故选：B ‎2.（2019鄞州八下期末16题）‎ 36‎ ‎ ‎ 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为___.‎ 解答：‎ 过F作FH⊥ED，‎ ‎∵正方形CEFG，‎ ‎∴EF=EC,∠FEC=∠FED+∠DEC=90∘，‎ ‎∵FH⊥ED，‎ ‎∴∠FED+∠EFH=90∘，‎ ‎∴∠DEC=∠EFH,且EF=EC,∠FHE=∠EDC=90∘，‎ ‎∴△EFH≌△EDC(AAS)，‎ ‎∴EH=DC=2，FH=ED，‎ ‎∴当AE=1时,AF的最小值为 故答案为：‎ ‎3.（2019北仑八下期末18题）‎ 36‎ ‎ ‎ 如图，已知AB=5，点C. D在线段AB上且AC=DB=1，P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是______.‎ 解答：‎ 如图,分别延长AE、BF交于点H,‎ ‎∵∠A=∠FPB=60∘，‎ ‎∴AH∥PF，‎ ‎∵∠B=∠EPA=60∘，‎ ‎∴BH∥PE，‎ ‎∴四边形EPFH为平行四边形，‎ ‎∴EF与HP互相平分。‎ ‎∵G为EF的中点，‎ ‎∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.‎ ‎∵CD=5−1−1=3，‎ ‎∴MN=,即G的移动路径长为 故答案为： .‎ 36‎ ‎ ‎ ‎4.（2019慈溪八下期末12题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm,BC=8cm.点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线A-B-C-D方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动。已知动点P,Q同时出发，当点Q运动到点C时，点P,Q停止运动，设运动时间为t秒。在这个运动过程中，若△BPQ的面积为20cm²，则满足条件的t的值有（ ）‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，AD=10cm,AM=BC=8cm，‎ ‎∴ ‎ ‎∴CD=16cm；‎ ① 当点P在线段AB上时，即0≤t≤ 一时，如图 当点P在线段BC上时，即0)个单位后,恰有两个顶点落在反比例函数的图象上，求k的值。‎ 解答：‎ (1) 如图1,过点A作AM⊥AD于点M,过点D作DN⊥BC于点N.‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ABM=∠BAD=60∘,AM=DN=√3.‎ 在Rt△ABM中,AB=AM/sin∠ABM=2；‎ 在Rt△DCN中,CD=DN/sin∠BCD=2√3.‎ 故答案为：2;2√3.‎ (2) ‎∵四边形ABCE为半对角四边形,‎ 36‎ ‎ ‎ ‎∴∠BCE=45∘，‎ ‎∴∠DEC=∠DCE=45∘，‎ ‎∴CD=DE=1，‎ ‎∴AD=AE+DE=3.‎ ‎(3)①证明∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴BC∥AD，BC=AD=AE+ED=AE+CE，‎ ‎∴CE=ED，‎ ‎∴∠AEC=2∠EDC=2∠B.‎ 又∵AE∥BC，‎ ‎∴四边形ABCE是半对角四边形；‎ ‎②由题意,可知：点A的坐标为(0,2√3),点B的坐标为(−2,2√3),点E的坐标为(1,√3).‎ ‎(i)当点A,E向右平移a(a>0)个单位后落在反比例函数的图象上时,a⋅2√3=(1+a)⋅√3，‎ 解得：a=1，‎ ‎∴k=2√3a=2√3；‎ ‎(ii)当点B,E向右平移a(a>0)个单位后落在反比例函数的图象上时,(−2+a)⋅2√3=(1+a)⋅√3，‎ 解得：a=5，‎ ‎∴k=√3 (1+a)=6√3.‎ 36‎ ‎ ‎ 综上所述：k的值为为2√3或6√3.‎ ‎2.（2019江北八下期末24题）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点。如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点。‎ ‎(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点。‎ ‎(2)如图3,作出四边形ABCD的一个准等距点.(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)‎ ‎(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF.试说明点P是四边形ABCD的准等距点。‎ ‎(4)试研究四边形的准等距点个数的情况.(说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数,不必证明)‎ 解答：‎ ‎(1)如图2,点P即为所画点;‎ ‎(2)如图3,点P即为所作点(作法不唯一);‎ 36‎ ‎ ‎ ‎(3)连接DB.‎ 在△DCF与△BCE中,∠DCF=∠BCE,∠CDF=∠CBE,CF=CE. ‎ ‎∴△DCF≌△BCE(AAS)，‎ ‎∴CD=CB，‎ ‎∴∠CDB=∠CBD，‎ ‎∴∠PDB=∠PBD，‎ ‎∴PD=PB，‎ ‎∵PA≠PC，‎ ‎∴点P是四边形ABCD的准等距点.‎ ‎(4)①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；‎ ‎②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；‎ ‎③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；‎ ① 四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时,准等距点有无数个。‎ ② ‎3.（2019镇海八下期末26题）我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形。其中相等的这组边称为“奇妙”边 ‎（1）下列选项中一定是“奇妙”四边形的是________ .（填写序号）‎ 36‎ ‎ ‎ ‎①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；‎ ‎（2）如图，在7×22的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的四个顶点均在格点（小正方形的顶点）上，连结AC.‎ ‎①图中△ACD中CD边上的高的长为________ .‎ ‎②请判断四边形ABCD是否为“奇妙”四边形并说明理由；‎ ‎③请用图中的△ABC和△ADC拼成一个新的图形（两个三角形不重叠），使得该图形为轴对称图形，在网格图中画出两个你所拼后的图形（全等的图形只能算一个），所拼的两个图形分别为________ 、________ ‎ ‎（在原图上作图，或在空余网格处作图均可，注明图形顶点字母并表示在横线上）；‎ ‎（3）已知在“奇妙”四边形ABCD中，其中一条“奇妙”边AB=，对角线BD=2，∠ADC=60°，请直接写出该“奇妙”四边形的周长。‎ 答案：（1）②④‎ ‎（2）① 2‎ ‎②四边形ABCD是“奇妙”四边形证明：过点A作AH⊥CD,AG⊥BC，由上可得AH=AG=2，‎ ‎∵AD=AB=√5，‎ ‎△AHD≌△AGB，‎ ‎∠ADH=∠ABG ‎∴∠ABG+∠ADC=180°，即证得四边形ABCD是“奇妙”四边形。‎ 36‎ ‎ ‎ ‎（3）“奇妙”四边形ABCD如图。‎ AB,AD为奇妙边，AB=AD=‎ ‎∵∠ADC=60°‎ ‎∴∠ABC=120°又BD=2‎ ‎∴AB⊥AD ‎∴∠ADB=∠ABD=45°，∠BCD=180°-∠A=90°‎ ‎∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=15°‎ ‎4.（2019北仑八下期末24题）若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形，如矩形是等对角线四边形。‎ ‎（1）如果四边形为等对角线四边形，那么顺次连接四边形各边中点得到的四边形是 ;‎ ‎（2）如图1，已知四边形ABCD中，AC,BD为对角线，∠ABC=∠DCB=60°‎ 36‎ ‎ ‎ ‎，AB+CD=BC，求证：四边形ABCD是等对角线四边形 ‎（3）如图2，四边形ABCD是等对角线四边形，对角线AC,BD相交于O,∠AOB=60°，E、F分别是AD、BC的中点，请探索EF与AC之间的数量关系，并证明你的结论.定义：我们把对角线相等的四边形叫做“和美四边形”。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）菱形 ‎（2）证明：在BC上取一点E使BE=AB，连接AE,DE.‎ ‎∵AB+CD= BC，‎ ‎∴EC=DC.‎ ‎∵∠DCB=60°，∴△DCE是等边三角形， ‎ ‎∴DE=CE，∠DEC=60°‎ ‎∴∠BED=180°-60°=120°‎ ‎∵∠ABC=60°∴△ABE是等边三角形，‎ ‎∴AE=BE，∠AEB=60°‎ ‎∴∠AEC=180°-60=120°‎ 在△AE与△BED中 AE=BE ，∠AEC=∠BED， CE=DE ‎∴△AEC≌△BED（SAS）。‎ 36‎ ‎ ‎ ‎∴AC=BD，即四边形ABCD是等对角线四边形。‎ ‎（3）EF=AC，理由如下：‎ 取AB,CD中点P,Q由（1）可知四边形EQFP为菱形，‎ ‎∴PE=PF，‎ 设PE交AC于M点，PF交BD于N点。‎ ‎∵E,F,P点分别为AD,BC,AB的中点，‎ ‎∴ PE∥BD,PF∥AC，‎ ‎∴四边形MONP为平行四边形，‎ ‎∴∠EPF=∠AOB 又∵∠AOB=60°，∴∠EPF60°，‎ ‎∴△EPF是等边三角形。‎ ‎∴EF=PF,‎ ‎∵PF是△ABC的中位线，‎ ‎∴PF=AC，即EF=AC.‎ 题型：四边形综合 36‎ ‎ ‎ ‎1.（2019南三县八下期末24题）如图1，在ABCD中，AB=2，AD=2√3，∠BAD=60°，把ABCD绕着点D顺时针旋转得到ABCD,A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，线段B'C'与直线BC相交干点E.‎ ‎（1）当点E在线段BC上时，如图1所示，连结AE、DE，则ABCD的面积为 ，△AED的面积为 。‎ ‎（2）当点E在线段BC的延长线上时，如图2所示，A'D与BC相交于点G,B'C'与直线AD相交于点F，求证：四边形GDFE为菱形；‎ ‎（3）如图3，在（2）的前提下，连结AA′、AE、A'E、DE。‎ ‎①求证：AA'∥DE；‎ ‎②当△AEF的面积最小时，则△AA'E的面积为 。‎ 答案：‎ ‎（1）6,3‎ ‎（2）证明：过点D作DM⊥B'C'，过点E作EN⊥AF，则DM为A'B'C'D'的B'C'边上的高.‎ ‎∵BE∥AF,∴EN等于ABCD的AD边上的高.‎ ‎∵在平行四边形中，对边上的高相等，‎ 由旋转可得，ABCD中AD边上的高与A'B'C'D的边B'C'上的高相等.‎ ‎∴DM=EN.（在平行四边形中，邻边上的高相等，则邻边也相等）‎ 36‎ ‎ ‎ 即DF=EF.‎ ‎∵GE∥DF,EF∥GD，‎ ‎∴四边形GDFE是平行四边形。‎ ‎（3）①∵菱形GDFE，∴∠GDE=∠FDE.‎ 由旋转得AD=A'D，∴∠DA'A=∠A'AD.‎ ‎∵∠A'DF是△A'AD的一个外角，‎ ‎∴∠DA'A+∠A'AD=∠A'DF=∠GDE+∠EDF，‎ ‎∴∠EDF=∠A'AD，‎ ‎∴A'A∥DE.‎ ① ‎ ‎ 36‎ ‎ ‎