人教版8年级上册数学全册课时第十二章全等三角形小结导学案 5页

1 第十二章全等三角形小结导学案 一、学习目标： 1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理，以及角平分线的作图方法和角平分线的 性质等知识，建立知识系统； 2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法，使学生掌握分析问题的 方法，提升解题能力。 二、学习重点、难点： 学习重点：将所学知识科学地组织起来，将其纳入已有的知识结构中。 学习难点：提升分析问题、解决问题的能力。 三、本章知识结构图： 。 四、回顾与思考： 1、请你举一些生活中的全等形。 2、 全等三角形的概念及性质； 3、 三角形全等的判定； 4、 角平分线的性质及判定 5、你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？ 知识点一：证明三角形全等的思路 通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证 明，可以按下图思路进行分析：                        SAS SSS HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角 已知两边 找第三边 找直角 边为角的对边 找任一角 找夹角的另一边已知一边一角 边为角的邻边 找夹边的另一角 找边的对角 找夹边已知两角 找任一对边 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例 1. 如图， , , ,A F E B 四点共线，AC CE ，BD DF ，AE BF ，AC BD 。求证： ACF BDE   。 2 思路分析：从结论 ACF BDE   入手，全等条件只有 AC BD ；由 AE BF 两边同时减去 EF 得到 AF BE ，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF DE ，也可以是 AB   。 知识点二：构造全等三角形 例 2. 如图，在 ABC 中， BE 是∠ABC 的平分线， AD BE ，垂足为 D 。求证： 21C     。 思路分析：直接证明 比较困难，我们可以间接证明，即找到  ，证明 2    且 1 C     。也可以看成将 2 “转移”到 。 。 例 3. 如图，在 中， AB BC ， 90ABC。F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，BE BF ， 连接 ,AE EF 和CF 。求证： AE CF 。 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段 AE 为 边的 ABE 绕点 B 顺时针旋转90 到 CBF 的位置，而线段CF 正好是 的边，故只要证明它们全 等即可。 知识点三：常见辅助线的作法 1. 连接四边形的对角线 解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。 2. 作垂线，利用角平分线的知识 例 5. 如图， ,AP CP 分别是 ABC 外角 MAC 和 NCA 的平分线，它们交于点 P 。求证：BP 为 MBN 的平分线。 3 思路分析：要证明“ BP 为 MBN 的平分线”，可以利用点 P 到 ,BM BN 的距离相等来证明，故应过 点 向 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“ ,AP CP 分别是 MAC 和 NCA 的平分线”，也 需要作出点 到两外角两边的距离。 例 6. 如图， D 是 ABC 的边 BC 上的点，且CD AB ， ADB BAD   ， AE 是 ABD 的中线。求证： 2AC AE 。 思路分析：要证明“ ”，不妨构造出一条等于 2AE 的线段，然后证其等于 AC 。因此，延 长 AE 至 F ，使 EF AE 。 解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证 明两条直线平行。 4. “截长补短”构造全等三角形 例 7. 如图，在 中， AB AC ， 12   ， P 为 AD 上任意一点。求证： AB AC PB PC   。 4 思路分析：欲证 AB AC PB PC   ，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是 差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段 AB AC 。而构造 可以采用“截长”和 “补短”两种方法。 解答过程：法一： 在 AB 上截取 AN AC ，连接 PN 在 APN 与 APC 中 12 AN AC AP AP        APN APC   (SAS) PN PC 在 BPN 中， PB PN BN   PB PC AB AC ，即 AB－AC>PB－PC。 法二： 延长 AC 至 M ，使 AM AB ，连接 PM 在 ABP 与 AMP 中 12 AB AM AP AP       ABP AMP   (SAS) PB PM 在 PCM 中，CM PM PC AB AC PB PC   。 5