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- 2021-11-01 发布
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2019-2020学年四川省成都市锦江区八年级(下)期末数学试卷
一.选择题(共10小题)
1.分式有意义,则x的取值范围是( )
A.x>3 B.x<3 C.x≠3 D.x≠﹣3
2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.若x2+ax+b=(x﹣1)(x+4),则a,b的值分别是( )
A.a=3,b=﹣4 B.a=﹣3,b=4 C.a=﹣3,b=﹣4 D.a=3,b=4
4.若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形的内角和为( )
A.360° B.720° C.900° D.1440°
5.点P在∠AOB的角平分线上,点P到OA边的距离等于10,点Q是OB边上的任意一点,下列选项正确的是( )
A.PQ<10 B.PQ>10 C.PQ≥10 D.PQ≤10
6.下列命题中,是真命题的为( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.一组邻边互相垂直的菱形是正方形
D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
7.直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,关于x的不等式k2x<k1x+b的解集为( )
A.x>﹣2 B.x<﹣2 C.x<3 D.x>3
8.如图,四边形ABCD是菱形,过点D的直线EF分别交BA,BC的延长线于点E,F,若∠1=25°,∠2=75°,则∠BAC等于( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
9.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(0,6),B(﹣3,﹣3).将线段AB平移后A点的对应点是A′(10,10),则点B的对应点B'的坐标为( )
A.(10,10) B.(﹣3,﹣3) C.(﹣3,3) D.(7,1)
10.如图,在等边△ABC中,BC=4,D,E分别是AB,AC的中点,EF⊥BC于点F,连接DF.则DF等于( )
A.2 B.3 C. D.2
二.填空题(共4小题)
11.分解因式:2x2﹣8= .
12.若分式的值为零,则x的值是 .
13.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点B旋转得到△A'BC',且点C的对应点C'刚好落在AB上,连接AA'.则∠AA'C'= .
14.如图,AC是矩形ABCD的对角线,分别以点A,C为圆心,以大于AC的长为半径画弧,两弧交于点E,F,直线EF交AD于点M,交BC于点N,若AM=6,MD=4,则线段CD的长为 .
三.解答题(共5小题)
15.(1)分解因式:a2b﹣4ab2+4b3.
(2)解方程:﹣1=.
16.解不等式组:,并在数轴上表示出它的解集.
17.化简求值:(﹣)÷,其中m=3.
18.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,坐标分别为A (2,2),B (1,0),C(3,1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,直接写出对称中心的坐标.
19.如图1,在▱ABCD中,以BC为边作等边△BCP,交AD于点E,F,且AE=DF.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)如图2,连接AP,AC,若EF=1,BC=3.
①求证:AP⊥PC;
②求AC的长.
20.如图1,在▱ABCD中,∠ABC=60°,AB:AD=7:8,E为CD边上一点,CE=8,连接AE,BE,且AE=AB.
(1)求证:EB平分∠AEC;
(2)当CE:ED=2:5时,在AD上找一点P,使PB+PE的和最小,并求出最小值;
(3)如图2,过点E作EF⊥BE交AD于点F,求的值.
B卷
一.填空题
21.已知x+=7,那么x2+= .
22.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E,连接OE.若菱形ABCD的面积等于12,对角线BD=4,则OE的长为 .
23.已知m是不等式组的正整数解,则分式方程=有整数解的概率为 .
24.在边长为4的正方形ABCD中,点E,F是AD上两点,且AE=DF,∠BCE=60°,CE交对角线BD于G,交BF于点P,连接AP.则四边形ABGP的面积为 .
25.如图,直线y=x+2交y轴于点A,交x轴于点B,点C和点B关于y轴对称,连接AC,点D是△ABC外一点,∠BDC=60°,点E是BD上一点,点F是CD上一点,且CF=BE,连接FE,FB.若∠BFE=30°,则BF2+EF2的值为 .
二.解答题
26.今年5月以来,四川多地松绑政策,点亮地摊经济,一夜市摊贩购买了A,B两种布偶玩具,在夜市贩卖,已知每件A布偶比B布偶便宜2元,购买一定数量的布偶A所用资金为3000元,购买相同数量的布偶B所用资金为3300.
(1)求A,B两种布偶的单价分别是多少元?
(2)该摊贩计划将两种布偶混在一起销售,售价均定为每件30元,销售一半后,将售价下降m%促销.要使所有布偶销售完后盈利1800元,求m的值.
27.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB于D.
(1)如图1,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF,连接AF交CD于点G.求证:AG=GF;
(2)如图2,点E是线段CB上一点(CE<CB).连接ED,将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF,连接AF交CD于点G.
①求证:AG=GF;
②若AC=BC=7,CE=2,求DG的长.
28.如图1,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A (6,0),与y轴交于点B (0,3),与正比例函数y=x的图象交于点C.
(1)求一次函数的解析式及点C的坐标;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△BCP是等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,过点C作CD⊥x轴于点D,点E是线段OD上一点,F是y轴正半轴上一点,且∠ECF=45°,连接EF,求△OEF的面积的最大值.
2019-2020学年四川省成都市锦江区八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.分式有意义,则x的取值范围是( )
A.x>3 B.x<3 C.x≠3 D.x≠﹣3
【分析】根据分式有意义的条件可得x+3≠0,再解即可.
【解答】由题意得:x+3≠0,
解得:x≠﹣3,
故选:D.
2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B、既是中心对称图形又是轴对称图形,故本选项符合题意;
C、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项不符合题意;
D、是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项不符合题意.
故选:B.
3.若x2+ax+b=(x﹣1)(x+4),则a,b的值分别是( )
A.a=3,b=﹣4 B.a=﹣3,b=4 C.a=﹣3,b=﹣4 D.a=3,b=4
【分析】直接利用多项式乘法计算得出答案.
【解答】解:∵x2+ax+b=(x﹣1)(x+4)=x2+3x﹣4,
∴a=3,b=﹣4,
故选:A.
4.若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形的内角和为( )
A.360° B.720° C.900° D.1440°
【分析】先利用多边形的外角和是360°,正多边形的每个外角都是36°
,求出边数,再根据多边形内角和定理求解.
【解答】解:∵360°÷36°=10,
∴这个正多边形是正十边形,
∴该正多边形的内角和为(10﹣2)×180°=1440°.
故选:D.
5.点P在∠AOB的角平分线上,点P到OA边的距离等于10,点Q是OB边上的任意一点,下列选项正确的是( )
A.PQ<10 B.PQ>10 C.PQ≥10 D.PQ≤10
【分析】过P作PD⊥OB于D,根据角平分线的性质得出PC=PD=10,再根据垂线段最短得出即可.
【解答】解:过P作PD⊥OB于D,
∵PC⊥OA,PD⊥OB,OP平分∠AOB,
∴PC=PD,
∵点P到OA边的距离等于10,
∴PD=PC=10,
∴PQ≥10(当Q与点D重合时,PQ=10),
故选:C.
6.下列命题中,是真命题的为( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.一组邻边互相垂直的菱形是正方形
D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断;根据菱形的判定方法对B进行判断;根据正方形的判定方法对C进行判断;根据平行四边形的判定方法对D进行判断.
【解答】解:A、对角线相等的平行四边形是矩形,所以A选项为假命题;
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形,所以B选项为假命题;
C、一组邻边互相垂直的菱形是正方形,所以C选项为真命题;
D、一组对边平行,且这组对边相等的四边形是平行四边形,所以D选项为假命题.
故选:C.
7.直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,关于x的不等式k2x<k1x+b的解集为( )
A.x>﹣2 B.x<﹣2 C.x<3 D.x>3
【分析】由图象可以知道,两直线的交点坐标,再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x<k1x+b解集.
【解答】解:两条直线的交点坐标为(﹣2,3),且当x>﹣2时,直线l2在直线l1的下方,故不等式k2x<k1x+b的解集为x>﹣2.
故选:A.
8.如图,四边形ABCD是菱形,过点D的直线EF分别交BA,BC的延长线于点E,F,若∠1=25°,∠2=75°,则∠BAC等于( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
【分析】根据平角的定义和菱形的性质即可得到结论.
【解答】解:∵∠1=25°,∠2=75°,
∴∠ADC=180°﹣∠1﹣∠2=80°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,
∴∠BAD=180°﹣∠ADC=100°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BAC=BAD=50°,
故选:B.
9.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(0,6),B(﹣3,﹣3).将线段AB平移后A点的对应点是A′(10,10),则点B的对应点B'的坐标为( )
A.(10,10) B.(﹣3,﹣3) C.(﹣3,3) D.(7,1)
【分析】利用平移的性质解决问题即可.
【解答】解:∵点A(0,6)向右平移10个单位,向上平移4个单位得到A′(10,10),
∴点B(﹣3,﹣3)向右平移10个单位,向上平移4个单位得到B′(7,1),
故选:D.
10.如图,在等边△ABC中,BC=4,D,E分别是AB,AC的中点,EF⊥BC于点F,连接DF.则DF等于( )
A.2 B.3 C. D.2
【分析】首先证明DE⊥EF,求出DE,EF即可解决问题.
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=4,
∵AD=DB,AE=EC,
∴DE=BC=2,DE∥BC,
∵EF⊥BC,
∴DE⊥EF,
∵∠EFC=90°,EC=2,∠C=60°,
∴EF=EC•sin60°=,
在Rt△DEF中,∵∠DEF=90°,
∴DF===,
故选:C.
二.填空题(共4小题)
11.分解因式:2x2﹣8= 2(x﹣2)(x+2) .
【分析】直接提取公因式2,再利用公式法分解因式得出答案.
【解答】解:2x2﹣8=2(x2﹣4)
=2(x﹣2)(x+2).
故答案为:2(x﹣2)(x+2).
12.若分式的值为零,则x的值是 ﹣4 .
【分析】根据分式的值为0的条件是:(1)分子=0;(2)分母≠0.即可解答本题.
【解答】解:,
解得x=﹣4.
故答案为﹣4.
13.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点B旋转得到△A'BC',且点C的对应点C'刚好落在AB上,连接AA'.则∠AA'C'= 15° .
【分析】根据旋转可得∠A′BC=∠ABC=30°,A′B=AB,得∠BA′A=75°,根据∠BA′C=∠BAC=60°,进而可得∠AA'C'的度数.
【解答】解:根据旋转可知:
∠A′BC=∠ABC=30°,A′B=AB,
∴∠BA′A=∠BAA′=(180°﹣30°)=75°,
∵∠BA′C=∠BAC=60°,
∴∠AA'C'=∠BA′A﹣∠BA′C=75°﹣60°=15°.
故答案为:15°.
14.如图,AC是矩形ABCD的对角线,分别以点A,C为圆心,以大于AC的长为半径画弧,两弧交于点E,F,直线EF交AD于点M,交BC于点N,若AM=6,MD=4,则线段CD的长为 2 .
【分析】如图,连接CM,;于勾股定理即可解决问题.
【解答】解:如图,连接CM.
由作图可知,MN垂直平分线段AC,
∴MA=MC=6,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,
∴CD===2,
故答案为2.
三.解答题(共5小题)
15.(1)分解因式:a2b﹣4ab2+4b3.
(2)解方程:﹣1=.
【分析】(1)原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可;
(2)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:(1)原式=b(a2﹣4ab+4b2)
=b(a﹣2b)2;
(2)去分母得:2x﹣2x+4=x,
解得:x=4,
经检验x=4是分式方程的解.
16.解不等式组:,并在数轴上表示出它的解集.
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解:解不等式①,得:x<5,
解不等式②,得:x≥﹣2,
则不等式组的解集为﹣2≤x<5,
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
17.化简求值:(﹣)÷,其中m=3.
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算,再约分得到原式=,然后把x的值代入计算即可.
【解答】解:原式=[﹣]•
=•
=•
=,
当m=3时,原式==1.
18.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,坐标分别为A (2,2),B (1,0),C(3,1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,直接写出对称中心的坐标.
【分析】(1)利用利用y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标,然后描点即可;
(2)利用网格特点和旋转的性质画出A2、B2、C2,从而得到△A2B2C2;
(3)根据中心对称的定义进行判断.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)如图,△A2B2C2为所作;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形,对称中心的坐标为(﹣,﹣).
19.如图1,在▱ABCD中,以BC为边作等边△BCP,交AD于点E,F,且AE=DF.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)如图2,连接AP,AC,若EF=1,BC=3.
①求证:AP⊥PC;
②求AC的长.
【分析】(1)通过证明△PEF是等边三角形,可得PE=PF,可得BE=CF,由“SSS”可证△ABE≌△DCF,可得∠A=∠D=90°,由矩形的判定可证四边形ABCD是矩形;
(2)①由等边三角形的性质可得PE=PF=EF=1,PB=BC=PC=3,可得BE=CF=2,由“SSS”可证△AFP≌△CFD,可得∠APC=∠D=90°,可得结论;
②由全等三角形的性质可得AP=CD=AB,由“SSS”可证△APC≌△ABC,可得∠ACB=∠ACP=30°,由直角三角形的性质可求解.
【解答】证明:(1)∵△BCP是等边三角形,
∴∠PBC=∠PCB=60°=∠P,PB=PC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC,∠A+∠D=180°,
∴∠PEF=∠PBC=60°,∠PFE=∠PCB=60°,
∴△PEF是等边三角形,
∴PE=PF,
∴PB﹣PE=PC﹣PF,
∴BE=CF,
又∵AB=CD,AE=DF,
∴△ABE≌△DCF(SSS),
∴∠A=∠D,
∵∠A+∠D=180°,
∴∠A=∠D=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形;
(2)①∵△PEF是等边三角形,
∴PE=PF=EF=1,
∵△PBC是等边三角形,
∴PB=BC=PC=3,
∴BE=CF=2,
∵AD=BC=3,EF=1,AE=DF,
∴AE=DF=1,
∴AF=2=CF,PF=DF=1,
又∵∠AFP=∠CFD,
∴△AFP≌△CFD(SAS),
∴∠APC=∠D=90°,
∴AP⊥PC;
②∵△AFP≌△CFD,
∴AP=CD,
∴AB=AP,
又∵BC=CP,AC=AC,
∴△APC≌△ABC(SSS),
∴∠ACB=∠ACP=30°,
∴AC=2AB,BC=AB=3,
∴AB=,AC=2.
20.如图1,在▱ABCD中,∠ABC=60°,AB:AD=7:8,E为CD边上一点,CE=8,连接AE,BE,且AE=AB.
(1)求证:EB平分∠AEC;
(2)当CE:ED=2:5时,在AD上找一点P,使PB+PE的和最小,并求出最小值;
(3)如图2,过点E作EF⊥BE交AD于点F,求的值.
【考点】LO:四边形综合题.
【专题】152:几何综合题;69:应用意识.
【分析】(1)利用平行线的性质等腰三角形的性质证明即可.
(2)如图1中,作的E关于AD的对称点M,直线EM交AD于H,交BC的延长线于T,连接BM,PM.假设AB=CD=7k,AD=BC=8k,在Rt△AHE中,根据AE2=AH2+EH2,可得49k2=(k+4)2+[(7k﹣8)]2,解得k=2或4,因为CE:DE=2:5,推出k=2时,不符合题意舍弃,推出k=4,求出BM===12,根据PB+PE=PB+PM≥BM,即可解决问题.
(3)如图2中,过点E作EH⊥AD于H交BC的延长线于T.分两种情形利用相似三角形的性质解决问题即可.
【解答】(1)证明:如图1中,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABE=∠BEC,
∵AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,
∴∠BEC=∠AEB,
∴BE平分∠AEC.
(2)解:如图1中,作的E关于AD的对称点M,直线EM交AD于H,交BC的延长线于T,连接BM,PM.
∵四边形ABCD是平行四边形,AB:AD=7:8,
∴可以假设AB=CD=7k,AD=BC=8k,∠ABC=∠D=60°
∵EC=8,∠T=∠EHD=90°,∠D=∠ECT=60°,
∴CT=EC•cos60°=4,ET=EC•sin60°=4,
∴DE=7k﹣8,DH=(7k﹣8),EH=(7k﹣8),AH=8k﹣(7k﹣8)=k+4,
在Rt△AHE中,∵AE2=AH2+EH2,
∴49k2=(k+4)2+[(7k﹣8)]2,
解得k=2或4,
∵CE:DE=2:5,
∴k=2时,不符合题意舍弃,
∴k=4,
∴BC=AD=32,EH=EM=10,
∴BT=32+4=36,TM=20+4=24,
∴BM===12,
∵PE=PM,
∴PB+PE=PB+PM≥BM,
∴PB+PE≥12,
∴PB+PE的最小值为12.
(3)解:如图2中,过点E作EH⊥AD于H交BC的延长线于T.
由(2)可知,当k=4时,DE=20,DH=10,EH=10,ET=4CT=4,BT=36.
∵∠T=∠EHF=∠BEF=90°,
∴∠BET+∠FEH=90°,∠FEH+∠EFH=90°,
∴∠BET=∠EFH,
∴△BTE∽△EHF,
∴=,
∴=,
∴FH=,
∴DF=FH+DH=,
∴==.
当k=2时,DE=6,DH﹣3,EH=3,CT=4,ET=4,
∴BT=20,
∵△BTE∽△EHF,
∴=,
∴=,
∴FH=,DF=3+=,
∴==,
综上所述,的值为或.
B卷
一.填空题
21.已知x+=7,那么x2+= 47 .
【考点】4C:完全平方公式;6D:分式的化简求值.
【专题】513:分式;66:运算能力.
【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案.
【解答】解:∵x+=7,
∴(x+)2=49,即x2++2=49,
则x2+=47,
故答案为:47.
22.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E,连接OE.若菱形ABCD的面积等于12,对角线BD=4,则OE的长为 3 .
【考点】L8:菱形的性质.
【专题】556:矩形 菱形 正方形;67:推理能力.
【分析】由菱形的性质得出BD=12,由菱形的面积得出AC=9,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,
∵BD=4,S菱形ABCD═AC×BD=12,
∴AC=6,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴OE=AC=3,
故答案是:3.
23.已知m是不等式组的正整数解,则分式方程=有整数解的概率为 .
【考点】B2:分式方程的解;CC:一元一次不等式组的整数解;X4:概率公式.
【专题】542:统计的应用;69:应用意识.
【分析】先解不等式组求出解集,确定正整数m的值,再解分式方程,得到方程有整数解时m的值,然后利用概率公式求解即可.
【解答】解:解不等式m﹣2≤3m﹣10,得m≥4,
所以不等式组的解集为4≤m<8,
∴正整数m=4,5,6,7.
分式方程去分母得:2(x+1)=m(x﹣2),
整理,得(m﹣2)x=2m+2,
当m﹣2≠0即m≠2时,x=,
即x=2+,
∵分式方程有整数解,且x≠2,x≠﹣1,
∴m=4,5,
∴分式方程=有整数解的概率为:=.
故答案为:.
24.在边长为4的正方形ABCD中,点E,F是AD上两点,且AE=DF,∠BCE=60°,CE交对角线BD于G,交BF于点P,连接AP.则四边形ABGP的面积为 24﹣
24 .
【考点】KD:全等三角形的判定与性质;LE:正方形的性质;S9:相似三角形的判定与性质.
【专题】556:矩形 菱形 正方形;69:应用意识.
【分析】如图,过点P作PH⊥A 于H,过点G作GM⊥CD于M,过点B作BN⊥EC于N.解直角三角形求出PH,PG,BN即可解决问题.
【解答】解:如图,过点P作PH⊥A 于H,过点G作GM⊥CD于M,过点B作BN⊥EC于N.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=4,∠BAF=∠CDE=90°,
∵AE=DF,
∴AF=DE,
∴△BAF≌△CDE(SAS),
∴∠ABF=∠CDE,
∵∠ABC=∠DCB=90°,
∴∠PCB=∠PBC=60°,
∴△PBC是等边三角形,
∴PB=BC=PC=4,
∵GM⊥CD,∠GDM=45°,
∴DM=GM,设DM=GM=x,
在Rt△GCM中,∵∠GCM=30°,
∴CM=GM=x,CG=2GM=2x,
∴x+x=4,
∴x=6﹣2,
∴CG=12﹣4,PG=PC=CG=4﹣(12﹣4)=8﹣12,
在Rt△BCN中,BN=BC•sin60°=4×=6,
在Rt△PBH中,PH=PB•sin30°=2
∴S四边形ABGP=S△ABP+S△PBG=•AB•PH+•PG•BN=××+×(8﹣12)×6=24﹣24.
故答案为24﹣24.
25.如图,直线y=x+2交y轴于点A,交x轴于点B,点C和点B关于y轴对称,连接AC,点D是△ABC外一点,∠BDC=60°,点E是BD上一点,点F是CD上一点,且CF=BE,连接FE,FB.若∠BFE=30°,则BF2+EF2的值为 16 .
【考点】F8:一次函数图象上点的坐标特征;KQ:勾股定理;P5:关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【专题】17:推理填空题;533:一次函数及其应用;66:运算能力;67:推理能力.
【分析】根据直线y=x+2交y轴于点A,交x轴于点B,可得B(﹣2,0),A(0,2),根据点C和点B关于y轴对称,可得C(2,0),从而可得△ABC是等边三角形,连接AE、AF,证明△ABE≌△ACF,进而得△AEF是等边三角形,再利用勾股定理即可求出
BF2+EF2的值.
【解答】解:∵直线y=x+2交y轴于点A,交x轴于点B,
∴B(﹣2,0),A(0,2),
∵点C和点B关于y轴对称,
∴C(2,0),
∴AB=AC,
∴BC=OB+OC=4,
∵AB==4,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
如图,连接AE、AF,
∵∠BDC=60°,
∴∠BDC=∠BAC,
根据三角形的外角,得
∠ABD+∠BDC=∠ACD+∠CAB,
∴∠ABD=∠ACD,
∴在△ABE和△ACF中,
,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴AE=AF,∠BAE=∠CAF,
∴∠BAE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°,
∴∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AFE=60°,AF=EF,
∵∠BFE=30°,
∴∠BFA=90°,
∴在Rt△ABF中,根据勾股定理,得
BF2+AF2=AB2=16,
∴BF2+EF2=16.
故答案为:16.
二.解答题
26.今年5月以来,四川多地松绑政策,点亮地摊经济,一夜市摊贩购买了A,B两种布偶玩具,在夜市贩卖,已知每件A布偶比B布偶便宜2元,购买一定数量的布偶A所用资金为3000元,购买相同数量的布偶B所用资金为3300.
(1)求A,B两种布偶的单价分别是多少元?
(2)该摊贩计划将两种布偶混在一起销售,售价均定为每件30元,销售一半后,将售价下降m%促销.要使所有布偶销售完后盈利1800元,求m的值.
【考点】B7:分式方程的应用.
【专题】124:销售问题;69:应用意识.
【分析】(1)设A种布偶的单价是x元,则B种布偶的单价是(x+2)元,根据数量=总价÷单价以及购买布偶A的件数=购买布偶B的件数列出方程,求解即可;
(2)根据利润=售价﹣进价以及所有布偶销售完后盈利1800元列出方程,求解即可.
【解答】解:(1)设A种布偶的单价是x元,则B种布偶的单价是(x+2)元,
由题意得,=,
解得,x=20,
经检验,x=20是原分式方程的解,
∴x+2=22,
答:A种布偶的单价是20元,B种布偶的单价是22元;
(2)购买布偶A的件数==150=购买布偶B的件数.
由题意得,30×150+30(1﹣m%)×150﹣(3000+3300)=1800,
整理得,1﹣m%=,
解得m=20.
故所求m的值为20.
27.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB于D.
(1)如图1,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF,连接AF交CD于点G.求证:AG=GF;
(2)如图2,点E是线段CB上一点(CE<CB).连接ED,将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF,连接AF交CD于点G.
①求证:AG=GF;
②若AC=BC=7,CE=2,求DG的长.
【考点】RB:几何变换综合题.
【专题】152:几何综合题;554:等腰三角形与直角三角形;558:平移、旋转与对称;66:运算能力;67:推理能力.
【分析】(1)由旋转的性质得出∠FCD=90°,CF=CD,证得CF=AD,可证明△ADG≌△FCG(AAS),则可得结论;
(2)①过点E作EM⊥CB交CD于点M,连接MF,证明△CED≌△MEF(SAS),由全等三角形的性质得出CD=MF,∠MEF=∠ECD=45°,证明△ADG≌△FMG(AAS),则可得结论;
②由勾股定理求出AB,CD,CM,则可求出答案.
【解答】(1)证明:∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF,
∴∠FCD=90°,CF=CD,
∵∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB于D,
∴AD=BD,CF∥AD,
∴CD=AD=BD,
∴CF=AD,
又∵∠AGD=∠CGF,
∴△ADG≌△FCG(AAS),
∴AG=GF;
(2)①证明:过点E作EM⊥CB交CD于点M,连接MF,
由(1)知D为AB的中点,
∴∠DCB=45°,CD=AD,
∴△CEM为等腰直角三角形,
∴CE=ME,
又∵∠CEM=∠DEF=90°,DE=EF,
∴∠CED=∠MEF,
∴△CED≌△MEF(SAS),
∴CD=MF,∠MEF=∠ECD=45°,
∴AD=MF,∠CMF=90°,
又∵∠ADG=90°,
∴∠ADG=∠FMG,
∵∠MGF=∠AGD,
∴△ADG≌△FMG(AAS),
∴AG=GF;
②解:∵∠ACB=90°,AC=BC=7,
∴AB==7,
∴CD=AB=,
∵CE=2,CE=ME,
∴CM===2,
∴DM=CD﹣CM==,
又∵△ADG≌△FMG,
∴DG=MG=DM=.
28.如图1,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A (6,0),与y轴交于点B (0,3),与正比例函数y=x的图象交于点C.
(1)求一次函数的解析式及点C的坐标;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△BCP是等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,过点C作CD⊥x轴于点D,点E是线段OD上一点,F是y轴正半轴上一点,且∠ECF=45°,连接EF,求△OEF的面积的最大值.
【考点】FI:一次函数综合题.
【专题】153:代数几何综合题;65:数据分析观念.
【分析】(1)用待定系数法即可求解;
(2)分BC=PC、BC=PB、PC=PB三种情况,分别求解即可;
(3)证明△FCE≌△H′CE(SAS),则EF=EH′,则mn=6(m+n)﹣18,△OEF的面积=×OE×OF=mn=3(m+n)﹣9≤3×6﹣9=9,即可求解.
【解答】解:(1)将点A、C的坐标代入一次函数表达式得,解得,
故一次函数表达式为:y=﹣x+3,
则,解得,
故点C(2,2);
(2)设点P(0,m),而点B、C的坐标分别为(0,3)、(2,2),
则BC2=22+1=5,同理PC2=4+(m﹣2)2,PB2=(m﹣3)2,
当BC=PC时,则5=4+(m﹣2)2,解得:m=1或3(舍去3);
当BC=PB时,同理可得:m=3;
当PC=PB时,同理可得:m=;
故点P的坐标为(0,1)或(0,3+)或(0,3﹣)或(0,);
(3)过点C作CH⊥y轴于点H,
设:OE=m,OF=n,则BH=2﹣n,DH′=2﹣m,
∵0≤m≤2,0≤n≤2,
∴0≤m+n≤4,
∵点C(2,2),故CH=CD,
将△CHF围绕点C旋转90°得到△CDH′,
则∠DCH′=∠HCF,
∴∠ECH′=∠ECD+∠DCH′=∠HCF+∠ECD=90°﹣∠ECF=90°﹣45°=45°=∠ECF,
而CF=CH′,CE=CE,
∴△FCE≌△H′CE(SAS),
∴EF=EH′,即=2﹣m+2﹣n,
整理得:mn=4(m+n)﹣8,
△OEF的面积=×OE×OF=mn=2(m+n)﹣4≤2×4﹣4=4,
故△OEF的面积的最大值为4.