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  • 2021-11-01 发布

八年级下册数学教案 1-1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 北师大版

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第3课时 等腰三角形的判定与反证法 ‎1.掌握等腰三角形的判定定理并学会运用;(重点)‎ ‎2.理解并掌握反证法的思想,能够运用反证法进行证明.‎ 一、情境导入 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(A点)为目标,然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志,沿南偏东60度方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30度,这时,地质专家测得BC的长度是50米,就可知河流宽度是50米.‎ 同学们,你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗?他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢?今天我们就要学习等腰三角形的判定.[来源:学科网ZXXK]‎ 二、合作探究 探究点一:等腰三角形的判定(等角对等边)‎ ‎【类型一】 确定等腰三角形的个数 ‎ 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有(  )‎ A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 解析:共有5个.(1)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD.∵△ABC是等腰三角形,∴∠EBC=∠ECB,∴△BCE是等腰三角形;(3)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°.又∵BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,∴△ABD是等腰三角形;同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形.故选A.‎ 方法总结:确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角,然后确定等腰三角形,再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数.‎ ‎【类型二】 判定一个三角形是等腰三角形 ‎ 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的角平分线,AE与CD交于点F,求证:△CEF是等腰三角形.‎ 解析:根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE=∠ACD,然后根据三角形外角的性质求得∠CEF=∠CFE,根据等角对等边求得CE=CF,从而求得△CEF是等腰三角形.‎ 解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.∵CD是AB边上的高,∴∠ACD+∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线,∴∠BAE=∠EAC,∴∠B+∠BAE=∠AEC,∠ACD+∠EAC=∠CFE,即∠CEF=∠CFE,‎ ‎∴CE=CF,∴△CEF是等腰三角形.‎ 方法总结:“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立.‎ ‎【类型三】 等腰三角形性质和判定的综合运用[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(1)求证:△DEF是等腰三角形;‎ ‎(2)当∠A=50°时,求∠DEF的度数.‎ 解析:(1)根据等边对等角可得∠B=∠C,利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=EF,再根据等腰三角形的定义证明即可;(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CEF,然后求出∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE,再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B=∠DEF.‎ ‎(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BDE和△CEF中,∵∴△BDE≌△CEF(SAS),∴DE=EF,∴△DEF是等腰三角形;‎ ‎(2)解:∵△BDE≌△CEF,∴∠BDE=∠CEF,∴∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE.∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF,∴∠B=∠DEF.∵∠A=50°,AB=AC,∴∠B=×(180°-50°)=65°,∴∠DEF=65°.‎ 方法总结:等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.‎ 探究点二:反证法 ‎【类型一】 假设 ‎ 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中(  )‎ A.有一个内角大于60°‎ B.有一个内角小于60°‎ C.每一个内角都大于60°[来源:学+科+网]‎ D.每一个内角都小于60°‎ 解析:用反证法证明命题时,应先假设结论不成立,所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°,即都大于60°.故选C.‎ 方法总结:在假设结论不成立时,要注意考虑结论的反面所有可能的情况,必须把它全部否定.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【类型二】 用反证法证明一个命题 ‎ 求证:△ABC中不能有两个钝角.‎ 解析:用反证法证明,假设△ABC中能有两个钝角,得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾,所以原命题正确.‎ 证明:假设△ABC中能有两个钝角,即∠A<90°,∠B>90°,∠C>90°,‎ 所以∠A+∠B+∠C>180°,与三角形的内角和为180°矛盾,所以假设不成立,因此原命题正确,即△ABC中不能有两个钝角.‎ 方法总结:本题结合三角形内角和定理考查反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况.如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.‎ 三、板书设计 ‎1.等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).‎ ‎2.反证法 ‎(1)假设结论不成立;‎ ‎(2)从假设出发推出矛盾;‎ ‎(3)假设不成立,则结论成立.‎ 解决几何证明题时,应结合图形,联想我们已学过的定义、公理、定理等知识,寻找结论成立所需要的条件.要特别注意的是,不要遗漏题目中的已知条件.解题时学会分析,可以采用执果索因(从结论出发,探寻结论成立所需的条件)的方法.‎

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