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- 2021-11-01 发布
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2020-2021 学年初二数学上册同步讲练:全等三角形性质及判定讲练
一、知识点
1 全等三角形
(1)形状、大小相同的图形能够完全重合;
(2)全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形;
(3)全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形;
(4)平移、翻折、旋转前后的图形全等;
(5)对应顶点:全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点;
(6)对应角:全等三角形中相互重合的角叫做对应角;
(7)对应边:全等三角形中相互重合的边叫做对应边;
(8)全等表示方法:用“ ”表示,读作“全等于”(注意:记两个三角形全等时,把表示对应顶点的字
母写在对应的位置上)
(9)全等三角形的性质:
①全等三角形的对应边相等; ②全等三角形的对应角相等;
2 三角形全等的判定
(1)若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等;
(2)三角形全等的判定:
①三边对应相等的两个三角形全等;(“边边边”或“SSS”)
②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;(“边角边”或“SAS”)
③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等;(“角边角”或“ASA”)
④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(“角角边”或“AAS”)
⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等;(“斜边直角边”或“HL”)
二、考点点拨与训练
考点 1:全等三角形的性质
典例:(2020·古田县第十中学初一期中)如图,△ABC≌△AED,∠C=40°,∠EAC=30°,∠B=30°,则∠
D=____,∠EAD=______.
【答案】40° 110°
【解析】解:△ABC 中,∠C=40°,∠B=30°
∵△ABC≌△AED,
∴∠D=∠C=40°,∠E=∠B=30°,
∴∠EAD=180°−∠D−∠E=110°,
故答案为:40°,110°.
方法或规律点拨
本题用考查知识点为:全等三角形的性质及对应角的找法.书写全等时应注意各对应顶点应在同一位置,
也可根据此点来找全等三角形的对应关系.在计算角的度数的时候各角的度数应整理到一个三角形中.
巩固练习
1.( 2020·广东省初三一模)如图, ABCADE≌ , 100B , 40BAC ,则 AED ∠ ( )
A.70° B.45° C.40° D.50°
【答案】C
【解析】解:∵△ABC≌△ADE,
∴∠BAC=∠DAE=40°,∠B=∠D=100°,
∴∠AED=180°−40°−100°=40°,
故选:C.
2.( 2020·南通市八一中学初一月考)下列说法:①全等图形的形状相同、大小相等;②三边对应相等的两
个三角形全等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长、面积分别相等,其中正确的说法为( )
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③④
【答案】D
【解析】由全等三角形的概念可知:全等的图形是完全重合的,所以①全等图形的形状相同、大小相等是
正确的;重合则对应边、对应角是相等的,周长与面积也分别相等,所以①②③④都正确的.
故选:D.
3.( 2018·上海初一期末)如图,已知两个三角形全等,那么∠1 的度数是( )
A.72°; B.60°; C.58°; D.50°.
【答案】D
【解析】根据三角形内角和可知,第一个三角形的第三个角的度数为180 58 72 50 ,
由全等三角形的性质可知, 150 ,
故选:D.
4.( 2020·上海初三二模)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(﹣3,0), B(2,0), C(﹣1,2), E(4,2),
如果△ABC 与△EFB 全等,那么点 F 的坐标可以是( )
A.( 6,0) B.( 4,0) C.( 4.﹣2) D.( 4,﹣3)
【答案】D
【解析】解:如图所示:△ABC 与△EFB 全等,点 F 的坐标可以是:(4,﹣3).
故选:D.
5.( 2020·偃师市实验中学初二月考)已知:如图,△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则∠AEB=
度.
【答案】120
【解析】解:∵△OAD≌△OBC,
∴∠D=∠C=25°,
∴∠CAE=∠O+∠D=95°,
∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°.
6.( 2020·江苏省初二期末)如图,△ABD≌△CBD,若 ∠A=80°,∠ABC=70°,则 ∠ADC 的度数为 .
【答案】130°
【解析】∵△ABD≌△CBD,
∴∠C=∠A=80°,
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°.
故答案为 130°.
考点 2:应用“SSS”判断三角形全等
典例:(2020·全国初一课时练习)如图,已知 A B A C , AD AE , B D C E ,求证: 3 1 2 .
【答案】证明见解析.
【解析】
在△ABD 和△ACE 中,
AB=AC
AD=AE
BD=CE
,
∴△ABD≌△ACE,
∴∠BAD=∠1,∠ABD=∠2,
∵∠3=∠BAD+∠ABD,
∴∠3=∠1+∠2.
方法或规律点拨
本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质,熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.
巩固练习
1.( 2020·南通市八一中学初一月考)如图,Rt△ABC,∠C=90°,AD 平分∠CAB,DE⊥AB 于 E,则下列
结论中不正确的是( )
A.BD+ED=BC B.DE 平分∠ADB C.AD 平分∠EDC D.ED+AC>AD
【答案】B
【解析】CD=DE,
∴BD+DE=BD+CD=BC;
又有 AD=AD,
可证△AED≌△ACD
∴∠ADE=∠ADC
即 AD 平分∠EDC;
在△ACD 中,CD+AC>AD
所以 ED+AC>AD.
综上只有 B 选项无法证明,B 要成立除非∠B=30∘,题干没有此条件,B 错误,
故选 B.
2.( 2018·内蒙古自治区初二期末)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB 的
依据是( )
A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS
【答案】D
【解析】解:根据作法可知:OC=O′C′,OD=O′D′,DC=D′C′
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)
∴∠COD=∠C′O′D′
∴∠AOB=∠A′O′B′
故选 D.
3.( 2020·偃师市实验中学初二月考)用尺规作图作已知角∠AOB 的平分线 OC,其根据是构造两个三角形
全等,它所用到的识别方法是( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
【答案】B
【解析】如图,是用尺规作图作出的∠AOB 的角平分线 OC,连接 DC、EC,
由作图过程可知:OD=OE,DC=EC,
∴在△ODC 和△OEC 中
OD OE
DC EC
OC OC
,
∴△ODC≌△OEC(SSS).
故选 B.
4.( 2018·内蒙古自治区初二期末)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB 的
依据是( )
A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS
【答案】D
【解析】解:根据作法可知:OC=O′C′,OD=O′D′,DC=D′C′
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)
∴∠COD=∠C′O′D′
∴∠AOB=∠A′O′B′
故选 D.
5.( 2020·云南省初三二模)有一个平分角的仪器如图所示,其中 AB=AD,BC=DC.求证:AC 平分∠BAD.
【答案】见解析
【解析】证明:在 ABC 和 ADC 中,
AB AD
BC DC
AC AC
∴ ABC≌ ADC(SSS)
∴∠BAC=∠DAC,
∴AC 平分∠BAD.
6.( 2020·湖北省初三其他)如图, A C D B , A B D C ,求证: E B E C .
【答案】见解析
【解析】证明:在 ABC 与 D C B 中,
ACDB
ABDC
BCCB
ì =ïïïï =íïïï =ïî
,
∴ ()ABCDCBSSS△ ≌△ ;
∴ ACB DBC ,
∴ ECB EBC ,
∴ .
7.( 2020·江苏省初三一模)已知:如图, ,,,ACBDADBCAD BC 相交于点 O ,过点 作 OEAB ,
垂足为 E .求证: AE BE .
【答案】见解析
【解析】证明:在△ABC 与△BAD 中,
AC BD
BC AD
AB BA
∴△ABC≌△BAD(SSS),
∴∠ABC=∠BAC,
∴AO=BO,
又∵OE⊥AB,
∴AE=BE.
8.( 2020·全国初一课时练习)如图,已知线段 AB,CD 相交于点 O,AD,CB 的延长线交于点 E,OA=OC,EA=EC,
(1)试说明:∠A=∠C;
(2)在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?
【答案】(1)见解析;(2)构造全等三角形.
【解析】(1)如图,连接 OE.
在△EAO 和△ECO 中,
OA OC
EA EC
OE OE
所以△EAO≌△ECO(SSS).
所以∠A=∠C(全等三角形的对应角相等).
(2) 在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是构造全等三角形.
考点 3:应用“SAS”判断三角形全等
典例:(2020·江苏省中考真题)已知:如图,点 A、B、C、D 在一条直线上, //,,EAFBEAFBABCD.
(1)求证: EF ;
(2)若 40,80AD ,求 E 的度数.
【答案】(1)见解析;(2)60°
【解析】解:(1)∵AE∥BF,
∴∠A=∠DBF,
∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC,即 AC=BD,
又∵AE=BF,
∴△ACE≌△BDF(SAS),
∴∠E=∠F;
(2)∵△ACE≌△BDF,
∴∠D=∠ACE=80°,
∵∠A=40°,
∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.
方法或规律点拨
本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和,解题的关键是找出三角形全等的条件.
巩固练习
1.( 2019·广东省深圳外国语学校初一期末)如图,在 OAB 和 OCD中,
, , , 40OA OB OC OD OA OC AOB COD ,连接 ,AC BD 交于点 M ,连接OM .下列结论:
① AC BD ;② 40AMB ;③ 平分 BOC ;④ MO 平分 BMC .其中正确的个数为( ).
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】解:∵ 40AOBCOD ,
∴ AOBAODCODAOD ,
即 A O C B O D ,
在 A O C△ 和 B O D 中,
OAOB
AOCBOD
OCOD
,
∴ AOCBODSAS≌ ,
∴ ,OCAODBACBD ,①正确;
∴ OAC OBD ,
由三角形的外角性质得: ,AMBOACAOBOBD
∴ 40AMBAOB °,②正确;
作OGMC 于 G ,OHMB 于 H ,如图所示:
则 90OGCOHD °,
在 O C G 和 ODH 中,
OCA ODB
OGC OHD
OC OD
,
∴ OCGODHAAS≌ ,
∴OG OH ,
∴ MO 平分 BMC ,④正确;
正确的个数有 3 个;
故选:B.
2.( 2020·山东初二期末)如图,AB∥CD,CE∥BF,A、 E、F、D 在一直线上,BC 与 AD 交于点 O,且
OE=OF,则图中有全等三角形的对数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】解:①∵CE∥BF,
∴∠OEC=∠OFB,
又∵OE=OF,∠COE=∠BOF,
∴△OCE≌△OBF,
∴OC=OB,CE=BF;
②∵AB∥CD,
∴∠ABO=∠DCO,∠AOB=∠COD,
又∵OB=OC,
∴△AOB≌△DOC;
③∵AB∥CD,CE∥BF,
∴∠D=∠A,∠CED=∠COD,
又∵CE=BF,
∴△CDE≌△BAF.
故选 B.
3.( 2020·济南市长清区实验中学初一期中)如图,点 E、F 在 BC 上,AB=CD,BE=CF,∠B=∠C,AF 与
DE 交于点 O.求证:∠A=∠D.
【答案】见详解
【解析】证明:∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,
∴BF=CE,
在△ABF 和△DCE 中
AB CD
BC
BF CE
,
∴△ABF≌△DCE(SAS),
∴∠A=∠D.
4.( 2020·江苏中考真题)如图, AC BC , D C E C , A C B C . D C E C , AE 与 BD 交于点 F .
(1)求证: AEBD ;
(2)求 AFD 的度数.
【答案】(1)见解析(2)90°
【解析】(1)∵ , ,
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又 .
∴△ACE≌△BCD
∴
(2)∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
设 AE 与 BC 交于 O 点,
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故 AFD =180°-∠BFO=90°.
5.( 2020·江苏中考真题)如图,已知 //A B C D , A B C D , B E C F .
求证:(1) A B F D C E ;
(2) //AFDE .
【答案】(1)证明见详解;(2)证明见解析.
【解析】证明:(1)∵AB∥CD,
∴∠B=∠C,
∵BE=CF,
∴BE-EF=CF-EF,
即 BF=CE,
在△ABF 和△DCE 中,
=
=
ABCD
BC
BFCE
∴△ABF≌△DCE(SAS);
(2)∵△ABF≌△DCE,
∴∠AFB=∠DEC,
∴∠AFE=∠DEF,
∴AF∥DE.
6.( 2020·重庆初三)如图,AB∥CD,AD 与 BC 相交于点 E,AF 平分∠BAD,交 BC 于点 F,交 CD 的延
长线于点 G.
(1)若∠G=29°,求∠ADC 的度数;
(2)若点 F 是 BC 的中点,求证:AB=AD+CD.
【答案】(1)58°;( 2)详见解析
【解析】证明:(1)∵AB∥CD,∴ ∠BAG=∠G, ∠BAD=∠ADC.
∵AF 平分∠BAD,∴∠BAD=2∠BAG=2∠G.
∴∠ADC=∠BAD=2∠G .
∵∠G=29°,∴∠ADC=58°.
(2)∵AF 平分∠BAD,∴∠BAG=∠DAG.
∵∠BAG=∠G, ∴∠DAG=∠G.
∴AD=GD.
∵点 F 是 BC 的中点,∴BF=CF.
在△ABF 和△GCF 中,
∵
.
BAF G
AFB GFC
FB FC
,
,
∴△ABF≌△GCF.
∴AB=GC.
∴AB=GD+CD=AD+CD.
7.( 2020·福州四十中金山分校初二月考)如图(1), AB=4 cm ,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 .点
P 在线段 AB 上以 1 /cms 的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运
动.它们运动的时间为 t (s).
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 =1 时,△ACP 与△BPQ 是否全等,请说明理由,
并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;
(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点 Q
的运动速度为 x /cm s ,是否存在实数 ,使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在,求出相应的 、 t 的值;若
不存在,请说明理由.
【答案】(1)全等,垂直,理由详见解析;(2)存在,
1
1
t
x
或
2
3
2
t
x
【解析】(1)当 t=1 时,AP= BQ=1, BP= AC=3,
又∠A=∠B= 90°,
在△ACP 和△BPQ 中,
{
AP BQ
AB
AC BP
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.
∴∠CPQ= 90°,
即线段 PC 与线段 PQ 垂直;
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则 AC= BP,AP= BQ,
34t
t xt
解得
1
1
t
x
;
②若△ACP≌△BQP,
则 AC= BQ,AP= BP,
3
4
xt
tt
解得:
2
3
2
t
x
综上所述,存在
1
1
t
x
或 使得△ACP 与△BPQ 全等.
考点 4:应用“ASA” 或“AAS”判断三角形全等
典例:(2020·山东省初一期中)CD 是经过∠BCA 定点 C 的一条直线,CA=CB,E、F 分别是直线 CD 上两
点,且∠BEC=∠CFA=∠β.
(1)若直线 CD 经过∠BCA 内部,且 E、F 在射线 CD 上,
①若∠BCA=90°,∠β=90°,例如左边图,则 BE CF,EF |BE - AF|
(填“>”,“<”,“=”);
②若 0°<∠BCA<180°,且∠β+∠BCA=180°,例如中间图,①中的两个结论还成立吗?并说明理由;
(2)如右边图,若直线 CD 经过∠BCA 外部,且∠β=∠BCA,请直接写出线段 EF、BE、AF 的数量关系(不
需要证明).
【答案】(1)①=,= ②两结论依然成立,证明见解析 (2)EF=BE+AF
【解析】(1)①∵∠BCA=90°,∠β=90°
∴∠FCA+∠BCF=90°,∠FCA+∠CAF=90°
∴∠BCF=∠CAF
又∵∠BEC=∠CFA,CA=CB
∴△BEC △CFA(AAS)
∴BE=CF,CE=AF
∴ EFCFCEBEAF
②在△FCA 中,∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°
又∵∠BEC=∠CFA=∠β,∠β+∠BCA=180°
∴∠FCA+∠CAF=∠BCA
∵∠BCA=∠BCE+∠FCA
∴∠CAF=∠BCE
∵CA=CB
∴△BEC △CFA(AAS)
∴BE=CF,CE=AF
∴
(2)在△BEC 中,∠B+∠BEC+∠BCE=180°
又∵∠BEC=∠CFA=∠β,∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°,∠β=∠BCA
∴∠B=∠ACF
∵CA=CB
∴△BEC △CFA(AAS)
∴BE=CF,CE=AF
EF=EC+CF=AF+BE
方法或规律点拨
本题考查全等三角形证明以及性质的应用,并结合一定的探究思路,按照题目指引利用 AAS 判别定理解答
即可.
巩固练习
1.( 2020·江苏初三二模)如图,点 A , B , C , D 在同一条直线上, CEDF , AF , ACFD .
求证: AEFB .
【答案】证明见解析.
【解析】证明: C E D F∥ ,
A C E D .
又 AF , A C F D ,
ACEFDB△ ≌△ ,
AE FB .
2.( 2020·湖北省初三月考)如图, / /,,ABCDABCDBFAC = 于点 ,F D E A C 于点 E , 求证:
A E C F .
【答案】详见解析
【解析】证明: //ABCD ,
AC ,
,BFACDEAC,
90BFA DEC ,
在 ABF 和 C D E△ 中,
BFAEDC
AC
ABCD
,
ABFCDEAAS△ △ ,
AFCE,
AE CF∴ = .
3.( 2020·重庆市育才中学初二期末)如图△ABC 中,点 E 在 AB 上,连接 CE,满足 AC=CE,线段 CD 交
AB 于 F,连接 AD.
(1)若∠DAF=∠BCF,∠ACD=∠BCE,求证:AD=BE;
(2)若∠ACD=24°,EF=CF,求∠BAC 的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)52°.
【解析】解:(1) DAFBCF , A F D C F B ,
DB ,
又 AC CE , A C D B C E ,
()ACDECBAAS ,
AD BE;
(2) ,
CAEAEC ,
E F C F ,
ECFAEC ,
又 24ACD ,
A C E 中, 1 (18024 )523EAC .
4.( 2020·浙江初一月考)△ADE 中,AE=AD,∠EAD=90°.
(1)如图(1),若 EC、DB 分别平分∠AED、∠ADE,交 AD、AE 于点 C、B,连接 BC.请你判断 AB、
AC 是否相等,并说明理由;
(2)△ADE 的位置保持不变,将(1)中的△ABC 绕点 A 逆时针旋转至图(2)的位置,CD、BE 相交于 O,
请你判断线段 BE 与 CD 的位置关系及数量关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若 CD=6,试求四边形 CEDB 的面积.
【答案】(1)理由见解析;(2)理由见解析;(3)18.
(1)AB=AC.
理由如下:
∵EC、DB 分别平分∠AED、∠ADE
∴∠AEC= 1
2
∠AED,∠ADB= ∠ADE
∵∠AED=∠ADE
∴∠AEC=∠ADB
在△AEC 和△ADB 中,
∠AEC=∠ADB,AE=AD,∠A=∠A
∴△AEC≌△ADB
∴AB=AC;
(2)BE=CD 且 BE⊥CD.
理由如下:
∵∠EAD=∠BAC
∴∠EAB=∠DAC
在△AEB 和△ADC 中,
ABAC
EABDAC
AEAD
,
∴△AEB≌△ADC(SAS)
∴EB=CD
∴∠AEB=∠ADC
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°
∴∠DOE=90°
∴BE⊥CD;
(3)四边形 CEDB 的面积= ×BE×CD= 2CD =18.
5.( 2020·山东省初二期中)(1)如图①,直线 m 经过正三角形 ABC 的顶点 A ,在直线 上取两点 D 、E ,
使得 60ADBo , 60AEC,求证: BD CE DE.
(2)将(1)中的直线 m 绕着点 A 逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置,并使 120A D Bo ,
120AEC,通过观察或测量,猜想线段 BD , CE 与 DE 之间满足的数量关系,并予以证明.
【答案】(1)证明见解析;(2) C E B D D E ,理由见解析.
【解析】(1)∵在正三角形 ABC 中, 60BAC,
∴ ,120ABCADABCAE
又∵ 120ECACAE
∴ D A B E C A
在 DAB 和 ECA 中,
60ADBAEC
DABECA
ABCA
∴ ≌ ( AAS )
∴ ADCE , BDAE
∴ BDCEAEADDE
(2)猜想:
证明:∵在正三角形 中,
∴ , 60AB CA DAB CAE
∵
∴ 60ECA CAE
∴
在 和 中
120ADB AEC
DAB ECA
AB CA
∴ DAB ≌ E C A ( AAS )
∴ A D C E , BD AE
∴CEBDADAEDE
考点 5:应用“HL”判断三角形全等
典例:(2020·辽宁初三一模)如图,将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图①方式摆放,其中∠ACB=
∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点 E 落在 AB 上,DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F.
(1)求证:AF+EF=DE.
(2)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转 α,且 0°<α<60°,其他条件不变,请在图②中画出旋转
后的图形,并直接写出(1)中的结论是否仍然成立.
(3)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转 β,且 60°<β<180°,其他条件不变,如图③.你认为(1)中
的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请写出 AF,EF 与 DE 之间的关系,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)成立,理由见解析;(3)不成立,理由见解析;
【解析】(1)如图①所示,连接 BF,
∵BC=BE,
在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中
{BF BF
BC BE
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),
∴EF=CF,
∴AF+EF=AC=DE;
(2)如图②所示:
延长 DE 交 AC 与点 F,连接 BF,
在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中
{BF BF
BC BE
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),
∴EF=CF,
∴AF+EF=AC=DE;
(3)如图③所示:
连接 BF,
在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),
∴EF=CF,
∴AF-FC=AC=DE,
∴AF-EF=DE.
方法或规律点拨
本题主要考查全等三角形的判定及性质,掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.
巩固练习
1.( 2020·山东初二期中)如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2=
A.40° B.50° C.60° D.75°
【答案】B
【解析】解:∵∠B=∠D=90°
在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中
BCCD
ACAC
=
=
,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°.
故选 B.
2.( 2020·甘肃靖远五中初二期中)如图, ,,BF CE AE BC DF BC ,要根据“ HL ”证明
RtABERtDCF≌ ,则还要添加一个条件是( )
A. AB DC B. AD C. BC D. AEDF
【答案】A
【解析】添加的条件是 AB=CD;理由如下:
∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠CFD=∠AEB=90°,
∵ BF CE ,
∴ B E C F ,
在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中,
A B CD
B E CE
∴Rt△ABE=R△DCF(HL)
所以 A 选项是正确的.
3.( 2020·山西省初二期末)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=5cm,在 AC 上取一点 E 使 EC=BC,
过点 E 作 EF⊥AC,连接 CF,使 CF=AB,若 EF=12cm,则 AE 的长为( )
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
【答案】C
【解析】∵EF⊥AC,
∴∠CEF=90°,
在 Rt△ABC 和 Rt△FCE 中
BCCE
BACF
,
∴Rt△ABC≌Rt△FCE(HL),
∴AC=FE=12cm,
∵EC=BC=5cm,
∴AE=AC-EC=12-5=7cm,
故选:C.
4.( 2019·陕西省陕西师大附中初一期末)如图,在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90°,D 为 AB 延长线上
一点,点 E 在 BC 上,且 BE=BD,连接 AE、DE、DC.若∠CAE=30°,则∠BDC=_____.
【答案】75°
【解析】解:延长 AE 交 DC 边于点 F,如图:
∵∠ABC=90°,
∴∠CBD=90°,
在 Rt△ABE 与 Rt△CBD 中,
,
,
BEBD
ABBC
∴Rt△ABE≌Rt△CBD(HL),
∴∠AEB=∠BDC,AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
∵∠AEB 为△AEC 的外角,∠CAE=30°,
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+30°=75°,
∴∠BDC=75°.
故答案为:75°.
5.( 2020·山西初三二模)如图所示,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯 BC 的高 AC 与右边滑梯 EF 水平方
向的长度 DF 相等,两滑梯倾斜角∠ABC 和∠DFE 有什么关系?并说明理由。
【答案】∠ABC+∠DFE=90°,理由见解析.
【解析】解:∠ABC+∠DFE=90°
在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中,
BC EF
AC D F
∴Rt△ABC≌Rt△DEF
∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
6.( 2020·云南初三一模)如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC、DB 相交于点 O.求证:AB=CD.
【答案】见解析
【解析】证明:在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中,
DBAC
CBBC
,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴AB=DC.
7.( 2020·河南省实验中学初二月考)如图,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,若 BD=CD,BE=CF.
(1)求证:AD 平分∠BAC.
(2)写出 AB+AC 与 AE 之间的等量关系,并说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)AB+AC=2AE,理由详见解析.
【解析】证明:(1)∵DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,
∴∠E=∠DFC=90°,
∴△BDE 与△CDE 均为直角三角形,
∵在 Rt△BDE 与 Rt△CDF 中,
,
,
BD CD
BE CF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,
∴DE=DF,
∴AD 平分∠BAC;
(2)AB+AC=2AE.
理由:∵BE=CF,AD 平分∠BAC,
∴∠EAD=∠CAD,
∵∠E=∠AFD=90°,
∴∠ADE=∠ADF,
在△AED 与△AFD 中,
,
,
,
EADCAD
ADAD
ADEADF
∴△AED≌△AFD,
∴AE=AF,
∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE.
8.( 2019·湖北初二期中)如图,点 B、C、E、F 在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC 于点 C,DF⊥EF 于点 F,
AC=DF.
求证:(1)△ABC≌△DEF ;( 2)AB∥DE.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)∵AC⊥BC,DF⊥EF ∴∠ACB=∠DFE=90°
又∵BC=EF AC=DF
∴△ABC≌△DEF
(2)∵△ABC≌△DEF
∴∠B=∠DEF
∴AB∥DE(同位角相等,两直线平行)