八年级下册数学教案 1-1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 北师大版 3页

第3课时　等腰三角形的判定与反证法 ‎1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点)‎ ‎2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．‎ 一、情境导入 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米．‎ 同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．[来源:学科网ZXXK]‎ 二、合作探究 探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边)‎ ‎【类型一】 确定等腰三角形的个数 ‎ 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　)‎ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解析：共有5个．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°.又∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形．故选A.‎ 方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．‎ ‎【类型二】 判定一个三角形是等腰三角形 ‎ 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．‎ 解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．‎ 解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，‎ ‎∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．‎ 方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．‎ ‎【类型三】 等腰三角形性质和判定的综合运用[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(1)求证：△DEF是等腰三角形；‎ ‎(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．‎ 解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.‎ ‎(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；‎ ‎(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.‎ 方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．‎ 探究点二：反证法 ‎【类型一】 假设 ‎ 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中(　　)‎ A．有一个内角大于60°‎ B．有一个内角小于60°‎ C．每一个内角都大于60°[来源:学+科+网]‎ D．每一个内角都小于60°‎ 解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C.‎ 方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【类型二】 用反证法证明一个命题 ‎ 求证：△ABC中不能有两个钝角．‎ 解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．‎ 证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，‎ 所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．‎ 方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．‎ 三、板书设计 ‎1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．‎ ‎2．反证法 ‎(1)假设结论不成立；‎ ‎(2)从假设出发推出矛盾；‎ ‎(3)假设不成立，则结论成立．‎ 解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法.‎